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  • 2021-11-01 发布

2020八年级数学下册 专题突破讲练 巧解最值问题试题 (新版)青岛版

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巧解最值问题 ‎ ‎ 利用函数性质求最值 ‎1. 利用图象求最值:‎ 如:若该地10号、15号的人均用水量分别为‎18千克和‎15千克,并一直按此趋势直线下降。当人日均用水量低于‎10千克时,政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的最合适号数为几号?‎ 答案:24号。‎ ‎2. 利用几何图形变化求最值:‎ 如:在矩形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止,设点E运动的路程为x,△BCE的面积为y,AB=4,AD=5时,则当x的值在什么范围时,△BCE面积最大?‎ 答案:。‎ ‎3. 根据实际问题中条件求最值:‎ 如:某市出租车价格是这样规定的:不超过‎2公里,付车费5元,超过的部分按每千米1.6元收费,已知李老师乘出租车行驶了x(x>2)千米,付车费y元,则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的函数关系为    。如果李老师有22元,那么他所乘车的最远距离是多少?‎ 答案:,‎12.625千米。‎ ‎4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值:‎ 如:某商场欲购进A、B两种品牌的饮料500箱,此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A种饮料x箱,且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为y元。‎ ‎⑴求y关于x的函数关系式?‎ ‎⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元,那么该商场如何才能获利最多?(注:利润=售价-成本)‎ 品牌 A B 进价(元/箱)‎ ‎55‎ ‎35‎ 售价(元/箱)‎ ‎63‎ ‎40‎ 答案:(1)‎ 9‎ ‎ (2)购进A种饮料125箱,购进B种饮料375箱。‎ 总结:‎ 从一次函数的基本性质来看,当自变量 x取全体实数时,它没有最值,但如果自变量x的取值不是全体实数,那么它可能有最值,因此,解决有关一次函数的最值问题时。关键是求出自变量x的取值范围,然后用一次函数的性质去处理。‎ 例题1 有一个最多能称‎10千克的弹簧秤,称重发现,弹簧的长度与物体重量满足一定的关系,如下表。那么在弹簧秤的称重范围内,弹簧最长为(  )‎ A. 10厘米 B. 13.5厘米 C. 14厘米 D. 14.5厘米 重量(千克)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎3.5‎ 长度(厘米)‎ ‎4.5‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ 解析:弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系,设出一次函数关系式,根据图中提供的数据求得函数关系式,令x=10代入求得y的值即可。‎ 答案:由表中关系可以得到,弹簧长度y(厘米)与称重x(千克)的关系是一次函数关系,‎ ‎∴设弹簧长度y(厘米)与称重x(千克)的关系式为y=kx+b,‎ 根据表格中提供的数据得当x=1时,y=4.5;当x=2时,y=5.5;∴,解得:,∴解析式为y=3.5+x,当弹簧最长时就是所挂重物最重时,此时x=10,∴y=3.5+10=13.5,故弹簧最长为‎13.5厘米。故选B。‎ 点拨:本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题,把实际问题抽象成数学知识解决,是解决此类问题的关键。‎ 利用自变量取值范围求最值 利用自变量取值范围求解最值问题,关键是正确寻找题目中的不等关系,列不等式组求得最佳方案。‎ 例题 为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,请你设计一种组建方案,使总费用最低,最低费用是(  )‎ A. 22300元 B. 22610元 C. 22320元 D. 22650元 解析:设组建中型图书角x个、小型图书角(30-x)个,由于组建中、小型两类图书角共30个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,因此可以列出不等式组80x+30(30−x)≤1900 50x+60(30−x)≤1620,解不等式组然后去整数即可求解。‎ 答案:设组建中型图书角x个、小型图书角(30-x)个,‎ 9‎ 由题意得,解之得:18≤x≤20,而x为整数,‎ ‎∴x=18、19、20,∴有三种方案,费用y=860x+570(30-x)=290x+17100,‎ ‎∴当x=18时,费用最少,为290×18+17100=22320元。‎ 故选C。 ‎ 生活实践中求最值 一次函数在实际生活中的应用,关键是找等量关系列方程,并运用待定系数法求解一次函数解析式。‎ 例题 水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果‎80千克的钱,现在可买‎88千克。‎ ‎(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?‎ ‎(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系。‎ ‎①求y与x之间的函数关系式;‎ ‎②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=销售收入-进货金额)‎ 解析:(1)设现在实际购进这种水果每千克x元,根据原来买这种水果‎80千克的钱,现在可买‎88千克列出关于x的一元一次方程,解方程即可;‎ ‎(2)①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(25,165),(35,55)代入,运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式;‎ ‎②设这种水果的销售单价为x元时,所获利润为w元,根据利润=销售收入-进货金额得到w关于x的函数关系式为w=-11(x-30)2+1100,再根据二次函数的性质即可求解。‎ 答案:解:(1)设现在实际购进这种水果每千克x元,则原来购进这种水果每千克(x+2)元,由题意,得80(x+2)=88x,解得x=20。‎ 答:现在实际购进这种水果每千克20元;‎ ‎(2)①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(25,165),(35,55)代入,‎ 得,解得,故y与x之间的函数关系式为y=-11x+440;‎ ‎②设这种水果的销售单价为x(元/千克)时,所获利润为w元,‎ 则w=(x-20)y=(x-20)(-11x+440)=-11x2+660x-8800=-11(x-30)2+1100,‎ 所以当x=30时,w有最大值1100。‎ 答:将这种水果的销售单价定为30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元。‎ 9‎ ‎(答题时间:45分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 如图所示,是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李重量x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为(  )‎ A. 20千克 B. 30千克 C. 40千克 D. 50千克 ‎2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品,两商场同种商品的标价相同,而各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购买满一定数额a元后,再购买的商品按原价的90%收费;在乙商场累计购买50元商品后,再购买的商品按原价的95%收费。若累计购物x元,当x>a时,在甲商场需付钱数yA=0.9x+10,当x>50时,在乙商场需付钱数为yB。下列说法:①yB=0.95x+2.5;②a=100;③当累计购物大于50元时,选择乙商场一定优惠些;④当累计购物超过150元时,选择甲商场一定优惠些。其中正确的说法是(  )‎ A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③‎ ‎*3. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,E、F分别是AB、AD的中点。动点R从点B出发,沿B→C→D→F方向运动至点F处停止。设点R运动的路程为x,△EFR的面积为y,当y取到最大值时,点R应运动到(  )‎ A. BC的中点处 B. C点处 C. CD的中点处 D. D点处 ‎*4. 某生物小组观察一植物生长,得到植物高度y(单位:厘米)与观察时间x(单位:天)的关系,并画出如图所示的图象(AC是线段,直线CD平行x轴)。该植物最高长(  )厘米。‎ A. 11 B. ‎13 ‎ C. 15 D. 16‎ ‎**5.‎ 9‎ ‎ 已知一列慢车与一列快车相继从武汉开往南京,慢车先出发,一小时后快车出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系,如果二车都配有对讲机,并且二车相距不超过‎15km时,能相互通话,则二车均在行驶过程中能通话的时间为(  )小时。‎ A. 2 B. ‎4 ‎ C. 3 D. 1‎ 二、填空题:‎ ‎*6. 国际蔬菜科技博览会开幕,学校将组织360名师生乘车参观。某客车出租公司有两种客车可供选择:甲种客车每辆40个座位,租金400元;乙种客车每辆50个座位,租金480元,则租用该公司客车最小需付租金    元。‎ ‎*7. 某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名,甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍,问甲乙两种工种的人数各聘       时可使得每月所付工资最少,最小值是       。‎ ‎**8. 一辆警车在高速公路的A处加满油,以每小时60千米的速度匀速行驶。已知警车一次加满油后,油箱内的余油量y(升)与行驶时间x(小时)的函数关系的图象如图所示的直线上的一部分。如果警车要回到A处,且要求警车中的余油量不能少于‎10升,那么警车可以行驶到离A处的最远距离是      km。‎ ‎**9. 某厂工人小王某月工作的部分信息如下:‎ 信息一:工作时间:每天上午8∶00~12∶00,下午14∶00~18∶00,每月25天;‎ 信息二:生产甲、乙两种产品,并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件。生产产品件数与所用时间之间的关系见下表:‎ 生产甲产品件数(件)‎ 生产乙产品件数(件)‎ 所用总时间(分)‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎350‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎850‎ 信息三:按件计酬,每生产一件甲产品可得1.50元,每生产一件乙产品可得2.80元。‎ 根据以上信息,回答下列问题:‎ ‎(1)小王每生产一件甲种产品、每生产一件乙种产品分别需要      分。‎ ‎(2)小王该月最多能得_______元?此时生产甲、乙两种产品分别________件。‎ 9‎ 三、解答题:‎ ‎*10. 为了美化校园环境,建设绿色校园,某学校准备对校园中30亩空地进行绿化。绿化采用种植草皮与种植树木两种方式,要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。并且种植草皮面积不少于种植树木面积的。已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元。‎ ‎(1)种植草皮的最小面积是多少?‎ ‎(2)种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低?最低费用为多少?‎ ‎**11. 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼,准备购买10副某种品牌的羽毛球拍,每副球拍配x(x≥2)个羽毛球,供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售,且每副球拍的标价均为30元,每个羽毛球的标价为3元,目前两家超市同时在做促销活动:‎ A超市:所有商品均打九折(按标价的90%)销售;‎ B超市:买一副羽毛球拍送2个羽毛球。‎ 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元),在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)。请解答下列问题:‎ ‎(1)分别写出yA、yB与x之间的关系式;‎ ‎(2)若该活动中心只在一家超市购买,你认为在哪家超市购买更划算?‎ ‎(3)若每副球拍配15个羽毛球,请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。‎ ‎**12. 已知甲、乙两种原料中均含有A元素,其含量及每吨原料的购买单价如下表所示:‎ A元素含量 单价(万元/吨)‎ 甲原料 ‎5%‎ ‎2.5‎ 乙原料 ‎8%‎ ‎6‎ 已知用甲原料提取每千克A元素要排放废气1吨,用乙原料提取每千克A元素要排放废气0.5吨,若某厂要提取A元素‎20千克,并要求废气排放不超过16吨,问:该厂购买这两种原料的费用最少是多少万元?‎ 9‎ ‎1. A 解析:设一次函数的解析式为y=kx+b,由图象过点(40,200)和(50,300)得,解得:,∴解析式为y=10x-200,当y=0时,x=20,即重量不超过20千克可免费。故选A。‎ ‎2. C 解析:①、yB=0.95x+50(1-95%)=0.95x+2.5,正确;②、根据题意yA=a+(x-a)×90%=0.9x+‎0.1a=0.9x+10,所以a=100;③、当累计购物大于50时上没封顶,选择乙商场一定优惠显然不对;④、当yA<yB时,即0.9x+10<0.95x+2.5,解之得x>150。所以当累计购物超过150元时,选择甲商场一定优惠些。故选C。‎ ‎3. B 解析:根据题意,△EFR的面积=边EF×其对应的高,当△EFR的面积最大时,边EF对应的高最大,从而将问题转化为求点R运动到何处时,到线段EF的距离最大。由所给图形可以看出当点R运动到C点时,点R到线段EF的距离最大。故选B。‎ ‎4. D 解析:∵CD∥x轴,∴从第50天开始植物的高度不变,设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),∵经过点A(0,6),B(30,12),∴,解得。所以,直线AC的解析式为y=x+6(0≤x≤50),当x=50时,y=×50+6=‎16cm。故选D。‎ ‎5. D 解析:设慢车每小时行驶km,快车每小时行驶km,由题意和图意得,解得:,则慢车每小时行驶‎60km,快车每小时行驶‎90km,设快车行驶m小时后,两车之间的距离不超过‎15km,由题意得,,解得:1.5≤m≤2.5。2.5-1.5=1小时。则二车均在行驶过程中能通话的时间为1小时。故答案为D。‎ ‎6. 3520 解析:只租甲种客车的费用为:360÷40×400=3600元;360÷50=7.2,需要乙种客车的辆数为7+1=8,只租乙种客车的费用为8×480=3840;若两种客车都租,设租甲种客车x辆,乙种客车y辆,则40x+50y=360,4x+5y=36,4x=36-5y,x=9-y,解得:,需要资金为:4×400+480×4=3520元,∴租用该公司客车最小需付租金3520元。故答案为3520元。‎ ‎7. 甲50人,乙100人,130000元 解析:设招聘甲工种工人x人,则乙工种工人(150-x)人,每月所付的工资为y元,则y=600x+1000(150-x)=-400x+150000,∵(150-x)≥2x,x≤50,而-400<0,∴当x=50时,y最小=-400×50+150000=130000元。∴招聘甲50人,乙100人时,可使得每月所付的工资最少;最少工资130000元。故答案为:甲50人,乙100人,130000元。‎ ‎8. 250 解析:设直线的解析式是y=kx+b,由题意可知(3,42),(1,54)在函数图象上,代入得:k+b=54 3k+b=42,解得:k=−6  b 9‎ ‎=60,故直线l的解析式是:y=-6x+60,由题意得:y=-6x+60≥10,解得:x≤,故警车最远的距离可以到:60××=250千米,故答案为:250‎ ‎9. (1)15,20;(2)1644,60和555 解析:(1)设生产一件甲种产品需分钟,生产一件乙种产品需分钟,由题意得:,即 解这个方程组得:即生产一件甲产品需要15分钟,生产一件乙产品需要20分钟。‎ ‎(2)设生产甲种产品共用了分钟,生产乙种产品需用分钟,则生产甲种产品件,生产乙种产品件。‎ ‎,又,得 由一次函数的增减性,当取最小值,即时取得最大值,‎ 此时(元)‎ 这时甲生产了(件),乙生产了(件)‎ 即小王该月最多能得到1644元,此时生产甲、乙两种产品分别为60件和555件。‎ ‎10. 解:(1)设种植草皮面积为亩,则种植树木面积为(30-)亩,‎ 由≥,解得≥18,即种植草皮的最小面积为18亩。‎ 答:种植草皮的最小面积为18亩。‎ ‎(2)‎ 因为种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩。所以的取值范围为10≤x≤20.‎ 所以当取最大值20时,函数(元)。‎ 即当种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低,最低费用为280000元。‎ 答:种植草皮的面积为20亩时绿化总费用最低,为280000元。‎ ‎11. 解:(1)由题意,得yA=(10×30+3x)×0.9=2.7x+270,yB=10×30+3(x-20)=3x+240,‎ ‎(2)当yA=yB时,2.7x+270=3x+240,得x=100;当yA>yB时,2.7x+270>3x+240,得x<100;当yA<yB时,2.7x+270=3x+240,得x>100,∴当2≤x<100时,到B超市购买划算,当x=100时,两家超市一样划算,当x>100时在A超市购买划算。‎ ‎(3)由题意知x=15×10=150>100,∴选择A超市,yA=2.7×150+270=675元,先选择B超市购买10副羽毛球拍,送20个羽毛球,然后在A超市购买剩下的羽毛球(10×15-20)×30.9=351元,共需要费用10×30+351=651(元)。∵651<675,‎ ‎∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍,然后在A超市购买130个羽毛球 ‎12. 解:设需要甲原料x吨,乙原料y吨。由题意,得 9‎ 由①,得y=。把①代入②,得x≤。设这两种原料的费用为W万元,由题意,得W=2.5x+6y=-1.25x+1.5。∵k=-1.25<0,∴W随x的增大而减小。∴x=时,W最小=1.2。答:该厂购买这两种原料的费用最少为1.2万元。‎ 答:该厂购买这两种原料的费用最小是1.2万元。‎ 9‎

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