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  • 2021-11-06 发布

2020-2021学年初三数学上册同步练习:二次函数y=ax2的图像和性质

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2020-2021 学年初三数学上册同步练习:二次函数 y=ax2 的图像和性质 1.下列说法错误的是( ) A.二次函数 y=-2x2 中,当 x=0 时,y 有最大值是 0 B.二次函数 y=4x2 中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 C.在三条抛物线 y=2x2,y=-0.5x2,y=-x2 中,y=2x2 的图象开口最大,y=-x2 的图象开口最小 D.不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 【答案】C 【解析】【分析】 根据二次项系数的符号,决定了抛物线的开口方向,最大(小)值,其绝对值的大小,决定了抛物线的开 口大小对选项逐一判断即可. 【详解】 A、a=-2<0,抛物线开口向下,当 x=0 时,y 有最大值是 0,故该选项正确; B、二次函数 y=4x2 中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,故该选正确; C、因为|2|>|-1|>|-0.5|,所以,y=2x2 的图象开口最小,y=-0.5x2 的图象开口最大,故该选错误; D、不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点,故该选正确. 故选 C. 【点评】本题考查了抛物线 y=ax2 的性质:①图象是一条抛物线;②开口方向与 a 有关;③对称轴是 y 轴; ④顶点(0,0). 2.下列说法中错误的是( ) A.在函数 y=﹣x2 中,当 x=0 时 y 有最大值 0 B.在函数 y=2x2 中,当 x>0 时 y 随 x 的增大而增大 C.抛物线 y=2x2,y=﹣x2,y=﹣ 21 2 x 中,抛物线 y=2x2 的开口最小,抛物线 y=﹣x2 的开口最大 D.不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点 【答案】C 【解析】由函数的解析式 y=-x2,可知 a=-1<0,得到函数的开口向下,有最大值 y=0,故 A 正确; 由函数的解析式 y=2x2,可知其对称轴为 y 轴,对称轴的左边(x<0), y 随 x 增大而减小,对称轴的右边 (x>0), y 随 x 增大而增大,故 B 正确; 根据二次函数的性质,可知系数 a 决定开口方向和开口大小,且 a 的值越大开口越小,可知抛物线 y=2x2 的开口最小,抛物线 y=-x2 的开口第二小,而 21 2 x 开口最大,故不正确; 不论 a 是正数还是负数,抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点,正确. 故选 C. 【点评】此题主要考查了二次函数的图像与性质,解题关键是明确 y=ax2 的图像的特点,直接按断即可. 3.在二次函数①y=3x2;② 2224;33yxyx③ 中,图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该 为( ) A.①>②>③ B.①>③>② C.②>③>① D.②>①>③ 【答案】C 【解析】根据二次函数的性质,可知系数 a 决定开口方向和开口大小,且 a 的值越大开口越小,因此可知② >③>①. 故选:C. 4.若对任意实数 x,二次函数 y=(a+1)x2 的值总是非负数,则 a 的取值范围是() A.a≥-1 B.a≤-1 C.a>-1 D.a<-1 【答案】C 【解析】∵若对任意实数 x,二次函数 y=(a+1)x2 的值总是非负数, ∴其图象开口应该向上, ∴a+1>0,解得 a>-1. 故选 C. 5.二次函数 y=-6x2,当 x1>x2>0 时,y1 与 y2 的大小关系为____. 【答案】y1<y2 【解析】试题分析:由函数的解析式可知 a=-6,函数的开口线下,在 x>0 时,y 随 x 增大而减小,因此可 知当 x1>x2>0 时,y1<y2. 故答案为 y1<y2 6.已知二次函数 y 甲=mx2 和 y 乙=nx2,对任意给定一个 x 值都有 y 甲≥y 乙,关于 m,n 的关系正确的是_____(填 序号). ①m0,n<0 ③m<0,n>0 ④m>n>0 【答案】②④ 【解析】∵x2 一定不小于 0,则由条件“对应任意给定的 x 的值,都有 y 甲  y 乙”可知:存在以下 3 种情况: (1)若 y 甲和 y 乙都为正数,则 m>0,n>0 且 m>n,即 m>n>0; (2)若 y 甲为正数,y 乙为负数,则 m>0,n<0; (3)若都为负数时,则 n<m<0; ∴关于 m,n 的关系正确的是② 、④ . 7.若函数 y=3x2 的图象与直线 y=kx+3 的交点为(2,b),则 k=_____,b=______. 【答案】 9 2 , 12 【解析】根据题意,把交点坐标(2,b)代入 y=3x2 可得 b=3×4=12,即交点为(2,12),代入 y=kx+3 可 得 k= 9 2 . 故答案为: 9 2 ,12. 8.若抛物线 y=ax2 经过点 A ( 3 ,-9),则其解析式为_______________。 【答案】y=-3x2 【解析】把点 A ( 3 ? 9), 代入: 2y a x 得, 39a  ,解得: 3a  , ∴该抛物线的解析式为: 23yx . 9.二次函数 y=ax2 与直线 y=2x-1 的图象交于点 P(1,m). (1)求 a、m 的值; (2)写出二次函数的表达式,并指出 x 取何值时,该表达式的 y 随 x 的增大而增大? (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 【答案】(1) a=1,m=1;(2)二次函数的表达式:y=x2,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大;(3)顶点坐标为(0, 0),对称轴为 y 轴. 【解析】试题分析:(1)利用待定系数发先求出 m 的值,然后再代入求出 a 的值; (2)根据函数的解析式和图像的性质直接可写出; (3)根据函数的图形与性质求出顶点和对称轴即可. 试题解析:(1)将(1,m)代入 y=2x-1,得 m=2×1-1=1.所以P点坐标为(1,1). 将 P 点坐标(1,1)代入y=ax2,得 1=a×12, 得 a=1. 即 a=1,m=1. (2)二次函数的表 达式:y=x2, 当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大. (3)顶点坐标为(0,0),对称轴为 y 轴. 10.在同一个直角坐标系中作出 y= 1 2 x2,y= x2-1 的图象. (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标; (2)抛物线 y= x2-1 与抛物线 y= x2 有什么关系? 【答案】见解析 【解析】试题分析:观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上,对称轴也都是 y 轴,顶点坐标 分别是(0,0),(0,-1);根据二次函数的性质及图像知道抛物线 y= 1 2 x2-1 与抛物线 y= x2 形状相同,对 称轴相同,但是位置不同,开口方向也相同,所以可以得到抛物线 y= x2-1 可由抛物线 y= x2 向下平 移 1 个单位长度得到的。 解:如图所示: (1)抛物线 y= x2 开口向上,对称轴为 y 轴,顶点坐标(0,0); 抛物线 y= x2-1 开口向上,对称轴为 y 轴,顶点坐标(0,-1). (2)抛物线 y= x2-1 可由抛物线 y= x2 向下平移 1 个单位长度得到. 11.抛物线 y=ax2 与直线 y=2x-3 交于点(1,b). (1)求 a,b 的值. (2)抛物线 y=ax2 的图象上是否存在一点 P,使其到两坐标轴的距离相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不 存在,请说明理由. 【答案】(1) a=-1, b=-1; (2) 存在,理由见解析.. 【解析】分析:(1)将点(1,b)代入到直线 y = 2x-3,可以得出 b = -1,再将(1,-1)代入到抛物线求出 a、b;(2)P(m, n)点到两坐标轴距离相等,即|m| = |n|,也即 m²= n²两点相交,即相交点符合两个函数方程,可以得出二次 函数,并且要把握住 P(m,n)点到两坐标轴距离相等,即|m| = |n|,也即 m² = n² ,然后在 n = −m²- m² 中 把 m² 换为 n² ,求出 n 的值,最后得到 m 的值,即可得到 P 的坐标. 本题解析: (1)∵直线 y=2x-3 过点(1,b), ∴b=2×1-3=-1,∴交点坐标为(1,-1). ∵抛物线 y=ax2 过点(1,-1), ∴-1=a×1 2,∴a=-1. (2)若存在点 P,设点 P 的坐标为(x,y), 则|x|=|y|. ∵a=-1,∴y=-x2, ∴x2=|x|,∴x=0 或 x=±1 , ∴点 P 的坐标为(0,0)或(1,-1)或(-1,-1). 【点评】本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.确定二次函数解析式时, 要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶 点坐标时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与 x 轴有两个交点时,通常设函数解析式为交点式.