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  • 2021-11-06 发布

决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题02一次方程组的含参及应用问题试题

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专题 02一次方程(组)的含参及应用问题 ‎【考点1】一次方程的有关定义 ‎【例1】(2019•呼和浩特)关于x的方程mx2m﹣1+(m﹣1)x﹣2=0如果是一元一次方程,则其解为 ________ .‎ ‎【答案】x=2或x=﹣2或x=﹣3‎ ‎【解析】∵关于x的方程mx2m﹣1+(m﹣1)x﹣2=0如果是一元一次方程,‎ ‎∴当m=1时,方程为x﹣2=0,解得:x=2;‎ 当m=0时,方程为﹣x﹣2=0,解得:x=﹣2;‎ 当2m﹣1=0,即m时,方程为x﹣2=0,‎ 解得:x=﹣3,‎ 故答案为:x=2或x=﹣2或x=﹣3.‎ 点睛:此题考查了一元一次方程的定义,熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键.‎ ‎【变式1-1】(2019•湘西州)若关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,则k的值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2=0的解为2,‎ ‎∴3×2﹣2k+2=0,‎ 解得:k=4.‎ 故答案为:4.‎ 点睛:此题主要考查了一元一次方程的解,正确把已知数据代入是解题关键.‎ ‎【变式1-2】(2019•常州)若是关于x、y的二元一次方程ax+y=3的解,则a=  .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】把代入二元一次方程ax+y=3中,‎ a+2=3,解得a=1.‎ 故答案是:1.‎ 点睛:本题运用了二元一次方程的解的知识点,运算准确是解决此题的关键.‎ ‎【考点2】方程组的解法 ‎【例2】(2019•南通)已知a,b满足方程组,则a+b的值为(  )‎ A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎①+②得:5a+5b=10,‎ 则a+b=2,‎ 故选:A.‎ 点睛:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎【变式2-1】(2019•荆门)已知实数x,y满足方程组则x2﹣2y2的值为(  )‎ A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎①+②×2,得5x=5,解得x=1,‎ 把x=1代入②得,1+y=2,解得y=1,‎ ‎∴x2﹣2y2=12﹣2×12=1﹣2=﹣1.‎ 故选:A.‎ 点睛:此题主要考查了二元一次方程组解的定义.以及解二元一次方程组的基本方法.正确解关于x、y的方程组是关键.‎ ‎【考点3】方程组的含参问题 ‎【例3】(2019•朝阳)关于x,y的二元一次方程组的解是,则m+n的值为(  )‎ A.4 B.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】D ‎【解析】把代入得:,‎ 解得:,‎ 则m+n=0,‎ 故选:D.‎ 点睛:此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.‎ ‎【变式3-1】(2019•菏泽)已知是方程组的解,则a+b的值是(  )‎ A.﹣1 B.1 C.﹣5 D.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】将代入,‎ 可得:,‎ 两式相加:a+b=﹣1,‎ 故选:A.‎ 点睛:本题考查二元一次方程组的解,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法,本题属于基础题型.‎ ‎【变式3-2】(2019•巴中)已知关于x、y的二元一次方程组的解是,则a+b的值是(  )‎ A.1 B.2 C.﹣1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】将代入得:‎ ‎,‎ ‎∴a+b=2;‎ 故选:B.‎ 点睛:本题考查二元一次方程组的解;熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键.‎ ‎【考点4】二元一次方程的方案问题 ‎【例4】(2019•天门)把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管,且没有余料,设某种截法中1m长的钢管有a根,则a的值可能有(  )‎ A.3种 B.4种 C.5种 D.9种 ‎【答案】B ‎【解析】设2m的钢管b根,根据题意得:‎ a+2b=9,‎ ‎∵a、b均为整数,‎ ‎∴,,,.‎ 故选:B.‎ 点睛:本题运用了二元一次方程的整数解的知识点,运算准确是解此题的关键.‎ ‎【变式4-1】(2019•齐齐哈尔)学校计划购买A和B两种品牌的足球,已知一个A品牌足球60元,一个B品牌足球75元.学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球(两种足球都买),该学校的购买方案共有(  )‎ A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 ‎【答案】B ‎【解析】设购买A品牌足球x个,购买B品牌足球y个,‎ 依题意,得:60x+75y=1500,‎ ‎∴y=20x.‎ ‎∵x,y均为正整数,‎ ‎∴,,,,‎ ‎∴该学校共有4种购买方案.‎ 故选:B.‎ 点睛:本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程.‎ ‎【考点5】一次方程组的应用问题 ‎【例5】(2019•娄底)某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱,矿泉水的成本价与销售价如表(二)所示:‎ 类别 成本价(元/箱)‎ 销售价(元/箱)‎ 甲 ‎25‎ ‎35‎ 乙 ‎35‎ ‎48‎ 求:(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱?‎ ‎(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利多少元?‎ ‎【答案】(1)购进甲矿泉水300箱,购进乙矿泉水200箱;‎ ‎(2)该商场售完这500箱矿泉水,可获利5600元.‎ ‎【解析】(1)设购进甲矿泉水x箱,购进乙矿泉水y箱,‎ 依题意,得:,‎ 解得:.‎ 答:购进甲矿泉水300箱,购进乙矿泉水200箱.‎ ‎(2)(35﹣25)×300+(48﹣35)×200=5600(元).‎ 答:该商场售完这500箱矿泉水,可获利5600元.‎ 点睛:本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.‎ ‎【变式5-1】(2019•百色)一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行,从甲地到乙地顺流航行用6小时,逆流航行比顺流航行多用4小时.‎ ‎(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度;‎ ‎(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头,使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同,问甲、丙两地相距多少干米?‎ ‎【答案】(1)该轮船在静水中的速度是12千米/小时,水流速度是3千米/小时;‎ ‎(2)甲、丙两地相距千米.‎ ‎【解析】(1)设该轮船在静水中的速度是x千米/小时,水流速度是y千米/小时,‎ 依题意,得:,‎ 解得:.‎ 答:该轮船在静水中的速度是12千米/小时,水流速度是3千米/小时.‎ ‎(2)设甲、丙两地相距a千米,则乙、丙两地相距(90﹣a)千米,‎ 依题意,得:,‎ 解得:a.‎ 答:甲、丙两地相距千米.‎ 点睛:本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.‎ ‎【变式5-2】(2019•呼和浩特)滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:‎ 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 ‎1.8元/公里 ‎0.3元/分钟 ‎0.8元/公里 注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方式为:行车里程7公里以内(含7公里)不收远途费,超过7公里的,超出部分每公里收0.8元.‎ 小王与小张各自乘坐满滴快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里,两人付给滴滴快车的乘车费相同.‎ ‎(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟;‎ ‎(2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算俩人各自的实际乘车时间.‎ ‎【答案】(1)∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟;‎ ‎(2)小王的实际行车时间为37分钟,小张的实际行车时间为18分钟.‎ ‎【解析】(1)设小王的实际行车时间为x分钟,小张的实际行车时间为y分钟,由题意得:‎ ‎1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×(8.5﹣7)‎ ‎∴10.8+0.3x=16.5+0.3y ‎0.3(x﹣y)=5.7‎ ‎∴x﹣y=19‎ ‎∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.‎ ‎(2)由(1)及题意得:‎ 化简得 ‎①+②得2y=36‎ ‎∴y=18 ③‎ 将③代入①得x=37‎ ‎∴小王的实际行车时间为37分钟,小张的实际行车时间为18分钟.‎ 点睛:本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用,根据等量关系列方程或方程组是解题的关键.‎ ‎1.(2019•南充)关于x的一元一次方程2xa﹣2+m=4的解为x=1,则a+m的值为(  )‎ A.9 B.8 C.5 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为关于x的一元一次方程2xa﹣2+m=4的解为x=1,‎ 可得:a﹣2=1,2+m=4,‎ 解得:a=3,m=2,‎ 所以a+m=3+2=5,‎ 故选:C.‎ 点睛:此题考查一元一次方程的定义,关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答.‎ ‎2.(2019•阜新)某种衬衫因换季打折出售,如果按原价的六折出售,那么每件赔本40元;按原价的九折出售,那么每件盈利20元,则这种衬衫的原价是(  )‎ A.160元 B.180元 C.200元 D.220元 ‎【答案】C ‎【解析】设这种衬衫的原价是x元,‎ 依题意,得:0.6x+40=0.9x﹣20,‎ 解得:x=200.‎ 故选:C.‎ 点睛:本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.‎ ‎3.(2019•鸡西)某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级,一等奖奖励6件,二等奖奖励4件,则分配一、二等奖个数的方案有(  )‎ A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 ‎【答案】B ‎【解析】设一等奖个数x个,二等奖个数y个,‎ 根据题意,得6x+4y=34,‎ 使方程成立的解有,,,‎ ‎∴方案一共有3种;‎ 故选:B.‎ 点睛:本题考查二元一次方程的应用;熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键.‎ ‎4.(2019•孝感)已知二元一次方程组,则的值是(  )‎ A.﹣5 B.5 C.﹣6 D.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ ‎②﹣①×2得,2y=7,解得,‎ 把代入①得,x=1,解得,‎ ‎∴‎ 故选:C.‎ 点睛:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎5.(2019•乐山)《九章算术》第七卷“盈不足”中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”译为:“今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数、物价各多少?”根据所学知识,计算出人数、物价分别是(  )‎ A.1,11 B.7,53 C.7,61 D.6,50‎ ‎【答案】B ‎【解析】设有x人,物价为y,可得:,‎ 解得:,‎ 故选:B.‎ 点睛:本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.‎ ‎6.(2019•台州)一道来自课本的习题:‎ 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少?‎ 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y,已经列出一个方程,则另一个方程正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设未知数x,y,已经列出一个方程,则另一个方程正确的是:.‎ 故选:B.‎ 点睛:此题主要考查了二元一次方程组的应用,正确理解题意得出等式是解题关键.‎ ‎7.(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:今有人合伙买羊,每人出5钱,会差45钱;每人出7钱,会差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,所列方程正确的是(  )‎ A.5x﹣45=7x﹣3 B.5x+45=7x+3 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设合伙人数为x人,‎ 依题意,得:5x+45=7x+3.‎ 故选:B.‎ 点睛:本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.‎ ‎8.(2019•铁岭)若x,y满足方程组,则x+y=  .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】,‎ ‎①+②得:4x=20,‎ 解得:x=5,‎ 把x=5代入②得:y=2,‎ 则x+y=2+5=7,‎ 故答案为:7‎ 点睛:此题考查了解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎9.(2019•咸宁)《孙子算经》中有一道题:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?”如果设木条长x尺,绳子长y尺,可列方程组为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设木条长x尺,绳子长y尺,‎ 依题意,得:.‎ 故答案为:.‎ 点睛:本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.‎ ‎10.(2019•眉山)已知关于x,y的方程组的解满足x+y=5,则k的值为  .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】,‎ ‎②×2﹣①,得3x=9k+9,解得x=3k+3,‎ 把x=3k+3代入①,得3k+3+2y=k﹣1,解得y=﹣k﹣2,‎ ‎∵x+y=5,‎ ‎∴3k+3﹣k﹣2=5,‎ 解得k=2.‎ 故答案为:2‎ 点睛:此题主要考查了二元一次方程组解的定义.以及解二元一次方程组的基本方法.正确解关于x、y的方程组是关键.‎ ‎11.(2019•自贡)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,依题意,可列方程组为  .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,由题意得:‎ ‎,‎ 故答案为:,‎ 点睛:此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系.‎ ‎12.(2019•泰安)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为  .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ 点睛:此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系.‎ ‎13.(2019•毕节市)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商品,按标价8折销售,售价为2240元,则这种商品的进价是  元.‎ ‎【答案】2000‎ ‎【解析】设这种商品的进价是x元,‎ 由题意得,(1+40%)x×0.8=2240.‎ 解得:x=2000,‎ 故答案为2000‎ 点睛:本题考查了一元一次方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程解答.‎ ‎14.(2019•南通)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数几何?”意思是:“有若干人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:共有几个人?”设共有x个人共同出钱买鸡,根据题意,可列一元一次方程为  .‎ ‎【答案】9x﹣11=6x+16‎ ‎【解析】设有x个人共同买鸡,根据题意得:‎ ‎9x﹣11=6x+16.‎ 故答案为:9x﹣11=6x+16.‎ 点睛:本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.‎ ‎15.(2019•烟台)亚洲文明对话大会召开期间,大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场,若单独调配36座新能源客车若干辆,则有2人没有座位;若只调配22座新能源客车,则用车数量将增加4辆,并空出2个座位.‎ ‎(1)计划调配36座新能源客车多少辆?该大学共有多少名志愿者?‎ ‎(2)若同时调配36座和22座两种车型,既保证每人有座,又保证每车不空座,则两种车型各需多少辆?‎ ‎【答案】(1)计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者;‎ ‎(2)需调配36座客车3辆,22座客车5辆.‎ ‎【解析】(1)设计划调配36座新能源客车x辆,该大学共有y名志愿者,则需调配22座新能源客车(x+4)辆,‎ 依题意,得:,‎ 解得:.‎ 答:计划调配36座新能源客车6辆,该大学共有218名志愿者.‎ ‎(2)设需调配36座客车m辆,22座客车n辆,‎ 依题意,得:36m+22n=218,‎ ‎∴n.‎ 又∵m,n均为正整数,‎ ‎∴.‎ 答:需调配36座客车3辆,22座客车5辆.‎ 点睛:本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出二元一次方程.‎ ‎16.(2019•淮安)某公司用火车和汽车运输两批物资,具体运输情况如下表所示:‎ 所用火车车皮数量(节)‎ 所用汽车数量(辆)‎ 运输物资总量(吨)‎ 第一批 ‎2‎ ‎5‎ ‎130‎ 第二批 ‎4‎ ‎3‎ ‎218‎ 试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨?‎ ‎【答案】每节火车车皮装物资50吨,每辆汽车装物资6吨 ‎【解析】设每节火车车皮装物资x吨,每辆汽车装物资y吨,‎ 根据题意,得,‎ ‎∴,‎ ‎∴每节火车车皮装物资50吨,每辆汽车装物资6吨;‎ 点睛:本题考查二元一次方程组的应用;能够根据题意列出准确的方程组,并用加减消元法解方程组是关键.‎ ‎17.(2019•河池)在某体育用品商店,购买30根跳绳和60个毽子共用720元,购买10根跳绳和50个毽子共用360元.‎ ‎(1)跳绳、毽子的单价各是多少元?‎ ‎(2)该店在“五•四”青年节期间开展促销活动,所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元,该店的商品按原价的几折销售?‎ ‎【答案】(1)跳绳的单价为16元/条,毽子的单件为4元/个;‎ ‎(2)该店的商品按原价的9折销售.‎ ‎【解析】(1)设跳绳的单价为x元/条,毽子的单件为y元/个,可得:,‎ 解得:,‎ 答:跳绳的单价为16元/条,毽子的单件为4元/个;‎ ‎(2)设该店的商品按原价的a折销售,可得:(100×16+100×4)1800,‎ 解得:a=9,‎ 答:该店的商品按原价的9折销售.‎ 点睛:本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用,理解题意找到相等关系是解题关键.‎ ‎18.(2019•泸州)某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车,若购买A型汽车4辆,B型汽车7辆,共需310万元;若购买A型汽车10辆,B型汽车15辆,共需700万元.‎ ‎(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?‎ ‎(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆,费用不超过285万元,且A型汽车的数量少于B型汽车的数量,请你给出费用最省的方案,并求出该方案所需费用.‎ ‎【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元,B型汽车每辆的进价为30万元;‎ ‎(2)最省的方案是购买A型汽车4辆,购进B型汽车6辆,该方案所需费用为280万元.‎ ‎【解析】(1)设A型汽车每辆的进价为x万元,B型汽车每辆的进价为y万元,‎ 依题意,得:,‎ 解得,‎ 答:A型汽车每辆的进价为25万元,B型汽车每辆的进价为30万元;‎ ‎(2)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车(10﹣m)辆,根据题意得:‎ ‎ ‎ 解得:3≤m<5,‎ ‎∵m是整数,‎ ‎∴m=3或4,‎ 当m=3时,该方案所用费用为:25×3+30×7=285(万元);‎ 当m=4时,该方案所用费用为:25×4+30×6=280(万元).‎ 答:最省的方案是购买A型汽车4辆,购进B型汽车6辆,该方案所需费用为280万元.‎ 点睛:本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的不等式组和方程组,利用方程和不等式的性质解答. ‎

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