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- 2021-11-06 发布
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2.2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标;(重点)
2.掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,运用函数图象的性质解决问题.(难点)
[来源:学科网]
一、情境导入
在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.如图,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙的身高是1.5米,距甲拿绳的手水平距离为1米,绳子甩到最高处时,刚好通过他的头顶.当绳子甩到最高时,学生丁从距甲拿绳的手2.5米处进入游戏,恰好通过.你能根据以上信息确定学生丁的身高吗?
二、合作探究
探究点:二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【类型一】 二次函数y=ax2+bx+c的图象的性质
若点A(2,y1),B(-3,y2),C(-1,y3)三点在抛物线y=x2-4x-m的图象上,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2
解析:∵二次函数y=x2-4x-m中a=1>0,∴开口向上,对称轴为x=-=2.∵A(2,y1)中x=2,∴y1最小.又∵B(-3,y2),C(-1,y3)都在对称轴的左侧,而在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故y2>y3,∴y2>y3>y1.故选C.
方法总结:当二次项系数a>0时,在对称轴的左边,y随x的增大而减小,在对称轴的右边,y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴的左边,y随x的增大而增大,在对称轴的右边,y随x的增大而减小.[来源:学*科*网]
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题
【类型二】 二次函数y=ax2+bx+c的图象的位置与各项系数符号的关系
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),且顶点在第一象限.有下列四个结论:①a<0;②a+b+c>0;③->0;④abc>0.其中正确的结论是________(填序号).
解析:由抛物线的开口方向向下可推出a<0,抛物线与y轴的正半轴相交,可得出c>0,对称轴在y轴的右侧,a,b异号,b>0,∴abc<0;因为对称轴在y轴右侧,∴对称轴为->0;由图象可知:当x=1时,y>0,∴a+b+c>0.∴①②③都正确.故答案为①②③.
方法总结:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( )[来源:学科网]
解析:若函数y=mx+m中的m<0时,函数y=mx2+2x+2开口方向朝下,对称轴为x=-=-=->0,则对称轴应在y轴右侧,故A、B选项错误,D选项正确;若函数y=mx+m中的m>0时,函数y=mx2+2x+2开口方向朝上,对称轴为x=-=-=-<0,则对称轴应在y轴左侧,故C选项错误.故选D.
方法总结:熟记一次函数y=ax+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
【类型四】 二次函数y=ax2+bx+c与几何图形的综合
已知:如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.[来源:Zxxk.Com]
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积S△MCB.
解析:(1)将已知的三点坐标代入抛物线中,即可求得抛物线的解析式;(2)根据抛物线的解析式先求出点M和点B的坐标,可将S△MCB化为其他图形面积的和差来解.
解:(1)依题意可知解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5;[来源:Z,xx,k.Com]
(2)令y=0,得(x-5)(x+1)=0,解得x1=5,x2=-1,∴点B的坐标为(5,0).由y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,得点M的坐标为(2,9).作ME⊥y轴于点E,可得S△MCB=S梯形MEOB-S△MCE-S△OBC=(2+5)×9-×4×2-×5×5=15.
方法总结:本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法.不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型五】 二次函数y=ax2+bx+c的实际应用
跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如果身高为157.5厘米的小明站在OD之间且离点O的距离为t米,绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合函数图象,求出t的取值范围.
解析:(1)已知抛物线解析式y=ax2+bx+0.9,选定抛物线上两点E(1,1.4),B(6,0.9),把坐标代入解析式即可得出a、b的值,继而得出抛物线解析式;(2)求出y=1.575时,对应的x的两个值,从而可确定t的取值范围.
解:(1)由题意得点E的坐标为(1,1.4),点B的坐标为(6,0.9),代入y=ax2+bx+0.9,得解得故所求的抛物线的解析式为y=-0.1x2+0.6x+0.9;
(2)157.5cm=1.575m,当y=1.575时,
-0.1x2+0.6x+0.9=1.575,解得x1=,x2=,则t的取值范围为<t<.
方法总结:解答本题的关键是注意审题,将实际问题转化为求函数问题,培养自己利用数学知识解答实际问题的能力.
三、板书设计
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的应用
总结二次函数性质,充分地相信学生,鼓励学生大胆地用自己的语言进行归纳,在教学过程中,注重为学生提供展示自己的机会,这样也利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和提高学生学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.