2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧解最值问题试题 （新版）青岛版 9页

巧解最值问题 ‎ ‎ 利用函数性质求最值 ‎1. 利用图象求最值：‎ 如：若该地10号、15号的人均用水量分别为‎18千克和‎15千克，并一直按此趋势直线下降。当人日均用水量低于‎10千克时，政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的最合适号数为几号？‎ 答案：24号。‎ ‎2. 利用几何图形变化求最值：‎ 如：在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，AB＝4，AD＝5时，则当x的值在什么范围时，△BCE面积最大？‎ 答案：。‎ ‎3. 根据实际问题中条件求最值：‎ 如：某市出租车价格是这样规定的：不超过‎2公里，付车费5元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（x＞2）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数关系为　　　　。如果李老师有22元，那么他所乘车的最远距离是多少？‎ 答案：，‎12.625千米。‎ ‎4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值：‎ 如：某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元。‎ ‎⑴求y关于x的函数关系式？‎ ‎⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何才能获利最多？（注：利润＝售价－成本）‎ 品牌 A B 进价（元/箱）‎ ‎55‎ ‎35‎ 售价（元/箱）‎ ‎63‎ ‎40‎ 答案：（1）‎ 9‎ ‎ （2）购进A种饮料125箱，购进B种饮料375箱。‎ 总结：‎ 从一次函数的基本性质来看，当自变量 ｘ取全体实数时，它没有最值，但如果自变量ｘ的取值不是全体实数，那么它可能有最值，因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键是求出自变量ｘ的取值范围，然后用一次函数的性质去处理。‎ 例题1 有一个最多能称‎10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（　　）‎ A. 10厘米 B. 13.5厘米 C. 14厘米 D. 14.5厘米 重量（千克）‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ 长度（厘米）‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ 解析：弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系，设出一次函数关系式，根据图中提供的数据求得函数关系式，令x＝10代入求得y的值即可。‎ 答案：由表中关系可以得到，弹簧长度y（厘米）与称重x（千克）的关系是一次函数关系，‎ ‎∴设弹簧长度y（厘米）与称重x（千克）的关系式为y＝kx＋b，‎ 根据表格中提供的数据得当x＝1时，y＝4.5；当x＝2时，y＝5.5；∴，解得：，∴解析式为y＝3.5＋x，当弹簧最长时就是所挂重物最重时，此时x＝10，∴y＝3.5＋10＝13.5，故弹簧最长为‎13.5厘米。故选B。‎ 点拨：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题，把实际问题抽象成数学知识解决，是解决此类问题的关键。‎ 利用自变量取值范围求最值 利用自变量取值范围求解最值问题，关键是正确寻找题目中的不等关系，列不等式组求得最佳方案。‎ 例题 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，请你设计一种组建方案，使总费用最低，最低费用是（　　）‎ A. 22300元 B. 22610元 C. 22320元 D. 22650元 解析：设组建中型图书角x个、小型图书角（30－x）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，因此可以列出不等式组80x＋30（30−x）≤1900　50x＋60（30−x）≤1620，解不等式组然后去整数即可求解。‎ 答案：设组建中型图书角x个、小型图书角（30－x）个，‎ 9‎ 由题意得，解之得：18≤x≤20，而x为整数，‎ ‎∴x＝18、19、20，∴有三种方案，费用y＝860x＋570（30－x）＝290x＋17100，‎ ‎∴当x＝18时，费用最少，为290×18＋17100＝22320元。‎ 故选C。 ‎ 生活实践中求最值 一次函数在实际生活中的应用，关键是找等量关系列方程，并运用待定系数法求解一次函数解析式。‎ 例题 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果‎80千克的钱，现在可买‎88千克。‎ ‎（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？‎ ‎（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系。‎ ‎①求y与x之间的函数关系式；‎ ‎②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入－进货金额）‎ 解析：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果‎80千克的钱，现在可买‎88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；‎ ‎（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（25，165），（35，55）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润＝销售收入－进货金额得到w关于x的函数关系式为w＝－11（x－30）2＋1100，再根据二次函数的性质即可求解。‎ 答案：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x＋2）元，由题意，得80（x＋2）＝88x，解得x＝20。‎ 答：现在实际购进这种水果每千克20元；‎ ‎（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（25，165），（35，55）代入，‎ 得，解得，故y与x之间的函数关系式为y＝－11x＋440；‎ ‎②设这种水果的销售单价为x（元/千克）时，所获利润为w元，‎ 则w＝（x－20）y＝（x－20）（－11x＋440）＝－11x2＋660x－8800＝－11（x－30）2＋1100，‎ 所以当x＝30时，w有最大值1100。‎ 答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元。‎ 9‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图所示，是某航空公司托运行李的费用y（元）与行李重量x（千克）的关系图象，由图中可知，乘客可以免费托运行李的最大重量为（　　）‎ A. 20千克 B. 30千克 C. 40千克 D. 50千克 ‎2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费。若累计购物x元，当x＞a时，在甲商场需付钱数yA＝0.9x＋10，当x＞50时，在乙商场需付钱数为yB。下列说法：①yB＝0.95x＋2.5；②a＝100；③当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；④当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些。其中正确的说法是（　　）‎ A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③‎ ‎*3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AB、AD的中点。动点R从点B出发，沿B→C→D→F方向运动至点F处停止。设点R运动的路程为x，△EFR的面积为y，当y取到最大值时，点R应运动到（　　）‎ A. BC的中点处 B. C点处 C. CD的中点处 D. D点处 ‎*4. 某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）。该植物最高长（　　）厘米。‎ A. 11 B. ‎13 ‎ C. 15 D. 16‎ ‎**5.‎ 9‎ ‎ 已知一列慢车与一列快车相继从武汉开往南京，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，如果二车都配有对讲机，并且二车相距不超过‎15km时，能相互通话，则二车均在行驶过程中能通话的时间为（　　）小时。‎ A. 2 B. ‎4 ‎ C. 3 D. 1‎ 二、填空题：‎ ‎*6. 国际蔬菜科技博览会开幕，学校将组织360名师生乘车参观。某客车出租公司有两种客车可供选择：甲种客车每辆40个座位，租金400元；乙种客车每辆50个座位，租金480元，则租用该公司客车最小需付租金　　　　元。‎ ‎*7. 某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘 　　　　　　时可使得每月所付工资最少，最小值是 　　　　　　。‎ ‎**8. 一辆警车在高速公路的A处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶。已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y（升）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象如图所示的直线上的一部分。如果警车要回到A处，且要求警车中的余油量不能少于‎10升，那么警车可以行驶到离A处的最远距离是 　　　　　km。‎ ‎**9. 某厂工人小王某月工作的部分信息如下：‎ 信息一：工作时间：每天上午8∶00~12∶00，下午14∶00~18∶00，每月25天；‎ 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件。生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：‎ 生产甲产品件数（件）‎ 生产乙产品件数（件）‎ 所用总时间（分）‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎350‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎850‎ 信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元。‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎（1）小王每生产一件甲种产品、每生产一件乙种产品分别需要　　　　　　分。‎ ‎（2）小王该月最多能得_______元？此时生产甲、乙两种产品分别________件。‎ 9‎ 三、解答题：‎ ‎*10. 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化。绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。并且种植草皮面积不少于种植树木面积的。已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元。‎ ‎（1）种植草皮的最小面积是多少？‎ ‎（2）种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？‎ ‎**11. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：‎ A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；‎ B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。‎ 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）。请解答下列问题：‎ ‎（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；‎ ‎（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？‎ ‎（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。‎ ‎**12. 已知甲、乙两种原料中均含有A元素，其含量及每吨原料的购买单价如下表所示：‎ A元素含量 单价（万元/吨）‎ 甲原料 ‎5%‎ ‎2.5‎ 乙原料 ‎8%‎ ‎6‎ 已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨，用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨，若某厂要提取A元素‎20千克，并要求废气排放不超过16吨，问：该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元？‎ 9‎ ‎1. A 解析：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，由图象过点（40，200）和（50，300）得，解得：，∴解析式为y＝10x－200，当y＝0时，x＝20，即重量不超过20千克可免费。故选A。‎ ‎2. C 解析：①、yB＝0.95x＋50（1－95%）＝0.95x＋2.5，正确；②、根据题意yA＝a＋（x－a）×90%＝0.9x＋‎0.1a＝0.9x＋10，所以a＝100；③、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对；④、当yA＜yB时，即0.9x＋10＜0.95x＋2.5，解之得x＞150。所以当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些。故选C。‎ ‎3. B 解析：根据题意，△EFR的面积＝边EF×其对应的高，当△EFR的面积最大时，边EF对应的高最大，从而将问题转化为求点R运动到何处时，到线段EF的距离最大。由所给图形可以看出当点R运动到C点时，点R到线段EF的距离最大。故选B。‎ ‎4. D 解析：∵CD∥x轴，∴从第50天开始植物的高度不变，设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴，解得。所以，直线AC的解析式为y＝x＋6（0≤x≤50），当x＝50时，y＝×50＋6＝‎16cm。故选D。‎ ‎5. D 解析：设慢车每小时行驶km，快车每小时行驶km，由题意和图意得，解得：，则慢车每小时行驶‎60km，快车每小时行驶‎90km，设快车行驶m小时后，两车之间的距离不超过‎15km，由题意得，，解得：1.5≤m≤2.5。2.5－1.5＝1小时。则二车均在行驶过程中能通话的时间为1小时。故答案为D。‎ ‎6. 3520 解析：只租甲种客车的费用为：360÷40×400＝3600元；360÷50＝7.2，需要乙种客车的辆数为7＋1＝8，只租乙种客车的费用为8×480＝3840；若两种客车都租，设租甲种客车x辆，乙种客车y辆，则40x＋50y＝360，4x＋5y＝36，4x＝36－5y，x＝9－y，解得：，需要资金为：4×400＋480×4＝3520元，∴租用该公司客车最小需付租金3520元。故答案为3520元。‎ ‎7. 甲50人，乙100人，130000元 解析：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150－x）人，每月所付的工资为y元，则y＝600x＋1000（150－x）＝－400x＋150000，∵（150－x）≥2x，x≤50，而－400＜0，∴当x＝50时，y最小＝－400×50＋150000＝130000元。∴招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元。故答案为：甲50人，乙100人，130000元。‎ ‎8. 250 解析：设直线的解析式是y＝kx＋b，由题意可知（3，42），（1，54）在函数图象上，代入得：k＋b＝54　3k＋b＝42，解得：k＝−6　 b 9‎ ‎＝60，故直线l的解析式是：y＝－6x＋60，由题意得：y＝－6x＋60≥10，解得：x≤，故警车最远的距离可以到：60××＝250千米，故答案为：250‎ ‎9. （1）15，20；（2）1644，60和555 解析：（1）设生产一件甲种产品需分钟，生产一件乙种产品需分钟，由题意得：，即 解这个方程组得：即生产一件甲产品需要15分钟，生产一件乙产品需要20分钟。‎ ‎（2）设生产甲种产品共用了分钟，生产乙种产品需用分钟，则生产甲种产品件，生产乙种产品件。‎ ‎，又，得 由一次函数的增减性，当取最小值，即时取得最大值，‎ 此时（元）‎ 这时甲生产了（件），乙生产了（件）‎ 即小王该月最多能得到1644元，此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件。‎ ‎10. 解：（1）设种植草皮面积为亩，则种植树木面积为（30－）亩，‎ 由≥，解得≥18，即种植草皮的最小面积为18亩。‎ 答：种植草皮的最小面积为18亩。‎ ‎（2）‎ 因为种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。所以的取值范围为10≤x≤20.‎ 所以当取最大值20时，函数（元）。‎ 即当种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低，最低费用为280000元。‎ 答：种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低，为280000元。‎ ‎11. 解：（1）由题意，得yA＝（10×30＋3x）×0.9＝2.7x＋270，yB＝10×30＋3（x－20）＝3x＋240，‎ ‎（2）当yA＝yB时，2.7x＋270＝3x＋240，得x＝100；当yA＞yB时，2.7x＋270＞3x＋240，得x＜100；当yA＜yB时，2.7x＋270＝3x＋240，得x＞100，∴当2≤x＜100时，到B超市购买划算，当x＝100时，两家超市一样划算，当x＞100时在A超市购买划算。‎ ‎（3）由题意知x＝15×10＝150＞100，∴选择A超市，yA＝2.7×150＋270＝675元，先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球（10×15－20）×30.9＝351元，共需要费用10×30＋351＝651（元）。∵651＜675，‎ ‎∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球 ‎12. 解：设需要甲原料x吨，乙原料y吨。由题意，得 9‎ 由①，得y＝。把①代入②，得x≤。设这两种原料的费用为W万元，由题意，得W＝2.5x＋6y＝－1.25x＋1.5。∵k＝－1.25＜0，∴W随x的增大而减小。∴x＝时，W最小＝1.2。答：该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元。‎ 答：该厂购买这两种原料的费用最小是1.2万元。‎ 9‎