北师大版数学九年级上册同步课件-2第二章-2 利用一元二次方程解决面积问题 18页

第二章 一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题 1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.（重 点、难点） 2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.（难点） 学习目标 问题1：解一元二次方程我们学过哪几种方法？ 直接开平方法 ,配方法,公式法 . 问题2：如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形土 地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条 与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为x m，则由题意 列的方程为_____________________. CB DA (30-2x)(20-x)=6×78 问题：在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并 使花园所占面积为荒地面积的一半. 16m 12 m 想一想，你会怎么设 计这片荒地？ 看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？ 利用一元二次方程解决面积问题1 解：设小路的宽为 x m, 根据题意，得 即 x2 - 14x + 24 = 0. 解得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去. 答：小路的宽为2 m. 小明设计： 如图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2 m或12 m. 16m 12 m 问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？    . 2 1216212216   xx x x 解：设扇形半径为 x m. 根据题意，得 即 πx2 = 96. 解方程得 x1 = , x2 = (舍去), 答：扇形半径约为5.5 m. 小亮设计： 如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同. 问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 5596 .  . 2 12162  x  96  16m 12 m 小颖设计： 如图所示，其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等. 问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？ 16m 12 m xm xm 解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得 即 x2 - 28x + 96 = 0. 解得 x1 = 4 , x2 = 24, 将x =24 代入方程中不符合题意，舍去. 答：小路的宽为4 m.    . 2 12161216   xx 要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm正中央是 一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所 占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬 等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm） 27cm 21cm 例1 分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的 矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬 之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由 此得到上下边衬宽度之比为 1 1(27 9 ) : (21 7 ) 2 2 a a  9 7 9(3 ) : 7(3 ) 9: 7. a a    27cm 21cm 解:设上、下边衬的9x cm，左、右边衬 宽为7x cm. 依题意，得 3(27 18 )(21 14 ) 27 21, 4 x x     解方程得 6 3 3 . 4 x   故上、下边衬的宽度为 6 3 39 1.8, 4    故左、右边衬的宽度为 6 3 37 1.4. 4    方程的哪个根 符合实际意义? 为什么? 答：上、下边衬的宽度为1.8 cm,左、右边衬的宽度为1.4 cm. 试一试 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面 的问题？ 解:设正中央的矩形两边别为9x cm，7x cm. 依题意，得 27cm 21cm 39 7 27 21, 4 x x    解得 2 2 3 3 3 3 2 2 x x  ， （舍去）. 故上、下边衬的宽度为 3 327 927 9 54 27 32 1.8. 2 2 4 x       3 321 721 7 42 21 32 1.4. 2 2 4 x       故左、右边衬的宽度为 （1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式 是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面 积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; （2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程. 如图,在一块长为 92 m ,宽为 60 m 的矩形耕地上挖三条 水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885 m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的 面积拼在一起，变成一个新的矩形， 长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m. 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885. 解得 x1=105(舍去），x2=1. 注意：结果 应符合实际 意义 例2 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改 变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容 易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按 原图的位置修路）. 1.在一幅长90 cm,宽40 cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的 金色纸边,制成一幅挂图.如果要求风景画的面积是整个挂图面积 的72%.那么金边的宽应是多少？ 解：设金边的宽为 x cm. 根据题意，得 (90 + 2x)(40 + 2x)×72% = 90×40. 即 x2 + 65x - 350 = 0. 解方程,得 x1= 5 , x2 = -70 (舍去). 答:金边的宽应是5 cm. 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25 m), 另外三边用木栏围成,木栏长40 m. 养鸡场的面积能达到180 m2 吗?如 果能,请给出设计方案;如果不能,请 说明理由. 25m 180m2 解:设养鸡场的长为x m.根据题意，得 即 x2 - 40x + 360=0. 解方程,得 x1 = x2= (舍去). 答：鸡场的为（ ）m满足条件. x 3. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样 宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要 使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为x米，由平移得 到图2，则宽为(20-x)米，长为 （32-x)米，列方程,得 （20-x)(32-x)=540， 整理,得 x2-52x+100=0， 解得 x1=50(舍去），x2=2. 答：道路宽为2米. 图1 图2 利用一元二次方 程解决面积问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关 系 类 型 花坛面积问题 相框宽度问题 常采用图形平 移能聚零为整 方便列方程