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  • 2021-11-06 发布

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1从梯子的倾斜程度谈起第1课时习题课件北师大版

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第一章 直角三角形的边角关系 1 从梯子的倾斜程度谈起 第 1 课时 1. 能够用正切表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单计算. ( 重点 ) 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系 .( 难点 ) 1. 正切与梯子的倾斜程度 如图 , 梯子斜靠在墙上 . 【 思考 】 (1)△AB 1 C 1 与△ AB 2 C 2 相似吗 ? 为什么 ? 提示 : △AB 1 C 1 与△ AB 2 C 2 相似 .∵∠A=∠A,∠AC 1 B 1 =∠AC 2 B 2 =90°, ∴△AB 1 C 1 ∽△AB 2 C 2 . (2) 如果改变 B 2 在梯子上的位置 , 那么△ AB 1 C 1 与△ AB 2 C 2 _____ ( 填“相似”或“不相似” ). 相似 (3) 根据以上探究可知,无论 B 2 在梯子上的哪个位置,都有 (4) 梯子的倾斜程度与上面的比值有何关系? 提示: 上面的比值越大,梯子越陡 . 【 总结 】 (1) 正切的定义 : 在 Rt△ABC 中 , 如果锐角 A 确定 , 那么∠ A 的 _____ 与 _____ 的比便 随之确定 , 这个比叫做∠ A 的正切 , 记作 _____ . (2) 梯子的倾斜程度与正切的关系 : 如果梯子与地面的夹角为∠ A, 那么 tanA 的值 _____ , 梯子越陡 . 对边 邻边 tanA 越大 2. 坡度 坡面的 _________ 与 _________ 的比称为坡度 ( 或 _____), 山坡 的坡度常用 _____ 描述 . 铅直高度 水平宽度 坡比 正切 ( 打“√”或“ ×”) (1) 一个角所在的直角三角形越大,这个角的正切值也越 大 .( ) (2) 一个角的正切值只与这个角的大小有关 .( ) (3) 只有直角三角形中的角才有正切值 .( ) (4) 一个斜坡的坡角越大,坡度也越大 .( ) (5) 在△ ABC 中, ( ) × √ × √ × 知识点 1 求锐角的正切值 【 例 1】 已知△ ABC 中, AB=AC , BD 是 AC 边上的中线, AB=13 , BC=10. 求 tan ∠DBC 的值. 【 思路点拨 】 作高 AH , DF⊥BC→ 求出 AH 的长→求出 DF 的长→ 在 Rt△DBF 中求出 tan ∠DBC 的值 . 【 自主解答 】 过点 A,D 分别作 AH⊥BC,DF⊥BC ,垂足分别为 点 H,F. ∵AB=AC , AH⊥BC , 在 Rt△ABH 中, ∵ AH∥DF ,且 BD 是 AC 边上的中线, ∴在 Rt△DBF 中, 【 总结提升 】 利用定义求锐角的正切值的 “ 三步法 ” 1. 观察:观察所给的锐角是否在直角三角形中 . 2. 转化:如果所给的锐角不在直角三角形中,可通过作辅助线构造直角三角形或利用等量关系代换将锐角 “ 转移 ” 到直角三角形中 . 3. 求解:在直角三角形中求出这个角的对边与邻边的比值,就是这个角的正切值 . 知识点 2 正切的应用 【 例 2】 如图,一段河坝的横断面为梯形 ABCD ,试根据图中的数据,求出坝底宽 AD . (i=CE∶ED ,单位: m) 【 解题探究 】 1.ED 与 CE 有什么关系 ?ED 的长是多少 ? 提示 : ∵i=CE∶ED=1∶2, ∴ED=2CE=2×4=8(m). 2. 如图 , 过点 B 作 BF⊥AD 于 F, 则四边形 BFEC 是什么形状的特殊 四边形 ?EF,BF 的长是多少 ? 提示 : 四边形 BFEC 是正方形 , 则 EF=BF=BC=4 m. 3. 可求出 AF 的长是多少?那么即可求出坝底宽 AD. 提示: 在 Rt△ABF 中,由勾股定理可得: 根据以上探究,可得坝底 AD = AF+FE+ED = 3+4+8 = 15(m) . 【 互动探究 】 在上题中,斜坡 AB 的坡度是多少? 提示: 在 Rt△AFB 中,因 BF=4 , AF=3 ,所以斜坡 AB 的坡度 为 【 总结提升 】 坡度的常见用法和两点注意 坡度的常见用法: (1) 坡度常和实际生活中的问题相结合,如拦水坝、开渠、修路等 . (2) 坡度常和梯形的知识相结合,解题时常把梯形转化为三角形和矩形求解 . 两点注意: (1) 坡度是两条线段的比值,不是度数 . (2) 坡度是铅直高度与水平宽度的比,而不是斜面距离与水平宽度 ( 或铅直高度 ) 的比 . 题组一:求锐角的正切值 1. 如图,在 8×4 的矩形网格中,每个小正方形的边长都是 1 , 若△ ABC 的三个顶点在图中相应的格点上,则 tan ∠ACB 的值 为 ( ) 【 解析 】 选 A .如图,在网格中构造含有∠ ACB 的 Rt△ACD , 在该三角形中 2. 某时刻海上点 P 处有一客轮,测得灯塔 A 位于客轮 P 的北偏东 30° 方向,且相距 20 海里.客轮以 60 海里 / 小时的速度沿北偏 西 60° 方向航行 小时到达 B 处,那么 tan ∠ABP = ( ) 【 解析 】 选 A .如图,在△ PAB 中,∠ APB = 60° + 30° = 90° , PA = 20 海里, ( 海里 ) , 故 3.(2013· 济南中考 ) 已知直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ∥ l 4 ,相邻的两条 平行直线间的距离均为 h ,矩形 ABCD 的四个顶点分别在这四 条直线上,放置方式如图所示, AB=4 , BC=6 ,则 tan α 的值 等于 ( ) 【 解析 】 选 C. 如图,作 AM⊥ l 4 于点 M ,作 CN⊥ l 4 于点 N , 则 AM=h , CN=2h ,∠ ABM+∠BAM=90° , ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ ABC=90° , ∴∠ ABM+∠α=90° ,∴∠ BAM=∠α , ∴△ ABM∽△BCN , ∴ BM=AM · tan α=htan α , ∴ 4. 在△ ABC 中,∠ C=90° , AB=5 , BC=4 ,则 tan A=______. 【 解析 】 由勾股定理,得 答案: 5. 如图,在△ ABC 中, AC = 4 , BC = 3 , CD⊥AB 于点 D , BD = 2, 求 tan A , tan B 的值 . 【 解析 】 在 Rt△BDC 中, BC = 3 , BD = 2 , 在 Rt△ADC 中 , 题组二: 正切的应用 1. 如图,在平地上种植树木时, 要求株距 ( 相邻两树间的水平距 离 ) 为 4 m. 如果在坡度为 0.75 的 山坡上种树,也要求株距为 4 m, 那么相邻两树间的坡面距离为 ( ) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m 【 解析 】 选 A. 由题意可得 , 如图, AC=4 m , tan A=0.75, 则 故 BC=3 m , 则 2.(2013· 聊城中考 ) 河堤横断面如图所示,堤高 BC=6 m ,迎水 坡 AB 的坡比为 则 AB 的长为 ( ) 【 解析 】 选 A. 在 Rt△ABC 中, 【 变式备选 】 河堤横断面如图所示,迎水坡 AB 的坡比为 AB 的长是 10 m ,则堤高 BC=______ m . 【 解析 】 在 Rt△ABC 中, 答案: 5 3.(2013· 安顺中考 ) 在 Rt△ABC 中, 则△ ABC 的面积为 ______. 【 解析 】 ∵Rt△ABC 中, 解得 CA=6 , 答案: 24 4. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 m ,此时他与水平地面 的垂直距离为 则这个坡面的坡度为 ______ . 【 解析 】 如图, 由勾股定理,得 ∴斜坡 AB 的坡度 答案: 1∶2 5. 如图 , 拦水坝的横断面为梯形 ABCD, 坝顶宽 AD=5m, 斜坡 AB 的坡度 i =1∶3( 指坡面的铅直高度 AE 与水平宽度 BE 的比 ), 斜坡 DC 的坡度 i=1∶1.5, 已知该拦水坝的高为 6m. (1) 求斜坡 AB 的长 . (2) 求拦水坝的横断面梯形 ABCD 的周长 . ( 注意:本题中的计算过程和结果均保留根号 ) 【 解析 】 (1) 在 Rt△ABE 中,根据勾股定理得, 答:斜坡 AB 的长为 (2) 过点 D 作 DF⊥BC 于点 F , ∴四边形 AEFD 是矩形 . ∴EF=AD=5 m. 又 ∴BC=BE + EF + FC=18 + 5 + 9=32(m). 在 Rt△DCF 中,根据勾股定理得, ∴梯形 ABCD 的周长为 AB + BC + CD + DA 答:梯形 ABCD 的周长为 【 想一想错在哪? 】 如图,△ ABC 中,∠ C=90° , BC=6 cm , △ ABC 的面积是多少? 提示: 对正切的定义理解不透彻,搞错了边之间的比 .

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