2008年北京市朝阳区中考数学二模试卷 12页

‎24 2008年北京市朝阳区中考数学二模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．2的算术平方根是( )‎ A． B．－ C．± D．2‎ ‎2．下列运算中，正确的是( )‎ A．x2·x3＝x6 B．2－1＝－2‎ C．｜1－p ｜＝p －1 D．‎ ‎3．为了解国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况，将某校中的40名学生一周的体育锻炼时间绘制成了如图所示的条形统计图，根据统计图提供的数据，该40名学生一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别是( )‎ 第3题图 A．8，9 B．8，‎8 ‎C．9，8 D．10，9‎ ‎4．如果关于x的方程kx2－2x－1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是( )‎ A．k≥－1且k≠0 B．k＞－1且k≠0‎ C．k≥－1 D．k＞－1‎ ‎5．不等式组的解集是( )‎ A．x≤0 B．－3＜x≤1‎ C．x≤1 D．x＜－3‎ ‎6．小华想做一个边长是10的正六边形图案(如图)，那么它的半径是( )‎ A．5 B．‎10 ‎C．5 D．10‎ ‎ ‎ 第6题图 第7题图 ‎7．如图，从圆外一点P向⊙O引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，BC为直径，若∠P＝60°，PA＝3，则直径BC的长为( )‎ A．3 B． C． D．‎ ‎8．已知一个等边三角形的边长为2，分别以它的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到如图所示的图案，那么图中所有的弧长的和是( )‎ 第8题图 A．4p B．6p C．8p D．10p 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．计算：cos60°－p0＝________．‎ ‎10．已知两圆的半径分别为‎3cm和‎4cm，如果这两个圆的圆心距为‎10cm，那么这两圆的位置关系是________．‎ ‎11．在正方形的网格中，抛物线y1＝x2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m如图所示，请你观察图象并回答：当－1＜x＜2时，y1________y2．(填“＞”或“＜”或“＝”)‎ 第11题图 ‎12．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如，，，…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数(n是不小于2的整数，且a＜b)，那么b－a＝________．(用含n的式子表示)‎ 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(5分)解方程组 ‎14．(5分)化简：．‎ ‎15．(5分)用配方法解方程x2－6x＋1＝0．‎ ‎16．(5分)已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE＝DF．‎ 求证：∠AEF＝∠AFE．‎ 第16题图 ‎17．(5分)欢欢的妈妈有粉色、米色和天蓝色三条丝绸围巾，有红色和黑色三件羊绒衫(其中红色一件、黑色两件)．如果她最喜欢的搭配是米色围巾和黑色羊绒衫，那么黑暗中她随机拿出一条围巾和一件羊绒衫，正好是她喜欢搭配的颜色．请你用列表法或树形图法，求出这样的巧合发生的概率．‎ ‎18．(5分)自从‎2008年5月12日我国四川地区发生特大地震以来，全国人民“众志成城，抗震救灾”，纷纷捐款献爱心，在某校的一次捐款活动中，九年级(1)班30名学生捐款情况如下表：‎ 捐款(元)‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ 人数 ‎4‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎2‎ 第18题图 ‎(1)求该班平均每人捐款多少元．‎ ‎(2)补全右图所示的捐款人数比例的扇形统计图．‎ ‎(3)请你根据以上信息发表自己的一个见解．‎ ‎19．(5分)某社区为迎接绿色奥运，大力开展社区绿化建设，购买了甲、乙两种树苗共400株，其中甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元．‎ ‎(1)如果购买这批树苗一共用了29 400元，那么甲、乙两种树苗各购买了多少株?‎ ‎(2)如果社区准备再次购买这两种树苗，不仅要使甲种树苗的数量是乙种树苗数量的二倍，而且要使所需费用不多于14 700元，那么甲种树苗最多买多少株?‎ ‎20．(5分)如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC．‎ ‎(1)请你在所给的网格中画出线段AC．‎ ‎(2)判断将线段AB旋转到线段AC的过程中，线段AB扫过的区域所形成的图形是哪个立体图形的侧面展开图．将答案直接填写在下面的横线上：________．‎ ‎(3)求出(2)中所说立体图形的侧面展开图的面积．‎ 第20题图 ‎21．(5分)如图，点C在反比例函数的图象上，过点C作CD⊥y轴，交y轴的负半轴于点D，且△ODC的面积是3．‎ ‎(1)求反比例函数的解析式；‎ ‎(2)将与OC所在的直线关于y轴对称的直线向上平移2个单位长度后得到直线AB，如果CD＝1，求直线AB的解析式．‎ 第21题图 ‎22．(5分)如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为上一点，AB＝10，AC∶BC＝3∶4．‎ ‎(1)当点P与点C关于直线AB对称时(如图①)，求PC的长；‎ ‎(2)当点P为的中点时(如图②)，求PC的长．‎ 第22题图 ‎23．(7分)在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD．‎ ‎(1)如图①，连结AC，如果△ADC的面积为6，求梯形ABCD的面积；‎ ‎(2)如图②，E是腰AB上一点，连结CE，设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1＝3S2，求的值；‎ ‎(3)如图③，如果AB＝CD，CE⊥AB于点E，且BE＝3AE，求∠B的度数．‎ ‎①‎ 第23题图 ‎24．(7分)已知：在等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点．当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立(如图①)，且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．‎ 问：当点G在直线BC的其他位置时，该结论是否仍然成立?请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．‎ 第24题图 ‎25．(8分)如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC＝90°，且O为坐标原点，点A、C分别在坐标轴上，AO＝4，OC＝3，将△AOC绕点C按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△．‎ 第25题图 ‎(1)当CA边落在y轴上(其中旋转角为锐角)时，一条抛物线经过A、C两点且与直线A相交于x轴下方一点D，如果S△AOD＝9，求这条抛物线的解析式．‎ ‎(2)继续旋转△，当以为直径的⊙P与(1)中抛物线的对称轴相切时，圆心P是否在抛物线上?请说明理由．‎ 答 案 ‎24．2008年北京市朝阳区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1．A 2．C 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 二、填空题 ‎9． 10．外离 11．＜ 12．n2－1‎ 三、解答题 ‎13．解：①×2＋②得11x＝33．解得x＝3．把x＝3代入①得y＝4．是原方程组的解．‎ ‎14．解：原式 ‎．‎ ‎15．解：x2－6x＝－1．x2－6x＋9＝－1＋9．(x－3)2＝8．‎ x－3＝±．故x1＝3＋2，x2＝3－2．‎ ‎16．证明：在菱形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D．又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF．‎ ‎∴AE＝AF．∴∠AEF＝∠AFE．‎ ‎17．解：列表如下：‎ ‎ 羊绒衫 围巾 红 黑1‎ 黑2‎ 粉 ‎(粉，红)‎ ‎(粉，黑1)‎ ‎(粉，黑2)‎ 米 ‎(米，红)‎ ‎(米，黑1)‎ ‎(米，黑2)‎ 蓝 ‎(蓝，红)‎ ‎(蓝，黑1)‎ ‎(蓝，黑2)‎ 正好是她喜欢搭配的颜色的概率是．‎ ‎(也可用树形图法解)‎ ‎18．解：(1)．‎ 故该班平均每人捐款81元．‎ ‎(2)捐100元的占30％，捐50元的占40％．‎ ‎(3)说明：答案不唯一，语言表达通顺，态度积极向上即可．‎ ‎19．解：(1)设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗(400－x)株．‎ 依题意，得60x＋90(400－x)＝29400．‎ 解得x＝220．‎ 所以400－x＝180．‎ 故购买甲种树苗220株，乙种树苗180株．‎ ‎(2)设购买甲种树苗y株，则购买乙种树苗y株．‎ 依题意，得．‎ 解得y≤140． 故最多购买甲种树苗140株．‎ ‎20．解：(1)图略． (2)圆锥 ‎(3)．．‎ ‎21．解：(1)∵△ODC的面积是3，∴OD·DC＝6．‎ 设C(x，y)，∴(－y)x＝6．∵点C在的图象上，∴k＝xy＝－6．‎ ‎∴所求反比例函数解析式为．‎ ‎(2)∵CD＝1，即点C(1，y)．‎ 把x＝1代入，得y＝－6．‎ ‎∴C(1，－6)．∴点C关于y轴的对称点为(－1，－6)．‎ ‎∴与OC所在直线关于y轴对称的直线为y＝6x．‎ ‎∴将直线y＝6x向上平移2个单位长度后得到的直线AB的解析式为y＝6x＋2．‎ ‎22．解：(1)在⊙O中，如图①，‎ ‎∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．‎ ‎∵点P与点C关于直线AB对称，‎ ‎∴CP⊥AB，且CD＝DP．‎ ‎∵AB＝10，AC∶BC＝3∶4，‎ ‎∴由勾股定理求得AC＝6，BC＝8．‎ 由三角形的面积公式得CD·AB＝AC·BC．‎ ‎．．‎ ‎(2)过点B作BE⊥PC于点E，连结PB．‎ 由(1)得AC＝6，BC＝8．‎ ‎∵点P为的中点，∴＝．‎ ‎∴∠ACP＝∠BCP＝45°．‎ 在Rt△BEC中，可求得CE＝BE＝4．‎ ‎∵∠P＝∠A,∠ACB＝∠BEP＝90°,‎ ‎∴tanP＝tanA，即．‎ ‎．‎ ‎∴PC＝CE＋EP＝7．‎ 第22题答图①‎ 第22题答图②‎ ‎23．解：(1)在梯形ABCD中，‎ ‎∵AD∥BC，△ADC与△ABC分别以AD、BC为底时等高，且BC＝3AD，‎ ‎∴S△ABC＝3S△ADC．‎ ‎∵S△ADC＝6，‎ ‎∴S梯形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝4S△ADC＝24．‎ ‎(2)解法一：连结AC，如图①，‎ 设△AEC的面积为S3，则△ADC的面积为S2－S3．‎ 由(1)和已知可得 解得S1＝4S3．．‎ ‎∵△AEC与△BEC分别以边AE、BE为底时等高，‎ ‎．‎ 解法二：延长BA、CD，相交于点F，如图②，‎ ‎∵ AD∥BC,∴△FAD∽△FBC．．‎ 设S△AFD＝S3＝a，则S△FBC＝‎9a，S1＋S2＝‎8a．‎ 又∵2S1＝3S2 ，．‎ ‎∵△FEC与△ECB分别以EF、EB为底边时等高，‎ ‎．‎ 设FE＝7k，则BE＝8k，FB＝15k，‎ ‎．∴AE＝7k－5k＝2k．‎ ‎．‎ 第23题答图①‎ 第23题答图②‎ 第23题答图③‎ ‎(3)延长BA、CD，相交于点M，如图③，‎ ‎∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC．‎ ‎．‎ ‎∴MB＝3MA．设MA＝2x，则MB＝6x．‎ ‎∴AB＝4x．∵BE＝3AE，∴BE＝3x，AE＝x．‎ ‎∴BE＝EM＝3x，即E为MB的中点．‎ 又∵CE⊥AB，∴CB＝MC．‎ 由已知得∠B＝∠DCB，‎ ‎∴MB＝MC．∴△MBC为等边三角形．‎ ‎∴∠B＝60°．‎ ‎24．解：图形如图①②③．‎ 证明：连结DE、EF、DF．‎ ‎(1)当点G在线段BE上时，如图①，‎ 在EF上截取EH，使EH＝BG．‎ ‎∵D、E、F是等边三角形ABC三边中点， ∴△DEF、△DBE都是等边三角形，且＝BD．‎ 在△DBG和△DEH中，‎ ‎∴ △DBG≌△DEH．∴DG＝DH．‎ ‎∴∠BDG＝∠EDH．‎ ‎∵∠BDE＝∠GDE＋∠BDG＝60°,‎ ‎∴∠GDH＝∠GDE＋∠EDH＝60°．‎ ‎∴在直线EF上存在点H，使得△DGH是等边三角形．‎ 第24题答图①‎ 第24题答图②‎ 第24题答图③‎ ‎(2)当点G在线段EC上时，如图②，‎ 在EF上截取EH，使EH＝BG．‎ 由(1)可证△DBG≌△DEH．‎ ‎∴DG＝DH,∠BDG＝∠EDH．‎ ‎∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°,‎ ‎∴∠GDH＝∠EDH－∠EDG＝60°．‎ ‎∴在直线EF上存在点H，使得△DGH是等边三角形．‎ ‎(3)当点G在BC的延长线上时，如图③，与(2)同理可证结论成立．‎ 综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立．‎ ‎25．解：(1)在Rt△AOC中，∵AO＝4，OC＝3，∴AC＝5．‎ 由旋转可知A'C＝AC＝5．∴A'O＝A'C－OC＝2．‎ ‎∴A(－4,0),C(0,3),(0,－2)．‎ 可求得直线A A'的解析式为．‎ 抛物线与直线A A'交于点D，设点D(x，y)．‎ ‎∵S△AOD＝9，‎ ‎．解得．‎ 将代入，得x＝5．‎ ‎．‎ ‎∵抛物线过A、C、D三点，∴可求得抛物线的解析式为．‎ 第25题答图①‎ ‎(2)由可得其对称轴为．‎ ‎⊙P与抛物线的对称轴相切，可有两种情况：‎ 情况1：如图②，过点P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E，交y轴于点F，则点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径，即，∴PF＝2．‎ ‎．‎ ‎．．‎ ‎∴点P的坐标满足，‎ ‎∴此时点P在抛物线上．‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 第25题答图 情况2：如图③，过点向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点，交y轴于点 同理可求得点．‎ ‎∵点的坐标不满足，‎ ‎∴此时点不在抛物线上．‎