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- 2021-11-06 发布
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第 2章 直线与圆的位置关系
2.1 直线与圆的位置关系(第 1课时)
一、单选题
1.如图, ABC 为 O 的一个内接三角形,过点 B作 O 的切线 PB与OA的延长线交于点 P.已知
34ACB ,则 P 等于( )
A.17° B.27° C.32° D.22°
【答案】D
【分析】
连接 OB,利用圆周角定理求得∠AOB,再根据切线性质证得∠OBP=90°,利用直角三角形的两锐角互余即
可求解.
【详解】
解:连接 OB,
∵∠ACB=34°,
∴∠AOB=2∠ACB=68°,
∵PB为 O 的切线,
∴OB⊥PB,即∠OBP=90°,
∴∠P=90°﹣∠AOB=22°,
故选:D.
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两锐角互余,熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解
答的关键.
2.在 ABC 中, 90 4 5C AC AB , , ,以点C为圆心,R为半径作圆.若 C 与边 AB只有一
个公共点,则R的取值范围是( )
A.
12
5
R B.3 4R C.0 3R 或 4R D.3 4R 或
12
5
R
【答案】D
【分析】
先用勾股定理计算线段 BC的长,分两种讨论:若 C 与斜边 AB相切时,通过等积法计算 ABC 的面积,
可求得半径的长;若3 4R ,圆与边 AB也只有一个公共点,据此解题即可.
【详解】
如图,过点C作CD AB 于点D.
90 4 5ACB AC AB , , , 3BC .
①如果以点C为圆心, R为半径的圆与斜边 AB相切,则CD R .此时
1 1 12
2 2 5
CD AB AC BC R CD , .
②当3 4R 时,圆与边 AB也只有一个公共点.
综上,3 4R 或
12
5
R .
故选 D.
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关、勾股定理、三角形的面积公式等,其中涉及分类讨论的数学思想,考点知识
综合性较强,难度适中,作出适当的辅助线是解题关键.
3.如图,过 O 上一点 P作 O 的切线,与直径 AB的延长线交于点 C,点 D是 O 上的一点,且
27BDP ,则 C 的度数为( )
A. 27 B.33 C.36 D. 40
【答案】C
【分析】
连接 OP,由圆周角定理可得∠BOP的度数,由切线性质可得∠CPO的度数,即可算出∠C的度数.
【详解】
如图所示,连接 OP,则∠CPO=90°.
∵∠BDP=27°,
∴∠BOP=54°,
∴∠C=180°-90°-54°=36°.
故选 C.
【点睛】
本题考查圆周角定理和切线性质,关键在于根据题意作出合理的辅助线,同时利用圆周角定理和切线性质进
行角度转换.
4.如图,OA 交⊙O 于点 B,AD 切⊙O 于点 D,点 C 在⊙O 上.若∠A=40°,则∠C 为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA=90°,根据直角三角形的性质求出∠DOA,根据圆周角定理计算即可.
【详解】
解:∵ AD切 O 于点D
∴OD AD
∴ 90ODA ∠ °
∵ 40A
∴ 90 40 50DOA
∴
1 25
2
BCD DOA
故选:B
【点睛】
本题考查了切线的性质:圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质,结
合图形认真推导即可得解.
5.如图,AB 是⊙O 的弦,AC 与⊙O 相切于点 A,连接 OA,OB,若∠O=130°,则∠BAC 的度数是
( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
【答案】B
【分析】
利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题.
【详解】
解:∵AC与⊙O相切于点 A,
∴AC⊥OA,
∴∠OAC=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠O=130°,
∴∠OAB=180
2
O
=25°,
∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=90°﹣25°=65°.
故选:B.
【点睛】
本题考查的是切线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,掌握以上知识是解题的关键.
6.下列说法正确的是( )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
【答案】B
【分析】
根据切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,可判定 C、D错误;由切线的
定义:到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,可判定 A错误,B正确.注意排除法在解选择题中的
应用.
【详解】
解:A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误;
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.
故选:B.
【点睛】
此题考查了切线的判定.此题难度不大,注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键.
7.如图,OA交 O 于点 B, AD切 O 于点D,点C在 O 上. 若 40A ,则 C 为( )
A. 20 B. 25 C.30 D.35
【答案】B
【分析】
根据切线的性质得到∠ODA=90 ,根据直角三角形的性质求出∠DOA,根据圆周角定理计算即可.
【详解】
∵AD切⊙O于点 D,
∴OD⊥AD,
∴∠ODA=90 ,
∵∠A=40 ,
∴∠DOA=90 -40 =50 ,
由圆周角定理得,∠BCD=
1
2
∠DOA=25°,
故选:B.
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
8.如图,AB为⊙O的切线,点 A为切点,OB交⊙O于点 C,点 D在⊙O上,连接 AD、CD、OA,若
∠ADC=40°,则∠ABO的度数为( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】A
【分析】
根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论.
【详解】
∵AB为圆 O的切线,
∴AB⊥OA,即∠OAB=90°,
∵∠ADC=40°,
∴∠AOB=2∠ADC=80°,
∴∠ABO=90°−80°=10°.
故选:A.
【点睛】
此题考查了切线的性质,以及圆周角定理,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
二、填空题
9.若 O☉ 的半径为5,点O到直线 l的距离为 d ,且直线 l与 O 相交,则 d ______ 5.(填“>”或“<”
或“=”)
【答案】
【分析】
根据直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径.
【详解】
解:∵直线 l与 O 相交,
∴圆心到直线的距离小于半径,即 5d .
故答案是:<.
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系,解题的关键是掌握圆与直线相交的性质.
10.如图, PA、 PB分别切 O 于点 A、 B,点 E是 O 上一点,且 60AEB ,则 P ________
度.
【答案】60
【分析】
由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°,PA、PB分别切⊙O于点 A、B,利用切线的性质可知
∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形内角和可求得∠P=180°-∠AOB=60°.
【详解】
解: ∵∠AOB=2∠E=120°,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠P=180°-∠AOB=60°.
故答案为:60
【点睛】
本题利用了圆周角定理,切线的性质,四边形的内角和为 360度求解.
11.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,连接 OC 与⊙O 相交于点 D,连接 BD,∠C=40°,若点
P 为优弧ABD上的动点,连接 PA、PD,则∠APD 的大小是_____度.
【答案】25
【分析】
先根据圆的切线的性质得出OA AC ,再根据直角三角形的性质可得 50AOC ,然后根据圆周角定理
即可得.
【详解】
如图,连接 PA、PD
∵AC是⊙O的切线
∴OA AC ,即 90OAC
∵ 40C
∴ 90 50AOC C
∴
1 25
2
APD AOC
故答案为:25.
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点,熟记圆周角定理是解题关键.
12.已知矩形 ABCD,对角线 AC与 BD相交于点 O,AB=6,BC=8,分别以点 O、D为圆心画圆,如果
⊙O与直线 AD相交、与直线 CD相离,且⊙D与⊙O内切,那么⊙D的半径长 r的取值范围是______.
【答案】8<r<9
【分析】
根据圆与圆的位置关系即可求出答案.
【详解】
解:设⊙O的半径为 r1,⊙D半径为 r,
由⊙O与直线 AD相交、与直线 CD相离可知:3<r1<4,
由题意可知:r>r1,否则⊙D与⊙O不能内切,
∵OD=
1
2
AC=5,
∴圆心距 d=5,
∴d=r﹣r1,
∴r=5+r1,
∴8<r<9,
故答案为:8<r<9.
【点睛】
考查了圆与圆的位置关系,解题关键是正确运用圆心距与两圆的半径的数量关系.
13.如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点 B,AC交⊙O于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD=______
度.
【答案】80
【分析】
根据切线的性质得到∠ABC=90°,根据直角三角形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可.
【详解】
解:∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∴∠A=90°-∠ACB=40°,
由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°.
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
14.如图, O 的半径OC垂直于弦 AB,过点 A作 O 的切线交OC的延长线于点 P,连结 BC,若
34APC ,则 ABC 等于__________度.
【答案】28
【分析】
连接 ,OA 利用切线的性质求解 ,AOP 利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解:连接 ,OA
AP 为 O 的切线,
90 ,OAP
34 ,APC
56 ,AOP
28 ,ABC
故答案为:28 .
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质:圆周角定理,圆的切线的性质,掌握以上的知识是解题的关键.
三、解答题
15.如图,已知△ABC内接于⊙O,点 D在 OC的延长线上,CD=CB,∠D=∠A
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若 BC=2,求 BD的长.
【答案】(1)见解析;(2)BD=2 3
【分析】
(1)由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC=90°,则∠OBD=90°,可得出结论;
(2)证明△OBC为等边三角形,得出∠BOC=60°,根据直角三角形的性质可得出答案.
【详解】
(1)证明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠BOC+2∠OBC=180°,
∵∠BOC=2∠A,
∴∠A+∠OBC=90°,
又∵BC=CD,
∴∠D=∠CBD,
∵∠A=∠D,
∴∠CBD+∠OBC=90°,
∴∠OBD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD是⊙O的切线;
(2)解:∵∠OBD=90°,∠D=∠CBD,
∴∠OBC=∠BOC,
∴OC=BC,
又∵OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∵BC=2,
∴OB=2,
∴BD=2 3.
【点睛】
本题考查切线的判定,等腰三角形的性质,圆周角定理,直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质,
熟练掌握切线的判定是解题的关键.
16.如图,AB与⊙O 相切于点 B,AO 交⊙O 于点 C,AO 的延长线交⊙O 于点 D,E是弧 BCD上不与 B,
D重合的点,∠A=30°.
(1)求∠BED的度数;
(2)点 F在 AB的延长线上,且 DF与⊙O 相切于点 D,求证:BF=AB.
【答案】(1)60°;(2)见解析.
【分析】
(1)如图,连接 , ,OB BD 利用圆的切线的性质,求解 , ,AOB BOD 利用圆周角定理可得答案;
(2)由圆的性质求解 30 ,BDA BAD 可得 ,AB BD 结合切线的性质证明 BDF 为等边三角形,
从而可得答案.
【详解】
解:(1)如图,连接 , ,OB BD
ABQ 为 O 的切线,
,OB AB
30 ,A
60 ,AOB
120 ,BOD
60 .BED
(2) , 120 , 30 ,OB OD BOD A
30 ,BDA OBD A
,BA BD
,AB DF 为 O 的切线,
60 ,DBF BDF
BDF 为等边三角形,
,BD BF
.AB BF
【点睛】
本题考查的是圆的切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质与判定,等边三角形的判定与性质,掌握
以上知识是解题的关键.
17.如图,⊙O的直径为 AB,点 C在圆周上(异于点 A,B),AD⊥CD.
(1)若 BC=3,AB=5,求 AC的长;
(2)若 AC是∠DAB的平分线,求证:直线 CD是⊙O的切线.
【答案】(1) AC=4;(2)详见解析.
【分析】
(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得 AC的长即可;
(2)连接 OC,证 OC⊥CD即可;利用角平分线的性质和等边对等角,可证得∠OCA=∠CAD,即可得到
OC∥AD,由于 AD⊥CD,那么 OC⊥CD,由此得证.
【详解】
解:(1)∵AB是⊙O直径,C在⊙O上,
∴∠ACB=90°,
又∵BC=3,AB=5,
∴由勾股定理得 AC=4;
(2)证明:连接 OC
∵AC是∠DAB的角平分线,
∴∠DAC=∠BAC,
又∵AD⊥DC,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠DCA=∠CBA,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC+∠OBC=90°,
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,
∴DC是⊙O的切线.
【点睛】
本题考查的知识点是切线的判定方法,解题关键是熟记要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接
圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
18.如图,OA、OB是⊙O的半径,OA OB ,C为OB延长线上一点,CD切⊙O于点D,E为 AD
与OC的交点,连结OD.已知CE =5,求线段CD的长.
【答案】5
【分析】
利用切线的性质与OA OB ,证明∠DEC=∠ADC,从而可得答案.
【详解】
解:∵CD切 O于点D,
∴∠ODC=90 ;
又∵OA⊥OC,即∠AOC=90 ,
∴∠A+∠AEO=90 ,∠ADO+∠ADC=90
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∴∠ADC=∠AEO;
又∵∠AEO=∠DEC,
∴∠DEC=∠ADC,
∴CD=CE,
∵CE=5,
∴CD=5.
【点睛】
本题考查的是圆的切线的性质,等腰三角形的判定,直角三角形的两锐角互余,掌握以上知识是解题的关
键.
19.如图,在△ABC 中,AB=AC,O 是边 AC 上的点,以 OC 为半径的圆分别交边 BC、AC 于点 D、E,
过点 D 作 DF⊥AB 于点 F.
(1)求证:直线 DF 是⊙O 的切线;
(2)若 OC=1,∠A=45°,求劣弧 DE 的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
3
4
π.
【分析】
(1)连结 OD,根据等腰三角形的性质得到 OD∥AB,根据平行线的性质得到∠ODF=90°,根据切线的
判定定理证明;
(2)根据平行线的性质得到∠AOD=180°﹣45°=135°,根据弧长公式计算即可.
【详解】
证明:如图,连结 OD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠ACB,
∴∠B=∠ODC,
∴OD∥AB,
∵DF⊥AB,
∴∠ODF=∠BFD=90°,
∵OD为半径,
∴直线 DF是⊙O的切线;
(2)解:∵∠A=45°,OD∥AB,
∴∠AOD=180°﹣45°=135°,
∴劣弧 DE的长为
135 3
180 4
.
【点睛】
本题主要考查了切线的判定及弧长的计算,熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.
20.己知:如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线 3 3 3y x 与 x轴、 y轴分别交于 ,A B两点,P是直
线 AB上一动点,⊙ P的半径为 2.
(1)判断原点O与⊙ P的位置关系,并说明理由;
(2)当⊙ P与 x轴相切时,求出切点的坐标.
【答案】(1)外部,理由见解析;(2)
23 3,0
3
或
23 3,0
3
.
【分析】
(1)先求出 OA,OB,进而根据三角形的面积公式求出O到直线 AB的距离 d ,即可得出结论;
(2)首先求得当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴下方时,点 D的坐标,然后利用对称性可以求得当⊙P与
x轴相切时,且位于 x轴上方时,点 D的坐标.
【详解】
解(1)令 x=0, 3 3 3y x = 3 3
∴ (0, 3 3)B ,
令 y=0, 3 3 3x =0,解得 x=3
∴ (3,0), (0, 3 3)A B
∴AO=3,OB=3 3
=6AB ,∠ABO=30
过O作OD⊥AB,
设O到直线 AB的距离为 d ,
∴d=
AO BO
AB
= 3 3 3
6
2
∴原点O在 P 的外部
(2)如图,当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴下方时,设切点为 D,
在 PD⊥x轴,
∴PD∥y轴,
∴∠APD=∠ABO=30 ,
∴在 Rt△DAP中,AD=DP•tan∠DPA=2×tan30 =
2 3
3
,
∴OD=OA−AD=3-
2 3
3
,
∴此时点 D的坐标为:(3-
2 3
3
,0);
当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴上方时,根据对称性可以求得此时切点的坐标为:(3+
2 3
3
,0);
综上可得:当⊙P与 x轴相切时,切点的坐标为:
23 3,0
3
或
23 3,0
3
.
【点睛】
此题考查了和圆有关的综合题,用到的知识点有一次函数图象上点的坐标的性质、切线的性质以及三角函
数等知识.注意准确作出辅助线,注意分类讨论思想的应用.
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