2010年浙江省台州市中考数学试卷(全解全析) 17页

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1、（2010•台州）﹣4的绝对值是（　　）‎ ‎ A、4 B、﹣4‎ ‎ C、2 D、±4‎ 考点：绝对值。‎ 分析：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是是它的相反数，0的绝对值是0．‎ 解答：解：根据绝对值的性质，得|﹣4|=4．‎ 故选A．‎ 点评：解题关键是掌握化简绝对值的规律．‎ ‎2、（2010•台州）下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：几何体的展开图。‎ 分析：圆锥的侧面展开图是扇形．‎ 解答：解：根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．‎ 故选B．‎ 点评：解题时勿忘记圆锥的特征及圆锥展开图的情形．‎ ‎3、（2010•台州）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　）‎ ‎ A、2.5 B、3‎ ‎ C、4 D、5‎ 考点：垂线段最短。‎ 分析：利用垂线段最短分析．‎ 解答：解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查了垂线段最短的性质．‎ ‎4、（2010•台州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、a•a2=a2 B、（ab）3=ab3‎ ‎ C、（a2）3=a6 D、a10÷a2=a5‎ 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为a•a2=a3，故本选项错误；‎ B、应为（ab）3=a3b3，故本选项错误；‎ C、（a2）3=a6，正确；‎ D、应为a10÷a2=a8，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎5、（2010•台州）如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（　　）‎ ‎ A、25° B、30°‎ ‎ C、40° D、50°‎ 考点：圆周角定理；垂径定理。‎ 分析：本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．‎ 解答：解：由垂径定理，得：AC=BC；‎ ‎∴∠CDB=‎1‎‎2‎∠AOC=25°；故选A．‎ 点评：此题综合考查垂径定理和圆周角的求法及性质．‎ ‎6、（2010•台州）下列说法中正确的是（　　）‎ ‎ A、“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B、某次抽奖活动中奖的概率为‎1‎‎100‎，说明每买100张奖券，一定有一次中奖 ‎ C、数据1，1，2，2，3的众数是3 D、想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 考点：全面调查与抽样调查；众数；随机事件；概率的意义。‎ 分析：分别根据随机事件，概率，众数，抽样调查的概念进行逐一分析即可．‎ 解答：解：A、错误，是随机事件；‎ B、错误，是随机事件，不一定中奖；‎ C、错误，数据1，1，2，2，3的众数是1、2；‎ D、正确．‎ 故选D．‎ 点评：用到的知识点为：可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；出现次数最多的数是这组数据的众数；涉及人数较多的调查方式应选择抽样调查．‎ ‎7、（2010•台州）梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是（　　）‎ ‎ A、3 B、4‎ ‎ C、2‎3‎ D、2+2‎‎3‎ 考点：梯形。‎ 分析：画出草图分析，作AE∥CD于E点，则AECD是平行四边形，△ABE是等边三角形，据此易求BC的长．‎ 解答：解：如图所示：‎ 作AE∥CD于E点，‎ ‎∵AD∥BC，AE∥CD，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD=2，EC=AD=2‎ 又AB=CD，∠B=60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，BE=2，‎ ‎∴BC=4．‎ 故选B．‎ 点评：此题考查了梯形中常作的辅助线：平移腰，把梯形转化为平行四边形和三角形求解，体现了数学的化归思想．‎ ‎8、（2010•台州）反比例函数y=‎6‎x图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ ‎ A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3‎ ‎ C、y3＜y1＜y2 D、y3＜y2＜y1‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：先根据反比例函数y=‎6‎x判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3，判断出三点所在的象限，再根据点在各象限坐标的特点及函数在每一象限的增减性解答．‎ 解答：解：∵反比例函数y=‎6‎x中，k=6＞0，‎ ‎∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；‎ ‎∵x3＞0，‎ ‎∴点（x3，y3）在第一象限，y3＞0；‎ ‎∵x1＜x2＜0，‎ ‎∴点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，y随x的增大而减小，故y2＜y1，‎ 由于x1＜0＜x3，则（x3，y3）在第一象限，（x1，y1）在第三象限，所以y1＜0，y2＞0，y1＜y2，‎ 于是y2＜y1＜y3．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．‎ ‎9、（2010•台州）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）（　　）‎ ‎ A、a B、‎4‎‎5‎a ‎ C、‎2‎‎2‎a D、‎3‎‎2‎a 考点：矩形的性质；解直角三角形。‎ 分析：根据“AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DMDE=CNCE，所以DM+CN=CDcos45°；‎ 再根据矩形ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即可求出．‎ 解答：解：∵AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，‎ ‎∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，‎ ‎∴DMcos45°‎+CNcos45°‎=CD，‎ 在矩形ABCD中，AB=CD=a，‎ ‎∴DM+CN=acos45°=‎2‎‎2‎a．‎ 故选C．‎ 点评：本题利用角平分线的性质和45°角的余弦的定义和余弦值求解，比较灵活，有利于培养学生的刻苦钻研精神．‎ ‎10、（2010•台州）如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（　　）‎ ‎ A、﹣3 B、1‎ ‎ C、5 D、8‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：动点型。‎ 分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；‎ 当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．‎ 解答：解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；‎ 当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；‎ 由于此时D点横坐标最大，‎ 故点D的横坐标最大值为8；‎ 故选D．‎ 点评：能够正确的判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎11、（2010•台州）函数y=﹣‎1‎x的自变量x的取值范围是 ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x≠0，解可得答案．‎ 解答：解：若分式有意义，分母不为0，‎ 故x≠0．‎ 故答案为x≠0．‎ 点评：本题主要考查函数自变量和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．‎ ‎12、（2010•台州）分解因式：x2﹣16= ．‎ 考点：因式分解-运用公式法。‎ 分析：运用平方差公式分解因式的式子特点：两项平方项，符号相反．直接运用平方差公式分解即可．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ 解答：解：x2﹣16=（x+4）（x﹣4）．‎ 点评：本题考查因式分解．当被分解的式子只有两项平方项；符号相反，且没有公因式时，应首要考虑用平方差公式进行分解．‎ ‎13、（2010•台州）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100‎ 元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 专题：增长率问题。‎ 分析：等量关系为：第一次降价后的价格×第二次降价占第一次降价的百分比=100．‎ 解答：解：第一次降价后的价格为120×（1﹣x），那么第二次降价后的价格为120×（1﹣x）×（1﹣x），∴可列方程为120（1﹣x）2=100．‎ 点评：解决本题的关键是得到相应的等量关系，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上得到的．‎ ‎14、（2010•台州）如图是甲、乙两射击运动员的10次射击训练成绩（环数）的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射击成绩的方差S2甲，S2乙之间的大小关系是S2甲 S2乙．‎ 考点：方差；折线统计图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．‎ 解答：解：由图中知，甲的成绩为7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，‎ 乙的成绩为8，9，7，8，10，7，9，10，7，10，‎ x甲=（7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）÷10=8.5，‎ x乙=（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5，‎ 甲的方差S甲2=[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+（10﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2]÷10=0.85，‎ 乙的方差S乙2=[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]÷10=1.35‎ ‎∴S2甲＜S2乙．‎ 故填＜．‎ 点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=‎1‎n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎15、（2010•台州）如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E ‎．则直线CD与⊙O的位置关系是 ，阴影部分面积为（结果保留π） ．‎ 考点：扇形面积的计算；切线的判定。‎ 分析：根据圆与直线的关系可知第一空是相切；第二问则需要连接CE、OE，则可以看出阴影部分的面积等于梯形的面积﹣扇形的面积，然后根据面积公式计算．‎ 解答：解：∵正方形ABCD是正方形，则∠C=90°‎ ‎∴D与⊙O的位置关系是相切．‎ ‎∵正方形的对角线相等且相互垂直平分 ‎∴CE=DE=BE ‎∵CD=4‎ ‎∴BD=4‎‎2‎ ‎∴CE=DE=BE=2‎‎2‎ 梯形OEDC的面积=（2+4）×2÷2=6‎ 扇形OEC的面积=‎90π×4‎‎360‎=π ‎∴阴影部分的面积=6﹣π．‎ 点评：本题的关键是仔细看图看出阴影部分的面积是由哪几部分得来的，然后根据面积公式计算．‎ ‎16、（2010•台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π） ．‎ 考点：弧长的计算；菱形的性质。‎ 分析：本题中中心O所经过的路径总长是几段弧长，根据弧长公式即可得．但本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．从图中可以看出，第一次旋转是以点A 为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是30度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是30度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转36次，就是这样的12个弧长的总长．依此计算即可得．‎ 解答：解：第一、二次旋转的弧长=2×‎60π×‎‎3‎‎180‎，‎ 第三次旋转的弧长=‎60π×1‎‎180‎，‎ 故中心O所经过的路径总长=12（2×‎60π×‎‎3‎‎180‎+‎60π×1‎‎180‎）‎ ‎=（8‎3‎+4）π．‎ 点评：本题的难点就在于求这几段弧的圆心角和半径．‎ 三、解答题（共8小题，满分80分）‎ ‎17、（2010•台州）（1）计算：‎4‎+（﹣2010）0﹣1；‎ ‎（2）解方程：‎3‎x=‎‎2‎x﹣1‎ 考点：解分式方程；算术平方根；零指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）利用算术平方根和零指数幂来求解；‎ ‎（2）观察方程可得最简公分母是：x（x﹣1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．‎ 解答：解：（1）原式=2+1﹣1‎ ‎=2，‎ ‎（2）方程两边同乘以x（x﹣1），‎ 得3（x﹣1）=2x，‎ 解得x=3，‎ 经检验：x=3是原方程的解，‎ 所以原方程的解是x=3．‎ 点评：本题考查幂指数计算和数的算术平方根的求法以及解分式方程的步骤．‎ ‎18、（2010•台州）解不等式组‎&6﹣2x＞0‎‎&2x＞x+1‎，并把解集在数轴上表示出来．‎ 考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。‎ 分析：本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．‎ 解答：解：‎&6﹣2x＞0①‎‎&2x＞x+1②‎．‎ 解①得，x＜3，（2分）‎ 解②得，x＞1，（2分）‎ ‎∴不等式组的解集是1＜x＜3．（2分）‎ 在数轴上表示为：（2分）‎ 点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ‎19、（2010•台州）施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．‎ ‎（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；‎ ‎（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶？‎ 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题。‎ 分析：（1）可在Rt△ABC中，根据BC、AB的长，求出∠ABC的余弦值，进而求出∠ABC的度数，也就得出了∠D的度数．‎ ‎（2）本题只需求出EF的长即可．在Rt△DEF中，根据DE的长和∠D的度数求得．‎ 解答：解：（1）cos∠D=cos∠ABC=ABBC=‎4‎‎4.25‎≈0.94，‎ ‎∴∠D=20°． （1分）‎ ‎（2）EF=DE•sin∠D=85sin20° 85×0.34=28.9（米），（3分）‎ 共需台阶28.9×100÷17=170级． （1分）‎ 点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．‎ ‎20、（2010•台州）A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．‎ ‎（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：（1）先根据图象和题意知道，甲是分段函数，所以分别设0≤x≤6时，y=k1x；6＜x≤14时，y=kx+b，根据图象上的点的坐标，利用待定系数法可求解．‎ ‎（2）注意相遇时是在6﹣14小时之间，求交点时应该套用甲中的函数关系式为y=﹣75x+1050，直接把x=7代入即可求相遇时y的值，再求速度即可．‎ 解答：解：（1）①当0≤x≤6时，设y=k1x 把点（6，600）代入得 k1=100‎ 所以y=100x；‎ ‎②当6＜x≤14时，设y=kx+b ‎∵图象过（6，600），（14，0）两点 ‎∴‎‎&6k+b=600‎‎&14k+b=0‎ 解得‎&k=﹣75‎‎&b=1050‎ ‎∴y=﹣75x+1050‎ ‎∴y=‎&100x（0≤x≤6）‎‎&﹣75x+1050（6≤x≤14）‎．‎ ‎（2）当x=7时，y=﹣75×7+1050=525，‎ V乙=‎525‎‎7‎=75（千米/小时） ．‎ 点评：本题根据实际问题考查了一次函数的运用，注意分段函数的求算方法和代数求值时对应的函数关系式．‎ ‎21、（2010•台州）果农老张进行杨梅科学管理试验．把一片杨梅林分成甲、乙两部分，甲地块用新技术管理，乙地块用老方法管理，管理成本相同．在甲、乙两地块上各随机选取20棵杨梅树，根据每棵树产量把杨梅树划分成A，B，C，D，E五个等级（甲、乙的等级划分标准相同，每组数据包括左端点不包括右端点）．画出统计图如下：‎ ‎（1）补齐直方图，求a的值及相应扇形的圆心角度数；‎ ‎（2）选择合适的统计量，比较甲乙两地块的产量水平，并说明试验结果；‎ ‎（3）若在甲地块随机抽查1棵杨梅树，求该杨梅树产量等级是B的概率．‎ 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；算术平均数；概率公式。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）用样本容量减去其他各组的频数即是B组的棵树，a的值=100﹣15﹣10﹣20﹣45，圆心角度数=360°×10%；‎ ‎（2）计算两块地的平均产量，说明通过新技术管理甲地块杨梅产量高于乙地块杨梅产量；‎ ‎（3）等级是B的概率=杨梅树产量等级是B的频数÷样本容量．‎ 解答：解：（1）画直方图（2分）‎ a=100﹣15﹣10﹣20﹣45=10，相应扇形的圆心角为：360°×10%=36°．（2分）‎ ‎（2）x甲=‎95×5+85×6+75×5+65×3+55×1‎‎20‎=80.5，‎ x乙=‎95×3+85×2+75×9+65×4+55×2‎‎20‎=75，（2分）‎ x甲＞x乙，由样本估计总体的思想，说明通过新技术管理甲地块杨梅产量高于乙地块杨梅产量．（1分）‎ ‎（若没说明“由样本估计总体”不扣分）‎ ‎（3）P=‎6‎‎20‎=0.3 （3分）‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由样本估计总体是统计常用思想．‎ ‎22、（2010•台州）类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（﹣2）=1．‎ 若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．‎ 解决问题：‎ ‎（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；‎ ‎（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”‎ ‎{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，再按照“平移量”‎ ‎{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．‎ ‎②证明四边形OABC是平行四边形．‎ ‎（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．‎ 考点：勾股定理；平行四边形的判定；生活中的平移现象。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．‎ ‎（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．‎ ‎（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可．‎ 解答：解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；‎ ‎{1，2}+{3，1}={4，3}．‎ ‎（2）①画图 最后的位置仍是B．‎ ‎②证明：由①知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）‎ ‎∴OC=AB=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎5‎，‎ OA=BC=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎10‎，‎ ‎∴四边形OABC是平行四边形．‎ ‎（3）{2，3}+{3，2}+{﹣5，﹣5}={0，0}．‎ 点评：本题是一道综合题，比较有创新，让学生在做题的同时又学到新知识，是一道好题．‎ ‎23、（2010•台州）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．‎ ‎（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK（填“＞”，“＜”或“=”）；‎ ‎②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK（只填“＞”或“＜”）；‎ ‎（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK，证明你所得到的结论；‎ ‎（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF的度数和MKAM的值．‎ 考点：全等三角形的判定；三角形三边关系；全等三角形的性质；轴对称的性质。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）；‎ ‎（2）作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质，GM=AM，GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK；‎ ‎（3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90°，又∵点C关于FD的对称点G，∴＜CKG=90°，＜FKC=‎1‎‎2‎＜CKG=45°，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15°；在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，利用余弦定理解得MKAM=‎3‎‎2‎．（2分）‎ 解答：解：（1）①在Rt△ABC中，D是AB的中点，‎ ‎∴AD=BD=AD=‎1‎‎2‎AB，∠B=∠BDC=60°‎ 又∵∠A=30°，‎ ‎∴∠ACD=60°﹣30°=30°，‎ 又∵∠CDE=60°，或∠CDF=60°时，‎ ‎∴∠CKD=90°，‎ ‎∴在△CDA中，AM（K）=CM（K），即AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），‎ ‎∵CK=0，或AM=0，‎ ‎∴AM+CK=MK；（2分）‎ ‎②由①，得 ‎∠ACD=30°，∠CDB=60°，‎ 又∵∠A=30°，∠CDF=30，∠EDF=60°，‎ ‎∴∠ADM=30°，‎ ‎∴AM=MD，CK=KD，‎ ‎∴AM+CK=MD+KD，‎ ‎∴在△MKD中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．（2分）‎ ‎（2）＞（2分）‎ 证明：作点C关于FD的对称点G，‎ 连接GK，GM，GD，‎ 则CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK，‎ ‎∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD、‎ ‎∵∠A=30°，∴∠CDA=120°，‎ ‎∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，‎ ‎∠ADM+∠CDK=60°．‎ ‎∴∠ADM=∠GDM，（3分）‎ ‎∵DM=DM，‎ ‎∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．‎ ‎∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（1分）‎ ‎（3）解：由（2），得GM=AM，GK=CK，‎ ‎∵MK2+CK2=AM2，‎ ‎∴MK2+GK2=GM2，‎ ‎∴∠GKM=90°，‎ 又∵点C关于FD的对称点G，‎ ‎∴＜CKG=90°，∠FKC=‎1‎‎2‎∠CKG=45°，‎ 又有（1），得∠A=∠ACD=30°，‎ ‎∴＜FKC=∠CDF+∠ACD，‎ ‎∴∠CDF=＜FKC﹣+∠ACD=15°，‎ 在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，‎ ‎∴∠GMK=30°，‎ ‎∴MKGM=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴MKAM=‎3‎‎2‎．（2分）‎ 点评：本题综合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、轴对称图形的性质以及三角形的两边之和大于第三边的性质．‎ ‎24、（2010•台州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．‎ ‎（1）求证：△DHQ∽△ABC；‎ ‎（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；‎ ‎（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？‎ 考点：二次函数的最值；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论。‎ 分析：（1）根据对称性可得HD=HA，那么可得∠HDQ=∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；‎ ‎（2）利用BP在不同位置的不同取值，得到y关于x的函数关系式，利用二次函数的最值即可求得最大值；‎ ‎（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．‎ 解答：（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，‎ ‎∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，‎ ‎∴∠HDQ=∠A，‎ ‎∴△DHQ∽△ABC．‎ 解：（2）①如图1，当0＜x≤2.5时，‎ ED=10﹣4x，QH=AQtan∠A=‎3‎‎4‎x，‎ 此时y=‎1‎‎2‎（10﹣4x）×‎3‎‎4‎x=﹣‎3‎‎2‎x‎2‎+‎15‎‎4‎x，‎ 当x=‎5‎‎4‎时，最大值y=‎75‎‎32‎，‎ ‎②如图2，当2.5＜x≤5时，‎ ED=4x﹣10，QH=AQtan∠A=‎3‎‎4‎x，‎ 此时y=‎1‎‎2‎（4x﹣10）×‎3‎‎4‎x=‎3‎‎2‎x‎2‎﹣‎15‎‎4‎x．‎ 当x=5时，最大值y=‎75‎‎4‎；‎ ‎∴y与x之间的函数解析式为y=‎&﹣‎3‎‎2‎x‎2‎+‎15‎‎4‎x（0≤x≤2.5）‎‎&‎3‎‎2‎x‎2‎﹣‎15‎‎4‎x（2.5＜x≤5）‎，‎ y的最大值是‎75‎‎4‎．‎ ‎（3）①如图1，当0＜x≤2.5时，‎ 若DE=DH，∵DH=AH=QAcos∠A=‎5‎‎4‎x，DE=10﹣4x，‎ ‎∴10﹣4x=‎5‎‎4‎x，x=‎40‎‎21‎．‎ 显然ED=EH，HD=HE不可能；‎ ‎②如图2，当2.5＜x≤5时，‎ 若DE=DH，4x﹣10=‎5‎‎4‎x，x=‎40‎‎11‎；‎ 若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=5；‎ 若ED=EH，则△EDH∽△HDA，‎ ‎∴EDDH=DHAD，x=‎320‎‎103‎，‎ ‎∴当x的值为‎40‎‎21‎，‎40‎‎11‎，5，‎320‎‎103‎时，△HDE是等腰三角形．‎ 点评：本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；xiu；xinruozai；ling1022；HJJ；bjy；huangling；lanchong；MMCH；开心；lzhzkkxx；张伟东；CJX；fuaisu；lanyuemeng；zxw；shenzigang；yangjigang；nhx600；zhehe。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日