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  • 2021-11-06 发布

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第14讲 图表信息问题

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1 第十四讲 图表信息问题 21 世纪是一个信息化的社会,从纷繁的信息中,捕捉搜集、处理、加工所需的信息, 是新世纪对一个合格公民提出的基本要求. 图表信息问题是近年中考涌现的新问题,即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题 情境的一类试题. 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来,解题时要通过对图象的解 读、分析和判断,确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系,然后 运用数形结合、待定系数法等方法解决问题. 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息,解题中需通过对表中的数据信息的分 析、比较、判断和归纳,弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系,然后运用所 学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题. 【例题求解】 【例 1】 一慢车和一快车沿相同的路线从 A 到 B 地,所行的路程与时间的函数图象如图所 示,试根据图象,回答下列问题: (1)慢车比快车早出发 小时,快车追上慢车时行驶了 千米,快车比慢车 早 小时到达 6 地; (2)快车追上慢车需 小时,慢车、快车的速度分别为 千米/时; (3)A、B 两地间的路程是 . 思路点拨 对于(2),设快车追上慢车需t 小时,利用快车、慢车所走的路程相等,建立t 的 方程. 注:股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波 等,它们广泛出现在电视、报刊、广告中,渗透到现实生活的每一角落,这些图表、图象中 蕴涵着丰富的信息,我们应学会收集、整理与获取. 【例 2】 已知二次函数 cbxaxy  2 的图象如图,并设 M= babacbacba  22 , 则( ) A.M>0 B.M=0 C.M<0 D.不能确定 M 为正、为负或为 0 思路点拨 由抛物线的位置判定 a 、b 、 c 的符号,并由 1x ,推出相应 y 值的正负性. 2 注:函数图象选择题是广泛见于各地中考试卷中的一种常见问题,解此类问题的基本思路是: 由图象大致位置确定解析式中系数符号特征,进而再判定其他图象的大致位置,在解题中常 常要运用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法. 【例 3】 某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所 需的时间(单位:小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为 80 千米/时,而汽车每行驶 1 千米所需要的平均费用为 1.2 元.试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线. (2003 年全国初中数学竞赛题) 思路点拨 从 A 城出发到 B 城的路线分成如下两类:(1)从 A 城出发到达 B 城,经过 O 城, (2)从 A 城出发到达 B 城,不经过 O 城. 【例 4】 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于 3 米/秒的时间共 约 160 天,其中日平均风速不小于 6 米/秒的时间约占 60 天.为了充分利用“风能”这种 “绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电厂,决定选用 A、B 两种型号的风力发电机.根 据 产 品 说 明,这两种 风 力 发 电 机 在 各 种 风 速 下 的 日 发 电 量 (即一天的 发电量)如 下表: 根据上面的数据回答: (1)若这个发电厂购 x 台 A 型风力发电机,则预计这些 A 型风力发电机一年的发电总量至少 为 千瓦·时; (2)已知 A 型风力发电机每台 0.3 万元,B 型风力发电机每台 0.2 万元.该发电厂拟购置 风力发电机共 10 台,希望购机的费用不超过 2.6 万元,而建成的风力发电厂每年的发电总 量不少于 102000 千瓦·时,请你提供符合条件的购机方案. 思路点拨 对于(1),注意“平均风速不小于 3 米/秒”的时间区分;对于(2),利用购置费用 和发电总量分别列出不等式. 日平均风速 v/(米/秒) v<3 3≤v<6 v≥6 日发电量 A 型发电机 0 ≥36 ≥150 (千瓦·时) B 型发电机 0 ≥24 ≥90 3 【例 5】 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜,根据今年的市场行情,预计从 5 月 1 日起的 50 天内,它的市场售价 1y 与上市时间 x 的关系可用图 1 的一条线段表示;它的种植成本 2y 与 上市时间 x 的关系可用图 2 抛物线的一部分来表示,假定市场售价减去种植成本为纯利润, 问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱? 思路点拨 由图象提供的信息,求出直线、抛物线的解析式,利用市场售价与成本价相等建 立时间 的方程. 注:本例综合运用一次函数和二次函数的有关知识,涉及信息量大,题中呈现信息的方式不 仅是文字和符号,还包括表格. 解图象信息问题的关键是化“图象信息”为“数学信息”,具体包括: (1)读图找点; (2)看图确定系数符号特征; (3)见形(图象形态)想式(解析式),建模求解. 学历训练 1. 如图,是某出租车单程收费 y (元)与行驶路程 (千米)之间的 函数关系的图象,请根据图象回答以下问题: (1)当行驶 8 千米时,收费应为 ; (2)从图象上你能获得哪些正确的信息(请写出 2 条) ① ;② . (3)收费 y (元)与行驶 (千米)( ≥3)之间的函数关系式为 . 2.甲、乙两人(甲骑自行车,乙骑摩托车)从 A 城出发到 B 地旅行,如图表示甲、乙两人离 开 A 城的路程与时间之间的函数图象。根据图象,你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信 息? 答题要求: (1)请至少提供四条信息,如,由图象可知:甲比乙早出发 4 小时;甲离开 A 城的路程与时 间的函数图象是一条折线段,说明甲作变速运动. (2)不要再提供“(1)”中已列举的信息. ① ;② ; 4 ③ ;④ . 3.如图,已知函数 cbxaxy  2 的图象过(一 1,0)和(0,一 1)两点,则 a 的取值范围是 . 4.下列各图中,能表示函数 )1( xky  和 x ky  ( 0k )在同一平面直角坐标系中的图象大 致是( ). 5.三峡工程在 6 月 1 日至 6 月 10 日下闸蓄水期间,水库水位由 106 米升至 135 米,高峡平 湖初现人间.假设水库水位匀速上升,那么下列图象中,能正确反映这 10 天水位 h (米)随时 间 t (天)变化的是( ) 6.在同一坐标系中,函数 与 x by  的图象大致是( ) 7.某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生 不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博 物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现:每周参观人数 与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每周 4 万元的门票 收人,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元? 5 8.行驶中的汽车,在刹车后由于惯性的作用,还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段 距离称为“刹车距离”,为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过 140 千米/时),对 这种汽车进行测试,测得数据如下表: 刹车时车速(千 米/时) 1 10 20 30 40 50 60 刹车距离(米) 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)以车速为 x 轴,以刹车距离为 y 轴,在坐标系中描出这些数据所表示的点,并用平滑的曲 线连结这些点,得到函数的大致图象; (2)观察图象,估计函数的类型,并确定一个满足这些数据的函数的解析式; (3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故,现场测得刹车距离为 46.5 米,请推测刹车 时的速度是多少?请问在事故发生时,汽车是超速行驶还是正常行驶? 9.二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示,则化简二次根式 22 )()( cbca  的结果 是 . 10.小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回.小刚去时骑自行车, 返回时步行;爷爷去时是步行,返回时骑自行车;爸爸往返都步行.三个人步行的速度不等, 小刚与爷爷骑车的速度相等.每个人的行走路程与时间的关系分别是下面三个图象中的一 个.走完一个往返,小刚用 分钟,爸爸用 分钟,爷爷用 分钟. 11.小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁,行走的路线如图所示.已知上山的速 度为 1v 米/分钟,平路的速度为 2v 米/分钟,下山的速度为 3v 米/分钟,其中 < 2v < 3v .那 么,小明同学上学骑自行车行走的路程 S(米)与所用的时间t (分钟)的函数关系,可能是下面 图象中的( ) 6 12.二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示,则在下列不等式中, ①abc<0;②a+b+c<0; ③a+c>b;④ 2 bca  成立的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 13.如图,直角三角形 AOB 中,AB⊥OB,且 AB=OB=3.设直线 l:x=t 截此三角形所得的阴 影部分的面积为 S,则 S 与 t 之间的函数关系的图像为( ) 14.设 ab  6>o,将一次函数 abxy  与 baxy  的图象画在平面直角坐标系中,则有一 组 a 、b 的取值,使得下列 4 个图中的一个为正确的是( ) 15.某商场为提高彩电销售人员的积极性,制定了新的工资分配方案,方案规定:每位销售 人员的工资总额=基本工资+奖励工资,每位销售人员的月销售定额为 10000 元,在销售定 额内,得基本工资 200 元;超过销售定额,超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资,奖 励工资发放比例如表 1 所示. (1)已知销售员甲本月领到的工资总额为 800 元,请问销售员甲在本月的销售额为多少元? (2)依法纳税是每个公民应尽的义务,根据我国税法规定,全月工资总额不超过 800 元不要 缴纳个人所得税;超过 800 元的部分为“全月应纳税所得额”.表 2 是缴纳个人所得税税率 表.若销售员乙本月共销售 A、B 两种型号的彩电 21 台,缴纳个人所得税后实际得到的工 资为 1275 元,又知 A 型彩电的销售价为每台 1000 元,B 型彩电的销售价为每台 1500 元, 请问销售员乙本月销售 A 型彩电多少台? 表 1 表 2 7 16.有麦田 5 块 A、B、C、D、E,它们的产量(单位:吨)、交通状况和每相邻两块麦田的 距离如图所示,要建一座永久性打麦场,这 5 块麦田生产的麦子都在此打场,问建在哪块麦 田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量, 直线段上的字母 a、b、d 表示距离,且 b