2020八年级数学上册 专题突破讲练 分式方程的实际应用试题 （新版）青岛版 9页

分式方程的实际应用 一、分式方程的应用 分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的。‎ 提示：‎ ‎（1）在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系；在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的相等关系列方程.‎ ‎（2）在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设未知数，或设一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数.‎ 在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，同时，解出分式方程后注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义。‎ 二、列分式方程解应用题的步骤 审 审清题意，弄清已知量和未知量 找 找出等量关系 设 设未知数 列 列出分式方程 解 解这个分式方程 验 检验，既要检验根是否为所列分式方程的根，又要检验根是否符合实际问题的要求 答 写出答案 三、常见题型及相等关系 ‎1. 行程问题 基本量之间的关系：‎ 路程=，即s=vt 常见的相等关系：‎ 9‎ ‎（1）相遇问题：甲行程+乙行程=全路程 ‎（2）追及问题：（设甲的速度快）‎ ①同时不同地：甲用的时间=乙用的时间 甲的行程-乙的行程=甲乙原来相距的路程 ②同地不同时：甲用的时间=乙用的时间-时间差 甲走的路程=乙走的路程 ③水（空）航行问题：顺流速度=静水中航速+水速 逆流航速=静水中速度-水速 ‎2. 工程问题 基本量之间的关系：工作量=‎ 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量=合作工作量 注意：‎ 工作问题常把总工程看作是单位1，水池注水问题也属于工程问题.‎ 例题1 经过建设者三年多艰苦努力地施工，贯通我市的又一条高速公路“遂内高速公路”于‎2012年5月9日全线通车。已知原来从遂宁到内江公路长‎150km，高速公路路程缩短了‎30km，如果一辆小车从遂宁到内江走高速公路的平均速度可以提高到原来的1.5倍，需要的时间可以比原来少用1小时10分钟。求小汽车原来和现在走高速公路的平均速度分别是多少？‎ 解析：首先设小汽车原来的平均速度为x千米/时，则现在走高速公路的平均速度是1.5x千米/时，由题意可得等量关系：原来从遂宁到内江走高速公路所用的时间现在从遂宁到内江走高速公路所用的时间=1小时10分钟，根据等量关系列出方程，解方程即可。‎ 答案：设小汽车原来的平均速度为x千米/时，则现在走高速公路的平均速度是1.5x千米/时，根据题意，得，解这个方程，得x=60。‎ 经检验x=60是所列方程的解，这时1.5x=1.5×60=90且符合题意。‎ 答：小汽车原来的平均速度是‎60千米/时，走高速公路的平均速度是‎90千米/时。‎ 点拨：此题主要考查了分式方程的应用，关键是首先弄清题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程，此题用到的公式是：行驶时间=路程÷速度。‎ 9‎ 例题2 （湖北中考）我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼、鲑鱼。有关成本、销售额见下表：‎ 每亩成本（万元）‎ 每亩销售额（万元）‎ 甲鱼 ‎2.4‎ ‎3‎ 鲑鱼 ‎2‎ ‎2.5‎ ‎（1）2010年，王大爷养殖甲鱼20亩，鲑鱼10亩。求王大爷这一年收益多少万元？‎ ‎（2）2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和鲑鱼，计划投入成本不超过70万元。若每亩养殖的成本、销售额和2010年一样，要获得最大收益，他应该养殖甲鱼和鲑鱼各多少亩？‎ ‎（3）已知甲鱼每亩需要饲料‎500千克，鲑鱼每亩需要饲料‎700千克。根据（2）中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车每次装载的总量是计划的每次装载的总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少2次。求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少千克？‎ 解析：这是市场经济中的确有可能发生的事情，是一个市场营销问题，是考试的热点；而且题目的信息是以表格的形式给出的，较新颖。所求当中还有利润，所以在题目表格的基础上加入与利润相关的量。‎ ‎（2）小题 每亩成本（万元）‎ 每亩销售额（万元）‎ 每亩的利润（万元）‎ 养殖亩数 甲鱼 ‎2.4‎ ‎3‎ ‎3-2.4=0.6‎ x 鲑鱼 ‎2‎ ‎2.5‎ ‎2.5-2=0.5‎ ‎30-x ‎（3）小题 每辆车的装载量 运输次数 原计划 a 实际 ‎2a 相差2次 答案：（1）（万元）‎ 答：王大爷这一年收益17万元；‎ ‎（2）设养殖甲鱼x亩，则养殖鲑鱼（30-x）亩，设王大爷可以获得收益为y万元，由题意得：‎ 9‎ ‎，即，所以。‎ ‎，即 因为函数值y随着x的增大而增大，所以当x=25时，可获得最大利润。即当王大爷养殖甲鱼25亩，鲑鱼5亩时，获得的利润是最大的。‎ 答：要获得最大收益，应该养殖甲鱼25亩，鲑鱼5亩；‎ ‎（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a千克 由（2）得，共需要饲料为千克 根据题意得：，解得：a=4000‎ 即王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料‎4000千克。‎ 答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料‎4000千克。‎ 不等式的应用 近几年的分式方程应用题增加了难度，往往与不等关系结合在一起讨论求解。在解这类题目时，我们需要在题意中寻找“不等量关系”列出不等式求解，关键词如：“至少、最多、不小于、不大于、小于、大于等等”。‎ 例题 （哈尔滨中考） 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同。‎ ‎（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？‎ ‎（2）若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？‎ 解析：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；‎ ‎（2）设甲队至少再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可。‎ 答案：‎ 9‎ ‎（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x+10）天，由题意，得，解得：x=20。经检验，x=20是原方程的解，∴x+10=30（天）‎ 答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；‎ ‎（2）设甲队至少再单独施工a天，由题意，得，解得：a≥3。‎ 答：甲队至少再单独施工3天。‎ 点拨：本题是一道工程问题的运用，考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用，列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是学生容易忽略的地方。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. （莆田中考）甲、乙两班学生参加植树造林活动。已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等。若设甲班每天植树ｘ棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）‎ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ‎ ‎*2. 某乡镇决定对一段长‎6000米的公路进行修建改造.根据需要，该工程在实际施工时增加了施工人员，每天修建的公路比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天修建x米，那么下面所列方程中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎**3. （梧州中考）父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶。同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍。已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（　　）‎ A. 1.1‎v B. 1.2v C. 1.3v D. 1.4v 9‎ ‎*4. （日照高考）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　）‎ A. 8 B. ‎7 ‎ C. 6 D. 5‎ ‎5. （鼓楼区二模）日本大地震前，中国出口到日本的蔬菜的销售利润率是47%。震后，由于国内经济形势的影响，成本提高，而售价没变，使得销售利润率降为40%。蔬菜的成本提高的百分比是[注：销售利润率=（售价-进价）÷进价]（　　）‎ A. 3% B. 5% C. 7% D. 4.35%‎ 二、填空题 ‎6. （成都中考）甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务，设甲计划完成此项工作的天数是x，则x的值是_____。‎ ‎7. （庆阳中考）轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时‎3千米，则轮船在静水中的速度是______千米/时。‎ 三、解答题 ‎*8.（威海中考）小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书。“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售。这样，小明比原计划多买了6本。求每本书的原价和小明实际购买图书的数量。‎ ‎*9.（徐州中考）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树。由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？‎ ‎**10. （扬州中考）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况：‎ ‎（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总数为1200元，我们班人数比你们班多8人。”‎ ‎（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总数也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%。”‎ 请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．‎ ‎11. 一项工程，若甲单独做，刚好在规定日期内完成，若乙单独做，则要超过规定时间6天完成；现甲、乙两人合作4天后，剩下工程由乙单独做，刚好在规定日期内完成。问规定日期是几天？‎ 9‎ ‎1. A 解析：本题需重点理解：甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式。‎ 设甲班每天植树x棵，则甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为，则有：，故选A。‎ ‎2. C 解析：求的是工作效率，工作总量是6000，则是根据工作时间来列等量关系。关键描述语是提前4天完成，等量关系为：原计划时间-实际用时=4，根据等量关系列出方程。‎ 设原计划每天修建x米，因为每天修建的公路比原计划增加了50% 所以现在每天修建x（1+50%）m，‎ ‎，即，故选C。‎ ‎3. B 解析：根据“同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍”得出等式方程，求出即可。‎ 设父亲的速度为x，根据题意得出：。解得：x=1.2v，故选B。‎ ‎4. A 解析：工效常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，本题需注意甲比乙多做2天。‎ 设甲志愿者计划完成此项工作需x天，‎ 甲前两个工作日完成了，剩余的工作日完成了，乙完成了，‎ 则，解得x=8，经检验，x=8是原方程的解，故选A。‎ ‎5. B 解析：由题意，要求蔬菜的成本提高的百分比，即为两者进价的差值与原来进价的比。从而由题意解得。‎ 把47%代入：47%=（售价-进价1）÷进价1，‎ 把40%代入：40%=（售价-进价2）÷进价2，‎ 9‎ 蔬菜的成本提高的百分比为 故选B。‎ ‎6. 6 解析：根据题意，得到甲、乙的工效都是．根据结果提前两天完成任务，知：整个过程中，甲做了（x-2）天，乙做了（x-4）天。再根据甲、乙做的工作量等于1，列方程求解。根据题意，得，得x=6。经检验x=6是原分式方程的解。‎ ‎7. 20 解析：本题的等量关系为：逆水航行46千米用的时间+顺水航行34千米所用的时间=静水航行80千米所用的时间．‎ 设船在静水中的速度是x千米/时。则，解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解。‎ ‎8. 解：设每本书的原价为x元，根据题意，得，解这个方程，得x=15。经检验，x=15是所列方程的根，则（本），所以，每本书的原价为15元，小明实际购买图书30本。‎ 答：每本书的原价为15元，小明实际买图书30本。‎ ‎9. 解析：设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可。‎ 解：设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，由题意，得 解得：x=40‎ 经检验，x=40是原方程的解。‎ 答：原计划每天种40棵树。‎ ‎10. 解析：首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据九（1）班人数比九（2）班多8人，即可得方程：‎ ‎，解此方程即可求得答案。‎ 解：设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，则 9‎ ‎，解得：x=25‎ 经检验，x=25是原方程的解。‎ 九（2）班的人均捐款数为：（1+20%）x=30（元）‎ 答：九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元。‎ ‎11. 解析：设工作总量为1，，设规定日期为x天，则甲乙单独完成各需x天、（x+6）天，甲、乙的工作效率分别、，相等关系：甲、乙合作4天的量+乙单独做（x-4）天的量=总量1，列出方程：‎ 相等关系：甲做工作量+乙做工作量=1，列出方程得：‎ 答案：设规定日期为x天，根据题意得：‎ 解得：x=12，经检验x=12是原方程的解。‎ 答：规定日期为12天。‎ 9‎