2020八年级数学下册 专题突破讲练 解析平方根和立方根试题 （新版）青岛版 7页

解析平方根和立方根 ‎1. 算术平方根 ‎（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。‎ 即：如果（x≥0），则。‎ a的算术平方根记为，读作“根号a或二次根号a”，a叫做被开方数，2叫根指数，可以省略，简写为。‎ 规定：0的算术平方根是0。‎ ‎（2）性质：①正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ ‎② ‎ 注意：的双重非负性，即 ‎（3）被开方数与算术平方根的关系 当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。‎ 一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，‎ 如：＝5，＝50。‎ ‎2. 平方根 ‎（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。‎ 即：如果，那么x叫做a的平方根，‎ 表示为，其中a叫做被开方数。‎ ‎（2）性质：‎ 7‎ ‎①正数有两个平方根，它们互为相反数；‎ ‎②0的平方根是0；‎ ‎③负数没有平方根。‎ ‎（3）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。‎ 注意：① 开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义；‎ ‎② 乘方与开方互为逆运算。‎ ‎3. 立方根 ‎（1）定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），‎ 即：如果，那么叫做的立方根，记作，读作：“三次根号”。‎ 其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。‎ ‎（2）性质：‎ ‎①正数有一个正的立方根；‎ ‎②0的立方根是0；‎ ‎③负数有一个负的立方根。‎ 注意：任何数都有唯一的立方根。‎ 公式：；。‎ 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ ‎（3）被开方数与立方根的关系 当被开方数扩大时，它的立方根也扩大；当被开方数缩小时，它的立方根也缩小。‎ 一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，立方根扩大（或缩小）倍，‎ 如：，。‎ 例题1 已知：是a＋8的算术平方根，是b－3的立方根，求M＋N的平方根。‎ 解析：由算术平方根及立方根的意义可知，a＋b－2＝2①，‎2a－b＋4＝3②，联立①②解方程组，得：a＝1，b＝3；代入已知条件得：，‎ 所以，故M＋N的平方根是。‎ 答案：根据题意得：，解得：a＝1，b＝3，‎ 7‎ 把a＝1，b＝3代入M，N得，‎ 所以M＋N的平方根是。‎ 点拨：正确理解算术平方根和立方根的意义是解决本题的关键。‎ 例题2 已知，求x＋y的算术平方根与立方根。‎ 解析：根据算术平方根和立方根的定义，可知x＋2y＝9①，4x－3y＝－8②，联立①②解方程组，得：x＝1，y＝4，即可求得x＋y的算术平方根与立方根。‎ 答案：根据题意得解得：x＝1，y＝4‎ ‎∴，‎ 点拨：本题主要考查学生对算术平方根和立方根的应用，正确理解算术平方根和立方根的定义是关键。‎ 例题3 若一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，求的值。‎ 解析：根据一个正数a的两个平方根分别为x＋1和x＋3，可得出x＋1和x＋3互为相反数，可求出x，即可得到a的值，然后代入即可得出的值。‎ 答案：根据题意得x＋1＋x＋3＝0，‎ 解得x＝－2，‎ 则x＋1＝－1，x＋3＝1，‎ 所以a＝1，‎ 即 点拨：本题考查了平方根的定义，知道一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。‎ 都具有非负性，这个性质是我们解题的一个重要工具，巧妙的运用这个非负性，往往能起到至关重要的作用。‎ 例题 已知，则求m－n的值。‎ 解析：根据确定m的范围，从而去绝对值符号，整理后，根据算术平方根和平方的非负性求出的值。‎ 答案：∵，且 7‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即 ‎，‎ 解得，‎ ‎。‎ 点拨：此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，根据题意得出n，m的值是解决问题的关键。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ ‎1.的平方根是（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎2. 计算的结果是（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎3. 下列各式中，正确的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎**4. 若＝0，则＝________。‎ ‎*5. 一个正数的两个平方根分别是‎2‎a－2和a－4，则a的值是_______。‎ ‎6. 已知（‎2a－1）的平方根是，（‎3a＋b－1）的平方根是，求a＋2b的平方根。‎ ‎*7. 若‎2m－4与‎3m－1是同一个数的两个平方根，求m的值。‎ ‎*8. 已知实数x、y满足，则x＋y的值为（ ）‎ A. －2 B. ‎2 ‎ C. 4 D. －4‎ ‎**9. 已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）‎ A. m>6 B. m<‎6 ‎ C. m>－6 D. m<－6‎ ‎*10. 若与互为相反数，则x＋y的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎9 ‎ C. 12 D. 27‎ 7‎ ‎**11. 设a、b、c都是实数，且满足，求代数式的值。‎ ‎**12. 已知实数x，y满足，求代数式的值。‎ 7‎ ‎1. D 解析：因为，所以就是求3的平方根，为。‎ ‎2. D 解析：一个数的立方根只有一个，。‎ ‎3. B 解析：A.，故错误；‎ B. ，故正确；‎ C. ，故错误；‎ D. 3，故错误。‎ ‎4. 1 解析：∵，‎ ‎∴，解得a＝1，，。‎ ‎5. 2 解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以可知（‎2a－2）＋（a－4）＝0，解得：a＝2。‎ ‎6. 解：∵‎2a－1的平方根为，‎3a＋b－1的平方根为，‎ ‎∴‎2a－1＝9，‎3a＋b－1＝16，解得：a＝5，b＝2，‎ ‎∴a＋2b＝5＋4＝9，‎ ‎∴a＋2b的平方根为 ‎7. 解：由题意得：‎2m－4＝－（‎3m－1），解得m＝1‎ ‎8. A 解析：∵，∴x－1＝0，y＋3＝0，解得：x＝1，y＝－3，即x＋y＝－2。‎ ‎9. A 解析：∵，∴x＋2＝0，3x＋y＋m＝0，∴x＝－2，y＝6－m，又∵y是负数，‎ ‎∴6－m<0，即m>6。‎ ‎10. D 解析：∵与互为相反数，∴＋＝0‎ 又∵，，‎ ‎∴得，解得：x＝15，y＝12，即x＋y＝27‎ ‎11. 解：∵，∴2－a＝0，，c＋8＝0，‎ ‎∴a＝2，b＝4，c＝－8，‎ ‎12. 解：∵，∴x－5＝0，y＋4＝0，解得：x＝5，y＝－4‎ 7‎ ‎∴＝1‎ 7‎