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  • 2021-11-06 发布

2020-2021学年初三数学上册同步练习:实际问题与一元二次方程

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2020-2021 学年初三数学上册同步练习:实际问题与一元二次方程 1.要组织一次排球邀请赛,参赛的每个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划 7 天,每 天安排 4 场比赛.设比赛组织者应邀请 x 个队参赛,则 满足的关系式为() A. 1 ( 1 ) 2 82 xx B. 1 ( 1 ) 2 82 xx C. ( 1 ) 2 8xx D. ( 1) 2 8xx 【答案】A 【解析】 【分析】根据应用题的题目条件建立方程即可. 【详解】 解:由题可得: 1 ( 1 ) 4 72 xx   即: 故答案是:A. 【点评】本题主要考察一元二次方程的应用题,正确理解题意是解题的关键. 2.如图,有一张矩形纸片,长 10cm,宽 6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个 无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小 正方形边长是 xcm,根据题意可列方程为( ) A.10×6﹣4×6x=32 B.( 10﹣2x)( 6﹣2x)=32 C.( 10﹣x)( 6﹣x)=32 D.10×6﹣4x2=32 【答案】B 【解析】 分析:设剪去的小正方形边长是 xcm,则纸盒底面的长为(10−2x)cm,宽为(6−2x)cm,根据长方形的 面积公式结合纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32cm2,即可得出关于 x 的一元二次方程,此题得解. 详解:设剪去的小正方形边长是 xcm,则纸盒底面的长为(10−2x)cm,宽为(6−2x)cm, 根据题意得:(10−2x)( 6−2x)=32. 故选 B. 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 3.如图是由三个边长分别为 6、9、x 的正方形所组成的图形,若直线 AB 将它分成面积相等的两部分,则 x 的值是( ) A.1 或 9 B.3 或 5 C.4 或 6 D.3 或 6 【答案】D 【解析】 以 AB 为对角线将图形补成长方形,由已知可得缺失的两部分面积相同,即 3×6=x×(9-x),解得 x=3 或 x=6, 故选 D. 【点评】本题考查了正方形的性质,图形的面积的计算,准确地区分和识别图形是解题的关键. 4.某商品原价 100 元,连续两次涨价后,售价为 144 元.若平均每次增长率为푥,则푥 =__________. 【答案】20%. 【解析】 试题分析:根据原价为 100 元,连续两次涨价 x 后,现价为 144 元,根据增长率的求解方法,列方程求 x. 试题解析:依题意,有:100(1+x)2=144, 1+x=±1.2, 解得:x=20%或-2.2(舍去). 考点:一元二次方程的应用. 5.如图,将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开,再把△ ABC 沿着 AD 方向平移,得到△ A′B′C′,当 两个三角形重叠部分的面积为 32 时,它移动的距离 AA′等于________. 【答案】4 或 8 【解析】 【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形,设 A′D=x,根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x,即 x(12−x),当 x(12−x)=32 时,解得:x=4 或 x=8,所以 AA′=8 或 AA′=4. 【详解】 设 AA′=x,AC 与 A′B′相交于点 E, ∵△ACD 是正方形 ABCD 剪开得到的, ∴△ACD 是等腰直角三角形, ∴∠A=45∘ , ∴△AA′E 是等腰直角三角形, ∴A′E=AA′=x, A′D=AD−AA′=12−x, ∵两个三角形重叠部分的面积为 32, ∴x(12−x)=32, 整理得,x 2 −12x+32=0, 解得 x 1 =4,x 2 =8, 即移动的距离 AA′等 4 或 8. 【点评】本题考查正方形和图形的平移,熟练掌握计算法则是解题关键·. 6.用一块长 80cm ,宽 60 cm 的薄钢片,在四个角上各截去一个边长为 xcm 的小正方形,然后做成底面积 为 21500 cm 的没有盖的长方体盒子,为了求出 x ,根据题意列方程并整理后得________. 【答案】 2 708250xx 【解析】 【分析】本题设小正方形边长为 xcm,则长方体盒子底面的长宽均可用含 x 的代数式表示,从而这个长方 体盒子的底面的长是(80-2x)cm,宽是(60-2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面 面积,方程可列出. 【详解】 解:由题意得:(80-2x)( 60-2x)=1500 整理得:x2-70x+825=0 故答案为 x2-70x+825=0. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的 关键. 7.“农民也能报销医疗费了!”这是国家推行新型农村医疗合作的成果.村民只要每人每年交 10 元钱,就 可以加入合作医疗,每年先由自己支付医疗费,年终时可得到按一定比例返回的返回款,这一举措极大地 增强了农民抵御大病风险的能力.小华与同学随机调查了他们乡的一些农民,根据收集到的数据绘制了以 下的统计图. 根据以上信息,解答以下问题: (1)本次调查了______名村民,被调查的村民中,有______人参加合作医疗得到了返回款? (2)若该乡有 10000 名村民,请你估计有多少人参加了合作医疗? (3)要使两年后参加合作医疗的人数增加到 9680 人,假设这两年的年平均增长率相同,求年平均增长率. 【答案】(1)300,6;( 2)8000;( 3)10%. 【解析】 【分析】(1)根据样本容量为各组频数之和,可得共有 240+60=300(人);其中有 2.5%即 6 人得到了返回款; (2)用样本估计总体即可得出答案. (3)根据一元二次方程的平均增长率的问题求解即可. 【详解】 (1)调查的村民数=240+60=300 人, 参加合作医疗得到了返回款的人数=240×2.5%=6 人; (2)∵参加医疗合作的百分率为 240 300 =80%, ∴估计该乡参加合作医疗的村民有 10000×80%=8000 人, (3)设年增长率为 x,由题意知 8000×(1+x)2=9680, 解得:x1=0.1,x2=-2.1(舍去), 即年增长率为 10%. 答:共调查了 300 人,得到返回款的村民有 6 人,估计有 8000 人参加了合作医疗,年增长率为 10%. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图中各部分占总体的百分 比之和为 1,直接反映部分占总体的百分比大小. 8.随着经济的发展,尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进 2008 年的月工 资为 2000 元,在 2010 年时他的月工资增加到 2420 元,他 2011 年的月工资按 2008 到 2010 年的月工资的 平均增长率继续增长. (1)尹进 2011 年的月工资为多少? (2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价,认为用自己 2011 年 6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书 和一些乙种工具书,当他拿着选定的这些工具书去付书款时,发现自己计算书款时把这两种工具书的单价 弄对换了,故实际付款比 2011 年 6 月份的月工资少了 242 元,于是他用这 242 元又购买了甲、乙两种工具 书各一本,并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校.请问,尹进总共捐献了多少本工具书? 【答案】(1)尹进 2011 年的月工资为 2420×(1+0.1)=2662 元. (2)尹进捐出的这两种工具书总共有 23 本. 【解析】 【分析】(1)先求出尹进 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率,然后用这个增长率求 2011 年月工资; (2)设甲、乙两种工具书单价和本数,根据题意列出三个方程,解方程求出尹进总共捐献工具书本数,特 别是还要加上后来买的二本. 【详解】 解:(1)设尹进 2008 到 2010 年的月工资的平均增长率为 x,则 2000(1+x)2=2420. 解得 ,x1=-2.1 , x2=0.1, (2 分 ) x1=-2.1 与题意不合,舍去. ∴尹进 2011 年的月工资为 2420×(1+0.1)=2662 元. (2)设甲工具书单价为 m 元,第一次选购 y 本.设乙工具书单价为 n 元,第一次选购 z 本.则由题意, 可列 方程:m+n=242, ① ny+mz=2662, ② my+nz=2662-242. ③ 由②+③,整理得,(m+n)( y+z)=2×2662-242 由①,∴242(y+z)=2×2662-242,∴ y+z=22-1=21. 答:尹进捐出的这两种工具书总共有 23 本. 9.如图,在 ABC 中, C90  , 6cmAC  , 8cmBC  ,点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 1 c m /s 的速度移动,点 Q 从点 出发沿边 CB 向点 B 以 2 c m / s 的速度移动. (1)如果点 PQ, 同时出发,几秒后,可使 PCQ 的面积为 28cm ? (2)点 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形 APQB 的面积等于 的面积的 1 4 ?若 存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由. 【答案】(1)2 秒或 4 秒时, 的面积为 .( 2)不存在某一时刻使四边形 的面积等于 面积的 . 【解析】 【分析】(1)设 x 秒后,可使 P C Q 的面积为 28cm ,根据三角形的面积公式即可列式求解; (2)设 y 秒时,四边形 A P Q B 的面积等于 ABC 的面积的 1 4 ,则 的面积是 的面积的 3 4 , 根据三角形的面积公式列方程,根据根的判别式进行判断即可. 【详解】 解:(1)设 秒后,可使 的面积为 . 由题意,得 1 (6 ) 2 82 xx   . 解得 1 2x  , 2 4x  . 所以,2 秒或 4 秒时, 的面积为 . (2)不存在.理由如下: 设 秒时,四边形 的面积等于 的面积的 ,则 的面积是 的面积的 . 由题意,得 131(6)268242 yy ,即 2 6 18 0yy   . 由于 36418360   ,方程没有实数根. 所以,不存在某一时刻使四边形 的面积等于 面积的 . 【点评】此题主要考查一元二次方程的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系进行列式求解. 10.某电商销售一款时装,进价 40 元/件,售价 110 元/件,每天销售 20 件,每销售一件需缴纳平台推广费 5 元.该电商计划开展降价促销活动,通过市场调研发现,该时装售价每降1元,每天销量增加 4 件.为保 证市场稳定,供货商规定售价不得低于80 元/件.问该电商对这款时装的每件售价定为多少元才能使每天扣 除平台推广费之后的利润达到 4500 元? 【答案】每件售价定为90 元才能使每天扣除平台推广费之后的利润达到 元 【解析】 【分析】设降价 x 元后利润达到 4500 元.则每天可售出(20+4x)件,每件盈利(110-40-5-x)元.再根据相等关系: 每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利;列方程求解即可. 【详解】 设降价 x 元后利润达到 4500 元, 由题意得: (110-40-5-x) (20+4x)=4500 解得: 1220, 40xx, 又∵售价不得低于 80 元/件, ∴取 x=20,即售价为 90 元/件, 答:每件售价定为 90 元才能使每天扣除平台推广费之后的利润达到 4500 元. 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是找到等量关系建立方程.