初三数学试卷 2009 13页

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  • 2021-11-06 发布

初三数学试卷 2009

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北京市西城区2009年抽样测试 初三数学试卷 2009.5‎ 考生须知 ‎1.本试卷共4页,共五道大题,25道小题,满分120分,考试时间120分钟。‎ ‎2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称和姓名。‎ ‎3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。‎ ‎4.考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)‎ ‎1.-2的相反数等于 A.2 B.-‎2 ‎C. D.-‎ ‎2.2009年,全国普通高校本、专科共计划招生6 290 000人,将6 290 000用科学记数法表示应为 A.6.29×105 B.62.9×‎105 ‎C.6.29×106 D.0.629×107‎ ‎3.右图是由五个相同的小正方体搭成的几何体,它的主视图是 ‎4.若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为 A.5 B.‎6 ‎C.7 D.8‎ ‎5.2004~2008年社会消费品零售总额及增长速度情况如右图所示,那么社会消费品零售总额比上年增长最快的年份是 A.2005年 B.2006年 C.2007年 D.2008年 ‎6.如图,AB∥DF,AC⊥BC于点C,CB与DF交于点E,若∠A=20°,则∠CEF等于 A.110° B.100°‎ C.80° D.70°‎ ‎7.如图,在边长为1的等边三角形ABC中,若将两条含120°圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S,则S与△ABC面积的比等于 A. B. C. D.‎ ‎8.若m、n(m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是 A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)‎ ‎9.在函数y=中,自变量x的取值范围是________.‎ ‎10.若+(y-4)2=0,则xy的值等于________.‎ ‎11.如图,△ABC中,∠ABC的平分线交AC于E,BE⊥AC,DE∥BC交AB于D,若BC=4,则DE=________.‎ ‎12.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC<AC,若BC·AC=AB2,则∠A=________.‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.计算:.‎ ‎14.解不等式组在数轴上表示它的解集,并求它的整数解.‎ ‎15.已知:如图,△ABC中,AB=AC,BC为最大边,点D、E分别在BC、AC上,BD=CE,F为BA延长线上一点,BF=CD.‎ 求证:∠DEF=∠DFE.‎ ‎16.解方程:.‎ ‎17.已知抛物线y=-x2+(m+2)x+‎3m-20经过点(1,-3),求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标.‎ ‎18.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=2,∠A=60°,BC=4,求CD的长.‎ 四、解答题(本题共20分,第19题5分,第20题5分,第21题6分,第22题4分)‎ ‎19.已知:如图,AB为⊙O的弦,过点O作AB的平行线,交⊙O于点C,直线OC上一点D满足∠D=∠ACB.‎ ‎(1)判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)若⊙O的半径等于4,tan∠ACB=,求CD的长.‎ ‎20.有三个完全相同的小球,上面分别标有数字1、-2、-3,将其放入一个不透明的盒子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀),设第一次摸到的球上所标的数字为m,第二次摸到的球上所标的数字为n,依次以m、n作为点M的横、纵坐标.‎ ‎(1)用树状图(或列表法)表示出点M(m,n)的坐标所有可能的结果;‎ ‎(2)求点M(m,n)在第三象限的概率.‎ ‎21.某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地,每辆汽车能装8吨甲种苹果,或10吨乙种苹果,或11吨丙种苹果.公司规定每辆车只能装同一种苹果,而且必须满载.已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨,且每种苹果不少于一车.‎ ‎(1)设用x辆车装甲种苹果,y辆车装乙种苹果,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;‎ ‎(2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示:‎ 苹果品种 甲 乙 丙 每吨苹果所获利润(万元)‎ ‎0.22‎ ‎0.21‎ ‎0.2‎ 设此次运输的利润为W(万元),问:如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大,并求出最大利润.‎ ‎22.已知:如图,△ABC中,AC<AB<BC.‎ ‎(1)在BC边上确定点P的位置,使∠APC=∠C.请画出图形,不写画法;‎ ‎(2)在图中画出一条直线l,使得直线l分别与AB、BC边交于点M、N,并且沿直线l将△ABC剪开后可拼成一个等腰梯形.请画出直线l及拼接后的等腰梯形,并简要说明你的剪拼方法.‎ 说明:本题只需保留画图痕迹,无需尺规作图.‎ 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)‎ ‎23.已知:反比例函数y=和y=在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示,点A在y=的图象上,AB∥y轴,与y=的图象交于点B,AC、BD与x轴平行,分别与y=、y=的图象交于点C、D.‎ ‎(1)若点A的横坐标为2,求梯形ACBD对角线的交点F的坐标;‎ ‎(2)若点A的横坐标为m,比较△OBC与△ABC面积的大小,并说明理由;‎ ‎(3)若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似,请直接写出点A的坐标.‎ ‎24.已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B,将∠OBA对折,使点O的对应点H落在直线AB上,折痕交x轴于点C.‎ ‎(1)直接写出点C的坐标,并求过A、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎(2)若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T,Q为线段BT上一点,直接写出|QA-QO|的取值范围.‎ ‎25.已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.‎ ‎(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;‎ ‎(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.‎ 北京市西城2009年抽样测试 初三数学评分标准及参考答案 2009.5‎ 阅卷须知:‎ ‎1.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎2.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分。‎ 一、选择题(共8道小题,每小题4分,共32分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C B D D A B A 二、填空题(共4道小题,每小题4分,共16分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 x≠-2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎15‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.解:‎ ‎=2+1-2-2…………………………………………………………………4分 ‎=-1.………………………………………………………………………………5分 ‎14.解:‎ 由①得x≥1.………………………………………………………………………………1分 由②得x<5.………………………………………………………………………………2分 不等式组的解集在数轴上表示如下:‎ ‎ ………………………………………………………………………………………3分 所以原不等式组的解集为1≤x<5.……………………………………………………4分 所以原不等式组的整数解为1,2,3,4.……………………………………………5分 ‎15.证明:如图1,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C.……………………………………………………………………………1分 在△BDF和△CED中,‎ ‎∴△BDF≌△CED.………………………………………………………………………3分 ‎∴DF=ED.………………………………………………………………………………4分 ‎∴∠DEF=∠DFE.………………………………………………………………………5分 ‎16.解:去分母,得x(x+2)-(x2-4)=2.………………………………………………1分 去括号,得x2+2x-x2+4=2.…………………………………………………………2分 整理,得2x=-2.………………………………………………………………………3分 解得x=-1.………………………………………………………………………………4分 经检验,x=-1是原方程的解.…………………………………………………………5分 ‎17.解:∵抛物线y=-x2+(m+2)x+‎3m-20经过(1,-3)点,‎ ‎∴-12+(m+2)+‎3m-20=-3.‎ 整理,得‎4m-19=-3.‎ 解得m=4.………………………………………………………………………………1分 ‎∴二次函数的解析式为y=-x2+6x-8.………………………………………………2分 令y=0,可得-x2+6x-8=0.‎ 解得x1=2,x2=4.………………………………………………………………………3分 ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),(4,0).………………………………………4分 ‎∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(3,1).…………………………………………………………5分 ‎18.解:连结BD,作DE⊥BC于点E.(如图2) …………………………………………1分 ‎∵AB=AD=2,∠A=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形,BD=2,∠ADB=60°.…………………………………2分 ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DBC=60°.…………………………………………………………………………3分 在Rt△BDE中,∠BED=90°,∠DBE=60°,‎ ‎∴DE=BD·sin 60°=,BE=BD·cos 60°=1.…………………………………4分 在Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=BC-BE=3,‎ ‎.…………………………………………………………5分 解法二:作DE∥AB交BC于E,作EF⊥CD于F.‎ 解法三:连结BD,并延长BA、CD交于E.‎ 四、解答题(本题共20分,第19题5分,第20题5分,第21题6分,第22题4分)‎ ‎19.解:(1)直线BD与⊙O相切.‎ 图3‎ 证明:如图3,连结OB.………………………………………………………………1分 ‎∵∠OCB=∠CBD+∠D,∠1=∠D,‎ ‎∴∠2=∠CBD.‎ ‎∵AB∥OC,‎ ‎∴∠2=∠A.‎ ‎∴∠A=∠CBD.‎ ‎∵OB=OC,‎ ‎∴∠BOC+2∠3=180°,‎ ‎∵∠BOC=2∠A,‎ ‎∴∠A+∠3=90°.‎ ‎∴∠CBD+∠3=90°.‎ ‎∴∠OBD=90°.…………………………………………………………………………2分 ‎∴直线BD与⊙O相切.…………………………………………………………………3分 ‎(2)解:∵∠D=∠ACB,tan∠ACB=,‎ ‎∴tan D=.……………………………………………………………………………4分 在Rt△OBD中,∠OBD=90°,OB=4,tanD=.‎ ‎,.‎ ‎∴CD=OD-OC=1.……………………………………………………………………5分 ‎20.解:(1)组成的点M(m,n)的坐标的所有可能性为:‎ 或列表如下:‎ ‎ 第一次 第二次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(-2,1)‎ ‎(-3,1)‎ ‎-2‎ ‎(1,-2)‎ ‎(-2,-2)‎ ‎(-3,-2)‎ ‎-3‎ ‎(1,-3)‎ ‎(-2,-3)‎ ‎(-3,-3)‎ ‎…………………………………………………………………………………………3分 ‎(2)落在第三象限的点有(-2,-2),(-2,-3),(-3,-2),(-3,-3),因此点M落在第三象限的概率为.…………………………………………………………5分 ‎21.解:(1)∵8x+10y+11(10-x-y)=100,……………………………………………1分 ‎∴y与x之间的函数关系式为y=-3x+10.…………………………………………2分 ‎∵y≥1,解得x≤3.‎ ‎∵x≥1,10-x-y≥1,且x是正整数,‎ ‎∴自变量x的取值范围是x=1或x=2或x=3.………………………………………3分 ‎(2)W=8x×0.22+10y×0.21+11(10-x-y)×0.2=-0.14x+21.…………………4分 因为W随x的增大而减小,所以x取1时,可获得最大利润,此时W=20.86(万元).‎ ‎ …………………………………………………………………………………………5分 获得最大运输利润的方案为:用1辆车装甲种苹果,用7辆车装乙种苹果,2辆车装丙种苹果.……………………………………………………………………………………6分 ‎22.解:(1)答案见图4(任选一种即可).…………………………………………………2分 ‎(2)答案见图5.…………………………………………………………………………3分 剪拼方法:取AB的中点M,过点M作AP的平行线l,与BC交于点N,过点A作BC的平行线,与l交于点H,将△BMN绕点M顺时针旋转180°到△AMH,则四边形为拼接后的等腰梯形.‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)‎ ‎23.解:(1)如图6,当点A的横坐标为2时,点A、B、C、D的坐标分别为A(2,4),B(2,1),C(,4),D(8,1).………………………………………………………………1分 解一:直线CD的解析式为.…………………………………………2分 ‎∵AB∥y轴,F为梯形ACBD的对角线的交点,‎ ‎∴x=2时,.‎ ‎∴点F的坐标为(2,).……………………………………………………3分 图2‎ 解二:AC=,BD=6,AB=3.‎ ‎∵梯形ACBD,AC∥BD,F为梯形ACBD的对角线的交点,‎ ‎∴△ACF∽△BDF.‎ ‎.‎ ‎,,点F的纵坐标为.………………………………2分 ‎∴点F的坐标为(2,).……………………………………………………3分 ‎(2)如图7,作BM⊥x轴于点M.作CN⊥x轴于点N.当点A的横坐标为m时,点A、B、C、D的坐标分别为.‎ 图7‎ ‎.……………………………………………4分 S△OBC=S梯形CNMB+S△OCN-S△OBM ‎=S梯形CNMB.……………………………………………5分 ‎∴S△OBC>S△ABC…………………………………………………………………………6分 ‎(3)点A的坐标为(2,4).……………………………………………………………7分 ‎24.解:(1)点C的坐标为(3,0).………………………………………………………1分 ‎∵点A、B的坐标分别为A(8,0),B(0,6),‎ ‎∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-8).‎ 将x=0,y=6代入抛物线的解析式,得a=.……………………………………2分 ‎∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=.………………………3分 ‎(2)可得抛物线的对称轴为x=,顶点D的坐标为,设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.‎ 直线BC的解析式为y=-2x+6.…………………………………4分 设点P的坐标为(x,-2x+6).‎ 图8‎ 解法一:如图8,作OP∥AD交直线BC于点P,连结AP,作PM⊥x轴于点M.‎ ‎∵OP∥AD,‎ ‎∴∠POM=∠GAD,tan∠POM=tan∠GAD.‎ ‎,即.‎ 解得x=.经检验x=是原方程的解.‎ 此时点P的坐标为.………………………………………………5分 但此时OM=,,OM<GA.‎ ‎,,∠POM=∠GAD,‎ ‎∴OP<AD,即四边形的对边OP与AD平行但不相等,‎ ‎∴直线BC上不存在符合条件的点P.………………………………………6分 解法二:如图9,取OA的中点E,作点D关于点E的对称点P,作PN⊥x轴于点N.‎ 则∠PEO=∠DEA,PE=DE.‎ 可得△PEN≌△DEG.‎ 由OE==4,可得E点的坐标为(4,0).‎ ‎,,.‎ ‎∴点P的坐标为.……………………………………………………5分 ‎∵时,,‎ ‎∴点P不在直线BC上.‎ ‎∴直线BC上不存在符合条件的点P.………………………………………6分 ‎ ‎ 图9 图10‎ ‎(3)|QA-QO|的取值范围是0≤|QA-QO|≤4.‎ 说明:如图10,由对称性可知QO=QH,|QA-QO|=|QA-QH|.当点Q与点B重合时,Q、H、A三点共线,|QA-QO|取得最大值4(即为AH的长);设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K重合时,|QA-QO|取得最小值0.‎ ‎25.解:(1)①如图11,作AE⊥PB于点E.……………………………………………1分 图11‎ ‎∵△APE中,∠APE=45°,PA=,‎ ‎∴AE=PA·sin∠APE=×=1,‎ PE=PA·cos∠APE=×=1.‎ ‎∵PB=4,‎ ‎∴BE=PB-PE=3.………………………………………………………………………2分 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,‎ ‎.…………………………………………………………3分 ‎②解法一:如图12,因为四边形ABCD为正方形,可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P′AB,可得△PAD≌△P′AB,PD=P′B,PA=P′A.‎ ‎∴∠PAP′=90°,∠APP′=45°,∠P′PB=90°.‎ ‎∴PP′=PA=2.…………………………………………………………4分 ‎∴PD=P′B=.………………………5分 图12‎ 解法二:如图13,过点P作AB的平行线,与DA的延长线交于F,设DA的延长线交PB于G.‎ 在Rt△AEG中,可得 ‎,,PG=PB-BE-EG=.‎ 在Rt△PFG中,可得PF=PG·cos∠FPG=PG·cos∠ABE=.‎ FG=.…………………………………………………………………4分 在Rt△PDF中,可得 ‎ .‎ ‎ ………………………………………………………………………………5分 图13‎ ‎(2)如图14所示,将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P′AB,PD的最大值即为P′B的最大值.‎ ‎∵△P′PB中,P′B<PP′+PB,PP′=PA=2,PB=4,‎ 且P、D两点落在直线AB的两侧,‎ ‎∴当P′、P、B三点共线时,P′B取得最大值(见图15).‎ 此时P′B=PP′+PB=6,即P′B的最大值为6.………………………………………6分 此时∠APB=180°-∠APP′=135°.……………………………………………………7分 ‎ ‎ 图14 图15‎

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