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  • 2021-11-06 发布

中考数学三轮真题集训冲刺知识点27全等三角形pdf含解析

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1 / 14 一、选择题 1.(2019·滨州)如图,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°, 连接 AC,BD 交于点 M,连接 OM.下列结论: ① AC=BD; ② ∠AMB=40°; ③ OM 平分∠BOC; ④ MO 平分∠BMC.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】∵∠AOB=∠COD,∴ ∠AOC=∠BOD,又 ∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD, 故①正确;∵△AOC≌△BOD,∴∠MAO=∠MBO,如图,设 OA 与 BD 相交于 N,又∵∠ANM=∠BNO, ∴∠AMB=∠AOB=40°,故②正确;如图,过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线,垂足分别是 E,F,∵△ AOC≌△BOD,AC=BD,∴OE=OF,∴MO 平分∠BMC,故④正确;在△AOC 中,∵OA>OC,∴∠ ACO>∠OAC,∵△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD,∴∠ACO>∠OBM,在 △OCM 和△OBM 中, ∠ACO>∠OBM,∠OMC=∠OMB,∴∠COM<∠BOM,故③错误,所以①②④正确.故选 B. 二、填空题 1.(2019·嘉兴)如图,一副含 30°和 45°角的三角板 ABC 和 EDF 拼合在个平面上,边 AC 与 EF 重合, AC=12cm.当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时,点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向滑动.当点 E 从点 A 滑动到点 C 时,点 D 运动的路径长为 cm;连接 BD,则△ABD 的面积最大值为 cm2. 知识点 27——全等三角形 2 / 14 【答案】 24 12 2− ,36 2 24 3 12 6+− 【解析】∵AC=12cm,∠A=30°,∠DEF=45°, ∴BC=4 cm,AB=8 cm,ED=DF=6 cm, 如图,当点 E 沿 AC 方向下滑时,得△E'D'F',过点 D'作 D'N⊥AC 于点 N,作 D'M⊥BC 于点 M, ∴∠MD'N=90°,且∠E'D'F'=90°, ∴∠E'D'N=∠F'D'M,且∠D'NE'=∠D'MF'=90°,E'D'=D'F', ∴△D'NE'≌△D'MF'(AAS), ∴D'N=D'M,且 D'N⊥AC,D'M⊥CM, ∴CD'平分∠ACM, 即点 E 沿 AC 方向下滑时,点 D'在射线 CD 上移动, ∴当 E'D'⊥AC 时,DD'值最大,最大值= ED﹣CD=(12﹣6 )cm, ∴当点 E 从点 A 滑动到点 C 时,点 D 运动的路径长=2×(12﹣6 )=(24﹣12 )cm. 如图,连接 BD',AD', ∵S△AD'B=S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C, ∴S△AD'B= BC×AC+ ×AC×D'N﹣ ×BC×D'M=24 + (12﹣4 )×D'N, 当 E'D'⊥AC 时,S△AD'B 有最大值, ∴S△AD'B 最大值=24 + (12﹣4 )×6 =(24 +36 ﹣12 )cm2. 3 / 14 故答案为:(24﹣12 ),( 24 +36 ﹣12 ). 2.(2019·株洲)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,在直线 x=1 处放置反光镜 I,在 y 轴处放置 一个有缺口的挡板 II,缺口为线段 AB,其中点 A(0,1),点 B 在点 A 上方,且 AB=1,在直线 x =﹣1 处放置一个挡板 III,从点 O 发出的光线经反光镜 I 反射后,通过缺口 AB 照射在挡板 III 上, 则落在挡板 III 上的光线的长度为. 【答案】 3 2 【解析】如图,落在挡板 III 上的光线的长度为 MN 的长度,对应的反光镜 I 的边界点分别为点 P 和点 Q, 根据光线的折射,入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF≌△OPF,所 以 AO=2AF=2OF,∴ AF= 1 2 ,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1,所以 NE=2,∵AQ⊥y 轴,∴PQ=AF= 1 2 , 由题意知,△AEM≌△AQP,所以 ME=PQ= 1 2 , 所以 MN=NE-ME=2- 1 2 = 3 2 . 三、解答题 1.(2019·武汉,23,20 分)在△ABC 中,∠ABC=90°, AB nBC = ,M 是 BC 上一点,连接 AM 4 / 14 (1) 如图 1,若 n=1,N 是 AB 延长线上一点,CN 与 AM 垂直,求证:BM=BN (2) 过点 B 作 BP⊥AM,P 为垂足,连接 CP 并延长交 AB 于点 Q ① 如图 2,若 n=1,求证: CP BM PQ BQ = ② 如图 3,若 M 是 BC 的中点,直接写出 tan∠BPQ 的值(用含 n 的式子表示) 【解题过程】 (1)证明:延长 AM 交 CN 于点 H, ∵AM 与 CN 垂直,∠ABC=90°, ∴∠BAM+∠N=90°,∠BCN+∠N=90°, ∴∠BAM=∠BCN. ∵n=1,∠ABC=90°, ∴AB=BC,∠ABC=∠CBN. ∴△ABM≌△CBN, ∴BM=BN. (2)①证明:过点 C 作 CD//BP 交 AB 的延长线于点 D,则 AM 与 CD 垂直. 由(1), 得 BM=BD. ∵CD//BP,∴ CP DB PQ BQ = ,即 CP BM PQ BQ = ② 1 n 提示:延长 PM 到 N,使得 MN=PM,易知△PBM≌△NCM,则∠CNM=∠BPM=90°,∵ AB nBC = ,BC= 2BM,∴ 2AB nBM = ,设 PM=MN=1,则 PB=CN=2n,tan∠BPQ=tan∠NCP= PN CN = 2PM CN = 2 2n = 1 n 图3图2图1 A Q B M P C P Q B M A C M NBA C 5 / 14 2.(2019·益阳)已知,如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD. 【解题过程】证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°. ∵∠D=110°, ∴∠ACB=∠D. ∵AB∥DE, ∴∠CAB=∠E. 又∵AB=AE, ∴△ABC≌△EAD. 3.(2019·黄冈)如图,ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂 足分别为F,G.求证:BF-DG=FG. 【解题过程】 H 图1 M NBA C D 图2 P Q B M A C N 图3 A Q B M P C 6 / 14 4.(2019·乐山)如图,线段 AC 、 BD 相交于点 E , AE = DE , BE = CE .求证:∠B = ∠C . 证明:在 AEB∆ 和 DEC∆ 中, DEAE = , CEBE = , DECAEB ∠=∠ AEB∆∴ ≌ DEC∆ ,故 CB ∠=∠ . 5.(2019·淄博)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC. 求证:∠E=∠C. 证明:∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.在 △ ABC 和 △ ADE 中, AB AD BAC DAE AC AE  ∠=∠  = = ,∴ △ ABC≌△ADE(SAS),∴∠E=∠C. 6.(2019 浙江省温州市,18,8 分)(本题满分 8 分) 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AB 边上一点,过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. (1)求证:△BDE≌△CDF; (2)当 AD⊥BC,AE=1,CF=2 时,求 AC 的长. B DA C E A B C D E 7 / 14 【解题过程】(1) ∵ CF∥AB,∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F. ∵ AD 是 BC 边上的中线,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDF; (2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,∴AB=AE+BE=1+2=3. ∵ AD⊥BC,BD=CD,∴AC=AB=3. 7.(2019·泰州,25 题,12 分) 如图,线段 AB=8,射线 BG⊥AB,P 为射线 BG 上一点,以 AP 为边作正方形 APCD,且 C、D 与点 B 在 AP 两侧,在线段 DP 取一点 E,使∠EAP=∠BAP,直线 CE 与线段 AB 相交于点 F(点 F 与点 A、B 不重合). (1)求证:△AEP≌△CEP; (2)判断 CF 与 AB 的位置关系,并说明理由; (3)求△AEF 的周长. 【解题过程】(1)∵四边形 APCD 正方形,∴DP 平分∠APC, PC=PA,∴∠APD=∠CPD=45°,又因为 PE =PE,∴△AEP≌△CEP(SAS); (2)CF⊥AB.理由如下:∵△AEP≌△CEP,∴∠EAP=∠ECP,∵∠EAP=∠BAP.∴∠BAP=∠FCP,∵∠ FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP,∴∠AMF+∠PAB=90°,∴∠AFM=90°,∴CF⊥AB; 8 / 14 第 7 题答图(1) (3)过点 C 作 CN⊥PB.可证得△PCN≌△APB,∴CN=PB=BF,PN=AB,∵△AEP≌△CEP,∴AE=CE, ∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2 AB=16. 第 7 题答图(2) 8.(2019·绍兴)如图 1 是实验室中的一种摆动装置,BC 在地面上,支架 ABC 是底边为 BC 的等腰 直 角三角形,摆动臂长 AD 可绕点 A 旋转,摆动臂 DM 可绕点 D 旋转,AD=30,DM=10. (1)在旋转过程中: ①当 A,D,M 三点在同一直线上时,求 AM 的长; ②当 A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时,求 AM 的长. (2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°,点 D 的位置由△ABC 外的点 D1 转到其内的点 D2 处,连结 D1D2, 如图 2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求 BD2 的长. 9 / 14 【解题过程】 9.(2019·苏州,24,8)如图,△ABC 中,点 E 在 BC 边上.AE=AB,将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接 EF,EF 与 AC 交于点 G. (1)求证:EF =BC;(2)若∠ABC=65°.∠ACB=28°,求∠FGC 的度数 【解题过程】 10 / 14 (1)证明:∵线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置, ∴AC=AF, ∴∠CAF=∠BAE. ∴∠CAF+∠CAE=∠BA E+∠CAE. 即∠EAF=∠BAC. 在△ABC 和△AEF 中, ∠BAC= ∠EAF,∠BAC=∠EAF, AC=AF, ∴△ABC≌△AEF (SAS), ∴EF=BC (2)解:∵ AE=AB,∴∠AEB=∠ABC= 65°, ∵ △ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC= 65°, ∠FEC=1 80° -∠AEB-∠AEF=1 80°- 65°-65°= 50°, ∵∠FGC 是△EGC 的外角,∠ACB=28°, ∴ ∠FGC=∠FEC+∠ACB =50°+ 28°=78°. 10.(2019·嘉兴)如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD.请添加一个条件,使得结论“AE=CF” 成立,并加以证明. 【答案】见解题过程 【解题过程】添加条件:BE=DF 或 DE=BF 或 AE//CF 或∠AEB=∠DFC 或∠DAE=∠BCF 或∠AED= ∠CFB 或∠BAE=∠DCF 或∠DCF+∠DAE=90°等. 证明:在矩形 ABCD 中,AB//CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴AE=CF. 11.(2019 山东烟台,24,11 分) 【问题探究】 (1)如图 1,△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90° ,点 B,D 在同一直线 上,连接 AD,BD. ①请探究 AD 与 BD 之间的位置关系: ; ②若 AC = BC = 10 , DC = CE = 2 ,则线段 AD 的长为 . 【拓展延伸】 (2)如图 2,△ABC 和△DEC 均为直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90° ,AC = 21 ,BC = 7 , CD = 3 ,CE =1,将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角∠BCD 为α (0° ≤ α ≤ 360°), 作直线 BD,连接 AD,当点 B,D,E 在同一直线上时,画出图形,并求线段 AD 的长. 11 / 14 【解题过程】 (1)本题的答案是 ① AD BD⊥ ②4 探究过程如下: ①因为△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形, 90ACB DCE∠=∠=° 所以CA CB= ,CD CE= , ACB BCD DCE BCD∠ +∠ =∠ +∠ 所以 ACD BCE∠=∠, 在△ACD 与△BCE 中, 因为CA CB= , ACD BCE∠=∠,CD CE= , 所以△ACD≌△BCE, 所以 CAD CBE∠=∠, 因为 90ACB∠=° 所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °, 所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = ° 即 90DAB DBA∠ +∠ = ° 所以 90ADB∠=°, 所以 AD BD⊥ . ②由①可得△ACD≌△BCE, 所以 AD BE= , 在 Rt△DCE 中,由勾股定理得, 22 2 2( 2) ( 2) 2DE CE CD= += + =, 在 Rt△ACD 中,由勾股定理得, 22 2 2( 10) ( 10) 2 5AB AC BC= += + =, 设 AD x= ,则 BE x= , 所以 2BD BC DE x=−=−, 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得, 2 22AB AD BD= + , 12 / 14 即 22 2(2 5) ( 2)xx=+− 解得 4x = 或 2x = − (舍去), 所以 4AD = , 即线段 AD 的长为 4. (2)解:情况 1:当0 180α°≤ ≤ °时,点 B,D,E 在同一直线上时的图形如图(1)所示, 因为 90ACB DCE∠=∠=° 所以 ACB BCD DCE BCD∠ +∠ =∠ +∠ 所以 ACD BCE∠=∠, 因为 21 3 7 AC BC = = , 3 31 DC CE = = , 所以 AC DC BC CE = 在△ACD 与△BCE 中, 因为 AC DC BC CE = , ACD BCE∠=∠, 所以△ACD∽△BCE, 所以 CAD CBE∠=∠, 3AD AC BE BC = = , 所以 3AD BE= 因为 90ACB∠=° 所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °, 所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = ° 即 90DAB DBA∠ +∠ = ° 所以 90ADB∠=°, 在 Rt△DCE 中,由勾股定理得, 2 22 21 ( 3) 2DE CE CD= +=+=, 在 Rt△ACD 中,由勾股定理得, 22 2 2( 21) ( 7) 2 7AB AC BC= += + =, A C B E D 第 11题答图(1) 13 / 14 设 BE x= ,则 33AD BE x= = , 所以 2BD BC DE x=−=−, 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得, 2 22AB AD BD= + , 即 22 2(2 7) ( 3 ) ( 2)xx= +− 解得 3x = 或 2x = − (舍去), 所以 3 33AD BE= = , 即当 0 180α°≤ ≤ °时,点 B,D,E 在同一直线上时,线段 AD 的长为 33. 情况 2:当180 360α°< ≤ °时,点 B,D,E 在同一直线上时的图形如图(2)所示, 因为 90ACB DCE∠=∠=° 所以 ACB ACE DCE ACE∠ −∠ =∠ −∠ 所以 ACD BCE∠=∠, 因为 21 3 7 AC BC = = , 3 31 DC CE = = , 所以 AC DC BC CE = 在△ACD 与△BCE 中, 因为 AC DC BC CE = , ACD BCE∠=∠, 所以△ACD∽△BCE, 所以 CAD CBE∠=∠, 3AD AC BE BC = = , 所以 3AD BE= 因为 90ACB∠=° 所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °, 所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = ° 即 90DAB DBA∠ +∠ = ° A C B D E 第 11题答图(2) 14 / 14 所以 ∠ADB = 90° , 在 Rt△DCE 中,由勾股定理得, DE = CE 2 + CD2 = 12 + ( 3)2 = 2, 在 Rt△ACD 中,由勾股定理得, AB = AC 2 + BC 2 = ( 21)2 + ( 7)2 = 2 7 , 设 BE = x ,则 AD = 3BE = 3x , 所以 BD = BC + DE = x + 2 , 在 Rt△ABD 中,由勾股定理得, AB2 = AD2 + BD2 , 即 (2 7)2 = ( 3x)2 + (x + 2)2 解得 x = 2 或 x = −3(舍去), 所以 AD = 3BE = 2 3 , 即当180° < α ≤ 360° 时,点 B,D,E 在同一直线上时,线段 AD 的长为 2 3 . 综上可知,线段 AD 的长为3 3 或 2 3 . 12.(2019·山西)已知,如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F,求证:BC=DF. 【解题过程】∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD,∴AB=DE,∵AC∥EF,∴∠A=∠E,在△ABC 和△EDF 中,∠C=∠F,∠A=∠E,AB=ED,∴△ABC≌△EDF,∴BC=DF.

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