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- 2021-11-06 发布
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一、选择题
1.(2019·滨州)如图,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°,
连接 AC,BD 交于点 M,连接 OM.下列结论:
①
AC=BD;
②
∠AMB=40°;
③
OM 平分∠BOC;
④
MO 平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD,∴ ∠AOC=∠BOD,又 ∵OA=OB,OC=OD,∴△AOC≌△BOD,∴AC=BD,
故①正确;∵△AOC≌△BOD,∴∠MAO=∠MBO,如图,设 OA 与 BD 相交于 N,又∵∠ANM=∠BNO,
∴∠AMB=∠AOB=40°,故②正确;如图,过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线,垂足分别是 E,F,∵△
AOC≌△BOD,AC=BD,∴OE=OF,∴MO 平分∠BMC,故④正确;在△AOC 中,∵OA>OC,∴∠
ACO>∠OAC,∵△AOC≌△BOD,∴∠OAC=∠OBD,∴∠ACO>∠OBM,在 △OCM 和△OBM 中,
∠ACO>∠OBM,∠OMC=∠OMB,∴∠COM<∠BOM,故③错误,所以①②④正确.故选 B.
二、填空题
1.(2019·嘉兴)如图,一副含 30°和 45°角的三角板 ABC 和 EDF 拼合在个平面上,边 AC 与 EF 重合,
AC=12cm.当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时,点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向滑动.当点 E
从点 A 滑动到点 C 时,点 D 运动的路径长为 cm;连接 BD,则△ABD 的面积最大值为 cm2.
知识点 27——全等三角形
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【答案】 24 12 2− ,36 2 24 3 12 6+−
【解析】∵AC=12cm,∠A=30°,∠DEF=45°,
∴BC=4 cm,AB=8 cm,ED=DF=6 cm,
如图,当点 E 沿 AC 方向下滑时,得△E'D'F',过点 D'作 D'N⊥AC 于点 N,作 D'M⊥BC 于点 M,
∴∠MD'N=90°,且∠E'D'F'=90°,
∴∠E'D'N=∠F'D'M,且∠D'NE'=∠D'MF'=90°,E'D'=D'F',
∴△D'NE'≌△D'MF'(AAS),
∴D'N=D'M,且 D'N⊥AC,D'M⊥CM,
∴CD'平分∠ACM,
即点 E 沿 AC 方向下滑时,点 D'在射线 CD 上移动,
∴当 E'D'⊥AC 时,DD'值最大,最大值= ED﹣CD=(12﹣6 )cm,
∴当点 E 从点 A 滑动到点 C 时,点 D 运动的路径长=2×(12﹣6 )=(24﹣12 )cm.
如图,连接 BD',AD',
∵S△AD'B=S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,
∴S△AD'B= BC×AC+ ×AC×D'N﹣ ×BC×D'M=24 + (12﹣4 )×D'N,
当 E'D'⊥AC 时,S△AD'B 有最大值,
∴S△AD'B 最大值=24 + (12﹣4 )×6 =(24 +36 ﹣12 )cm2.
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故答案为:(24﹣12 ),( 24 +36 ﹣12 ).
2.(2019·株洲)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,在直线 x=1 处放置反光镜 I,在 y 轴处放置
一个有缺口的挡板 II,缺口为线段 AB,其中点 A(0,1),点 B 在点 A 上方,且 AB=1,在直线 x
=﹣1 处放置一个挡板 III,从点 O 发出的光线经反光镜 I 反射后,通过缺口 AB 照射在挡板 III 上,
则落在挡板 III 上的光线的长度为.
【答案】 3
2
【解析】如图,落在挡板 III 上的光线的长度为 MN 的长度,对应的反光镜 I 的边界点分别为点 P 和点 Q,
根据光线的折射,入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF≌△OPF,所 以 AO=2AF=2OF,∴ AF=
1
2 ,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1,所以 NE=2,∵AQ⊥y 轴,∴PQ=AF= 1
2 ,
由题意知,△AEM≌△AQP,所以 ME=PQ= 1
2 ,
所以 MN=NE-ME=2-
1
2 =
3
2 .
三、解答题
1.(2019·武汉,23,20 分)在△ABC 中,∠ABC=90°, AB nBC
= ,M 是 BC 上一点,连接 AM
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(1) 如图 1,若 n=1,N 是 AB 延长线上一点,CN 与 AM 垂直,求证:BM=BN
(2) 过点 B 作 BP⊥AM,P 为垂足,连接 CP 并延长交 AB 于点 Q
① 如图 2,若 n=1,求证: CP BM
PQ BQ
=
② 如图 3,若 M 是 BC 的中点,直接写出 tan∠BPQ 的值(用含 n 的式子表示)
【解题过程】
(1)证明:延长 AM 交 CN 于点 H,
∵AM 与 CN 垂直,∠ABC=90°,
∴∠BAM+∠N=90°,∠BCN+∠N=90°,
∴∠BAM=∠BCN.
∵n=1,∠ABC=90°,
∴AB=BC,∠ABC=∠CBN.
∴△ABM≌△CBN,
∴BM=BN.
(2)①证明:过点 C 作 CD//BP 交 AB 的延长线于点 D,则 AM 与 CD 垂直.
由(1), 得 BM=BD.
∵CD//BP,∴ CP DB
PQ BQ
= ,即 CP BM
PQ BQ
=
② 1
n
提示:延长 PM 到 N,使得 MN=PM,易知△PBM≌△NCM,则∠CNM=∠BPM=90°,∵ AB nBC
= ,BC=
2BM,∴ 2AB nBM
= ,设 PM=MN=1,则 PB=CN=2n,tan∠BPQ=tan∠NCP= PN
CN
= 2PM
CN
= 2
2n
= 1
n
图3图2图1
A Q B
M
P
C
P
Q B
M
A
C
M
NBA
C
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2.(2019·益阳)已知,如图,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°,求证:△ABC≌△EAD.
【解题过程】证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°.
∵∠D=110°,
∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,
∴∠CAB=∠E.
又∵AB=AE,
∴△ABC≌△EAD.
3.(2019·黄冈)如图,ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂
足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.
【解题过程】
H
图1
M
NBA
C
D
图2
P
Q B
M
A
C
N
图3
A Q B
M
P
C
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4.(2019·乐山)如图,线段 AC 、 BD 相交于点 E , AE = DE , BE = CE .求证:∠B = ∠C .
证明:在 AEB∆ 和 DEC∆ 中,
DEAE = , CEBE = , DECAEB ∠=∠
AEB∆∴ ≌ DEC∆ ,故 CB ∠=∠ .
5.(2019·淄博)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.
求证:∠E=∠C.
证明:∵∠BAE=∠DAC,∴∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC=∠DAE.在
△
ABC 和
△
ADE 中,
AB AD
BAC DAE
AC AE
∠=∠
=
=
,∴
△
ABC≌△ADE(SAS),∴∠E=∠C.
6.(2019 浙江省温州市,18,8 分)(本题满分 8 分)
如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AB 边上一点,过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点
F.
(1)求证:△BDE≌△CDF;
(2)当 AD⊥BC,AE=1,CF=2 时,求 AC 的长.
B
DA
C
E
A
B
C D
E
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【解题过程】(1) ∵ CF∥AB,∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.
∵ AD 是 BC 边上的中线,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDF;
(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,∴AB=AE+BE=1+2=3.
∵ AD⊥BC,BD=CD,∴AC=AB=3.
7.(2019·泰州,25 题,12 分) 如图,线段 AB=8,射线 BG⊥AB,P 为射线 BG 上一点,以 AP 为边作正方形
APCD,且 C、D 与点 B 在 AP 两侧,在线段 DP 取一点 E,使∠EAP=∠BAP,直线 CE 与线段 AB 相交于点
F(点 F 与点 A、B 不重合).
(1)求证:△AEP≌△CEP;
(2)判断 CF 与 AB 的位置关系,并说明理由;
(3)求△AEF 的周长.
【解题过程】(1)∵四边形 APCD 正方形,∴DP 平分∠APC, PC=PA,∴∠APD=∠CPD=45°,又因为 PE
=PE,∴△AEP≌△CEP(SAS);
(2)CF⊥AB.理由如下:∵△AEP≌△CEP,∴∠EAP=∠ECP,∵∠EAP=∠BAP.∴∠BAP=∠FCP,∵∠
FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP,∴∠AMF+∠PAB=90°,∴∠AFM=90°,∴CF⊥AB;
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第 7 题答图(1)
(3)过点 C 作 CN⊥PB.可证得△PCN≌△APB,∴CN=PB=BF,PN=AB,∵△AEP≌△CEP,∴AE=CE,
∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=2 AB=16.
第 7 题答图(2)
8.(2019·绍兴)如图 1 是实验室中的一种摆动装置,BC 在地面上,支架 ABC 是底边为 BC 的等腰 直
角三角形,摆动臂长 AD 可绕点 A 旋转,摆动臂 DM 可绕点 D 旋转,AD=30,DM=10.
(1)在旋转过程中:
①当 A,D,M 三点在同一直线上时,求 AM 的长;
②当 A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时,求 AM 的长.
(2)若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°,点 D 的位置由△ABC 外的点 D1 转到其内的点 D2 处,连结 D1D2,
如图 2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求 BD2 的长.
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【解题过程】
9.(2019·苏州,24,8)如图,△ABC 中,点 E 在 BC 边上.AE=AB,将线段 AC 绕点 A 旋转到
AF 的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接 EF,EF 与 AC 交于点 G.
(1)求证:EF =BC;(2)若∠ABC=65°.∠ACB=28°,求∠FGC 的度数
【解题过程】
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(1)证明:∵线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置, ∴AC=AF, ∴∠CAF=∠BAE.
∴∠CAF+∠CAE=∠BA E+∠CAE. 即∠EAF=∠BAC.
在△ABC 和△AEF 中, ∠BAC= ∠EAF,∠BAC=∠EAF, AC=AF,
∴△ABC≌△AEF (SAS), ∴EF=BC
(2)解:∵ AE=AB,∴∠AEB=∠ABC= 65°,
∵ △ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC= 65°,
∠FEC=1 80° -∠AEB-∠AEF=1 80°- 65°-65°= 50°,
∵∠FGC 是△EGC 的外角,∠ACB=28°,
∴ ∠FGC=∠FEC+∠ACB =50°+ 28°=78°.
10.(2019·嘉兴)如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 在对角线 BD.请添加一个条件,使得结论“AE=CF”
成立,并加以证明.
【答案】见解题过程
【解题过程】添加条件:BE=DF 或 DE=BF 或 AE//CF 或∠AEB=∠DFC 或∠DAE=∠BCF 或∠AED=
∠CFB 或∠BAE=∠DCF 或∠DCF+∠DAE=90°等.
证明:在矩形 ABCD 中,AB//CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴AE=CF.
11.(2019 山东烟台,24,11 分)
【问题探究】
(1)如图 1,△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90° ,点 B,D 在同一直线
上,连接 AD,BD.
①请探究 AD 与 BD 之间的位置关系: ;
②若 AC = BC = 10 , DC = CE = 2 ,则线段 AD 的长为 .
【拓展延伸】
(2)如图 2,△ABC 和△DEC 均为直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90° ,AC = 21 ,BC = 7 ,
CD = 3 ,CE =1,将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角∠BCD 为α (0° ≤ α ≤ 360°),
作直线 BD,连接 AD,当点 B,D,E 在同一直线上时,画出图形,并求线段 AD 的长.
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【解题过程】
(1)本题的答案是
① AD BD⊥ ②4
探究过程如下:
①因为△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形, 90ACB DCE∠=∠=°
所以CA CB= ,CD CE= , ACB BCD DCE BCD∠ +∠ =∠ +∠
所以 ACD BCE∠=∠,
在△ACD 与△BCE 中,
因为CA CB= , ACD BCE∠=∠,CD CE= ,
所以△ACD≌△BCE,
所以 CAD CBE∠=∠,
因为 90ACB∠=°
所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °,
所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = °
即 90DAB DBA∠ +∠ = °
所以 90ADB∠=°,
所以 AD BD⊥ .
②由①可得△ACD≌△BCE,
所以 AD BE= ,
在 Rt△DCE 中,由勾股定理得,
22 2 2( 2) ( 2) 2DE CE CD= += + =,
在 Rt△ACD 中,由勾股定理得,
22 2 2( 10) ( 10) 2 5AB AC BC= += + =,
设 AD x= ,则 BE x= ,
所以 2BD BC DE x=−=−,
在 Rt△ABD 中,由勾股定理得,
2 22AB AD BD= + ,
12 / 14
即 22 2(2 5) ( 2)xx=+−
解得 4x = 或 2x = − (舍去),
所以 4AD = ,
即线段 AD 的长为 4.
(2)解:情况 1:当0 180α°≤ ≤ °时,点 B,D,E 在同一直线上时的图形如图(1)所示,
因为 90ACB DCE∠=∠=°
所以 ACB BCD DCE BCD∠ +∠ =∠ +∠
所以 ACD BCE∠=∠,
因为 21 3
7
AC
BC
= = , 3 31
DC
CE
= = ,
所以 AC DC
BC CE
=
在△ACD 与△BCE 中,
因为 AC DC
BC CE
= , ACD BCE∠=∠,
所以△ACD∽△BCE,
所以 CAD CBE∠=∠, 3AD AC
BE BC
= = ,
所以 3AD BE=
因为 90ACB∠=°
所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °,
所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = °
即 90DAB DBA∠ +∠ = °
所以 90ADB∠=°,
在 Rt△DCE 中,由勾股定理得,
2 22 21 ( 3) 2DE CE CD= +=+=,
在 Rt△ACD 中,由勾股定理得,
22 2 2( 21) ( 7) 2 7AB AC BC= += + =,
A C
B
E
D
第 11题答图(1)
13 / 14
设 BE x= ,则 33AD BE x= = ,
所以 2BD BC DE x=−=−,
在 Rt△ABD 中,由勾股定理得,
2 22AB AD BD= + ,
即 22 2(2 7) ( 3 ) ( 2)xx= +−
解得 3x = 或 2x = − (舍去),
所以 3 33AD BE= = ,
即当 0 180α°≤ ≤ °时,点 B,D,E 在同一直线上时,线段 AD 的长为 33.
情况 2:当180 360α°< ≤ °时,点 B,D,E 在同一直线上时的图形如图(2)所示,
因为 90ACB DCE∠=∠=°
所以 ACB ACE DCE ACE∠ −∠ =∠ −∠
所以 ACD BCE∠=∠,
因为 21 3
7
AC
BC
= = , 3 31
DC
CE
= = ,
所以 AC DC
BC CE
=
在△ACD 与△BCE 中,
因为 AC DC
BC CE
= , ACD BCE∠=∠,
所以△ACD∽△BCE,
所以 CAD CBE∠=∠, 3AD AC
BE BC
= = ,
所以 3AD BE=
因为 90ACB∠=°
所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °,
所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = °
即 90DAB DBA∠ +∠ = °
A C
B
D
E
第 11题答图(2)
14 / 14
所以 ∠ADB = 90° ,
在 Rt△DCE 中,由勾股定理得,
DE = CE 2 + CD2 = 12 + ( 3)2 = 2,
在 Rt△ACD 中,由勾股定理得,
AB = AC 2 + BC 2 = ( 21)2 + ( 7)2 = 2 7 ,
设 BE = x ,则 AD = 3BE = 3x ,
所以 BD = BC + DE = x + 2 ,
在 Rt△ABD 中,由勾股定理得,
AB2 = AD2 + BD2 ,
即 (2 7)2 = ( 3x)2 + (x + 2)2
解得 x = 2 或 x = −3(舍去),
所以 AD = 3BE = 2 3 ,
即当180° < α ≤ 360° 时,点 B,D,E 在同一直线上时,线段 AD 的长为 2 3 .
综上可知,线段 AD 的长为3 3 或 2 3 .
12.(2019·山西)已知,如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F,求证:BC=DF.
【解题过程】∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD,∴AB=DE,∵AC∥EF,∴∠A=∠E,在△ABC 和△EDF
中,∠C=∠F,∠A=∠E,AB=ED,∴△ABC≌△EDF,∴BC=DF.