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- 2021-11-01 发布
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第12章 整式的乘除
12.5 因式分解
第2课时 公式法
1.什么叫多项式的因式分解?
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的
因式分解.
2.下列式子从左到右的变形,哪个是因式分解?哪个是
整式乘法?它们有什么关系?
(1) a(x+y)=ax+ay;
(2) ax+ay=a(x+y).
整式乘法
因式分解
它们是方向相反的变形.
还记得前面学过的乘法公式吗?
平方差公式:
两数和(差)的平方公式: 2 2 2= 2a b a ab b ( )
2 2- =a b a b a b
运用平方差公式因式分解
【想一想】多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?
是a,b两数的平方差的形式.
))(( b a ba -+=22 ba -
))(( 22baba ba-+ = -
整式乘法
因式分解
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式:
1
√
√
×
×
【辨一辨】下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么?
√
√
★符合平方差的形式
的多项式才能用平方
差公式进行因式分解,
即能写成: ( ) 2 -
( )2的形式.
两数是平方,
减号在中央.
(1)x2+y2;
(2)x2-y2;
(3)-x2-y2; -(x2+y2)
y2-x2(4)-x2+y2;
(5)x2-25y2; (x+5y)(x-5y)
(6)m2-1. (m+1)(m-1)
2(1) 4 9;x
【例1】 分解因式:
2 2(2 ) 3x (2 3)(2 3).x x
2 2(2) ( ) ( ) .x p x q
解:(1)原式=
( ) ( ) ( ) ( )x p x q x p x q (2)原式
(2 )( ).x p q p q
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多
项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就
能用平方差公式分解因式.
【例2】 分解因式:
4 4 3(1 ) ; ( 2 ) .x y a b a b
解:(1)原式=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
分解因式后,一定要
检查是否还有能继续
分解的因式,若有,
则需继续分解.=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)原式=ab(a2-1)
分解因式时,一般先
用提公因式法进行分
解,然后再用公式法,
最后进行检查.
=ab(a+1)(a-1).
运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: 2 22a ab b
完全平方式的特点:
1.必须是三项式(或可以看成三项的);
2.有两个同号的数或式的平方;
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
=(a ± b)2
凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成
完全平方形式,便实现了因式分解.
2
2 a b +b2± =(a ± b)²a2
首2 +尾2±2×首×尾 (首±尾)2
3.a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²
2.m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²
1.x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²x 2 x + 2
a a 2b a + 2b2b
对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解,你会吗?
m m - 33
x 2
m 3
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式、完全平方式
等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4; (2)1+4a²;
(3)4b2+4b-1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是
(2)只有两项;
不是
(3)4b²与-1的符号不统一;
不是
分析:
不是
是
(4)ab不是a与b的积的2倍.
【例3 】分解因式:
(1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy-4y2.
分析:(1)中, 16x2=(4x)2,
9=3²,24x=2·4x·3,所以
16x2+24x+9是一个完全平
方式,即16x2 + 24x +9=
(4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2 a b b2a2
(2)中,首项有负号,
一般先利用添括号法
则将其变形为-(x2-
4xy+4y2),然后再利用
公式分解因式.
解: (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
【例4】 分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2 ;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解;
(2)中,将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化
为完全平方式m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
【例5】 把下列完全平方公式分解因式:
1002-2×100×99+99²
解:原式=(100-99)²
=1.
本题利用完全平方
公式分解因式的方
法,大大减少计算
量,结果准确.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
1.多项式4a²+ma+9是完全平方式,那么m的值是( )
A.6 B.12 C. -12 D. ±12
D
( 1 )( 1 ). y x y x
2(2018 2017)
1 .
2 22018 2 2018 2017 2017 解:原式
2 22 0 1 8 2 0 1 8 4 0 3 4 2 0 1 7 . 4.计算:
5.分解因式: 2 22 1 . y y x
2 2( 1)y x 解:原式
3.把下列多项式因式分解.
(1)x2-12x+36; (2)4a2-4a+1.
解:(1)原式 =x2-2·x·6+62=(x-6)2.
(2)原式=(2a)² - 2·2a·1+1²=(2a - 1)2.
公式法
因式分解
公 式
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)
步 骤
一提:公因式;
二套:公式;
三查:多项式的因式分解有没有分
解到不能再分解为止
完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2