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  • 2021-11-06 发布

(浙教版)九年级数学下册 同步备课系列专题2

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第 2章 直线与圆的位置关系 2.1 直线与圆的位置关系(第 1课时) 一、单选题 1.如图, ABC 为 O 的一个内接三角形,过点 B作 O 的切线 PB与OA的延长线交于点 P.已知 34ACB  ,则 P 等于( ) A.17° B.27° C.32° D.22° 【答案】D 【分析】 连接 OB,利用圆周角定理求得∠AOB,再根据切线性质证得∠OBP=90°,利用直角三角形的两锐角互余即 可求解. 【详解】 解:连接 OB, ∵∠ACB=34°, ∴∠AOB=2∠ACB=68°, ∵PB为 O 的切线, ∴OB⊥PB,即∠OBP=90°, ∴∠P=90°﹣∠AOB=22°, 故选:D. 【点睛】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两锐角互余,熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解 答的关键. 2.在 ABC 中, 90 4 5C AC AB   , , ,以点C为圆心,R为半径作圆.若 C 与边 AB只有一 个公共点,则R的取值范围是( ) A. 12 5 R  B.3 4R„ „ C.0 3R  或 4R  D.3 4R „ 或 12 5 R  【答案】D 【分析】 先用勾股定理计算线段 BC的长,分两种讨论:若 C 与斜边 AB相切时,通过等积法计算 ABC 的面积, 可求得半径的长;若3 4R „ ,圆与边 AB也只有一个公共点,据此解题即可. 【详解】 如图,过点C作CD AB 于点D. 90 4 5ACB AC AB    , , , 3BC  . ①如果以点C为圆心, R为半径的圆与斜边 AB相切,则CD R .此时 1 1 12 2 2 5 CD AB AC BC R CD     , . ②当3 4R „ 时,圆与边 AB也只有一个公共点. 综上,3 4R „ 或 12 5 R  . 故选 D. 【点睛】 本题考查圆与直线的位置关、勾股定理、三角形的面积公式等,其中涉及分类讨论的数学思想,考点知识 综合性较强,难度适中,作出适当的辅助线是解题关键. 3.如图,过 O 上一点 P作 O 的切线,与直径 AB的延长线交于点 C,点 D是 O 上的一点,且 27BDP   ,则 C 的度数为( ) A. 27 B.33 C.36 D. 40 【答案】C 【分析】 连接 OP,由圆周角定理可得∠BOP的度数,由切线性质可得∠CPO的度数,即可算出∠C的度数. 【详解】 如图所示,连接 OP,则∠CPO=90°. ∵∠BDP=27°, ∴∠BOP=54°, ∴∠C=180°-90°-54°=36°. 故选 C. 【点睛】 本题考查圆周角定理和切线性质,关键在于根据题意作出合理的辅助线,同时利用圆周角定理和切线性质进 行角度转换. 4.如图,OA 交⊙O 于点 B,AD 切⊙O 于点 D,点 C 在⊙O 上.若∠A=40°,则∠C 为( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 【答案】B 【分析】 根据切线的性质得到∠ODA=90°,根据直角三角形的性质求出∠DOA,根据圆周角定理计算即可. 【详解】 解:∵ AD切 O 于点D ∴OD AD ∴ 90ODA ∠ ° ∵ 40A   ∴ 90 40 50DOA      ∴ 1 25 2 BCD DOA     故选:B 【点睛】 本题考查了切线的性质:圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质,结 合图形认真推导即可得解. 5.如图,AB 是⊙O 的弦,AC 与⊙O 相切于点 A,连接 OA,OB,若∠O=130°,则∠BAC 的度数是 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75° 【答案】B 【分析】 利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题. 【详解】 解:∵AC与⊙O相切于点 A, ∴AC⊥OA, ∴∠OAC=90°, ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA. ∵∠O=130°, ∴∠OAB=180 2 O =25°, ∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=90°﹣25°=65°. 故选:B. 【点睛】 本题考查的是切线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,掌握以上知识是解题的关键. 6.下列说法正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线 C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D.过圆的半径外端的直线是圆的切线 【答案】B 【分析】 根据切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,可判定 C、D错误;由切线的 定义:到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,可判定 A错误,B正确.注意排除法在解选择题中的 应用. 【详解】 解:A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误; B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确; C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误; D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误. 故选:B. 【点睛】 此题考查了切线的判定.此题难度不大,注意掌握切线的判定定理与切线的定义是解此题的关键. 7.如图,OA交 O 于点 B, AD切 O 于点D,点C在 O 上. 若 40A   ,则 C 为( ) A. 20 B. 25 C.30 D.35 【答案】B 【分析】 根据切线的性质得到∠ODA=90 ,根据直角三角形的性质求出∠DOA,根据圆周角定理计算即可. 【详解】 ∵AD切⊙O于点 D, ∴OD⊥AD, ∴∠ODA=90 , ∵∠A=40 , ∴∠DOA=90  -40  =50 , 由圆周角定理得,∠BCD= 1 2 ∠DOA=25°, 故选:B. 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键. 8.如图,AB为⊙O的切线,点 A为切点,OB交⊙O于点 C,点 D在⊙O上,连接 AD、CD、OA,若 ∠ADC=40°,则∠ABO的度数为( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 【答案】A 【分析】 根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论. 【详解】 ∵AB为圆 O的切线, ∴AB⊥OA,即∠OAB=90°, ∵∠ADC=40°, ∴∠AOB=2∠ADC=80°, ∴∠ABO=90°−80°=10°. 故选:A. 【点睛】 此题考查了切线的性质,以及圆周角定理,熟练掌握切线的性质是解本题的关键. 二、填空题 9.若 O☉ 的半径为5,点O到直线 l的距离为 d ,且直线 l与 O 相交,则 d ______ 5.(填“>”或“<” 或“=”) 【答案】 【分析】 根据直线与圆相交得到圆心到直线的距离小于半径. 【详解】 解:∵直线 l与 O 相交, ∴圆心到直线的距离小于半径,即 5d  . 故答案是:<. 【点睛】 本题考查圆与直线的位置关系,解题的关键是掌握圆与直线相交的性质. 10.如图, PA、 PB分别切 O 于点 A、 B,点 E是 O 上一点,且 60AEB  ,则 P  ________ 度. 【答案】60 【分析】 由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°,PA、PB分别切⊙O于点 A、B,利用切线的性质可知 ∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形内角和可求得∠P=180°-∠AOB=60°. 【详解】 解: ∵∠AOB=2∠E=120°, ∴∠OAP=∠OBP=90°, ∴∠P=180°-∠AOB=60°. 故答案为:60 【点睛】 本题利用了圆周角定理,切线的性质,四边形的内角和为 360度求解. 11.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,连接 OC 与⊙O 相交于点 D,连接 BD,∠C=40°,若点 P 为优弧ABD上的动点,连接 PA、PD,则∠APD 的大小是_____度. 【答案】25 【分析】 先根据圆的切线的性质得出OA AC ,再根据直角三角形的性质可得 50AOC  ,然后根据圆周角定理 即可得. 【详解】 如图,连接 PA、PD ∵AC是⊙O的切线 ∴OA AC ,即 90OAC   ∵ 40C   ∴ 90 50AOC C     ∴ 1 25 2 APD AOC     故答案为:25. 【点睛】 本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点,熟记圆周角定理是解题关键. 12.已知矩形 ABCD,对角线 AC与 BD相交于点 O,AB=6,BC=8,分别以点 O、D为圆心画圆,如果 ⊙O与直线 AD相交、与直线 CD相离,且⊙D与⊙O内切,那么⊙D的半径长 r的取值范围是______. 【答案】8<r<9 【分析】 根据圆与圆的位置关系即可求出答案. 【详解】 解:设⊙O的半径为 r1,⊙D半径为 r, 由⊙O与直线 AD相交、与直线 CD相离可知:3<r1<4, 由题意可知:r>r1,否则⊙D与⊙O不能内切, ∵OD= 1 2 AC=5, ∴圆心距 d=5, ∴d=r﹣r1, ∴r=5+r1, ∴8<r<9, 故答案为:8<r<9. 【点睛】 考查了圆与圆的位置关系,解题关键是正确运用圆心距与两圆的半径的数量关系. 13.如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点 B,AC交⊙O于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD=______ 度. 【答案】80 【分析】 根据切线的性质得到∠ABC=90°,根据直角三角形的性质求出∠A,根据圆周角定理计算即可. 【详解】 解:∵BC是⊙O的切线, ∴∠ABC=90°, ∴∠A=90°-∠ACB=40°, 由圆周角定理得,∠BOD=2∠A=80°. 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键. 14.如图, O 的半径OC垂直于弦 AB,过点 A作 O 的切线交OC的延长线于点 P,连结 BC,若 34APC  ,则 ABC 等于__________度. 【答案】28 【分析】 连接 ,OA 利用切线的性质求解 ,AOP 利用圆周角定理可得答案. 【详解】 解:连接 ,OA AP 为 O 的切线, 90 ,OAP   34 ,APC   56 ,AOP   28 ,ABC   故答案为:28 . 【点睛】 本题考查的是圆的基本性质:圆周角定理,圆的切线的性质,掌握以上的知识是解题的关键. 三、解答题 15.如图,已知△ABC内接于⊙O,点 D在 OC的延长线上,CD=CB,∠D=∠A (1)求证:BD是⊙O的切线; (2)若 BC=2,求 BD的长. 【答案】(1)见解析;(2)BD=2 3 【分析】 (1)由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC=90°,则∠OBD=90°,可得出结论; (2)证明△OBC为等边三角形,得出∠BOC=60°,根据直角三角形的性质可得出答案. 【详解】 (1)证明:∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠BOC+2∠OBC=180°, ∵∠BOC=2∠A, ∴∠A+∠OBC=90°, 又∵BC=CD, ∴∠D=∠CBD, ∵∠A=∠D, ∴∠CBD+∠OBC=90°, ∴∠OBD=90°, ∴OB⊥BD, ∴BD是⊙O的切线; (2)解:∵∠OBD=90°,∠D=∠CBD, ∴∠OBC=∠BOC, ∴OC=BC, 又∵OB=OC, ∴△OBC为等边三角形, ∴∠BOC=60°, ∵BC=2, ∴OB=2, ∴BD=2 3. 【点睛】 本题考查切线的判定,等腰三角形的性质,圆周角定理,直角三角形的性质,等边三角形的判定与性质, 熟练掌握切线的判定是解题的关键. 16.如图,AB与⊙O 相切于点 B,AO 交⊙O 于点 C,AO 的延长线交⊙O 于点 D,E是弧 BCD上不与 B, D重合的点,∠A=30°. (1)求∠BED的度数; (2)点 F在 AB的延长线上,且 DF与⊙O 相切于点 D,求证:BF=AB. 【答案】(1)60°;(2)见解析. 【分析】 (1)如图,连接 , ,OB BD 利用圆的切线的性质,求解 , ,AOB BOD  利用圆周角定理可得答案; (2)由圆的性质求解 30 ,BDA BAD     可得 ,AB BD 结合切线的性质证明 BDF 为等边三角形, 从而可得答案. 【详解】 解:(1)如图,连接 , ,OB BD ABQ 为 O 的切线, ,OB AB  30 ,A   60 ,AOB   120 ,BOD   60 .BED   (2) , 120 , 30 ,OB OD BOD A       30 ,BDA OBD A       ,BA BD  ,AB DF 为 O 的切线, 60 ,DBF BDF     BDF 为等边三角形, ,BD BF  .AB BF  【点睛】 本题考查的是圆的切线的性质,圆周角定理,等腰三角形的性质与判定,等边三角形的判定与性质,掌握 以上知识是解题的关键. 17.如图,⊙O的直径为 AB,点 C在圆周上(异于点 A,B),AD⊥CD. (1)若 BC=3,AB=5,求 AC的长; (2)若 AC是∠DAB的平分线,求证:直线 CD是⊙O的切线. 【答案】(1) AC=4;(2)详见解析. 【分析】 (1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形,然后利用勾股定理求得 AC的长即可; (2)连接 OC,证 OC⊥CD即可;利用角平分线的性质和等边对等角,可证得∠OCA=∠CAD,即可得到 OC∥AD,由于 AD⊥CD,那么 OC⊥CD,由此得证. 【详解】 解:(1)∵AB是⊙O直径,C在⊙O上, ∴∠ACB=90°, 又∵BC=3,AB=5, ∴由勾股定理得 AC=4; (2)证明:连接 OC ∵AC是∠DAB的角平分线, ∴∠DAC=∠BAC, 又∵AD⊥DC, ∴∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴∠DCA=∠CBA, 又∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵∠OAC+∠OBC=90°, ∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°, ∴DC是⊙O的切线. 【点睛】 本题考查的知识点是切线的判定方法,解题关键是熟记要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接 圆心与这点(即为半径),再证垂直即可. 18.如图,OA、OB是⊙O的半径,OA OB ,C为OB延长线上一点,CD切⊙O于点D,E为 AD 与OC的交点,连结OD.已知CE =5,求线段CD的长. 【答案】5 【分析】 利用切线的性质与OA OB ,证明∠DEC=∠ADC,从而可得答案. 【详解】 解:∵CD切 O于点D, ∴∠ODC=90 ; 又∵OA⊥OC,即∠AOC=90 , ∴∠A+∠AEO=90 ,∠ADO+∠ADC=90 ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∴∠ADC=∠AEO; 又∵∠AEO=∠DEC, ∴∠DEC=∠ADC, ∴CD=CE, ∵CE=5, ∴CD=5. 【点睛】 本题考查的是圆的切线的性质,等腰三角形的判定,直角三角形的两锐角互余,掌握以上知识是解题的关 键. 19.如图,在△ABC 中,AB=AC,O 是边 AC 上的点,以 OC 为半径的圆分别交边 BC、AC 于点 D、E, 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F. (1)求证:直线 DF 是⊙O 的切线; (2)若 OC=1,∠A=45°,求劣弧 DE 的长. 【答案】(1)详见解析;(2) 3 4 π. 【分析】 (1)连结 OD,根据等腰三角形的性质得到 OD∥AB,根据平行线的性质得到∠ODF=90°,根据切线的 判定定理证明; (2)根据平行线的性质得到∠AOD=180°﹣45°=135°,根据弧长公式计算即可. 【详解】 证明:如图,连结 OD, ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∵OC=OD, ∴∠ODC=∠ACB, ∴∠B=∠ODC, ∴OD∥AB, ∵DF⊥AB, ∴∠ODF=∠BFD=90°, ∵OD为半径, ∴直线 DF是⊙O的切线; (2)解:∵∠A=45°,OD∥AB, ∴∠AOD=180°﹣45°=135°, ∴劣弧 DE的长为 135 3 180 4    . 【点睛】 本题主要考查了切线的判定及弧长的计算,熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键. 20.己知:如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线 3 3 3y x  与 x轴、 y轴分别交于 ,A B两点,P是直 线 AB上一动点,⊙ P的半径为 2. (1)判断原点O与⊙ P的位置关系,并说明理由; (2)当⊙ P与 x轴相切时,求出切点的坐标. 【答案】(1)外部,理由见解析;(2) 23 3,0 3      或 23 3,0 3      . 【分析】 (1)先求出 OA,OB,进而根据三角形的面积公式求出O到直线 AB的距离 d ,即可得出结论; (2)首先求得当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴下方时,点 D的坐标,然后利用对称性可以求得当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴上方时,点 D的坐标. 【详解】 解(1)令 x=0, 3 3 3y x  = 3 3 ∴ (0, 3 3)B  , 令 y=0, 3 3 3x  =0,解得 x=3 ∴ (3,0), (0, 3 3)A B  ∴AO=3,OB=3 3 =6AB ,∠ABO=30  过O作OD⊥AB, 设O到直线 AB的距离为 d , ∴d= AO BO AB  = 3 3 3 6  2 ∴原点O在 P 的外部 (2)如图,当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴下方时,设切点为 D, 在 PD⊥x轴, ∴PD∥y轴, ∴∠APD=∠ABO=30 , ∴在 Rt△DAP中,AD=DP•tan∠DPA=2×tan30 = 2 3 3 , ∴OD=OA−AD=3- 2 3 3 , ∴此时点 D的坐标为:(3- 2 3 3 ,0); 当⊙P与 x轴相切时,且位于 x轴上方时,根据对称性可以求得此时切点的坐标为:(3+ 2 3 3 ,0); 综上可得:当⊙P与 x轴相切时,切点的坐标为: 23 3,0 3      或 23 3,0 3      . 【点睛】 此题考查了和圆有关的综合题,用到的知识点有一次函数图象上点的坐标的性质、切线的性质以及三角函 数等知识.注意准确作出辅助线,注意分类讨论思想的应用.