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- 2021-11-01 发布
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2019-2020学年山东省济南市天桥区八年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的)
1. 下列各数中是无理数的是( )
A.−3 B.π C.9 D.−0.11
2. 在平面直角坐标系中,点P(−1, 3)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 下列命题中,是真命题的是( )
A.内错角相等 B.三角形的外角大于内角
C.对顶角相等 D.同位角互补,两直线平行
4. 计算8×2的结果是( )
A.10 B.4 C.6 D.2
5. 关于正比例函数y=−3x,下列结论正确的是( )
A.图象不经过原点 B.y随x的增大而增大
C.图象经过第二、四象限 D.当x=13时,y=1
6. 如图,已知CD // BE,如果∠1=60∘,那么∠B的度数为( )
A.70∘ B.100∘ C.110∘ D.120∘
7. 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:
成绩(m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )
A.1.70 m,1.65 m B.1.70 m,1.70 m C.1.65 m,1.70 m D.3人,4人
8. 己知正比例y=kx的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=x−k的图象是( )
A. B.
C. D.
9. 足球比赛中,每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分,负一场扣1分,某队在8场比赛中得到12分,若设该队胜的场数为x负的场数为y,则可列方程组为( )
A.x+y=83x−y=12 B.x−y=83x−y=12
C.x+y=183x+y=12 D.x−y=83x+y=12
10. 如图,BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=35∘,∠C=50∘,则∠CDE的度数为( )
A.35∘ B.40∘ C.45∘ D.50∘
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11. 已知:如图,△ABC、△CDE都是等腰三角形,且CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.以下4个结论:①AD=BE;②∠DOB=180∘−α;③△CMN是等边三角形;④连接OC,则OC平分∠AOE.正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
12. 如图,正方形ABCD的边长为4,点E是AB的中点,点P从点E出发,沿E→A→D→C移动至终点C.设P点经过的路径长为x,△CPE的面积为y,则下列图象能大致反映y与x函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
点P(−2, 3)关于x轴的对称点的坐标是________.
把一块含有45∘角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上).若∠1=23∘,则∠2=________∘.
现有甲乙两个合唱队,他们的平均身高都是1.70cm,方差分别是S甲2、S乙2,且S甲2>S乙2,则两个队队员的身高较整齐的是________队(填甲或乙).
已知三角形三边长分别是6,8,10,则此三角形的面积为________.
在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90∘,△BCD为等边三角形,且AD=2,则四边形ABCD的周长为________.
在平面直角坐标系中,若干个边长为1个单位长度的等边三角形,按如图中的规律摆放.点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动,设第n秒运动到点Pn(n为正整数),则点P2019 的坐标是________.
三、解答题(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
计算:12+182−3
解方程组:x+y=62x+y=10
如图所示,已知AD // BC,BE平分∠ABC,∠A=110∘.求∠ADB的度数.
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如图所示,已知点D为△ABC的边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为点E,F.且BF=CE.求证:
(1)∠B=∠C;
(2)AD平分∠BAC.
体育器材室有A、B两种型号的实心球,1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克.
(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克?
(2)现有A型球、B型球的质量共17千克,则A型球、B型球各有多少只?
为宣传6月6日世界海洋日,某校八年级举行了主题为“珍海洋资源,保护海洋生物多科性“的知识竞赛活动,为了解此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图(如图):
组别
分数/分
频数
A
60≤x<70
a
B
70≤x<80
b
C
80≤x<90
14
D
90≤x<100
18
请根据图表信息解答以下问题:
(1)本次调查一共随机抽取了________个参赛学生的成绩;
(2)表1中a=________,b=________.
(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________.
(4)请你估计,该校八年级全年级有500名学生,竞赛成绩达到80分以上(含8的学生约有多少人?
小泽和小帅两同学分别从甲地出发,骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动.如图折线OAB和线段CD分别表示小泽和小帅离甲地的距离y(单位:千米)与时间x(单位:小时)之间函数关系的图象.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)小帅的骑车速度为________千米/小时;点C的坐标为________;
(2)求线段AB对应的函数表达式;
(3)当小帅到达乙地时,小泽距乙地还有多远?
如图1,在平面直角坐标系中,OA=OB,点B的坐标为(1, 0),AB=2,点C为线段OB上的动点(点C不与O,B重合),连接AC,作AC⊥CD,且AC=CD,过点D作DE⊥x轴,垂足为点E.
(1)求证:△ACO≅△CDE;
(2)猜想△BDE的形状并证明结论;
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(3)如图2,当△BCD为等腰三角形时,求点D的坐标.
如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,E为AC边的一点,F为AB边上一点,连接CF,交BE于点D且∠ACF=∠CBE,CG平分∠ACB交BD于点G,
(1)求证:CF=BG;
(2)延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP // AG交BE的延长线于点P,求证:PB=CP+CF;
(3)在(2)问的条件下,当∠GAC=2∠FCH时,若S△AEG=33,BG=6,求AC的长.
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参考答案与试题解析
2019-2020学年山东省济南市天桥区八年级(上)期末数学试卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的)
1.
【答案】
B
【考点】
无理数的识别
【解析】
根据无限不循环小数叫做无理数,进而得出答案.
【解答】
A、−3,是有理数,不合题意;
B、π,是无理数,符合题意;
C、9,是有理数,不合题意;
D、−0.1,是有理数,不合题意;
2.
【答案】
B
【考点】
点的坐标
【解析】
应先判断出所求点的横纵坐标的符号,进而判断点所在的象限.
【解答】
因为点P(−1, 3)的横坐标是负数,纵坐标是正数,所以点P在平面直角坐标系的第二象限.
3.
【答案】
C
【考点】
命题与定理
【解析】
根据两直线平行,内错角相等;三角形的外角大于与它不相邻的内角;对顶角相等;同位角相等,两直线平行进行分析即可.
【解答】
A、内错角相等,是假命题,故此选项错误;
B、三角形的外角大于内角,是假命题,故此选项错误;
C、对顶角相等,是真命题,故此选项正确;
D、同位角互补,两直线平行,是假命题,故此选项错误;
4.
【答案】
B
【考点】
二次根式的乘除法
【解析】
直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可.
【解答】
解:8×2=16=4.
故选:B.
5.
【答案】
C
【考点】
正比例函数的性质
【解析】
根据正比例函数的性质直接解答即可.
【解答】
A. 图象经过原点,错误;
B. y随x的增大而减小,错误;
C、图象经过第二、四象限,正确;
D. 当x=13时,y=−1,错误;
6.
【答案】
D
【考点】
平行线的性质
【解析】
先根据补角的定义求出∠2的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】
解:
∵ ∠1=60∘,
∴ ∠2=180∘−60∘=120∘.
∵ CD // BE,
∴ ∠B=∠2=120∘.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
中位数
众数
【解析】
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数,及中位数的定义,结合所给数据即可得出答案.
【解答】
将数据从小到大排列为:1.50,1.60,1.60,1.65,1.65,1.65,1.65.1.70,1.70,1.70,1.75,1.75,1.75,1.80,1.80,
众数为:1.65;
中位数为:1.70.
8.
【答案】
C
【考点】
一次函数的图象
一次函数的性质
正比例函数的性质
【解析】
根据正比例函数的性质可得k>0,进而可得−k<0,进而可得一次函数y=x−k的图象与y轴交于负半轴,再结合一次函数解析式确定直线的走势可得答案.
【解答】
∵ 正比例y=kx的函数值y随x的增大而增大,
∴ k>0,
∴ −k<0,
∴ 一次函数y=x−k的图象与y轴交于负半轴,故A、D选项错误,
∵ 一次函数为y=x−k,
∴ 直线从走往右上升趋势,故B错误,C正确;
9.
【答案】
A
【考点】
由实际问题抽象出二元一次方程组
【解析】
设这个队胜x场,负y场,根据在8场比赛中得到12分,列方程组即可.
【解答】
解:设这个队胜x场,负y场,
总场次为8,即x+y=8,
总分数为12,即3x−y=12,
列方程组为x+y=8,3x−y=12.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
三角形的外角性质
三角形内角和定理
【解析】
根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=12∠ABC=352,∠AFB=∠EFB=90∘,推出AB=BE,根据等腰三角形的性质得到AF=EF,求得AD=ED,得到∠DAF=∠DEF,根据三角形的外角的性质即可得到结论.
【解答】
解:∵ BD是△ABC的角平分线,AE⊥BD,
∴ ∠ABD=∠EBD=12∠ABC=35∘2=17.5∘,∠AFB=∠EFB=90∘,
∴ ∠BAF=∠BEF=90∘−17.5∘,
∴ AB=BE,
∴ AF=EF,
∴ AD=ED,
∴ ∠DAF=∠DEF,
∵ ∠BAC=180∘−∠ABC−∠C=95∘,
∴ ∠BED=∠BAD=95∘,
∴ ∠CDE=95∘−50∘=45∘,
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
【解析】
①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≅△BCE(SAS),由全等三角形的性质得到AD=BE;故①正确;
②设CD与BE交于F,根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC,得到∠DOE=∠DCE=α,根据平角的定义得到∠BOD=180∘−∠DOE=180∘−α,故②正确;
③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN,根据全等三角形的性质得到CM=CN,∠ACM=∠BCN,得到∠MCN=α,推出△MNC不一定是等边三角形,故③不符合题意;
④过C作CG⊥BE于G,CH⊥AD于H,根据全等三角形的性质得到CH=CG,根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE,故④正确.
【解答】
①∵ CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,
∴ ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴ ∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE ,
∴ △ACD≅△BCE(SAS),
∴ AD=BE;故①正确;
②设CD与BE交于F,
∵ △ACD≅△BCE,
∴ ∠ADC=∠BEC,
∵ ∠CFE=∠DFO,
∴ ∠DOE=∠DCE=α,
∴ ∠BOD=180∘−∠DOE=180∘−α,故②正确;
③∵ △ACD≅△BCE,
∴ ∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC
又∵ 点M、N分别是线段AD、BE的中点,
∴
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AM=12AD,BN=12BE,
∴ AM=BN,
在△ACM和△BCN中AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN ,
∴ △ACM≅△BCN(SAS),
∴ CM=CN,∠ACM=∠BCN,
又∠ACB=α,
∴ ∠ACM+∠MCB=α,
∴ ∠BCN+∠MCB=α,
∴ ∠MCN=α,
∴ △MNC不一定是等边三角形,故③不符合题意;
④过C作CG⊥BE于G,CH⊥AD于H,
∴ ∠CHD=∠ECG=90∘,∵ ∠CEG=∠CDH,CE=CD,
∴ △CGE≅△CHD(AAS),
∴ CH=CG,
∴ OC平分∠AOE,故④正确,
12.
【答案】
C
【考点】
动点问题
三角形的面积
【解析】
根据题意分类讨论,随着点P位置的变化,△CPE的面积的变化趋势.
【解答】
解:通过已知条件可知,当点P与点E重合时,△CPE的面积为0;
当点P在EA上运动时,△CPE的高BC不变,则其面积是x的一次函数,面积随x增大而增大,
当x=2时有最大面积为4;
当P在AD边上运动时,△CPE的底边EC不变,则其面积是x的一次函数,面积随x增大而增大,
当x=6时,有最大面积为8;
当点P在DC边上运动时,△CPE的底边EC不变,则其面积是x的一次函数,面积随x增大而减小,
当x=10时,有最小面积为0.
故选C.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
【答案】
(−2, −3)
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】
两点关于x轴对称,那么横坐标不变,纵坐标互为相反数.
【解答】
点P(−2, 3)关于x轴的对称,即横坐标不变,纵坐标互为相反数,
∴ 对称点的坐标是(−2, −3).
【答案】
68
【考点】
平行线的性质
等腰直角三角形
【解析】
由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45∘,由三角形的外角性质得出∠AGB=68∘,再由平行线的性质即可得出∠2的度数.
【解答】
∵ △ABC是含有45∘角的直角三角板,
∴ ∠A=∠C=45∘,
∵ ∠1=23∘,
∴ ∠AGB=∠C+∠1=68∘,
∵ EF // BD,
∴ ∠2=∠AGB=68∘;
【答案】
乙
【考点】
方差
【解析】
根据方差的意义,方差越小数据越稳定,故比较方差后可以作出判断.
【解答】
∵ S甲2>S乙2,平均身高都是1.70cm,
∴ 两个队队员的身高较整齐的是乙队.
【答案】
24
【考点】
三角形的面积
勾股定理的逆定理
【解析】
根据三角形三边长,利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形,然后即可求得面积.
【解答】
解:∵ 62+82=102,
∴ 此三角形为直角三角形,
∴ 此三角形的面积为:12×6×8=24.
故答案为:24.
【答案】
23+10
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【考点】
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质
【解析】
根据等边三角形的性质得∠DBC=60∘,从而得∠ABD=30∘,再由含30∘的直角三角形的性质解答.
【解答】
∵ △BCD为等边三角形,
∴ ∠DBC=60∘,DB=BC=CD,
∵ ∠ABC=90∘,
∴ ∠ABD=30∘,
∵ 在Rt△ABC中,∠ABD=30∘,AD=2
∴ DB=4,
∴ CD=BC=4,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=BD2−AD2=42−22=23,
∴ 四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=23+4+4+2=23+10,
【答案】
20192, 32
【考点】
规律型:图形的变化类
规律型:数字的变化类
规律型:点的坐标
【解析】
通过观察可知,纵坐标每6个进行循环,先求出前面6个点的坐标,从中得出规律,再按规律写出结果便可.
【解答】
解:由题意知,A1(12, 32),A2(1, 0),A3(32, 32),A4(2, 0),A5(52, −32),A6(3, 0),A7(72, 32)…
由上可知,每个点的横坐标为序号的一半,纵坐标每6个点依次为:32,0,32,0,−32这样循环,
∴ A2019 20192, 32.
故答案为:20192, 32.
三、解答题(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
【答案】
原式=122+182−3
=6+3−3
=6.
【考点】
二次根式的混合运算
分母有理化
【解析】
根据二次根式的除法法则运算.
【解答】
原式=122+182−3
=6+3−3
=6.
【答案】
x+y=62x+y=10 ,
②-①得:x=4,
把x=4代入①得:y=2,
则方程组的解为x=4y=2 .
【考点】
代入消元法解二元一次方程组
二元一次方程组的解
【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可.
【解答】
x+y=62x+y=10 ,
②-①得:x=4,
把x=4代入①得:y=2,
则方程组的解为x=4y=2 .
【答案】
∵ AD // BC,
∴ ∠A+∠ABC=180∘,∠ADB=∠CBD,
又∵ ∠A=110∘,
∴ ∠ABC=180∘−110∘=70∘,
又∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠CBD=12∠ABC
∴ ∠CBD=12×110=55,
∴ ∠ADB=55∘
【考点】
平行线的性质
【解析】
由角平分线的定义和平行线的性质求得∠CBD=55∘,再由两直线平行,内错角相等求∠ADB的度数为55∘.
【解答】
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
∵ AD // BC,
∴ ∠A+∠ABC=180∘,∠ADB=∠CBD,
又∵ ∠A=110∘,
∴ ∠ABC=180∘−110∘=70∘,
又∵ BE平分∠ABC,
∴ ∠CBD=12∠ABC
∴ ∠CBD=12×110=55,
∴ ∠ADB=55∘
【答案】
∵ 点D是△ABC的边BC的中点,
∴ BD=CD,
∵ DE⊥AC,DF⊥AB,
∴ ∠BFD=∠CED=90∘,
在Rt△BDF和Rt△CDE中,
BD=CDBF=CE ,
∴ Rt△BDF≅Rt△CDE(HL),
∴ ∠B=∠C.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC,
∵ BD=DC,
∴ AD平分∠BAC.
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
(1)由中点的定义得出BD=CD,由HL证明Rt△BDF≅Rt△CDE,得出对应角相等即可.
(2)根据等腰三角形的三线合一即可解决问题;
【解答】
∵ 点D是△ABC的边BC的中点,
∴ BD=CD,
∵ DE⊥AC,DF⊥AB,
∴ ∠BFD=∠CED=90∘,
在Rt△BDF和Rt△CDE中,
BD=CDBF=CE ,
∴ Rt△BDF≅Rt△CDE(HL),
∴ ∠B=∠C.
∵ ∠B=∠C,
∴ AB=AC,
∵ BD=DC,
∴ AD平分∠BAC.
【答案】
设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克,根据题意可得:
x+y=73x+y=13 ,
解得:x=3y=4 ,
答:每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克;
∵ 现有A型球、B型球的质量共17千克,
∴ 设A型球1个,设B型球a个,则3+4a=17,
解得:a=72(不合题意舍去),
设A型球2个,设B型球b个,则6+4b=17,
解得:b=114(不合题意舍去),
设A型球3个,设B型球c个,则9+4c=17,
解得:c=2,
设A型球4个,设B型球d个,则12+4d=17,
解得:d=54(不合题意舍去),
设A型球5个,设B型球e个,则15+4e=17,
解得:a=12(不合题意舍去),
综上所述:A型球、B型球各有3只、2只.
【考点】
二元一次方程的应用
由实际问题抽象出二元一次方程
二元一次方程组的应用——行程问题
【解析】
(1)直接利用1只A型球与1只B型球的质量共7千克,3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程求出答案;
(2)利用分类讨论得出方程的解即可.
【解答】
设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克,根据题意可得:
x+y=73x+y=13 ,
解得:x=3y=4 ,
答:每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克;
∵ 现有A型球、B型球的质量共17千克,
∴ 设A型球1个,设B型球a个,则3+4a=17,
解得:a=72(不合题意舍去),
设A型球2
第25页 共26页 ◎ 第26页 共26页
个,设B型球b个,则6+4b=17,
解得:b=114(不合题意舍去),
设A型球3个,设B型球c个,则9+4c=17,
解得:c=2,
设A型球4个,设B型球d个,则12+4d=17,
解得:d=54(不合题意舍去),
设A型球5个,设B型球e个,则15+4e=17,
解得:a=12(不合题意舍去),
综上所述:A型球、B型球各有3只、2只.
【答案】
50
8,10
C
该校八年级500名学生中达到80分以上(含8的学生约有320人
【考点】
中位数
用样本估计总体
频数(率)分布表
【解析】
(1)从两个统计图可得,“D组”的有18人,占调查人数的36%,可求出调查人数;
(2)“A组”的占16%,调查人数的16%是“A组”人数,进而求出“B组”人数,得出答案:
(3)根据中位数的意义,找出处在第25、26位两个数的平均数即可;
(4)样本估计总体,样本中80分以上占14+1850,进而估计500人的64%在80分以上的人数.
【解答】
18÷36%=50人,
故答案为:50;
a=50×16%=8人,b=50−14−18−8=10人,
故答案为:8,10;
将竞赛成绩从小到大排列后处在第25、26位的数都落在C组,因此中位数落在C组;
故答案为:C.
500×14+1850=320人,
答:该校八年级500名学生中达到80分以上(含8的学生约有320人.
【答案】
16,(0.5, 0)
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
∵ A(0.5, 8),B(2.5, 24),
∴ 0.5k+b=82.5k+b=24 ,
解得:k=8b=4 ,
∴ 线段AB对应的函数表达式为y=8x+4(0.5≤x≤2.5);
当x=2时,y=8×2+4=20,
∴ 此时小泽距离乙地的距离为:24−20=4(千米),
答:当小帅到达乙地时,小泽距乙地还有4千米.
【考点】
一次函数的应用
【解析】
(1)根据函数图象中的数据可以求得小帅的骑车速度和点C的坐标;
(2)根据函数图象中的数据可以求得线段AB对应的函数表达式;
(3)将x=2代入(2)中的函数解析式求出相应的y的值,再用24减去此时的y值即可求得当小帅到达乙地时,小泽距乙地的距离.
【解答】
由图可得,
小帅的骑车速度是:(24−8)÷(2−1)=16千米/小时,
点C的横坐标为:1−8÷16=0.5,
∴ 点C的坐标为(0.5, 0),
故答案为:16千米/小时,(0.5, 0);
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
∵ A(0.5, 8),B(2.5, 24),
∴ 0.5k+b=82.5k+b=24 ,
解得:k=8b=4 ,
∴ 线段AB对应的函数表达式为y=8x+4(0.5≤x≤2.5);
当x=2时,y=8×2+4=20,
∴ 此时小泽距离乙地的距离为:24−20=4(千米),
答:当小帅到达乙地时,小泽距乙地还有4千米.
【答案】
证明:∵ AC⊥CD,
∴ ∠ACD=90∘,
∴ ∠ACO+∠DCE=90∘,
∵ 作DE⊥x轴,AO⊥OB,
∴ ∠DEC=∠COA=90∘,
∴ ∠CDE+∠DCE=90∘,
∴ ∠ACO=∠CDE,
在△ACO与△CDE中∠COA=∠DEC∠ACO=∠CDEAC=CD ,
∴ △ACO≅△CDE(AAS);
△BDE为等腰直角三角形,
理由:∵ △ACO≅△CDE,
∴ AO=CE,CO=DE,
∵ OA=CE,CO=DE,
∵ OA=OB,
∴ OB=CE,
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∴ OC+CB=BE+CB,
即OC=BE=DE,
∵ ∠DEB=90∘,
∴ △BDE是等腰直角三角形;
设D点的纵坐标为m,
当△BCD为等腰三角形时,
①BC=BD,∵ △BDE是等腰直角三角形,
∴ DE=BE=m,
∴ BD=BC=2m,
∵ CE=AO=1,
∴ 2m+m=1,
∴ m=2−1,
∴ D(2, 2−1);
②CD=BD=2m,
∵ OC=DE=m,
∴ AC=CD=12+m2=2m,
解得:m=±1(舍去),
③当CD=BC>CE(这种情况不存在0,
综上所述,当△BCD为等腰三角形时,点D的坐标(2, 2−1).
【考点】
三角形综合题
【解析】
(1)根据垂直的定义得到∠ACD=90∘,根据余角的性质得到∠ACO=∠CDE,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;
(2)根据全等三角形的性质得到AO=CE,CO=DE,求得OB=CE,得到OC+CB=BE+CB,由等腰直角三角形的判定定理即可得到结论;
(3)设D点的纵坐标为m,当△BCD为等腰三角形时,①BC=BD,②CD=BD=2m,③当CD=BC>CE根据题意列方程即可得到结论.
【解答】
证明:∵ AC⊥CD,
∴ ∠ACD=90∘,
∴ ∠ACO+∠DCE=90∘,
∵ 作DE⊥x轴,AO⊥OB,
∴ ∠DEC=∠COA=90∘,
∴ ∠CDE+∠DCE=90∘,
∴ ∠ACO=∠CDE,
在△ACO与△CDE中∠COA=∠DEC∠ACO=∠CDEAC=CD ,
∴ △ACO≅△CDE(AAS);
△BDE为等腰直角三角形,
理由:∵ △ACO≅△CDE,
∴ AO=CE,CO=DE,
∵ OA=CE,CO=DE,
∵ OA=OB,
∴ OB=CE,
∴ OC+CB=BE+CB,
即OC=BE=DE,
∵ ∠DEB=90∘,
∴ △BDE是等腰直角三角形;
设D点的纵坐标为m,
当△BCD为等腰三角形时,
①BC=BD,∵ △BDE是等腰直角三角形,
∴ DE=BE=m,
∴ BD=BC=2m,
∵ CE=AO=1,
∴ 2m+m=1,
∴ m=2−1,
∴ D(2, 2−1);
②CD=BD=2m,
∵ OC=DE=m,
∴ AC=CD=12+m2=2m,
解得:m=±1(舍去),
③当CD=BC>CE(这种情况不存在0,
综上所述,当△BCD为等腰三角形时,点D的坐标(2, 2−1).
【答案】
如图1,∵ ∠ACB=90∘,AC=BC,
∴ ∠A=45∘,
∵ CG平分∠ACB,
∴ ∠ACG=∠BCG=45∘,
∴ ∠A=∠BCG,
在△BCG和△CAF中,
∵ ∠A=∠BCGAC=BC∠ACF=∠CBE ,
∴ △BCG≅△CAF(ASA),
∴ CF=BG;
如图2,∵ PC // AG,
∴ ∠PCA=∠CAG,
∵ AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,
∴ △ACG≅△BCG,
∴ ∠CAG=∠CBE,
∵ ∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45∘=∠CBE+45∘,
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45∘,
∴ ∠PCG=∠PGC,
∴ PC=PG,
∵ PB=BG+PG,BG=CF,
∴ PB=CF+CP;
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解法一:如图3,过E作EM⊥AG,交AG于M,
∵ S△AEG=12AG⋅EM=33,
由(1)得:△ACG≅△BCG,
∴ BG=AG=6,
∴ 12×6×EM=33,
EM=3,
设∠FCH=x∘,则∠GAC=2x∘,
∴ ∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x∘,
∵ ∠ACH=45∘,
∴ 2x+x=45,
x=15,
∴ ∠ACF=∠GAC=30∘,
在Rt△AEM中,AE=2EM=23,
AM=(23)2−(3)2=3,
∴ M是AG的中点,
∴ AE=EG=23,
∴ BE=BG+EG=6+23,
在Rt△ECB中,∠EBC=30∘,
∴ CE=12BE=3+3,
∴ AC=AE+EC=23+3+3=33+3.
解法二:同理得:∠CAG=30∘,AG=BG=6,
如图4,过G作GM⊥AC于M,
在Rt△AGM中,GM=3,AM=AG2−GM2=62−32=33,
∵ ∠ACG=45∘,∠MGC=90∘,
∴ GM=CM=3,
∴ AC=AM+CM=33+3.
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
(1)根据ASA证明△BCG≅△CAF,则CF=BG;
(2)先证明△ACG≅△BCG,得∠CAG=∠CBE,再证明∠PCG=∠PGC,即可得出结论;
(3)解法一:作△AEG的高线EM,根据角的大小关系得出∠CAG=30∘,根据面积求出EM的长,利用30∘角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长,所以CE=3+3,根据线段的和得出AC的长.
解法二:作高线GM,根据30度角的性质和等腰直角三角形的性质可得AC的长.
【解答】
如图1,∵ ∠ACB=90∘,AC=BC,
∴ ∠A=45∘,
∵ CG平分∠ACB,
∴ ∠ACG=∠BCG=45∘,
∴ ∠A=∠BCG,
在△BCG和△CAF中,
∵ ∠A=∠BCGAC=BC∠ACF=∠CBE ,
∴ △BCG≅△CAF(ASA),
∴ CF=BG;
如图2,∵ PC // AG,
∴ ∠PCA=∠CAG,
∵ AC=BC,∠ACG=∠BCG,CG=CG,
∴ △ACG≅△BCG,
∴ ∠CAG=∠CBE,
∵ ∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45∘=∠CBE+45∘,
∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45∘,
∴ ∠PCG=∠PGC,
∴ PC=PG,
∵ PB=BG+PG,BG=CF,
∴ PB=CF+CP;
解法一:如图3,过E作EM⊥AG,交AG于M,
∵ S△AEG=12AG⋅EM=33,
由(1)得:△ACG≅△BCG,
∴ BG=AG=6,
∴ 12×6×EM=33,
EM=3,
设∠FCH=x∘,则∠GAC=2x∘,
∴ ∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x∘,
∵ ∠ACH=45∘,
∴ 2x+x=45,
x=15,
∴ ∠ACF=∠GAC=30∘,
在Rt△AEM中,AE=2EM=23,
AM=(23)2−(3)2=3,
∴ M是AG的中点,
∴ AE=EG=23,
∴ BE=BG+EG=6+23,
在Rt△ECB中,∠EBC=30∘,
∴ CE=12BE=3+3,
∴ AC=AE+EC=23+3+3=33+3.
解法二:同理得:∠CAG=30∘,AG=BG=6,
如图4,过G作GM⊥AC于M,
在Rt△AGM中,GM=3,
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AM=AG2−GM2=62−32=33,
∵ ∠ACG=45∘,∠MGC=90∘,
∴ GM=CM=3,
∴ AC=AM+CM=33+3.
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