华师版数学八年级下册同步课件-第19章 矩形、菱形与正方形-19 矩形、菱形与主动性 18页

第19章 矩形、菱形与主动性 18.1 菱形 2 菱形的判定 第2课时 菱形的判定定理2 上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？ 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.定理1：四边相等的四边形是菱形. 菱形的特有性质：对角线互相垂直平分. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.这个命题能 作为判定菱形的定理吗？ 逆命题 问题 先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中 的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形. (1) (2) (3) (4) 你能说说这样做的道理吗? 做一做 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固 定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行 四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？ 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这 一猜想吗？ 1 菱形的判定定理2 作一条两条对角线互相垂直的平行四边形. 步骤: 1.作两条互相垂直的直线m、n,记交点为点O; 2.以点 O为圆心、适当长为半径画弧， 在直线 m，n上分别截取相等的 两组线段OA、OC和OB、OD ； 3.连结A、B、C、D四点 ，显然， 它是一个对角线互相垂直的平行四边形. n m D C B A 所画平行四边形是菱形吗？ O 画图探究： 思考 A B C O D 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 AC⊥BD 几何语言描述： ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD ★菱形的判定定理2 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O ∴平行四边形ABCD是菱形. ∵ OA=4,OB=3,AB=5，证明： 即AC⊥BD， ∴ AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形， 例1 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． A B C DE F O 1 2 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AE∥FC，∴∠1=∠2. ∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC . 又∵∠AOE =∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴EO =FO. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC ∴ 四边形AFCE是菱形. 例2 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若 添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条 件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 练一练 如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC， BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连结CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； 证明：∵DE∥BC，且2DE＝BC， BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. 2 菱形的性质与判定的综合应用 例3 解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . 2 3 4 2 3 8 3  (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 注意：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活 选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱 形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直， 可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB， AB=2，求平行四边形ABCD的周长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8． 练一练 1.判断下列说法是否正确 (1)对角线互相垂直的四边形是菱形. (2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形. (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2.一边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别 为24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 . 312cm2 A B C D O E 3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8， AD = 5. 求AB的长. 解: ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形ABCD是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形） OA AC ,OD BD .   1 13 42 2 ∴ 又∵ AD=5，满足 AD OA OD 2 2 2 ∴ AB=AD=5 . 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB， ∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC， ∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形． 5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点 D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连结AE、 CD.求证：四边形ADCE是菱形. B C A D O E M N 四 条 边 都 相 等 菱形 一 组 邻 边 相 等 对 角 线 互 相 垂 直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形两组对角分别相等