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- 2021-11-06 发布
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课时训练(十七) 全等三角形
(限时:40分钟)
|夯实基础|
1.如图K17-1,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ABC≌△DEF,这个条件是 ( )
图K17-1
A.∠A=∠D B.BC=EF
C.∠ACB=∠F D.AC=DF
2.[2018·临沂] 如图K17-2,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D,E,AD=3,BE=1,则DE的长是 ( )
图K17-2
A.32 B.2
C.22 D.10
3.如图K17-3,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有 ( )
图K17-3
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
4.如图K17-4,在五边形ABCDE中,有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为 ( )
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图K17-4
A.115° B.120° C.125° D.130°
5.如图K17-5,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有 对全等三角形.
图K17-5
6.如图K17-6,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO,下列结论:①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中正确结论的序号是 .
图K17-6
7.[2017·黄冈] 已知:如图K17-7,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.
求证:∠B=∠ANM.
图K17-7
8.[2019·温州] 如图K17-8,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED
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的延长线于点F.
(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
图K17-8
|能力提升|
9.[2018·南京] 如图K17-9,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为 ( )
图K17-9
A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
10.[2018·黑龙江] 如图K17-10,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为 ( )
图K17-10
A.15 B.12.5 C.14.5 D.17
11.[2019·临沂] 如图K17-11,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC
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的面积是 .
图K17-11
|思维拓展|
12.[2019·滨州]如图K17-12,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论:①AC=BD;②∠AMB=40°;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.
其中正确的个数为 ( )
图K17-12
A.4 B.3 C.2 D.1
13.【问题探究】
(1)如图K17-13①,在锐角三角形ABC中,分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,使AE=AB,AD=AC,∠BAE=∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由.
【深入探究】
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=7 cm,BC=3 cm,∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°,求BD的长.
(3)如图③,在(2)的条件下,当△ACD在线段AC的左侧时,求BD的长.
图K17-13
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【参考答案】
1.D
2.B [解析] ∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°.
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
∠E=∠ADC,∠EBC=∠DCA,BC=AC,
∴△CEB≌△ADC(AAS).
∴BE=DC=1,CE=AD=3.
∴DE=EC-CD=3-1=2.
故选B.
3.C [解析] 要使△ABP与△ABC全等,则点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,即3个单位长度,故点P的位置可以是点P1,P3,P4,共三个.故选C.
4.C [解析] 在正三角形ACD中,
AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,
又∵AB=DE,BC=AE,∴△ABC≌△DEA.
∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠DAE,∠BAC=∠ADE.
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°-115°=65°.
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°.
5.3
6.①②③ [解析] 由△ABO≌△ADO,
得AB=AD,∠AOB=∠AOD=90°,∠BAC=∠DAC.
又AC=AC,所以△ABC≌△ADC.所以CB=CD.所以①②③正确.
7.证明:∵∠BAC=∠DAM,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC,
即∠BAD=∠NAM.
在△ABD和△ANM中,
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AB=AN,∠BAD=∠NAM,AD=AM,
∴△ABD≌△ANM(SAS).
∴∠B=∠ANM.
8.解:(1)证明:∵CF∥AB,
∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,∴△BDE≌△CDF;
(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,
∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵AD⊥BC,BD=CD,∴AC=AB=3.
9.D [解析] ∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°.
∴∠A=∠C.
又∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE.
∴AF=CE=a,DE=BF=b.∵EF=c,
∴AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c.故选D.
10.B [解析] 如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E.
∵∠DAB=∠DCB=90°,
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC.
∴∠D=∠ABE.
又∵∠DAB=∠CAE=90°,∴∠CAD=∠EAB.
又∵AD=AB,∴△ACD≌△AEB.
∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形.
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等.
∵S△ACE=12×5×5=12.5,
∴四边形ABCD的面积为12.5.
故选B.
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11.83 [解析]∵DC⊥BC,∴∠BCD=90°,
∵∠ACB=120°,∴∠ACD=30°,
延长CD到H使DH=CD,
∵D为AB的中点,
∴AD=BD,
在△ADH与△BDC中,
DH=CD,∠ADH=∠BDC,AD=BD,
∴△ADH≌△BDC(SAS),
∴AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°,
∵∠ACH=30°,∴CH=3AH=43,
∴S△ABC=S△ACH=12AH·CH=12×4×43=83.
12.B [解析]∵∠AOB=∠COD,∴∠AOC=∠BOD,
又∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD,
∴AC=BD,故①正确;
∵△AOC≌△BOD,∴∠MAO=∠MBO,
如图,设OA与BD相交于N,
又∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AMB=∠AOB=40°,
故②正确;
如图,过点O分别作AC和BD的垂线,垂足分别是E,F,
∵△AOC≌△BOD,AC=BD,
∴OE=OF,∴MO平分∠BMC,故④正确;
在△AOC中,∵OA>OC,∴∠ACO>∠OAC,
∵△AOC≌△BOD,
∴∠OAC=∠OBD,
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∴∠ACO>∠OBM,
在△OCM和△OBM中,
∠ACO>∠OBM,∠OMC=∠OMB,
∴∠COM<∠BOM,故③错误,所以①②④正确.
故选B.
13.解:(1)BD=CE.
理由:∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,
即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD.∴BD=CE.
(2)如图①,在△ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角三角形BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,连接EC.
∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴AC=AD,∠CAD=90°.
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD.∴BD=CE.
∵AE=AB=7,
∴BE=72+72=72,∠ABE=∠AEB=45°.
又∵∠ABC=45°,
∴∠EBC=∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°.
∴EC=BE2+BC2=(72)2+32=107.
∴BD=CE=107 cm.
(3)如图②,在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A,交BC的延长线于点E.
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∵AE⊥AB,
∴∠BAE=90°.
又∵∠ABC=45°,
∴∠E=∠ABC=45°.
∴AE=AB=7,BE=72+72=72.
又∵∠ACD=∠ADC=45°,
∴∠BAE=∠DAC=90°.
∴∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC,
即∠EAC=∠BAD.
在△EAC和△BAD中,AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC=AD,
∴△EAC≌△BAD.
∴BD=CE.
∵BC=3,∴BD=CE=(72-3)cm.
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