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- 2021-11-01 发布
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2019-2020学年江苏省苏州市工业园区八年级(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅类涂在答题卡相应位置上.
1.(2分)表示4的( )
A.平方 B.平方根 C.立方根 D.算术平方根
2.(2分)若2x=3y,且x≠0,则的值为( )
A. B. C. D.
3.(2分)下列计算正确的是( )
A. B.=2 C.=2 D.=﹣3
4.(2分)一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球和3个黑球,每个球除颜色外都相同.将球摇匀后,从中任意摸出一个球,则摸到红球是( )
A.必然事件 B.不可能事件 C.确定事件 D.随机事件
5.(2分)下列调查方式中适合的是( )
A.要了解一批节能灯的使用寿命,采用普查方式
B.调查你所在班级同学的身高,采用抽样调查方式
C.环保部门调查沱江某段水域的水质情况,采用抽样调查方式
D.调查全市中学生每天的就寝时间,采用普查方式
6.(2分)若点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=﹣上,且x1<0<x2,则下列结论中正确的是( )
A.y1>y2
B.y1<y2
C.y1=y2
D.y1,y2的大小关系无法确定
7.(2分)如图,在△ABC中,点D在AB上,∠ACD=∠B.若AD=2,BD=3,则AC等于
( )
A.5 B.6 C. D.
8.(2分)将两张全等的正方形透明纸片叠放在一起,并使其中心重合,得到如图所示的图形,则该图形( )
A.既是轴对称图形又是中心对称图形
B.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
C.是轴对称图形但不是中心对称图形
D.是中心对称图形但不是轴对称图形
9.(2分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.5m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,它的影子QN=1.8m,MN=0.8m,木竿PQ的长度为( )
A.3m B.3.2m C.3.4m D.3.6m
10.(2分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,AD=5,则BD等于( )
A.13 B.2 C.8 D.6
二、填空题:本大题共8小题,每小题2分,共16分.把答案直接填在答题卡相应位置上.
11.(2分)化简:= .
12.(2分)若分式有意义,则x应满足的条件是 .
13.(2分)给出下列3个分式:,它们的最简公分母为 .
14.(2分)转动如图所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等),当转盘停止转动时,指针落在阴影区域的概率为 .
15.(2分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若△ABE的周长为10cm,则平行四边形ABCD的周长为 cm.
16.(2分)如图,四边形纸片ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°.若该纸片的面积为10cm2,则对角线BD= cm.
17.(2分)如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F,若BC=2AB,AD=2,CF=6,则BE的长为 .
18.(2分)如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°.E,F分别是BC,BD上的动点,且CE=DF,则AE+AF的最小值为 .
三、解答题:本大题共10小题,共64分.把解答过程写在答题卡相应位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明,作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19.(5分)计算:.
20.(5分)解方程:=4.
21.(5分)先化简,再求值:,其中a=1+.
22.(5分)某校组织全校2000名学生进行了防火知识竞赛.为了解成绩的分布情况,随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分),并绘制了如图所示的频数分布表和频数分布直方图(不完整):
抽取部分学生的成绩频率分布表
分组
频数
频率
50.5~60.5
20
0.05
60.5~70.5
a
0.15
70.5~80.5
76
b
80.5~90.5
104
0.26
90.5~100.5
140
0.35
合计
400
1
根据所给信息,回答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励,请你估算出全校获奖学生的人数.
23.(6分)甲、乙、丙,丁四个人做“击鼓传花”游戏,游戏规则是:第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人中的某一人,以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人.
(1)甲第一次传花时,恰好传给乙的概率是 ;
(2)求经过两次传花,花恰好回到甲手中的概率;
(3)经过三次传花,花落在丙手上的概率记作P1,落在丁手上的概率记作P2,则P1 P2(填“>”、“<”或者“=”)
24.(6分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)①当AB与CD满足条件 时,四边形EGFH是菱形;
②当AB与CD满足条件 时,四边形EGFH是矩形.
25.(6分)甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元,已知乙公司比甲公司人均多捐40元,甲公司的人数比乙公司的人数多20%.请你根据以上信息,提出一个用分式方程解决的问题,并写出解答过程.
26.(8分)如图,在△ABC中,∠C=40°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE,连接BD.当DE∥AC时,求∠ABD的度数.
27.(8分)如图,Rt△AOB的直角边OB在x轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象与斜边OA相交于点C,与直角边AB相交于点D,且AC=2OC.
(1)若点C(2,3),求点D的坐标;
(2)若S△ACD=8,求k的值.
28.(10分)如图①,在矩形ABCD中,AB=3cm,AD>AB,点E从点A出发,沿射线AC以a(cm/s)的速度匀速移动,连接DE,过点E作EF⊥DE,EF与射线BC相交于点F,作矩形DEFG,连接CG,设点E移动的时间为t(s),△CDE的面积为S(cm2).S与t的函数关系如图②所示.
(1)a= ;
(2)求矩形DEFG面积的最小值;
(3)当△CDG为等腰三角形时,求t的值.
2019-2020学年江苏省苏州市工业园区八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅类涂在答题卡相应位置上.
1.(2分)表示4的( )
A.平方 B.平方根 C.立方根 D.算术平方根
【分析】利用平方根的性质判断即可.
【解答】解:是4的算术平方根.
故选:D.
2.(2分)若2x=3y,且x≠0,则的值为( )
A. B. C. D.
【分析】根据比例的性质求出=,变形后代入,即可求出答案.
【解答】解:∵2x=3y,且x≠0,
∴两边除以2y得:=,
∴=﹣1=﹣1=,
故选:C.
3.(2分)下列计算正确的是( )
A. B.=2 C.=2 D.=﹣3
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的性质对C、D进行判断.
【解答】解:A、与不能合并,所以A选项错误;
B、与﹣不能合并,所以B选项错误;
C、原式=2,所以C选项正确;
D、原式=3,所以D选项错误.
故选:C.
4.(2分)一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球和3个黑球,每个球除颜色外都相同.将球摇匀后,从中任意摸出一个球,则摸到红球是( )
A.必然事件 B.不可能事件 C.确定事件 D.随机事件
【分析】根据随机事件定义可得答案.
【解答】解:从中任意摸出一个球,则摸到红球是随机事件,
故选:D.
5.(2分)下列调查方式中适合的是( )
A.要了解一批节能灯的使用寿命,采用普查方式
B.调查你所在班级同学的身高,采用抽样调查方式
C.环保部门调查沱江某段水域的水质情况,采用抽样调查方式
D.调查全市中学生每天的就寝时间,采用普查方式
【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来,具体问题具体分析,普查结果准确,所以在要求精确、难度相对不大,实验无破坏性的情况下应选择普查方式,当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏,以及考查经费和时间都非常有限时,普查就受到限制,这时就应选择抽样调查.
【解答】解:A、了解一批节能灯的使用寿命,调查过程带有破坏性,只能采取抽样调查,而不能将整批节能灯全部用于实验;
B、调查你所在班级同学的身高,要求精确、难度相对不大、实验无破坏性,应选择普查方式;
C、了解环保部门调查沱江某段水域的水质情况,会给调查对象带来损伤破坏,应该选取抽样调查的方式才合适;
D、调查全市中学生每天的就寝时间,进行一次全面的调查,费大量的人力物力是得不偿失的,采取抽样调查即可;
故选:C.
6.(2分)若点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=﹣上,且x1<0<x2,则下列结论中正确的是( )
A.y1>y2
B.y1<y2
C.y1=y2
D.y1,y2的大小关系无法确定
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式,可以得到y1和y2的大小关系,本题得以解决.
【解答】解:∵函数y=﹣,
∴在每个象限内,y随x的增大而增大,当x<0时,y>0,当x>0时,y<0,
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数y=﹣上,且x1<0<x2,
∴y1>y2,
故选:A.
7.(2分)如图,在△ABC中,点D在AB上,∠ACD=∠B.若AD=2,BD=3,则AC等于
( )
A.5 B.6 C. D.
【分析】根据两角对应相等,即可证明△ADC∽△ACB,得出AC:AB=AD:AC,即AC2=AB•AD,将数值代入计算即可求出AC的长.
【解答】解:在△ADC和△ACB中,
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACB,
∴AC:AB=AD:AC,
∴AC2=AB•AD,
∵AD=2,AB=AD+BD=2+3=5,
∴AC2=5×2=10,
∴AC=,
故选:D.
8.(2分)将两张全等的正方形透明纸片叠放在一起,并使其中心重合,得到如图所示的图形,则该图形( )
A.既是轴对称图形又是中心对称图形
B.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
C.是轴对称图形但不是中心对称图形
D.是中心对称图形但不是轴对称图形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可.
【解答】解:重叠部分的图形,既是轴对称图形也是中心对称图形.
故选:A.
9.(2分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m,它的影子BC=1.5m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,它的影子QN=1.8m,MN=0.8m,木竿PQ的长度为( )
A.3m B.3.2m C.3.4m D.3.6m
【分析】直接利用同一时刻物体影子与实际高度成比例,进而得出答案.
【解答】解:连接AC,过点M作MF⊥PF,
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例,
∴=,
解得:PF=2.4,
∴PQ=PF+FQ=PF+MN=2.4+0.8=3.2(m),
故选:B.
10.(2分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,AD=5,则BD等于( )
A.13 B.2 C.8 D.6
【分析】连接AC,过D作DF⊥BC于F,则∠F=90°,根据勾股定理求出AC,根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90°,根据相似三角形的性质和判定求出=,求出CF、DF的长,再根据勾股定理求出BD即可.
【解答】解:连接AC,过D作DF⊥BC于F,则∠F=90°,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5,
∵在△ACD中,AC=5,CD=10,AD=5,
∴AC2+CD2=AD2,
∴∠ACD=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠ACB+∠BAC=90°,∠ACB+∠DCF=90°,
∴∠BAC=∠DCF,
∵∠ABC=∠F=90°,
∴△ABC∽△CFD,
∴=,
∴==,
设CF=3x,DF=4x,
在Rt△DFC中,由勾股定理得:CD2=CF2+DF2,
即102=(3x)2+(4x)2,
解得:x=2(负数舍去),
即CF=3×2=6,DF=4x=8,
∴BF=4+6=10,
在Rt△DFB中,BD===2,
故选:B.
二、填空题:本大题共8小题,每小题2分,共16分.把答案直接填在答题卡相应位置上.
11.(2分)化简:= 2 .
【分析】将分子、分母同乘,计算即可.
【解答】解:==2.
故答案为2.
12.(2分)若分式有意义,则x应满足的条件是 x≠2 .
【分析】直接利用分式的定义分析得出答案.
【解答】解:分式有意义,则x﹣2≠0,
则x应满足的条件是:x≠2.
故答案为:x≠2.
13.(2分)给出下列3个分式:,它们的最简公分母为 a2bc .
【分析】根据最简公分母的定义判断即可.
【解答】解:3个分式,,,它们的最简公分母是a2bc.
故答案为:a2bc.
14.(2分)转动如图所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等),当转盘停止转动时,指针落在阴影区域的概率为 .
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例,根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率.
【解答】解:∵圆被等分成6份,其中阴影部分占3份,
∴落在阴影区域的概率为=;
故答案为:.
15.(2分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE.若△ABE的周长为10cm,则平行四边形ABCD的周长为 20 cm.
【分析】由平行四边形性质可得AB+AD=10cm,OB=OD,又由OE⊥BD,可得BE=DE,继而可求得△ABE的周长为AB+AD,根据三角形的周长求得平行四边形的周长即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AB=CD,AD=BC,
∵OE⊥BD,
∴BE=DE,
∵△ABE的周长为10cm,
∴AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10cm,
∴AB+AD=10cm,
∴平行四边形ABCD的周长是2(AB+AD)=20cm,
故答案为:20.
16.(2分)如图,四边形纸片ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠ADC=90°.若该纸片的面积为10cm2,则对角线BD= 2 cm.
【分析】作BE⊥AD于E,BF⊥CD于F,则四边形BEDF是矩形,证明△ABE≌△CBF(AAS),得出BE=BF,△ABE的面积=△CBF的面积,则四边形BEDF是正方形,四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积,求出BE=,则BD=BE=2
【解答】解:作BE⊥AD于E,BF⊥CD于F,如图所示:
则∠BEA=∠BFC=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形BEDF是矩形,
∴∠EBF=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠EBF=∠ABC,
∴∠ABE=∠CBF,
在△ABE和△CBF中,,
∴△ABE≌△CBF(AAS),
∴BE=BF,△ABE的面积=△CBF的面积,
∴四边形BEDF是正方形,四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积,
∴BE=DE,BE2=10,
∴BE=,
∴BD=BE=2;
故答案为:2.
17.(2分)如图,l1∥l2∥l3,直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F,若BC=2AB,AD=2,CF=6,则BE的长为 .
【分析】过A作DF的平行线,交BE于G,交CF于H,依据BG∥CH,即可得到=,进而得出BE的长.
【解答】解:如图所示,过A作DF的平行线,交BE于G,交CF于H,
则AD=GE=HF=2,CH=6﹣2=4,
∵BG∥CH,
∴=,即=,
∴BG=,
∴BE=BG+GE=+2=,
故答案为:.
18.(2分)如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°.E,F分别是BC,BD上的动点,且CE=DF,则AE+AF的最小值为 .
【分析】如图,连接AC,过点C作CT⊥CA,使得CT=AD=1,连接AT.证明△ADF≌△ECT(SAS),推出AF=ET,推出AE+AF=AE+ET≥AT,求出AT即可解决问题.
【解答】解:如图,连接AC,过点C作CT⊥CA,使得CT=AD=1,连接AT.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB=CD=AD,∠ABC=∠ADC=60°,∠ADB=∠ADC=30°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,AC=AB=1,
∵AC⊥CT,
∴∠ECT=30°,
∴∠ADF=∠ECT,
∵CE=DF,CT=DA,
∴△ADF≌△ECT(SAS),
∴AF=ET,
∴AE+AF=AE+ET≥AT,
∵∠ACT=90°,AC=CT=1,
∴AT===,
∴AE+AF≥,
∴AE+AF的最小值为.
三、解答题:本大题共10小题,共64分.把解答过程写在答题卡相应位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明,作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19.(5分)计算:.
【分析】利用二次根式的乘法法则运算.
【解答】解:原式=+﹣
=6+2﹣
=6+.
20.(5分)解方程:=4.
【分析】分式方程整理后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:分式方程整理得:+=4,
去分母得:x+4+2=4x﹣12,
移项合并得:﹣3x=﹣18,
解得:x=6,
经检验x=6是分式方程的解.
21.(5分)先化简,再求值:,其中a=1+.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=•
=•
=,
当a=1+,b=1﹣时,原式==.
22.(5分)某校组织全校2000名学生进行了防火知识竞赛.为了解成绩的分布情况,随机抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分),并绘制了如图所示的频数分布表和频数分布直方图(不完整):
抽取部分学生的成绩频率分布表
分组
频数
频率
50.5~60.5
20
0.05
60.5~70.5
a
0.15
70.5~80.5
76
b
80.5~90.5
104
0.26
90.5~100.5
140
0.35
合计
400
1
根据所给信息,回答下列问题:
(1)a= 60 ,b= 0.19 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)学校将对成绩在90.5~100.5分之间的学生进行奖励,请你估算出全校获奖学生的人数.
【分析】(1)根据频数分布表中的数据,可以计算出a和b的值;
(2)根据(1)中a的值,可以将频数分布直方图补充完整;
(3)根据频数分布表中的数据,可以计算出全校获奖学生的人数.
【解答】解:(1)a=400×0.15=60,
b=76÷400=0.19,
故答案为:60,0.19;
(2)由(1)知,a=60,
补全的频数分布直方图如右图所示;
(3)2000×0.35=700(人),
即全校获奖学生的有700人.
23.(6分)甲、乙、丙,丁四个人做“击鼓传花”游戏,游戏规则是:第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人中的某一人,以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人.
(1)甲第一次传花时,恰好传给乙的概率是 ;
(2)求经过两次传花,花恰好回到甲手中的概率;
(3)经过三次传花,花落在丙手上的概率记作P1,落在丁手上的概率记作P2,则P1 = P2(填“>”、“<”或者“=”)
【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后,球恰在甲手中的情况,再利用概率公式即可求得答案;
(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后,球恰在丙、丁手中的情况,再利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:(1)甲第一次传花时,恰好传给乙的概率是,
故答案为:;
(2)画树状图:
共有9种等可能的结果,其中符合要求的结果有3种,
∴P(第2次传球后球回到甲手里)==.
(3)画树状图如下,
由树状图知经过三次传花共有27种等可能结果,其中花落在丙手上的有7种结果,花落在丁手上的有7种结果,
∴P1=、P2=,
则P1=P2,
故答案为:=.
24.(6分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)①当AB与CD满足条件 AB=CD 时,四边形EGFH是菱形;
②当AB与CD满足条件 AB⊥CD 时,四边形EGFH是矩形.
【分析】(1)根据三角形中位线定理得到EG=AB,EG∥AB,FH=AB,FH∥AB,根据平行四边形的判定定理证明结论;
(2)①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答;
②根据矩形的判定定理解答.
【解答】(1)证明:∵E,G分别是AD,BD的中点,
∴EG是△DAB的中位线,
∴EG=AB,EG∥AB,
同理,FH=AB,FH∥AB,
∴EG=FH,EG∥FH,
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)①∵F,G分别是BC,BD的中点,
∴FG是△DCB的中位线,
∴FG=CD,FG∥CD,
当AB=CD时,EG=FG,
∴四边形EGFH是菱形;
②∵HF∥AB,
∴∠HFC=∠ABC,
∵FG∥CD,
∴∠GFB=∠DCB,
∵AD⊥BC,
∴∠ABC+∠DCB=90°,
∴∠GFH=90°,
∴平行四边形EGFH是矩形,
故答案为:①AB=CD;②AB⊥CD.
25.(6分)甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元,已知乙公司比甲公司人均多捐40元,甲公司的人数比乙公司的人数多20%.请你根据以上信息,提出一个用分式方程解决的问题,并写出解答过程.
【分析】首先提出问题,例如,求甲、乙两公司的人数分别是多少?则本题的等量关系是:乙公司的人均捐款﹣甲公司的人均捐款=40,根据这个等量关系可得出方程求解.
【解答】问题:求甲、乙两公司的人数分别是多少?
解:设乙公司人数为x,则甲公司的人数为(1+20%)x,
根据题意得:﹣=40
解得:x=250
经检验x=250是原方程的根,
故(1+20%)×250=300(人),
答:甲公司为300人,乙公司250人.
26.(8分)如图,在△ABC中,∠C=40°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE,连接BD.当DE∥AC时,求∠ABD的度数.
【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC,则∠C=∠E=,由平行线的性质得出∠E=∠EAC,则可得出∠ABD=∠ADB,则可求出答案.
【解答】解:∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE,
∴△ADE≌△ABC,
∴∠C=∠E=,
∵DE∥AC,
∴∠E=∠EAC,
又∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD=∠C=40°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠ABD=(180°﹣∠BAD)=70°.
27.(8分)如图,Rt△AOB的直角边OB在x轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象与斜边OA相交于点C,与直角边AB相交于点D,且AC=2OC.
(1)若点C(2,3),求点D的坐标;
(2)若S△ACD=8,求k的值.
【分析】(1)由点C的坐标可知OE、CE的长度,进而确定反比例函数的关系式,由AC=2OC,根据相似三角形可求出点D的横坐标,点D的横坐标可求出纵坐标,
(2)根据三角形相似得到OB=3OE,AB=3CE,设点C(a,),则A(3a,),即可得到D(3a,),然后根据三角形面积得到•2a=8,解得k=3.
【解答】解:(1)如图.过点C作CE⊥x轴,垂足为点E.
∵C(2,3),∠CEO=90°,
∴OE=2,CE=3,
∴k=xy=OE•CE=2×3=6.
∵AB⊥x轴,
∴∠ABC=∠CEO=90°.
∴CE∥AB,
∴=,
∵AC=2OC,
∴BE=2OC=4,
∴OB=6.
把x=6代入y=得y=1,
∴D(6,1);
(2)∵AB⊥x轴,
∴∠ABC=90°,
同理∠CEO=90°,
∴CE∥AB,
∴=,
∵AC=2OC,
∴BE=2OE,
∴OB=3OE,AB=3CE,
设点C(a,),则A(3a,),
把x=3a代入y=,得y=,
∴D(3a,),
∴AD=,△ACD中AD边上的高为2a.
∵S△ACD=8,
∴•2a=8.
∴k=3.
28.(10分)如图①,在矩形ABCD中,AB=3cm,AD>AB,点E从点A出发,沿射线AC以a(cm/s)的速度匀速移动,连接DE,过点E作EF⊥DE,EF与射线BC相交于点F,作矩形DEFG,连接CG,设点E移动的时间为t(s),△CDE的面积为S(cm2).S与t的函数关系如图②所示.
(1)a= 1 ;
(2)求矩形DEFG面积的最小值;
(3)当△CDG为等腰三角形时,求t的值.
【分析】(1)求出AC=5cm,由图象可知运动时间为5s,则可得出答案;
(2)过点E作MN⊥BC,MN与射线BC相交于点N,与AD相交于点M,证明△ENF∽△DME,得出,证明△ENC∽△ABC,得出EF=DE,则S矩形DEFG=EF•DE=.当DE⊥AC时,DE取得最小值,则可得出答案;
(3)证明△CDG∽△ADE,得出,可分三种情况:当CG=DG时,当CG=CD时,当CD=DG时,分别求出t的值即可.
【解答】解:(1)由图象可知,三角形ADC的面积为6,
∵矩形ABCD中,AB=3cm,
∴CD=3cm,
∴S△ADC=×AD×CD=6,
∴AD=4cm,
∴AC===5cm,
由图象可知当t=5时,点E移动到点C,
∴t=5,
∴a==1(cm/s).
故答案为:1.
(2)如图1,过点E作MN⊥BC,MN与射线BC相交于点N,与AD相交于点M,
则在Rt△ENF和Rt△DME中,
∵∠NEF+∠MED=90°,且∠MDE+∠MED=90°,
∴∠NEF=∠MDE,
又∵∠ENF=∠DME=90°,
∴△ENF∽△DME,
∴,
∵EN∥AB,
∴△ENC∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∴EF=DE,
∴S矩形DEFG=EF•DE=.
由垂线段最短知,当DE⊥AC时,DE取得最小值,此时DE=,
∴S=.
∴矩形DEFG面积的最小值为;
(3)∵∠EDG=∠ADC=90°,
∴∠EDG﹣∠EDC=∠ADC﹣∠EDC,
∴∠CDG=∠ADE,
又∵,
∴△CDG∽△ADE,
∴,
①如图2,当CG=DG时,有AE=DE,
此时点E为AC的中点,AE=,
∴t=;
②如图2,当CG=CD时,有AE=AD,
此时AE=4,
∴t=4;
③如图3,当CD=DG时,有AD=DE,
∴DE=4,
过点D作DH⊥AC于点H,
∵∠AHD=∠ADC=90°,∠DAH=∠CAD,
∴△ADH∽△ACD,
∴,
∴AH=,
∴AE=2AH=,
∴t=.
综合以上可得,当△CDG为等腰三角形时,t的值为或4或.