2020八年级数学上册 专题突破讲练 轻松证全等试题 （新版）青岛版 13页

轻松证全等 一、全等变换 全等变换是进行全等三角形综合应用时要重点掌握的内容。‎ 全等变换是指将一个图形通过平移、旋转、翻折等方法改变图形位置，但形状、大小均不改变。‎ 平移：将图形平行移动到另一位置。‎ 相关定理：平行线间的平行线段相等，平行线间的距离相等。‎ 旋转：图形绕某一点向某一方向旋转一定的角度。通常为60度或90度或180度。‎ 翻折：将图形沿某一条线折叠。‎ 二、全等三角形常用的辅助线 ‎1. 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。倍长中线法通常是全等变换中的旋转思想的应用。‎ 常用以下形式作辅助线 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 间接倍长作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E，连接DE ‎2. 分析证明一条线段等于两条线段和（差）的基本方法有两种：‎ ‎（1）补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段，使其为求证中的两条线段之和，再证明所构造的线段与求证中那一条线段相等。如图：延长AB，使BE=BD，连接DE，则AC=AB+BD。‎ 13‎ ‎（2）截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等。如图：在AC上截取AE=AB，连接DE，则AC=AE+EC=AB+BD。‎ 方法归纳：‎ ‎1. 注意图形是如何变换后全等的，特别注意旋转与翻折的区别。‎ ‎2. 应用辅助线解决问题时，注意重新绘制图形，不要在习题上直接作线，这样不方便后面改动。‎ ‎3. 认真读题目、分析已知是关键，注意题干中的条件变化，如中点是否始终在图形的变化中存在，直接影响到证明时是否使用中点这一条件。‎ 技巧归纳：‎ ‎（1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，证明两个三角形全等的条件比较充分。只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等。‎ ‎（2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件。解这类问题的基本思路是：逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案。‎ ‎（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法 在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等。‎ ‎（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 ‎（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 在近年中考中出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视。‎ 总结：1. 充分理解全等变换的内容，理解图形变化前后的关系为全等。‎ ‎ 2. 使用辅助线证明是解题的关键，需要通过不断的训练提高分析能力，掌握不同图形添加不同的辅助线作法。‎ 例题1 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板 13‎ ‎，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与延长线交于点。则四边形的面积是 。‎ 解析：根据全等三角形的判定可知△ADF与△ABE全等，所以四边形的面积等于原正方形的面积。‎ 答案：解：∵∠FAE=90°，∠DAB=90°，∴∠DAF=∠BAE ‎∵，‎ ‎∴△ADF≌△ABE（ASA）‎ ‎∴四边形的面积＝正方形ABCD的面积，‎ ‎∵正方形边长为4‎ ‎∴四边形的面积＝16‎ 点拨：本题主要考查全等三角形的判定以及图形转化的应用。‎ 例题2 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数。 ‎ 解析：延长EB到G，使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF（SAS），可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF，可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题。‎ 答案：解：延长EB到G，使得BG=DF，‎ 在△ABG和△ADF中，‎ 13‎ 由 可得△ABG≌△ADF（SAS），‎ ‎∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，‎ 又∵EF=BE+DF=EB+BG=EG，AE=AE，‎ 在△AEG和△AEF中，‎ ‎∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∴∠EAG+∠EAF=90°，‎ ‎∴∠EAF=45°。‎ 故答案为：∠EAF=45°。‎ 点拨：本题是截长补短类证明的典型例题，考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键。‎ 倍长中线证明全等 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。下面举例说明。‎ 拓展 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。已知AC=5，AD=4，则AB的取值范围是_________。‎ 解析：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答。‎ 13‎ 答案：解：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，则AE=2AD=2×4=8，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，‎ ‎∵在△ABD和△ECD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ECD（SAS），‎ ‎∴AB=EC，‎ 又∵AC=5，AE=8‎ ‎∴5+8=13，8－5=3，‎ ‎∴3＜CE＜13，‎ 即AB的取值范围是：3＜AB＜13。‎ 故答案为：3＜AB＜13。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。则AB+AC（ ）2AD。‎ A. < B. > C. = D. 无法比较 ‎2. 如图，将两根钢条、的中点O连在一起，使、‎ 13‎ 可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB△的理由是（ ）‎ A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 角角边 ‎ ‎*3. 已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE。以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；其中结论正确的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎ C. 2 D. 3‎ ‎**4. 如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）‎ A. 相等 B. 不相等 C. 相等或互余 D. 相等或互补 ‎**5. 在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中线 ④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：‎ ‎*6. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为 ‎ 13‎ ‎*7. 如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB=CE；④AD－BE=DE。‎ 正确的是 （将你认为正确的答案序号都写上）。‎ ‎**8. 如图，在△ABC和△ADE中，有以下四个论断：①AB=AD，②AC=AE，③∠C=∠E，④BC=DE，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个真命题（用序号“JJJ⇒J”的形式写出）： ‎ ‎**9. 已知：如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，BE=AC，延长BE交于AC于F，则图中与AF相等的线段是 ‎ 三、解答题：‎ ‎*10. AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。‎ 13‎ 求证：CD=AD+BC。‎ ‎**11. 如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。‎ ‎**12. 如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置。F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H。‎ ‎（1）求证：CF=DG；‎ ‎（2）求∠FHG的度数。‎ ‎**13. 已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F，‎ ‎（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： + = （不需证明）‎ 13‎ ‎（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。‎ 13‎ ‎1. B 解析：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE。在△ACD和△EBD中：DC＝DB，∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB（全等三角形的对应边相等），在△ABE中，由三角形的三边关系可得AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC，∴AB+AC>2 AD。‎ ‎2. A 解析：∵OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS），所以理由是SAS。‎ ‎3. D 解析：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB= 90°，则BD⊥CE，本选项正确；③∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；综上，正确的个数为3个。故选D ‎4. D 解析：解：当两个三角形都是锐角三角形时，如图1，AM，DN分别是△ABC和△DEF的高，且BC=EF，AM=DN，‎ 图1‎ AC=DF，∠AMC＝∠DNF＝90°，在Rt△AMC和Rt△DNF中，AC＝DF，AM＝DN，‎ ‎∴△AMC≌△DNF（HL），∴∠MCA=∠NFD，‎ 13‎ 即这两个三角形的第三条边所对的角也相等；当两个三角形都是钝角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角也相等；当两个三角形都是直角三角形时，同样有两个三角形的第三条边所对的角相等且互补；当两个三角形一个是钝角三角形，另一个是锐角三角形时，如图2，AM，DN分别是△ABC和△DEF的高，且BC=EF，AM=DN，AC=DF，易证得Rt△AMC≌Rt△DNF，∴∠ACM=∠DFN，而∠ACB+∠ACM=180°，∴∠ACB+∠DFE =180°，即这两个三角形的第三条边所对的角互补。所以如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角相等或互补。故选D。‎ 图2‎ ‎5. A 解析：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，AB＝AE ∠CAE＝∠BAG AC＝AG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF =90°+90°=180°，∴∠CNG=360°－（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°－（180°+90°）=90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，‎ ‎∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°－90°=90°，∴∠ABH=∠EAP，∴∠EAM=∠ABC，故④正确，∵在△ABH和△EAP中，∠AHB＝∠P＝90°，∠ABH＝∠EAP，AB＝AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P＝∠MQG＝90°，∠EMP＝∠GMQ，EP＝GQ，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确。综上所述，①②③④结论都正确。故选A。‎ ‎6. 13 解析：∵四边形ABCD是正方形（已知），∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°；又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴在Rt△AFB和Rt△DEA中，∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∠FBA＝∠EAD，AB＝DA，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13。故答案为：13。‎ ‎7. ①、②、④解析：∵∠BEC=∠ADC=90°，∠BCE=∠CAD，∴①∠ABE=∠BAD 正确；∵∠BCE+∠ECA=90°，∠ECA+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD，又∠E=∠ACB=90°，AC=BC，∴②△CEB≌△ADC 正确；∴CE=AD，BE=CD，∴④AD－BE=DE ‎ 13‎ ‎ 正确；而③不能证明，故答案为①、②、④。故填①、②、④。‎ ‎8. ①②④⇒③或②③④⇒① 解析：根据SSS，可知由①②④，可得出△ABC≌△ADE，由全等三角形的对应角相等可得出③，故真命题是①②④⇒③；根据SAS，可知由②③④，可得出△ABC≌△ADE，由全等三角形的对应边相等可得出①，故真命题是②③④⇒①。故填①②④⇒③或②③④⇒①。‎ ‎9. EF 解析：如图，延长AD至M，使DM=AD，连接BM，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ACD和△MBD中，AD＝DM，∠ADC＝∠MDB，CD＝BD，∴△ACD≌△MBD（SAS），∴∠M=∠CAD，AC=BM，∵BE=AC，∴BM=BE，∴∠M=∠BEM，∴∠BEM=∠CAD，∵∠BEM=∠AEF（对顶角相等），∴∠AEF=∠CAD，∴AF=EF（等角对等边）。即与AF相等的线段是EF。‎ ‎10. 证明：如图在CD上截取CF=BC，∴△FCE≌△BCE（SAS），‎ ‎∴∠2=∠1。‎ 又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，‎ ‎∴∠DCE+∠CDE=90°，‎ ‎∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，‎ ‎∴∠3=∠4。‎ 在△FDE与△ADE中，∠3=∠4，DE=DE，∠FDE=∠ADE。‎ ‎∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，‎ ‎∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC。‎ 13‎ ‎11. BE+CF＞FP=EF。‎ 证明：延长ED至P，使DP=DE，连接CP、FP，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BDE和△CDP中，DP＝DE，∠EDB＝∠CDP，BD＝CD，∴△BDE≌△CDP（SAS），∴BE=CP，∵DE⊥DF，DE=DP，∴EF=FP，在△CFP中，CP+CF=BE+CF＞FP=EF。‎ ‎12. （1）证明：∵在△CBF和△DBG中，BC＝BD，∠CBF＝∠BDG＝60°，BF＝BG，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°－∠DHF=180°－60°=120°。‎ ‎13. （1）AE+CF=EF，（2）如图2，（1）中结论不成立。证明：（1）延长FC到H，使CH=AE，连接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，∵在△BCH和△BAE中BC＝AB，∠BCH＝∠A，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=120°－60°=60°，‎ ‎∴∠HBC+∠CBF=60°，∴∠HBF=60°=∠MBN，在△HBF和△EBF中，∵BH＝BE，∠HBF＝∠EBF，BF＝BF，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF。（2）证明：（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF，证明：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，在△BCF和△BAQ中，BC＝AB，∠BCF＝∠A，CF＝AQ，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，‎ ‎∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°－60°=60°=∠MBN，在△FBE和△QBE中BF＝BQ ∠FBE＝∠QBE BE＝BE，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF，即（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF。‎ 13‎