2018中考数学试题分类：二次函数专题 18页

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题 宝山区、嘉定区 ‎24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）‎ 已知平面直角坐标系（如图7），直线的经过点和点.‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值；‎ 图7‎ O x y ‎（3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.‎ ‎24.解：（1） ∵直线的经过点 ‎∴……………………1分 ‎∴………………………………1分 ‎∵直线的经过点 ‎∴……………………1分 ‎∴…………………………………………1分 ‎ （2）由可知点的坐标为 ‎ ∵抛物线经过点、‎ ‎ ∴‎ ‎∴， ‎ ‎∴抛物线的表达式为…………………1分 ‎∴抛物线的顶点坐标为……………1分 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴……………………………………1分 ‎∴ ‎ ‎∴ …………………………………………1分 ‎（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴 ‎ ∵,‎ ‎∴△∽△ ‎ ‎∴……………1分 ‎∵直线与轴的交点为点 ‎∴点的坐标为,‎ 又，‎ ‎∴，……………1分 ‎∵‎ ‎∴,‎ ‎∵∥轴 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ……………………………………1分 即点的纵坐标是 又点在直线上 点的坐标为……………1分 长宁区 ‎24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）‎ 如图在直角坐标平面内，抛物线与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点.‎ ‎（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）联结AD、DC，求的面积；‎ ‎（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．‎ ‎ ‎ 备用图 第24题图 ‎24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）‎ 解：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线上 ‎∴，解得 （ 2分）‎ ‎∴抛物线的表达式为，顶点D的坐标是（1，-4） （ 2分）‎ ‎（2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴，，‎ ‎∴ ∴ （ 2分）‎ ‎∴ （1分）‎ ‎（3）∵，，‎ ‎∴△CAD∽△AOB，∴‎ ‎∵OA=OC， ∴‎ ‎∴，即 （ 1分）‎ 若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 ‎ 则也为锐角三角形，点P在第四象限 由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是，设（）‎ 过P作PH⊥OC，垂足为点H，则，‎ ‎①当时,由得，‎ ‎∴，解得， ∴ （2分）‎ ‎②当时,由得，‎ ‎∴，解得，∴ （ 2分）‎ 综上得或 崇明区 ‎24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）‎ 已知抛物线经过点、、．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；‎ ‎（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P的坐标．‎ ‎（第24题图）‎ y x A B C O ‎24．（本题满分12分，每小题4分）‎ 解：（1）设所求二次函数的解析式为，………………………1分 将（,）、（，）、（,）代入，得 ‎ 解得 ………2分 所以，这个二次函数的解析式为 ……………………………1分 ‎（2）∵（,）、（，）、（,）‎ ‎ ∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………………………2分 ‎∴ ……………………………………………2分 ‎（3）过点P作，垂足为H 设，则 ‎∵（,）‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：‎ ‎1° 则 即 ∴ 解得 ………………………1分 ‎∴点的坐标为 ……………………………………………………1分 ‎2° 则 即 ∴ 解得 …………………………1分 ‎∴点的坐标为 ……………………………………………………1分 奉贤区 ‎24．（本题满分12分，每小题满分各4分）‎ 图8‎ ‎1‎ ‎1‎ 已知平面直角坐标系（如图8），抛物线与轴交于点A、B（点A在点B左侧），与轴交于点C，顶点为D，对称轴 为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC． ‎ ‎（1）当点C（0，3）时，‎ ① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标；‎ ② 求证：∠DCE=∠BCE； ‎ ‎（2）当CB平分∠DCO时，求的值．‎ 黄浦区 ‎24．（本题满分12分）‎ 已知抛物线经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.‎ ‎（1）求此抛物线的表达式；‎ ‎（2）求△ABD的面积；‎ ‎（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH与△AOB相 似，求点P的坐标.‎ ‎24. 解：（1）由题意得：，———————————————————（2分）‎ ‎ 解得：，—————————————————————————（1分）‎ 所以抛物线的表达式为. ——————————————（1分）‎ ‎（2）由（1）得D（2，﹣1），———————————————————（1分）‎ 作DT⊥y轴于点T,‎ ‎ 则△ABD的面积=.————————（3分）‎ ‎（3）令P.————————————————（1分）‎ 由△DPH与△AOB相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，‎ 所以或，————————————（2分）‎ 解得：或，‎ 所以点P的坐标为（5,8），.————————————————（1分）‎ 金山区 ‎24．（本题满分12分，每小题4分）‎ 平面直角坐标系xOy中（如图8），已知抛物线经过点A（1,0）和B（3,0），‎ 与y轴相交于点C，顶点为P． ‎ 图8‎ ‎（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标； ‎ ‎（2）点E在抛物线的对称轴上，且EA=EC，‎ 求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线MN，点Q在直线MN右侧的抛物线 上，∠MEQ=∠NEB，求点Q的坐标．‎ ‎ ‎ ‎24．解：（1）∵二次函数的图像经过点A（1，0）和B（3，0），‎ ‎　　　　∴，解得：，．……………………………（2分）‎ ‎ ∴这条抛物线的表达式是…………………………………（1分）‎ 顶点P的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）‎ ‎　（2）抛物线的对称轴是直线，设点E的坐标是（2，m）．…（1分）‎ 根据题意得： ，解得：m=2，…（2分）‎ ‎∴点E的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）‎ ‎（3）解法一：设点Q的坐标为，记MN与x轴相交于点F．‎ 作QD⊥MN，垂足为D， ‎ 则，………………………（1分）‎ ‎∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE，…………………（1分）‎ ‎∴，∴，‎ 解得（不合题意，舍去），．……………………………（1分）‎ ‎∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）‎ 解法二：记MN与x轴相交于点F．联结AE，延长AE交抛物线于点Q，‎ ‎∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB，‎ 又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB，………………………………（1分）‎ 点Q是所求的点，设点Q的坐标为，‎ 作QH⊥x轴，垂足为H，则QH=，OH=t，AH=t-1，‎ ‎∵EF⊥x轴，∴EF ∥QH，∴，∴，………（1分）‎ 解得（不合题意，舍去），．……………………………………（1分）‎ ‎∴，点E的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）‎ 静安区 ‎24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）‎ x B C 第24题图 O y ‎·‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知点B（8,0）和点C（9，）．抛物线（a，c是常数，a≠0）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A．对称轴上有一点M ，满足MA=MC．‎ ‎（1） 求这条抛物线的表达式； ‎ ‎（2） 求四边形ABCM的面积； ‎ ‎（3） 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，‎ 且AD//BC，求点D的坐标． ‎ ‎24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）‎ 解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． …………（1分）‎ 点B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）∴， …………（1分）‎ 将C（9，-3）代入，得…………………………（1分）‎ ‎∴抛物线的表达式： …………………………（1分）‎ ‎（2）∵点M在对称轴上，∴可设M（4，y）‎ 又∵MA=MC，即 ‎ ‎∴, 解得y=-3, ∴M（4，-3） …………………（2分）‎ y ‎∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形，, ‎ AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3‎ ‎∴ …………（2分）‎ x O ‎(3) 将点B（8,0）和点C（9，﹣3）代入 可得 M A C B ‎，解得 由题意得，∵AD//BC, ∴ ，…（1分）‎ 又∵AD过（0,0），DC=AB=8，‎ 设D(x,-3x) , …………………………（1分）‎ 解得(不合题意，舍去)， …………………………（1分）‎ ‎∴∴点D的坐标．……………………（1分）‎ 闵行区 ‎24．（本题满分12分，其中每小题各4分）‎ A B O C x y ‎（第24题图）‎ D 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于 点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；‎ ‎（2）求证：∠DAB=∠ACB；‎ ‎（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为 底的等腰三角形，求Q点的坐标．‎ ‎24．解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，‎ 得，解得．……………………………………（2分）‎ ‎∴抛物线的解析式是：．……………………………（1分）‎ ‎∴顶点坐标D（－1，4）．……………………………………………（1分）‎ ‎（2）令，则，，，∴A（－3，0）‎ ‎∴，∴∠CAO=∠OCA．…………………………………（1分）‎ 在中，．………………………………（1分）‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，；‎ ‎∴，是直角三角形且，‎ ‎∴，‎ 又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB．…………………（1分）‎ ‎∴，‎ 即．……………………………………………………（1分）‎ ‎（3）令，且满足，,0)，，4）‎ ‎∵是以AD为底的等腰三角形，‎ ‎∴，即， ‎ 化简得：．………………………………………………（1分）‎ 由，……………………………………………………（1分）‎ 解得，．‎ ‎∴点Q的坐标是，．…（2分）‎ 普陀区 ‎24．（本题满分12分）‎ 如图10，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由．‎ 图10‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎24．解：‎ ‎（1） 由直线经过点，可得. （1分）‎ 由抛物线的对称轴是直线，可得. （1分）‎ （2） ‎ ∵直线与轴、轴分别相交于点、，‎ ‎∴点的坐标是，点的坐标是. （2分）‎ ‎∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是. （1分）‎ ‎∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.‎ ‎∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，‎ ‎∴△BCG与△相似有两种可能情况： （1分）‎ ①如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）‎ ②如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）‎ 综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．‎ ‎（3）点的坐标是或. （2分+2分）‎ 青浦区 ‎24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）‎ 已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点 A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．‎ ‎（1）求这个抛物线的解析式；‎ ‎（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积； ‎ ‎（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．‎ 备用图 图8‎ ‎． ‎ ‎24．解：（1）∵顶点C在直线上，∴，∴． （1分）‎ 将A（3，0）代入，得， （1分）‎ 解得，． （1分）‎ ‎∴抛物线的解析式为． （1分）‎ ‎（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N． ‎ ‎∵=，∴C（2，）． （1分）‎ ‎∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，‎ ‎∴． （1分）‎ ‎∵抛物线与y轴交于点B，∴B（0，），‎ ‎∴． （1分）‎ ‎∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，‎ ‎∴． （1分）‎ ‎（3）联结CE.‎ ‎∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点，‎ 即 .‎ ‎（i）当CE为矩形的一边时，过点C作，交轴于点，‎ 设点，在中，，‎ 即 ，解得 ，∴点 （1分）‎ 同理，得点 （1分）‎ ‎（ii）当CE为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点 ‎、，可得 ，得点、 （2分）‎ 综上所述：满足条件的点有，，），．‎ 松江区 ‎24．（本题满分12分，每小题各4分）‎ 如图，已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，），P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点B，直线CP交x轴于点A．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）如果点P的横坐标为m，试用m的代数式表示线段BC的长；‎ ‎（3）如果△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P坐标．‎ ‎(第24题图)‎ y P O x C B A ‎24．（本题满分12分，每小题各4分）‎ ‎(第24题图)‎ y P O x C B A 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C（1，）‎ ‎∴ …………………………………2分 解得： …………………………………1分 ‎∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1分 ‎（2）∵点P 的横坐标为m，‎ ‎∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1分 令BC与x轴交点为M，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N ‎∵P是抛物线上位于第一象限内的一点，‎ ‎∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1‎ 由得………………………1分 ‎∴ BM=m-2…………………………………………………1分 ‎∵ 点C的坐标为（1，），‎ ‎∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分 ‎（3）令P(t，t2-2t) ………………………………………………1分 ‎△ABP的面积等于△ABC的面积 ‎∴AC=AP 过点P作PQ⊥BC交BC于点Q ‎∴CM=MQ=1‎ ‎∴t2-2t=1 …………………………………………………1分 ‎∴（舍去）………………………………1分 ‎∴ P的坐标为（）……………………………………1分 徐汇区 ‎24. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线 过点、，且与轴交于另一个点.‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点是线段上一点，过点作直线∥轴 交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，‎ 求它的面积；‎ ‎（3）联结，设点是该抛物线上的一点，且满足 ‎，求点的坐标.‎ 杨浦区 ‎24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）‎ 如图8，在平面直角坐标系中，抛物线 于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线 经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。‎ （1） 求抛物线的表达式 （2） 如图（1），当CP//AO时，求∠PAC的正切值。‎ （3） 当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标。‎