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- 2021-11-01 发布
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第14章 勾股定理
14.2 勾股定理的应用
如图所示,一个圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,
BC是上底面的直径.一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬
行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)
A
B C
分析:蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动,如果将
这半个侧面展开,得到长方形ABCD,根据“两点之间,
线段最短”,所求的最短路程就是这一展开图——长方
形ABCD的对角线AC之长.
A
B C
A
CB
D
解:如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长
的一半=10cm.由勾股定理,可得
2 2
2 2
AC= AB +BC
= 4 +10
= 116 10.77 cm ( ) 即爬行的最短路程约为10.77cm.
把几何体适当展开成平面图形,再利用“两点之间,线
段最短”性质来解决问题.
【例1】 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体
盒子,蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢?
(精确到0.01cm)
A
B
勾股定理的应用
A
B
10
10 10
B
CA
2 2
2 2= 20 +10
cm
AB AC BC
22.36( ).
解:最短路程即为长方形的对角线AB,
即爬行的最短路程约是22.36cm,
【例2】 如果盒子换成如图长为3cm,宽为2cm,高为
1cm的长方体,蚂蚁沿着表面由A爬到C1需要爬行的最短路
程又是多少呢?
A B
CD
B1
C1D1
A1
分析:蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况?
(1)经过前面和上底面;
(2)经过前面和右面;
(3)经过左面和上底面.
A B
CD
B1
C1D1
A1
2
3A
1
B
B1
C1D1
A1
3 2
1
A
B C
B1 C1A1
3
2
1A
D D1
A1 B1
C1
(1)当蚂蚁经过前面和上底面时,如图,最短路程为
22 33
解:
A
AB= ≈4.24(cm).=
B
CD
B1
C1D1
A1 2
3A
1
B
B1
C1D1
A1
2 2
1AC BC
(2)当蚂蚁经过前面和右面时,如图,最短路程为
22 15
A
AB= ≈5.10(cm).=
B
CD
B1
C1D1
A1
3 2
1
A B C
B1 C1A1
2
1
2 CCAC
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时,如图,最短路程为
A
22 24 AC1= ≈4.47(cm).=
B
C
D
B1
C1D1
A1
3
2
1A 31
D D1
A1
B1
C1
2
1
2
1
2
1 CBAB
∴最短路程约为4.24cm.
∵4.24<4.47<5.10,
【例3】 一辆装满货物的卡车,其外
形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如
图所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由. A B
CD 2米
2
.
3
米
CD=
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
即卡车能通过厂门.
解:在Rt△OCD中,∠CDO=90°,由勾股定理,得
A B
MN
O
C
┏
D
H2米
2
.
3
米
2 2 21 0.8 0.6( ).OC OD 米
1.如图,已知CD=6cm,AD=8cm, ∠ADC=90o,BC=
24cm,AB=26cm,求阴影部分面积.
解:在Rt△ADC中,
∵AC2=AD2+CD2(勾股定理)
=82+62=100,
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262,
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定
理).
∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=120-24
=96.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D点在CB 延长线上,求
证:AD2-AB2=BD·CD A
B CD
E
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
证明:过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC,∴BE=CE.
在Rt △ADE中,AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中, AB2=AE2+BE2.
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD.
勾股定理
的应用
最短路程问题
勾股定理与其逆定理的应用