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  • 2021-11-01 发布

初中数学8年级教案:第15讲 四边形中的证明与计算

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辅导教案 学员姓名: 学科教师:‎ 年 级: 辅导科目:‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 四边形中的证明与计算 教学内容 ‎1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理;‎ ‎2.掌握等腰梯形的性质与判定以及三角形、梯形中位线定理.‎ ‎(此环节设计时间在10-15分钟)‎ 多边形 四边形 等腰梯形 直角梯形 平行四边形 梯形 梯形中位线 矩形 正方形 菱形 ‎1.菱形的两条对角线之比是2:3,面积是27,则两条对角线的长分别是 和 .‎ ‎2.如图,已知梯形ABCD的中位线为EF,且△AEF的面积为‎6cm2,则梯形ABCD的面积为( )‎ A、 ‎12 cm2 B、 ‎18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm2‎ ‎3.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )‎ ‎ A、当AB=BC时,它是菱形; B、当AC⊥BD时,它是菱形;‎ ‎ C、当AC=BD时,它是正方形; D、当∠ABC=900时,它是矩形.‎ ‎4.下列说法:①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。‎ ‎②一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。‎ ‎③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎④顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是( )‎ A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④‎ 参考答案:1. 6,9; 2. C; 3.C; 4. D.‎ ‎(此环节设计时间在50-60分钟)‎ 例题1:如图在矩形ABCD中,延长CB到E,使得CE=CA,F是AE中点,联结BF、DF.‎ ‎(1)求证:BF⊥DF; (2)如果AB=3,BC=4,求四边形BFDC的面积.‎ 参考答案:联结BD交AC于O,联结FO, ∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠ABC=90°,AC=BD=2AO=2CO,AO=CO, ∵F为AE中点, ∴FO=CE,‎ ‎∵AC=CE,∴FO=BD,即FO=OB=OD, ∴∠OFD=∠ODF,∠OFB=∠OBF,‎ ‎∵∠OFD+∠ODF+∠OFB+∠OBF=180°; ∴∠OFD+∠OFB=90°,即∠DFB=90°, ∴BF⊥DF;‎ ‎(2)解:∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,由勾股定理得:BD=AC=5=CE, ∴BE=5—4=1, ∴在Rt△ABE中,由勾股定理得:AE=,∵F为AE中点,∴BF=AE=,‎ ‎∴在Rt△DFB中,.∴‎ 例题2:已知:如图,在□ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H.如果AD⊥BD,求证:四边形EGFH是菱形.‎ 参考答案:联结EF,交BD于点O. ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB//CD,AB=CD.‎ ‎∵点E、F分别是AB、CD的中点,∴ AE=CF.‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形. ∴∠AFC=∠AEC.‎ ‎∴∠DFH=∠GEB ‎∵AB//CD, ∴∠FDH=∠EBG 又∵DF=BE; ∴△DFH≌△BEG, ∴DH=BG ‎∵AB//CD,AB=CD,点E、F分别是AB、CD的中点,‎ ‎∴△DFO≌△BEO. ∴FO=EO,DO=BO.‎ ‎∵DH=GB,∴OH=OG.∴四边形EGFH是平行四边形.‎ ‎∵点E、O分别是AB、BD的中点, ∴OE//AD.‎ ‎∵AD⊥BD,∴EF⊥GH. ∴□HEGF是菱形.‎ 例题3:如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点,且CE=BC.‎ 过点E作EF∥CA,交CD于点F,联结OF.‎ ‎(1)求证:OF∥BC; (2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明.‎ 参考答案:(1)将线段BC的中点记为G,联结OG,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD.‎ ‎∴OG∥CD; ∴∠OGC=∠FCE.‎ ‎∵EF∥CA, ∴∠OCG=∠FEC.‎ ‎∵CG=BC,CE=BC, ∴CG=CE.‎ 在△OGC和△FCE中, ∵∠OGC=∠FCE,CG=CE,∠OCG=∠FEC,‎ ‎∴△OGC≌△FCE(A.S.A); ∴OG=FC.‎ 又∵OG∥CF, ∴四边形OGCF是平行四边形.‎ ‎∴OF∥GC ‎ ‎(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四边形ABCD是矩形.‎ ‎∵OF∥CE,EF∥CO,∴四边形OCEF是平行四边形.‎ ‎∴EF=CO.‎ 又∵梯形OBEF是等腰梯形,∴BO=EF. ∴OB=OC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=2OC,BD=2OB. ∴AC=BD.‎ ‎∴平行四边形ABCD是矩形.‎ 例题4:如图,在正方形ABCD中,点P是射线BC上的任意一点(点B与点C除外),联结DP,分别过点 C、A作直线DP的垂线,垂足为点E、F.‎ ‎(1)当点P在BC的延长线上时,那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系?请证明你的结论;‎ ‎(2)当点P在边BC上时,正方形的边长为2.设CE=x,AF=y.求y与x的函数解析式,并写出函数的定 义域;‎ ‎(3)在(2)的条件下,当x=1时,求EF的长.‎ 参考答案:(1)AF +CE = EF.‎ 在正方形ABCD中,CD = AD,∠ADC = 90°, 即得 ∠ADF +∠EDC = 90°.‎ ‎ ∵AF⊥EF,CE⊥EF, ∴∠AFD =∠DEC = 90°.‎ ‎ ∴∠ADF +∠DAF = 90°. ∴∠DAF =∠EDC.‎ 又由AD = DC,∠AFD =∠DEC,得△ADF≌△DCE.‎ ‎∴DF = CE,AF = DE.‎ ‎∴AF +CE = EF.‎ ‎ (2)由(1)的证明,可知△ADF≌△DCE.‎ ‎∴DF = CE,AF = DE.‎ 由CE = x,AF = y,得DE = y.‎ 于是,在Rt△CDE中,CD = 2,利用勾股定理,得 ‎,即得 .‎ ‎∴.‎ ‎∴所求函数解析式为,函数定义域为.‎ ‎ (3)当x =1时,得.‎ 即得 .‎ 又∵DF = CE = 1,EF = DE – DF,∴.‎ 此环节设计时间在30分钟左右(20分钟练习+10分钟互动讲解)。‎ ‎1.如图,△ABC中,点D、E分别是边BC、AC的中点,过点A作AF//BC交线段DE的延长线相交于F点,取AF的中点G,如果BC =2 AB. 求证:(1)四边形ABDF是菱形; (2)AC =2DG.‎ ‎2.已知,如图,在△ABC中,M是边AB的中点,D是边BC延长线上一点,BC=2DC,作DN∥CM,交AC边于点N.‎ ‎(1)求证:四边形MCDN是平行四边形;‎ ‎(2)当∠ACB为何值时,四边形BDNM是等腰梯形?并证明你的猜想.‎ ‎3.如图,在正方形中,是边上一点,交的延长线于点,联结,分别交、于点.‎ ‎(1)求证:; (2)若,求证:四边形是矩形.‎ ‎4.如图,在梯形中,∥,平分,平分线交于,联结.‎ ‎(1)求证:四边形是菱形;‎ ‎(2)当=60°,时,证明:梯形是等腰梯形.‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)∵点D、E分别是边BC、AC的中点; ∴DE是△ABC的中位线 ‎ ‎ ∴DE//AB,DE=AB ; ∵AF//BC ‎ ∴四边形ABCD是平行四边形; ∵BC = 2 AB,又∵BC = 2 BD ‎ ∴AB=BD; ∴四边形ABDF是菱形 ‎(2)∵四边形ABDF是菱形, ∴AF=AB=DF ‎ ∵DE=AB, ∴EF=AF ‎ ∵G是AF的中点,∴GF=AF ‎ ∴GF=EF, ∴△FGD≌△DAE ,∴GD=AE, ‎ ‎∵AC=2EC=2AE ∴AC=2DG ‎ ‎2.证明:(1)取边BC的中点E,联结ME.‎ ‎∵BM=AM,BE=EC,∴ME∥AC. ∴∠MEC=∠NCD.‎ ‎∵BC=2DC, ∴CD=CE. ‎ ‎∵DN∥CM, ∴∠MCE=∠D.‎ ‎∴△MEC≌△NCD ∴CM=DN. ‎ 又∵CM∥DN,∴四边形MCDN是平行四边形.‎ ‎(2)解:当∠ACB=90°时,四边形BDNM是等腰梯形.‎ 证明:∵MN∥BD,BM与DN不平行,∴四边形BDNM是梯形.‎ ‎∵∠ACB=90°,BM=AM,∴CM=BM=AM.‎ ‎∵CM=DN,∴BM=DN. ∴四边形BDNM是等腰梯形.‎ ‎3.(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴,,//,// ‎ ‎∵∴∴‎ ‎(2) ∵, ∠DAE=∠BAF ∴∠BFP=∠EAD ‎∴// ∴∠ADF=∠CFD ∴∠ADF=∠DAG ∴GA=DG ‎∵∠AGP=∠DGE ∴‎ ‎∴又∵// ∴四边形APED是平行四边形 ‎∵∠ADE=900, ∴四边形APED矩形 ‎4.(1)∵∥,∴,‎ 又∵,∴.‎ ‎∴. 同理有.‎ ‎∴. 又∵∥.‎ ‎∴四边形为平行四边形. ‎ 又∵. ∴为菱形.‎ ‎(2)∵,,‎ ‎ ∴△为等边三角形. ∴.‎ ‎ 又∵,∥.‎ ‎ ∴四边形为平行四边形. ‎ ‎ ∴. ∴.‎ ‎ ∴梯形是等腰梯形. ‎ ‎(此环节设计时间在5-10分钟内)‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识,以学生自我总结为主,学科教师引导为辅,为本次课做一个总结回顾 ‎【巩固练习】‎ ‎1.如图,将矩形纸片ABCD沿AE折叠,使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上,若AB=,则AE的长为( ) ‎ A、 B、6 C、 3 D、4‎ ‎2.已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,BC=CD,BE⊥CD,垂足为点E,点F在BD上,联结AF、EF.‎ ‎(1)求证:AD=ED; (2)如果AF // CD,求证:四边形ADEF是菱形.‎ ‎3.如图,在△中,,,点、、分别在边、、上,联结、、,若,且.‎ ‎(1)求证:四边形是平行四边形; (2)若,求证:四边形是菱形.‎ ‎4.已知:正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠BAC的平分线AF交BD于点E,交BC于点F,求证:OE=CF ‎ ‎ 参考答案:1.B; 2.略; 3.略; ‎ ‎4.提示:取AF的中点G,联结OG,证明OE=OG即可 ‎【预习思考】‎ ‎1.已知点A、B、C、D可以构成平行四边形,且点A(-1,0),点B(0,3),点C(3,0),则第四个顶点D的坐标为_________________________;‎ ‎2.已知一次函数的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,如果点C在y轴上,存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则D的坐标为 .‎

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