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- 2021-11-01 发布
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第17章 函数及其图象
17.4 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
我们已经学习过的函数有哪些?你还记得画这些函
数图象时的方法吗?
写出一个反比例函数,你能画出它的图象吗?
画反比例函数 与 的图象.6y x
12y x
提示:画函数的图象步骤一般分为:列表
→描点→连线. 需要注意的是在反比例函
数中自变量 x 不能为 0.
1 反比例函数的图象与性质
例1
解:列表如下:
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
6y x
12y x
-1 -1.2 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1.2 1
-2 -2.4 -3 -4 -6 6 4 3 2.4 2-12 12
O-2
描点:以表中各组对
应值作为点的坐标,
在直角坐标系内描绘
出相应的点.
5
6
x
y
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6-3-4 -1-5-6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6y x
连线:用光滑的曲线
顺次连接各点,即可
得 的图象.6y x
12y x
观察这两个函数图象,回答问题:
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限?
(2) 在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化?
你能由它们的解析式说明理由吗?
(3) 对于反比例函数 (k>0),考虑问题(1)(2),
你能得出同样的结论吗?
ky x
思考
1.图象由两条曲线组成,且分别位于第一、三
象限它们与 x 轴、y 轴都不相交.
2.在每个象限内,y 随 x 的增大而减小.
★反比例函数 (k>0) 的图象和性质:
1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C
y
A. x
y
o B. x
o
D. x
y
oC. x
y
o
3y x
2. 已知反比例函数 的图象过点(-2,-3),函
数图象上有两点 A( ,y1),B(5,y2),则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2 B. y1 = y2
C. y1 < y2 D. 无法确定
C
ky x
2 7
提示:由题可知反比例函数的解析式为 ,因
为6>0,且 A、B 两点均在该函数图象的第一象限
部分,根据 >5,可知y1,y2的大小关系.
6y x
2 7
当 k =-2,-4,-6时,反比例函数 的
图象,有哪些共同特征?回顾前面我们利用从特殊
到一般的方法,研究反比例函数 (k>0) 的图
象和性质的过程,你能用类似的方法研究反比例函
数 (k<0)的图象和性质吗?
ky x
ky x
ky x
思考
y
xO
y
xO
y
xO
2y x
4y x
6y x
1.图象由两条曲线组成,且分别位于第二、四
象限它们与x轴、y轴都不相交.
2.在每个象限内,y随x的增大而增大.
★反比例函数 (k<0) 的图象和性质:
(1) 当 k > 0 时,双曲线的两支分别位于第一、三
象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小;
(2) 当 k < 0 时,双曲线的两支分别位于第二、四
象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大.
一般地,反比例函数 的图象是双曲线,
它具有以下性质:
ky x
k 的正负决定反比例函
数图象所在的象限和增
减性
点(2,y1)和(3,y2)在函数 上,则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).
<2y x
练一练
已知反比例函数 ,y 随 x 的增
大而增大,求a的值.
2 71 a ay a x
解:由题意,得a2+a-7=-1,且a-1<0.
解得 a=-3.
2 反比例函数的图象与性质的初步运用
例2
已知反比例函数 在每个象限
内,y 随着 x 的增大而减小,求 m 的值.
2 103 8 my m x
解:由题意,得 m2-10=-1,且 3m-8>0.
解得 m=3.
练一练
已知反比例函数的图象经过点 A (2,6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限?y 随 x 的增大如
何变化?
解:因为点 A (2,6) 在第一象限,所以这个函数的
图象位于第一、三象限.
在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小.
例3
(2) 点B(3,4),C( , ),D(2,5)是否在这个
函数的图象上?
12 2
44 5
解:设这个反比例函数的解析式为 ,因为点
A (2,6)在其图象上,所以有 ,解得 k =12.
ky x
6 2
k
因为点 B、C 的坐标都满足该解析式,而点 D
的坐标不满足,所以点 B、C 在这个函数的图
象上,点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .12y x
(1) 图象的另一支位于哪个象限?常数 m 的取值范围
是什么?
O x
y
如图,是反比例函数 图象的一支. 根据
图象,回答下列问题:
5my x
解:因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限,所以另一支
必位于第三象限.
因为这个函数图象位于第一、
三象限,所以m-5>0,
解得m>5.
例4
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1,y1) 和
点B (x2,y2). 如果x1>x2,那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系?
解:因为 m-5 > 0,所以在这个函数图象的任一支
上,y 都随 x 的增大而减小,因此当x1>x2时,
y1<y2.
已知反比例函数 的图象经过点 A (2,3).
(1) 求这个函数的表达式;
ky x
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,3),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
ky x
3 2
k
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .
6y x
练一练
(2) 判断点 B (-1,6),C(3,2) 是否在这个函数的
图象上,并说明理由;
解:分别把点 B、C 的坐标代入反比例函数的解析
式,得点 B 的坐标不满足该解析式,点 C
的坐标满足该解析式.
所以点 B 不在该函数的图象上,点 C 在该函
数的图象上.
(3) 当 -3< x <-1 时,求 y 的取值范围.
解:∵ 当 x = -3时,y =-2;
当 x = -1时,y =-6.
∵ k > 0,
∴当 x < 0 时,y 随 x 的增大而减小,
∴ 当 -3 < x < -1 时,-6 < y < -2.
1. 反比例函数 的图象在 ( )8y x
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
2. 在同一直角坐标系中,函数 y = 2x 与 的
图象大致是 ( )
1y x
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
A. B.
C. D.
B
3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内,则m的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论:
(1) 经过点 (-1,12) 和点 (10,-1.2);
(2) 在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小;
(3) 双曲线位于第二、四象限.
其中正确的是 (填序号).(1)(3)
2my x
m > 2
12y x
5. 在反比例函数 (k>0) 的图象上有两点 A (x1,y1),
B (x2,y2), 且 x1>x2>0,则 y1-y2 0.
ky x
<
6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2,-4).
(1) 求 k 的值;
ky x
解:∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2,-4),
∴ 把点 A 的坐标代入表达式,得 ,
ky x
4 2
k
解得 k = -8.
(2) 这个函数的图象分布在哪些象限?y 随 x 的增大
如何变化?
解:这个函数的图象位于第二、四象限,在每一个
象限内,y 随 x 的增大而增大.
(3) 画出该函数的图象;
O x
y
解:如图所示:
(4) 点 B (1,-8) ,C (-3,5)是否在该函数的图象上?
因为点 B 的坐标满足该解析式,而点 C 的坐标
不满足该解析式,
所以点 B 在该函数的图象上,点 C 不在该函数
的图象上.
解:该反比例函数的解析式为 .8y x
7. 已知反比例函数 y = mxm²-5,它的两个分支分别在
第一、三象限,求 m 的值.
解:因为反比例函数 y = mxm²-5 的两个分支分别在第
一、三象限,
所以有 m2-5=-1,
m>0,
解得 m=2.
反比例函数 (k≠0)
k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、
三象限
图象位于第二、
四象限
在每个象限内,y 随
x 的增大而减小
在每个象限内,y 随
x 的增大而增大
ky x