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  • 2021-11-06 发布

人教版九年级上册数学同步课件-第25章-25用频率估计概率

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第二十五章 概率初步 25.3 用频率估计概率 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设 这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记,然后放 回塘里,过一段时间,待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后, 再捕上100条,发现其中带标记的鱼有10条,他估计塘里大 约有1000条鱼.他是怎样估算出来的呢? 怎样知道鱼塘里有多少条鱼? 问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币,“正面向上”和“反面 向上”发生的可能性相等,这两个随机事件发生的概率都 是0.5,这个概率能否利用试验的方法──通过统计很多 掷硬币的结果来得到呢? 1 探究频率与概率的关系 掷硬币试验 【试验要求】 1.全班同学分成10组,每组同学抛掷一枚硬币50次. 2.统计试验结果,按要求计算频率(频率结果保留两位小数), 向组长汇报,并由组长填写好表格. 3.组长将表格交给老师. 试验投掷时要细心、认真. n 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 “正面向上” 的频数m 26 52 74 98 128 149 176 203 225 252 “ ” m/n 0.52 0.52 0.49 0.49 0.51 0.50 0.50 0.51 0.50 0.50 第1组的数据填在第1列,第1,2组的数据之和填在第2 页......10个组的数据之和填在第10列. 根据表中数据想一想:“正面向上”的频率有什么规律? 问题2 分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据, 大家有何发现? 试验者 抛掷次数n “正面向上” 次数m “正面向上” 频率( ) 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 m n 根据上表中的数据,画出“正面向上”的频率的变化趋势图 如下: 发现:试验次数越多频率越接近0. 5,即频率稳定于概率. 抛掷次数n 0.5 2048 4040 1000012000 24000 “正面向上” 频率( ) 0 m n 数学史实 人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的 偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复 试验所得结果却能反应客观规律. 这称为大数法则,亦称大数定律. 由频率可以估计概率是由瑞士数学 家雅各布·伯努利(1654-1705) 最早阐明的,因而他被公认为是概 率论的先驱之一. 频率稳定性定理 问题3 为什么可以用频率估计概率? 一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的概率 会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率P(A)=p. m n 问题4 频率与概率有什么区别与联系? 所谓频率,是在相同条件下进行重复试验时事件发生的 次数与试验总次数的比值,其本身是随机的,在试验前不 能够确定,且随着试验的不同而发生改变. 而一个随机事 件发生的概率是确定的常数,是客观存在的,与试验次数 无关. 从以上角度上讲,频率与概率是有区别的,但在大 量的重复试验中,随机事件发生的频率会呈现出明显的规 律性:随着试验次数的增加,频率将会越来越集中在一个 常数附近,具有稳定性,即试验频率稳定于其理论概率. ★ 一般地,当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的 可能性相等时, 则用列举法,利用概率公式P(A)= 的方式 得出概率. ★ 当试验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果发生 的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率,即在同 样条件下,大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳 定值来估计这个事件发生的概率. m n 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下: (1)填表(精确到0.001); (2)比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规,罚篮一次,你 能估计这次他能罚中的概率是多少吗? 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 0.900 0.750 0.867 0.787 0.805 0.797 0.805 0.802 解:从表中的数据可以发现,随着练习次数的增加,该前锋罚篮命 中的频率稳定在0.8左右,所以估计他这次能罚中的概率约为0.8. 例题 某水果公司以2元/kg的成本价新进了10000千克柑橘, 如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元,那么在出售 柑橘(去掉损坏的柑橘)时,每千克大约定价为多少元比 较合适? 2 频率估计概率的应用 例题 51.54500 44.57450 39.24400 35.32350 30.93300 24.25250 19.42200 15.15150 0.10510.5100 0.1105.5050 m /n / n m 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 由上表可知:柑橘损坏率是 ,完好率是 .0.10 0.90 销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘,进行“柑橘 损坏率”统计,并把获得的数据记录在下表中,完成表格: 解:根据估计的概率可以知道,在10000千克柑橘中完好柑 橘的质量为10000×0.9=9000千克,完好柑橘的实际成本为 设每千克柑橘的销价为x元,则应有 (x-2.22)×9000=5000,解得 x≈2.8. 因此,出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元. 2 10000 2= 2.22 (9000 9   元/千克) 分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为0.1,则柑橘完好的 概率为0.9. 1.在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两 种球,其中白球24个,黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中 随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过 程,下表是试验中的一组统计数据: 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601n m (1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 (精确到0.1); (2)假如你摸一次,估计你摸到白球的概率P(白球)= . 0.6 0.6 2.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾,养殖户通过多次捕 获试验后发现:鲤鱼、鲫鱼出现的频率是25%和35%,则这个 水塘里有鲤鱼 尾,鲢鱼 尾.250 400 3.为了估计一个不透明的袋子中白球的数量(袋中只有白球), 现将5个红球放进去(这些球除颜色外均相同)随机摸出一个 球记下颜色后放回(每次摸球前先将袋中的球摇匀),通过多 次重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.2,由此可估 计袋中白球的个数大约为 个.20 4.抛掷硬币“正面向上”的概率是0.5.如果连续抛掷100次, 而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各50次, 这是这什么? 解:这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者 说概率是针对大量重复试验而言的,大量重复试验反映的规 律并非在每一次试验中都发生. 频率估 计概率 大量重 复试验 求非等可 能性事件 概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 统 计 思 想用样本(频 率)估计总 体(概率) 一 种 关 系频 率 与 概 率 的 关 系 频率稳定时可看作是概率 但概率与频率无关