人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与分割面积 29页

二次函数与分割面积 ‎1.已知如图，中，，与轴平行，点在轴上，点在轴上，抛物线经过的三个顶点．‎ ‎（）求出该抛物线的解析式；‎ ‎（）若直线将四边形面积平分，求此直线的解析式．‎ ‎（）若直线将四边形的周长和面积同时分成相等的两部分，请你确定中的取值范围．‎ 解析：（）由题意可知，抛物线的对称轴为：，与轴交点为，‎ ‎∴，，‎ 把代入得：，‎ 解之得：，‎ ‎∴．‎ ‎（）直线将四边形面积平分，则直线一定经过的中点．‎ 根据题意可求点坐标为，‎ 把代入得：，‎ ‎∴直线的解析式为：．‎ ‎（）或．‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的负半轴上，．‎ ‎（）求过点、、的抛物线的解析式；‎ ‎（）在（）中抛物线的对称轴上是否存在点，使的值最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（）在（）中轴下方的抛物线上是否存在一点，过点作轴的垂线，交直线于点，线段把分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形面积比为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（）过点作轴于点，‎ ‎∵，的坐标为，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 设抛物线的解析式为，‎ 代入点，得，‎ ‎∴．‎ ‎（）存在．理由如下：‎ 设抛物线的对称轴交轴于点．‎ 当点位于对称轴与线段的交点时，的值最小．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（）存在．理由如下：‎ 如图，连结，‎ 设，直线为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴直线为．‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎，‎ 若，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去）．‎ ‎∴．‎ 若，‎ ‎∴．‎ 解得或．‎ ‎，不符合题意．‎ ‎∴存在，满足题意．‎ ‎3.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于、两点，点的坐标为．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；‎ ‎（2）点是第二象限内抛物线上的一动点，若直线把四边形分成面积为的两部分，求出此时点的坐标；‎ ‎（3）点是第二象限内抛物线上的一动点，问：点在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点的坐标．‎ 解析：（1）由题意，得：‎ 解得：‎ 所以，所求二次函数的解析式为：‎ 顶点的坐标为．‎ ‎（2）‎ 易求四边形的面积为．‎ 可得直线的解析式为．‎ 设直线与直线交于点，则的面积可以为或．‎ ‎①当时，‎ 易得点坐标，直线的解析式为．‎ 设点坐标，‎ ‎（舍），‎ ‎∴‎ ‎②当时，同理可得点坐标．‎ ‎∴点坐标为．‎ ‎（3）连接，设点的坐标为，‎ 因为点在抛物线上，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ 因为，所以当时，．的面积有最大值．‎ 所以当点的坐标为时，的面积有最大值，且最大值为．‎ ‎4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是二次函数图象上、两点之间的一个动点（不与点、重合），设点的横坐标为，过点作轴的垂线交于点，作于点．‎ ‎（1）求及的值；‎ ‎（2）用含的代数式表示线段的长；‎ ‎（3）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为．如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴，．‎ ‎∵点在轴负半轴上，‎ ‎∴，．‎ ‎∵点在一次函数的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴一次函数表达式为．‎ 设直线交轴于点，则，，‎ ‎∵轴交于点，‎ ‎∴轴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵点在二次函数图象上且横坐标为，‎ ‎∴，‎ ‎∵轴且点在一次函数的图象上，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵于点，‎ ‎∴在中，，‎ ‎∴．‎ ‎（3）的值为和．‎ ‎5.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是直线下方的抛物线上的一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交直线于点，作于点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点的横坐标为．‎ ‎（Ⅰ）用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；‎ ‎（Ⅱ）连结，线段把分成两个三角形，是否存在适合的的值，使这两个三角形的面积比为．若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）在中，当时，；当时，．‎ ‎、．‎ 将、分别代入中，‎ 得，‎ 解得．‎ ‎∴所求解析式为．‎ ‎（2）①设直线交轴于点，求得，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴．‎ 设，则，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴的最大值为．‎ ‎②当或时，把分成两个三角形的面积比为．‎ ‎6.已知：如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边随着顶点在抛物线上运动而运动，且始终有轴．‎ ‎（）当顶点运动至与原点重合时，顶点是否在该抛物线上？‎ ‎（）在运动过程中有可能被轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为（即）时，求顶点的坐标；‎ ‎（）在运动过程中，当顶点落在坐标轴上时，直接写出顶点的坐标．‎ 解析：（）当顶点运动至与原点重合时，设与轴交于点，如图所示．‎ ‎∵轴，，‎ ‎∴，．‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎∵当时，．‎ ‎∴当顶点运动至与原点重合时，顶点在抛物线上．‎ ‎（）过点作于点，‎ 设点的坐标为．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵等边的边长为，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 解方程，得．‎ ‎∴顶点的坐标为或．‎ ‎（）当顶点落在坐标轴上时，顶点的坐标为、、．‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且对称轴为直线．点、均在抛物线上，点位于对称轴右侧，点位于对称轴左侧．垂直对称轴于点，垂直对称轴于点，且．设点的横坐标为．‎ ‎（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）求点的坐标（用含的式子表示）；‎ ‎（3）请探究是否成立，并说明理由．‎ ‎（4）抛物线（）经过、、三点，若其对称轴把四边形分成面积比为的两部分，直接写出此时的值．‎ 解析：（1）∵抛物线经过点，且对称轴为直线 ‎∴解得 ‎∴这条抛物线所对应的函数关系式为 ‎（2）由题意知，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴点的横坐标为 ‎∴点的纵坐标为 ‎∴‎ ‎（3）成立 理由如下：‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（4）‎ 提示：∵点的横坐标为，点的横坐标为，‎ 轴，抛物线（）经过、、三点 设其对称轴分别与、相交于点、‎ 则 ‎∵，∴‎ ‎∵对称轴把四边形分成面积比为的两部分 ‎∴，∴‎ 解得（舍去），‎ ‎∴ ‎ ‎8.已知：如图，菱形中，对角线，相交于点，且，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，直线从点出发，沿方向匀速运动，速度为，，且与，，‎ 分别交于点，，；当直线停止运动时，点也停止运动．连接，设运动时间为（）（）．解答下列问题：‎ ‎（1）当为何值时，四边形是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形的面积为（），求与之间的函数关系式；‎ ‎（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值，并求出此时，两点间的距离；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）‎ ‎∵四边形是菱形，‎ ‎∴，，，‎ 在中，‎ ‎∵，∴‎ 又∵，∴．‎ ‎∴，即，∴‎ ‎∵四边形是平行四边形，∴‎ 即，解得．‎ ‎∴当时，四边形是平行四边形 ‎（2）过点作于点 ‎∵‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 即，∴‎ 同理，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）若 则 即，解得，（舍去）‎ 过点作于点，于点 当时 ‎∵，∴‎ 即，∴，‎ ‎∴‎ 在中 ‎（）‎ ‎9.如图1，菱形中，，点从出发，以的速度沿边、、匀速运动到终止；点从与同时出发，沿边匀速运动到终止．设点运动的时间为（），的面积（）与（）之间函数关系的图象由图2中的曲线段与线段、给出．‎ ‎（1）求点运动的速度；‎ ‎（2）求图中线段的函数关系式；‎ ‎（3）问：是否存在这样的，使将菱形的面积恰好分成的两部分？若存在，求出这样的的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）‎ ‎∵点始终在上作匀速运动 ‎∴它运动的速度可设为 过点作于 当点在上运动时，，则 此时，‎ 是关于的二次函数 当点在上运动时，‎ 此时，‎ 是关于的一次函数 ‎∴图中的图象对应着点由运动到的过程中与之间的函数关系 ‎∴在函数的图象上 ‎∴，∴‎ 即点运动速度为 ‎（2）‎ 当点运动到点时，，∴‎ 当点在上运动到时，点恰好运动到点 当点由运动到时，点始终在点 ‎∴图中的图象对应的是点在点、‎ 点在上运动时与之间的函数关系 此时，‎ 此时 ‎∴的函数关系式为（）‎ ‎（3）‎ 当点在上运动时，‎ 将菱形分成和五边形 此时的面积 根据题意，得 解得（秒）‎ 当点在上运动时，‎ 将菱形分成四边形和四边形 由题意，方向匀速运动，速度为 即 解得（秒）‎ ‎∴存在和，使将菱形的面积恰好分成的两部分 ‎10.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，点在轴上，点的纵坐标为．点是直线下方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交直线于点，作于点．‎ ‎（1）求、及的值；‎ ‎（2）设点的横坐标为．‎ ‎（Ⅰ）用含的代数式表示线段的长，并求出线段长的最大值；‎ ‎（Ⅱ）连接，线段把分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由．‎ 解析：（1）‎ 由，得，∴‎ 由，得，∴‎ ‎∵抛物线经过、两点 ‎∴∴，‎ 设直线与轴交于点，则 ‎∵轴，∴.‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的解析式为 ‎∴，‎ 在中，‎ ‎∵，∴当时，有最大值 ‎②存在满足条件的值，或 提示：‎ 分别过点、作，，垂足分别为、‎ 在中，‎ 又 ‎∴‎ 当时，解得 当时，解得 ‎11.如图，在平面直角坐标系中，点，为两动点，其中，连接，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当时，抛物线经过，两点且以轴为对称轴，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于，两点．‎ ‎（Ⅰ）若直线平分的面积，求直线的解析式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线l使得？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．‎ 解析：（1）证明：作轴于，轴于 ‎∵，，∴，，，‎ 又，易证 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ 解：∵‎ ‎∴‎ 化简得 ‎∵，∴，代入上式得 即，，‎ ‎∵，∴不合题意，应舍去 ‎∴，∴，∴，‎ ‎∵抛物线经过，两点且以轴为对称轴 ‎∴设抛物线的解析式为 ‎∴解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎（3）‎ ‎①设直线的解析式为 ‎∴解得 ‎∴直线的解析式为，令，得 ‎∴‎ ‎∵，，∴‎ ‎∴，‎ ‎∵直线平分的面积，∴直线只能与边相交，设交点为 则，∴，∴‎ ‎∵∴‎ 由，，得直线的解析式为 ‎②‎ ‎∵，∴‎ 作轴于，轴于 设，则 易证，得，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵点在抛物线上 ‎∴，解得 ‎∴或 由，，得直线l的解析式为 由，，得直线l的解析式为