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- 2021-11-01 发布
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第13章 全等三角形
13.3 等腰三角形
1 等腰三角形的性质
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,
两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
A
CB
腰腰
底边
顶
角
底角底角
剪一张等腰三角形的半透明纸片,每人所剪的等腰三角
形的大小和形状可以不一样,如图,把纸片对折,让两腰AB、
AC重叠在一起,折痕为AD.你能发现什么现象吗?
D
A
B C
A
B C
D
等腰三角形的性质1
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论: A
CB
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗?
∠B、∠C 是等腰三角形的 .底角
∠B =∠C
所以我们可以描述为:等腰三角形的两个底角相等.
2.
等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
【证明】
已知:如图,△ABC 中,AB=AC,求证:∠B=∠C .
A
B C
分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平
分线AD,然后证明△ABD ≌ △ACD.
证明:作顶角∠BAC的平分线AD.
在△ABD与△ACD中,
AB=AC(已知),
∠1=∠2(已证),
AD=AD(公共边),
∴ △ABD ≌ △ACD(S.A.S.),
∴ ∠B=∠C.
从这里你还可以得到什么结论?
A
B CD
( (
1 2
【 想一想 刚才的证明除了能得到∠B=∠C ,你还能发现什么?
重合的线段 重合的角
A
B D C
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∠B = ∠C
∠BAD = ∠CAD
∠ADB =∠ADC=90°
【性质】 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平
分线,互相重合(简称“三线合一”).
A
B CD
( (
1 2
【填一填】根据等腰三角形性质完成下列填空.
在△ABC中, AB=AC时,
(1)∵AD是底边上的高,
∴∠_____ = ∠_____,____= ____.
(2) ∵AD是中线,
∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线,
∴____ ⊥____ ,_____ =_____.
1
2
2 BD CD
AD BC
BD
1
BCAD CD
【例1】 已知:在△ABC中 ,AB=AC,∠ B=80 °,
求∠ C和∠ A的大小. A
B C
(
= 80 (
AB AC
C B
已知),
等边对等角).
=180 (
180
=180 (
=180 80 80 =20 .
A B C
A B C
又 三角形的内角和
等于 ),
等式的性质)
解:
【例2】 在△ABC中 ,AB=AC,D是BC边上的中点,
∠B=30°.求:(1)∠ ADC的大小;(2)∠1的大小.
A
D C
1 2
(2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180° (三角形内角和等于180°),
∠B=30° (已知),
∴∠1=180°-∠B-∠ADB
=180°-30°-90°=60°.
∴AD⊥BC(等腰三角形 “三线合一”).
∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义).
解:(1) ∵AB = AC,BD=DC(已知),
B
三条边都相等的三角形是等边三角形,它也是轴对称图形,
那么等边三角形的每个角的度数是多少呢?它有几条对称轴?
等边三角形的性质2
因为等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等
边对等角的性质得到,∠B= ∠ C,
同理可得 ∠A=∠B,
所以 ∠A=∠B=∠C,
又由 ∠A+∠B+∠C=180°,
从而推出 ∠A=∠B=∠C=60°.
也就是说:等边三角形的各个角都相等,
并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等,三个角
都相等,也称为正三角形.
A
C B
三条对称轴
A
B C
D
【例3】 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且
BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
(1)找出图中所有相等的角;
(2)指出图中有几个等腰三角形?
∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC.
△ABC, △ABD, △BCD.
A
B C
D
x
⌒
2x⌒
2x ⌒
⌒
2x
(3)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系,
∠ABC、∠C呢?
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
(4)设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °,
∴x+2x+2x=180 °.
A
B C
D
解:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中,有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ,
解得x=36 ° .
在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒ 2x⌒
⌒
2x
1. 如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.
A
B C
120°
A
B C
36°
∠B=∠C = 72°
∠B=∠C = 30°
2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ;
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为
____________________;
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 .
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°,30°
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°-2×底角
③ 底角=(180°-顶角)÷2
④0°<顶角<180°
⑤0°<底角<90°
A
CB D
3. 如图,是西安半坡博物馆屋顶的截面图,已经知道它的两边
AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:
①工人师傅在测量了∠B为37°以后,并没有测量∠C ,就说
∠C 的度数也是37°;②工人师傅要加固屋顶,他们通过测量找
到了横梁BC的中点D,然后在AD两点之间钉上一根木桩,他们
认为木桩是垂直横梁的.
请同学们想想,工人师傅的说法对吗?请说明理由.
工人师傅的说法是对的,△ABC是等腰三角形,根
据等腰三角形的性质可以得出这样的结论.
A
CB D
请同学们想想,工人师傅的说法对吗?请说明理由.
等腰三角
形的性质
等边对等角
等边三角形
注意是指同一个三角形中
注意:顶角的平分线、底边上的
高和中线才有这一性质.而腰上
高、中线和底角的平分线不具有
这一性质
三 线 合 一
有三条对称轴,每个内角等于
60°