华师版数学八年级上册同步练习课件-第14章-专项训练6勾股定理的应用 18页

第14章　勾股定理 专项训练六　勾股定理的应用 § 类型1　利用勾股定理求解证明线 段平方之间的关系 § 1．已知，如图△ABC中，∠C＝ 90°，M为BC中点，MD⊥AB于 D.求证：AD2＝AC2＋BD2. § 证明：连结MA.∵MD⊥AB， ∴AD2＝AM2－MD2，BM2＝BD2 ＋MD2.∵∠C＝90°，∴AM2＝ AC2＋CM2.∵M为BC中点， ∴BM＝MC.∴AD2＝AC2＋BD2. 2 重难突破 § 2．如图，DE＝m，BC＝n，∠EBC与∠DCB互余，求BD2＋CE2的 值． § 解：延长BE、CD交于点A.∵∠EBC与∠DCB互余，∴∠A＝90°，根 据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2，CE2＝AE2＋AC2，∴BD2＋CE2＝ AB2＋AC2＋AD2＋AE2.∵AB2＋AC2＝BC2＝n2，AD2＋AE2＝ED2＝m2， ∴BD2＋CE2＝m2＋n2. 3 § 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，点M、N在边BC上． § (1)如图1，如果AM＝AN，求证：BM＝CN； § (2)如图2，如果M、N是边BC上任意两点， 并满足∠MAN＝45°，那么线段BM、MN、 NC是否有可能使等式MN2＝BM2＋NC2成立？ 如果成立，请证明；如果不成立，请说明理 由． 4 § (2)解：MN2＝BM2＋NC2成 立．证明：过点C作CE⊥BC， 垂足为点C，截取CE，使CE＝ BM.连结AE、EN.∵AB＝AC， ∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB ＝45°.∵CE⊥BC，∴∠ACE ＝∠B＝45°. 5 图2 6 § 类型2　利用勾股定理求线段、角 § 4．如图，每个小正方形的边长都相等，A、 B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 (　　) § A．30° B．45° § C．60° D．90° 7 B　 § 5．【湖北襄阳中考】“赵爽弦图”巧妙地利 用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数 学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的 一个大正方形，设直角三角形较长直角边长 为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大 正方形的面积为13，则小正方形的面积为 (　　) § A．3 § B．4 § C．5 § D．6 8 C　 § 6．如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，AC＝BC，P是△ABC 内的一点，且PB＝1，PC＝2， PA＝3，求∠BPC的度数． 9 § 7．如图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD，BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9. 求AC的长． 10 § 8．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°， ∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5. § (1)求证：AC⊥CD； § (2)求四边形ABCD的面积． 11 § 类型3　利用勾股定理求几何体上两点间的最短距离 § 9．如图是一块长、宽、高分别是6 cm、4 cm和3 cm的长方体木 块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表 面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最 短路径的长是 (　　) 12 C　 § 10．我国古代有这样一道数学问题：“枯木 一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自 根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几 何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个 圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而 上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问 题中葛藤的最短长度是______尺． 13 25　 § 类型4　利用勾股定理解决实际问题 § 11．【浙江绍兴中考】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯 子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地 面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶 端距离地面2米，则小巷的宽度为 (　　) § A．0.7米 § B．1.5米 § C．2.2米 § D．2.4米 14 C　 15 D　 § 13．中国机器人创意大赛于2014 年7月15日在哈尔滨开幕．如图 是一参赛队员设计的机器人比赛 时行走的路径，机器人从A处先 往东走4 m，又往北走1.5 m，遇 到障碍后又往西走2 m，再转向 北走4.5 m后往东一拐，仅走0.5 m就到达了点B.问点A到点B之间 的距离是多少？ 16 § 14．如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是第四中学，AP＝ 160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以 内会受到噪音影响． § (1)火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理 由． § (2)如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时，那么学校受到影响的 时间是多久？ 17 18