一元二次方程（2）　教案1 2页

1 第 1 课时 一元二次方程（1） 学 习 目 标 1、使学生了解一元二次方程的意义。 2、通过实际问题的情境，让学生感受到在的生活、学习中方程知识的实际意义。 3、能够根据具体问题中的数学关系，列出程体会一元二次方程是刻画现实世界的 一个有效的数学模型。 学习重点 建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。 学习难点 在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、自主学习 感受新知 【问题 1】有一块面积为 900 平方米的长方形绿地，并且长比宽多 10 米， 则绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设宽为 x 米，则列方程得：x(x+10)=900； 整理得 x2+10x-900=0 ① 【问题 2】学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计至明年年底增加到 7.2 万册，求这两年的年平均增长率。 【分析】设这两年的年平均增长率为 x，则列方程得：5(1+x)2=7.2； 整理得 5 x2+10x-2.2=0 ② 【问题 2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一 场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组 织者应邀请多少个队参赛？ 【分析】全部比赛共 4×7=28 场，设应邀请 x 个队参赛，则每个队要与其 它 （x-1）队各赛 1 场，全场比赛共 )1(2 1 xx 场，列方程得： 28)1(2 1 xx ； 整理得 x2-x-56=0 ③ 鼓励学生独立解决 问题，让学生初步 感 受 一 元 二 次 方 程，同时让学生体 会方程这一刻画现 实 世 界 的 数 学 模 型． 二、自主交流 探究新知 【探究】（1）上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 （填 “整式” “分式”“无理式”）； （2）方程整理后含有 一 个未知数； （3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。 【归纳】 1、一元二次方程的定义：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一 元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程， 经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系 数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。 【注意】方程 ax2+bx+c=0 只有当 a≠0 时才叫一元二次方程，如果 a=0，b ≠0 时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含 a≠0 这个条件。 【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ （1）x3－２ｘ2＋５＝０； （２）x2＝１； （３）5x2-2x- 4 1 =x2-2x+ 5 3 ； （４）２（x＋１）2＝３（x＋１）； （５）x2－２x＝x2＋１； （６）ax2＋bx＋c＝０ 主体活动，探索一 元二次方程的定义 及其相关概念． 判断一个方程是不 是一元二次方程， 首先要对其整理成 一般形式，然后根 据定义判断。 三、自主应用 巩固新知 2 【例 1】将方程 3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其 中的二次项系数、一次项系数及常数项． 【分析】一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程 3x（x-1） =5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得：3x2-3x=5x+10 移项合并同类项，得：3x2-8x-10=0 其中二次项系数是 3，一次项系数是-8，常数项是-10。 【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面 的符号. 【例 2】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 【分析】通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化 成 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括号，得：x2+2x+1+ x2-4=1 移项合并同类项，得：2x2+2x-4=0 其中二次项是 2x2，二次项系数是 2，一次项是 2x，一次项系数是-8，常数 项是-10。 【例 3】求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该 方程都是一元二次方程． 【分析】要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+17≠0 即可． 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程． 【练习】Р27 1 2 进一步巩固一元二 次方程的基本概念 四、自主总结 拓展新知 1、a≠0 是 ax2+bx+c=0 成为一元二次方程的必要条件，否则，方程 ax2+bx+c=0 变为 bx+c=0， 就不是一元二次方程。 2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。 五、课堂作业 P28 1 2 5 6 7 （《课堂内外》对应练习） 教学理念/教学反思