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  • 2021-11-06 发布

2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷

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2016 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分)第 1-10 题均有四个选项, 符合题意的选项只有..一个。 1. 如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB 的度数为 (A) 45° (B) 55° (C) 125° (D) 135° 答案:B 考点:用量角器度量角。 解析:由生活知识可知这个角小于 90 度,排除 C、D,又 OB 边在 50 与 60 之间,所以,度 数应为 55°。 2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一,每小时飞行约 28 000 公里。将 28 000 用 科学计数法表示应为 (A) (B) 28 (C) (D) 答案:C 考点:本题考查科学记数法。 解析:科学记数的表示形式为 10na 形式,其中1 | | 10a  ,n 为整数,28000= 。 故选 C。 3. 实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是 (A) a (B) (C) (D) 答案:D 考点:数轴,由数轴比较数的大小。 解析:由数轴可知,-3<a<-2,故 A、B 错误;1<b<2, -2<-b<-1,即-b 在-2 与-1 之间,所以, 。 4. 内角和为 540 的多边形是 答案:c 考点:多边形的内角和。 解析:多边形的内角和为 ( 2) 180n    ,当 n=5 时,内角和为 540°,所以,选 C。 5. 右图是某个几何体的三视图,该几何体是 (A) 圆锥 (B) 三棱锥 (C) 圆柱 (D) 三棱柱 答案:D 考点:三视图,由三视图还原几何体。 解析:该三视图的俯视为三角形,正视图和侧视图都是矩形,所以,这个几何体是三棱柱。 6. 如果 ,那么代数 2 ( )b aa a a b   的值是 (A) 2 (B)-2 (C) (D) 答案:A 考点:分式的运算,平方差公式。 解析: 2 ( )b aa a a b   = 2 2a b a a a b   = ( )( )a b a b a a a b    = a b =2。 7. 甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称的是 答案:D 考点:轴对称图形的辨别。 解析:A、能作一条对称轴,上下翻折完全重合,B 和 C 也能 作一条对称轴,沿这条对称翻折,左右两部分完全重合,只有 D 不是轴对称图形。 8. 在 1-7 月份,某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示,则出售该种水果每斤利润 最大的月份是 (A) 3 月份 (B) 4 月份 (C) 5 月份 (D) 6 月份 答案:B 考点:统计图,考查分析数据的能力。 解析:各月每斤利润:3 月:7.5-4.5=3 元, 4 月:6-2.5=3.5 元,5 月:4.5-2=2.5 元, 6 月:3-1.5=1.5 元,所以,4 月利润最大,选 B。 9. 如图,直线 ,在某平面直角坐标系中,x 轴∥m,y 轴∥n,点 A 的坐标为(-4,2), 点 B 的坐标为(2,-4),则坐标原点为 (A) (B) (C) (D) 答案:A 考点:平面直角坐标系。 解析:因为 A 点坐标为(-4,2),所以,原点在点 A 的右边,也在点 A 的下边 2 个单位处, 从点 B 来看,B(2,-4),所以,原点在点 B 的左边,且在点 B 的上边 4 个单位处。如下 图,O1 符合。 10. 为了节约水资源,某市准备按照居民家庭年用水量 实行阶梯水价,水价分档递增。计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家 庭的 80%,15%和 5%。为合理确定各档之间的界限,随机抽查了该市 5 万户居民家庭上一年 的年用水量(单位: ),绘制了统计图,如图所示,下面有四个推断: ① 年用水量不超过 180 的该市居民家庭按第一档水价交费 ② 年用水量超过 240 的该市居民家庭按第三档水价交费 ③ 该市居民家庭年用水量的中位数在 150-180 之间 ④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180 (A) ①③ (B) ①④ (C)②③ (D)②④ 答案:B 考点:统计图,会用统计图中的数据分析问题。 解析:年用水量不超过 180 的居民家庭有:0.25+0.75+1.5+1+0.5=4(万), 4 5 = 80%, 所以,①正确; 年用水量超过 240 的居民家庭有:0.15+0.15+0.05=0.35(万), 0.35 5 =7%,故②不 正确; 30-120 的有 2.5 万人,120-330 的有 2.5 万人,中位数应该是 120,故③不正确; 由于中位数为 120,用水量小于 150 的有 3.5 万人,所以该市居民家庭年用水量的平均数不 超过 180,④正确。 二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11. 如果分式 2 1x  有意义,那么 x 的取值范围是 。 答案: 1x  考点:分式的意义。 解析:由分式的意义,知: 1 0x   ,所以, 1x  12.右图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式: 。 答案: ( )m a b c ma mb mc     (答案不唯一) 考点:矩形的面积计算,用图形说明因式分解。 解析:最大矩形的长为 ( )a b c  ,宽为 m ,所以,它的面积为 ( )m a b c  ; 又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和,三个小矩形的面积分别为: , ,ma mb mc ,所以,有 ( )m a b c ma mb mc     13. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下表是这种幼树在移植过程中的 一组统计数据: 移植的棵数 n 1 000 1 500 2 500 4 000 8 000 15 000 20 000 30 000 成活的棵数 m 865 1 356 2 220 3 500 7 056 13 170 17 580 26 430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 。 答案:0.881 考点:频率估计概率。 解析:用频率估计概率,数据越大,估计越准确,所以,移植幼树棵数越多,估算成活的概 率越准确,因此 0.881 可作为估计值。 14. 如图,小军、小珠之间的距离为 2.7m,他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8m,1.5m, 已知小军、小珠的身高分别为 1.8m,1.5m,则路灯的高为 m。 答案:3 考点:等腰三直角三角形判定与性质。 解析:如下图,因为小军、小珠都身高与影长相等,所以, ∠E=∠F=45°,所以,AB=BE=BF,设路灯的高 AB 为 xm, 则 BD=x-1.5,BC=x-1.8, 又 CD=2.7,所以,x-1.5+x-1.8=2.7,解得:x=3(m) 15. 百子回归图是由 1,2,3…,100 无重复排列而成的正方形数表,它是一部数化的澳门 简史,如:中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期,最后一行中间两位“23 50”标示 澳门面积,……,同时它也是十阶幻方,其每行 10 个数之和、每列 10 个数之和、每条对角 线 10 个数之和均相等,则这个和为 。 答案:505 考点:考查学生的阅读能力,应用知识解决问题的能力。 解析:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050, 共 10 行,每一行的 10 个数之和相等,所以,每一行数字之和为: 5050 10 =505。 16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。 请回答:该作图的依据是 。 答案: (1)到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B 都在 PQ 的垂直平分 线上);(2)两点确定一条直线(AB 垂直 PQ)(其他正确依据也可以) 考点:线段的垂直平分线定理,尺规作图。 解析:由作图可知,AP=AQ,所以,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上,同理,点 B 也在线段 PQ 的垂直平分线上,所以,有 AB⊥PQ。 三、解答题(本题共 72 分,第 17-26 题,每小题 5 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分)解答应写出文字说明、演算步骤或 证明过程。 17. 计算: 0(3 ) 4sin 45 8 1 3      . 考点:实数的运算。 解析:原式 。 18. 解不等式组: 2 5 3( 1) 74 2 x x xx     考点:不等式组的求解。 解析: 。 19. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AE 平分 ,交 DC 的延长线 于点 E. 求证:DA=DE 考点:平行四边形的性质,两直线平行的性质,等角对等边。 解析: 证明: . 20. 关于 x 的一元二次方程 +(2m 有两个不想等的实数根。 (1)求 m 的取值范围; (2)写出一个满足条件的 m 的值,并求此时方程的根。 考点:一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解。 解析:(1) 原方程有两个不相等实数根 解得 。 (2) ,原方程为 ,即 。(m 取 其他值也可以) 21. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(-6,0)的直线 与直线 ;y=2x 相交于点 B(m,4)。 (1)求直线 的表达式; (2)过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与 的交点分别 为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时,写出 n 的取值范围。 考点:函数图象,一次函数,不等式。 解析:(1) 点 B 在直线 l2 上 , 设 l1 的表达式为 ,由 A、B 两点均在直线 l1 上得到, , 解得 ,则 l1 的表达式为 。 (2)由图可知: , 点 C 在点 D 的上方,所以, 3 22 n n  ,解得: 。 22. 调查作业:了解你所住小区家庭 5 月份用气量情况。 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区,该小区共有 300 户家庭,每户家庭人数在 2-5 之间,这 300 户家庭的平均人数均为 3.4. 小天、小东、小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查,将收集的数据 进行了整理,绘制的统计表分别为表 1、表 2 和表 3. 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位: ) 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位: ) 家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 (单位: ) 家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题: 小天、小东和小芸三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭 5 月份用 气量情况,并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。 考点:抽样调查,分析数据,解决问题的能力。 解析:小芸,小天调查的样本容量较少;小东抽样的调查数据中,家庭人数的平均值为 ,远远偏离了平均人数的 3.4,所以他的数据抽样有明显问 题 ; 小 芸 抽 样 的 调 查 数 据 中 , 家 庭 人 数 的 平 均 值 为 ,说明小芸抽样数据质量较好,因此小芸的抽样 调查的数据能较好的反映出该小区家庭 5 月份用气量情况。 23. 如图,在四边形 ABCD 中, ,AC=AD,M,N 分别为 AC,AD 的中 点,连接 BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2) ,AC 平分 ,AC=2,求 BN 的长。 考点:三角形的中位线定理,勾股定理。 解析:(1)证明:在 中, M、N 分别是 AC、CD 的中点 在 中, M 是 AC 的中点 又 。 (2)解: 且 AC 平分 由(1)知, 而由(1)知, 。 24. 阅读下列材料: 北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位,深入实 施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。“十二五”期间,北京市文化创意产业 展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力,已经成为首都经济增长的支柱产业。 2011 年,北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元,占地区生产总值的 12.1%。2012 年,北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势,实现产业增加值 2189.2 亿元,占地区生 产总值的 12.3%,是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。2013 年, 北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元,比上年增长 9.1%。文化创意产业作为北京市支柱 产业已经排到了第二位。2014 年,北京市文化创意产业实现增加值 2749.3 亿元,占地区生 产总值的 13.1%,创历史新高。2015 年,北京市文化创意产业发展总体平稳,实现产业增加 值 3072.3 亿元,占地区生产总值的 13.4%。 (以上数据来源于北京市统计局) 根据以上材料解答下列问题: (1)用折线图将 2011-2015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来,并在图中标明相 应数据; (2)根据绘制的折线图中提供的信息,预估 2016 年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元,你的预估理由 。 考点:考查学生的阅读能力,处理数据的能力。 解析:(1)如下图: (2)3440(预估值在 3376~3563 之间都可以),近三年平均增长率作为预测 2016 年数据的 依据(只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可) 25. 如图,AB 为 于点 D,过点 D 作 的 切线,交 BA 的延长线于点 E. (1) 求证:AC∥DE: (2) 连接 CD,若 OA=AE=a,写出求四边形 ACDE 面积的思路。 考点:圆的切线的性质定理,垂径定理,多边形面积的计算。 解析:(1)证明: ED 与 相切于 D F 为弦 AC 的中点 , (2)解:①四边形 DFAE 为直角梯形,上底为 AF,下底为 DE,高为 DF,有条件比 较容易在直角三角形 DOE 中计算出 DE 长为 ,DF= 2 a ,AF= ,所以可以求出四边形 DFAE 的面积为 ; ②在三角形 CDF 中, ,且 DF=a/2, FC=AF= ,进而可以求解在三角形 CDF 的面积为 ; ③四边形 ACDE 就是由四边形 DFAE 和三角形 CDF 组成的,进而可以得到四边形 ACDE 的面积就等于他们的面积和,为 (本题也可以通过证明四边形 ACDE 为平行四边形,进而通过平行四边形面积公式求 解,主要思路合理即可)。 26. 已知 y 是 x 的函数,自变量 x 的取值范围 ,下表是 y 与 x 的几组对应值 x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 … 小腾根据学校函数的经验,利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律,对该函数的图 象与性质进行了探究。 下面是小腾的探究过程,请补充完整: (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出 的点,画出该函数的图象; (2)根据画出的函数图象,写出: ①x=4 对应的函数值 y 约为 ; ②该函数的一条性质: 。 考点:函数图象,开放式数学问题。 解析: (1)如下图: (2)①2(2.1 到 1.8 之间都正确) ②该函数有最大值(其他正确性质都可以)。 27. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 抛 物 线 与 x 轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点。 ①当 m=1 时,求线段 AB 上整点的个数; ②若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 6 个整点, 结合函数的图象,求 m 的取值范围。 考点:二次函数的图象及其性质。 解析:(1)解:将抛物线表达式变为顶点式 ,则抛物线顶点坐标为(1,-1)。 (2)解:① 时,抛物线表达式为 ,因此 A、B 的坐标分别为(0,0)和 (2,0),则线段 AB 上的整点有(0,0),(1,0),(2,0)共 3 个; ②抛物线顶点为(1,-1),则由线段 AB 之间的部分及线段 AB 所围成的区域的整点的纵 坐标只能为-1 或者 0,所以即要求 AB 线段上(含 AB 两点)必须有 5 个整点;又有抛物线 表 达 式 , 令 , 得 到 A 、 B 两 点 坐 标 分 别 为 , 即 5 个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到 , 。 28. 在等边 中, (1)如图 1, P,Q 是 BC 边上两点,AP=AQ, ,求 的度数; (2)点 P,Q 是 BC 边上的两个动点(不与点 B,C 重合),点 P 在点 Q 的左侧,且 AP=AQ, 点 Q 关于直线 AC 的的对称点为 M,连接 AM,PM. ①依题意将图 2 补全; ②小茹通过观察、实验提出猜想:在点 P、Q 运动的过程中,始终有 PA=PM。小茹把这个 猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法: 想法 1:要证明 PA=PM,只需证 是等边三角形。 想法 2:在 BA 上取一点 N,使得 BN=BP,要证 PA=PM,只需证 想 法 3: 将 线 段 BP 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 60 , 得 到 线 段 BK , 要 证 PA=PM , 只 需 证 PA=CK,PM=CK……. 请你参考上面的想法,帮助小茹证明 PA=PM(一种方法即可) 考点:三角形全等的判定与性质,三角形内角和定理。 解析:(1)解: 又 又 。 (2)①下图;②利用想法 1 证明:连接 AQ,首先应该证明 , 得 到 , 然 后 由 得 到 , 进 而 得 到 ; 接 着 利 用 AB=AC , 得 到 , 从而得到 AP=AM,进而得到 PA=PM。(利用其他想法的线索证明也可以) 29. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为( 点 Q 的坐标为( ),且 , 某条坐标轴垂直,则称该矩形 为点 P,Q 的“相关矩形”。下图为点 P,Q 的“相关矩形”的示意图。 (1)已知点 A 的坐标为(1,0), ①若点 B 的坐标为(3,1)求点 A,B 的“相关矩形”的面积; ②点 C 在直线 x=3 上,若点 A,C 的“相关矩形”为正方形,求直线 AC 的表达式; (2) 的半径为 ,点 M 的坐标为(m,3)。若在 上存在一点 N,使得点 M,N 的“相 关矩形”为正方形,求 m 的取值范围。 考点:一次函数,函数图象,应用数学知识解决问题的能力。 解析: (1)解:① ;②C 的坐标可以为 (3,2)或者(3,-2),设 AC 的表达式为 , 将 A、C 分别代入 AC 的表达式得到 或 ,解得 或 , 则直线 AC 的表达式为 或 。 ( 2 )解:易得随着 m 的变化,所有可能的点 M 都在直线 y=3 上; 对于圆上任何一点 N ,符合条件的 M 和 N 必须在 k=1 或者 -1 的直线上, 因此可以得到 m 的范围为 或者 。