2019九年级数学下册 专题突破讲练 二次函数在几何图形中的应用试题 （新版）青岛版 9页

1 二次函数在几何图形中的应用 二次函数在几何图形中的应用 1. 可用二次函数解决的几何问题特点：与面积相关。 2. 可用二次函数解决的几何问题类型：三角形、四边形、圆等。 3. 建立二次函数模型的依据：三角形、四边形、圆的面积公式。 方法归纳 （1）在圆的问题中，设半径或直径为自变量，则圆面积是半径或直径的二次函数。 （2）在矩形中，设一边为自变量，另一边用自变量表示，则其面积是这一边长的二次函数。 （3）在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其面积 是这一边长的二次函数。 总结： 1. 能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。 2. 会利用二次函数解决与几何图形相关的实际应用问题。 例题 1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上，设 AB＝x m，长方形的面积为 y m2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为（ ） A. 4m B. 3m C. 2m D. 5 2m 解析：根据长方形的面积＝大三角形的面积－两个小三角形的面积确定 x 与 y 之间的函数关系 式，求出函数值 y 最 大时自变量 x 的取值即可。 答案：根据题意得：y＝30－ 1 2（5－x）× y x－ 1 2x（12－ y x），整理得 y＝－ 12 5 x2＋12x＝－ 12 5 [x2－ 5x＋（ 5 2）2－ 25 4 ]＝－ 12 5 （x－ 5 2）2＋15．∵－ 12 5 ＜0，∴长方形面积有最大值，当长方形面积最大时， 边长 x 应为 5 2m，故选 D。 点拨：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法， A B C D5m 12m 2 第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数 a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好， 如 y＝－x2－2x＋5，y＝3x2－6x＋1 等用配方法求解比较简单。 例题 2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长 （图中所有黑线的长度和）为 15m．当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确 到 0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到 0.01m2） 解析：先将图形分割成半圆和矩形，分别表示各部分的面积，建立函数关系式，再利用二次 函数的性质求最值。本题的突破口是找出圆的半径与小矩形竖直边长之间的关系。 答案：设半圆的半径为 r m，小矩形的竖直边长为 y m，大矩形水平边长为 2rm。 则 4y＋7r＋πr＝15，∴y＝ 。 设窗户的面积为 S，则 S＝ 1 2πr2＋2ry＝ 1 2πr2＋2r× ＝－3.5r2＋7.5r， 因为－3.5＜0，所以 S 有最大值。 当 r＝－ 7.5 2 × （－3.5）≈1.07（m）时，S 最大值＝ －（7.5）2 4 × （－3.5）≈4.02（m2）。 即当半径约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为 4.02m2。 点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二次函数的 关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和函数，推导出函数 关系式，再求出相应最值。 建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时，关键是找出三角形或四边形的高， 用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长与高之间的关系不明显时，常常把几何图形 分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题转化， 满分训练 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为 AB（单位：米），现以 AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为 O。已知 AB＝8 米， 设抛物线解析式为 y＝ax2－4。 15 7 4 r rπ− − 15 7 4 r rπ− − 3 （1）求 a 的值； （2）点 C（－1，m）是抛物线上一点，点 C 关于原点 O 的对称点为点 D，连接 CD，BC，BD，求△BCD 的面积。 解：（1）∵AB＝8，由抛物线的性质可知 OB＝4，∴B（4，0），把 B 点坐标代入解析式得：16a －4＝0，解得：a＝ 1 4； （2）过点 C 作 CE⊥AB 于 E，过点 D 作 DF⊥AB 于 F，∵a＝ 1 4，∴y＝ 1 4x2－4，令 x＝－1，∴m＝ 1 4 ×（－1）2－4＝－ 15 4 ，∴C（－1，－ 15 4 ），∵C 关于原点的对称点为 D，∴D 的坐标为（1， 15 4 ），则 CE ＝DF＝ 15 4 ，S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝ 1 2OB·DF＋ 1 2OB·CE＝ 1 2×4× 15 4 ＋ 1 2×4× 15 4 ＝15，∴△BCD 的面积为 15 平方米。 分析：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函数解析式。解 答这类问题时注意充分利用 图象中的某些特殊点，如顶点、抛物线与 x 轴的交点等。理解线段的长 度与点的坐标之间的关系是解题关键。 一、选择题 1. 设等边三角形的边长为 x（x＞0），面积为 y，则 y 与 x 的函数关系式是（ ） A B C D E F O x y 4 A. y＝ 1 2x2 B. y＝ 1 4x2 C. y＝ 3 2 x2 D. y＝ 3 4 x2 2.长方形的周长为 24cm，其中一边为 x（其中 x＞0），面积为 ycm2，则这样的长方形中 y 与 x 的 关系可以写为（ ） A. y＝x2 B. y＝（12－x2） C. y＝（12－x）•x D. y＝2（12－x） 3.如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y＝a（x－3）2＋k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物 线上的另一点，且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 20 *4. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数 y＝－x2＋6x － 27 4 的图象与 x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 **5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝a，BC＝b， b 3≤a≤ 3b， AE＝AH＝CF＝CG，则四边形 EFGH 的面 积的最大值是（ ） A. 1 16（a＋b）2 B. 1 8（a＋b）2 C. 1 4（a＋b）2 D. 1 2（a＋b）2 **6. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为 400m 的跑道的消息，鼓励同学们试 着给要建的跑道画一个示意图。要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积 最大。下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（ ） A B C O x y 5 二、填空题 7. 在半径为 4cm 的圆中，挖去一个半径为 x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm2，则 y 与 x 的函数关系式为__________。 8. 如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 20 厘米，AC 与 MN 在同一直 线上，开始时点 A 与点 N 重合。让△ABC 以每秒 2 厘米的速度向左运动，最终点 A 与点 M 重合，则 重叠部分面积 y（厘米 2）与时间 t（秒）之间的函数关系式为__________。 *9.如图，△ABC 是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s 的速度向点 C 运动，其中一个 动点到达终点，则另一 个动点也停止运动，则三角形 APQ 的最大面积是__________。 **10. 如图所示，从边长为 5 的正方形纸片 ABCD 中剪去直角△EBF（点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上）。若 EB＋BF＝ 15，则五边形 AEFCD 的面积的最小值是__________。 A B C M N PQ A B CD E F 6 三、解答题 11. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体。其中，抽屉底面周长为 180cm，高为 20cm。请通过计算说明，当底面的宽 x 为何值时，抽屉的体积 y 最大？最大为多少？ （材质及其厚度等暂忽略不计）。 12. 已知抛物线 y＝x2－2x＋m－1 与 x 轴 只有一个交点，且与 y 轴交于 A 点，如图，设它的顶点 为 B。 （1）求 m 的值； （2）过 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 C，求证：△ABC 是等腰直角三角形。 *13. 如图，四边形 ABCD 是矩形，A、B 两点在 x 轴的正半轴上，C、D 两点在抛物线 y＝－x2＋6x 上。设 OA＝m（0＜m＜3），矩形 ABCD 的周长为 l，求 l 与 m 的函数解析式。 **14. 用长为 12m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块 苗圃。如图，围出的苗圃是五边形 ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB， ∠C＝∠D＝∠E。设 CD＝DE＝x m，五边形 ABCDE 的面积为 S m2。问：怎样 设计才能使围出的苗圃面积最大，最大面积是多少？ **15. 用长度为 20m 的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形， 其斜边长为 2x m。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出 金属框围成的图形的最大面积。 A B C O x y 7 45° 45° 8 1. D 解析：作出 BC 边上的高 AD。∵△ABC 是等边三角形，边长为 x，∴CD＝ 1 2x，AD＝ 3 2 x，∴ y＝ 1 2x×AD＝ 3 4 x2． 2. C 解析：∵长方形的周长为 24cm，其中一边为 x（其中 x＞0），∴长方形的另一边长为 12－ x，∴y＝（12－x）•x．故选 C。 3. C 解析：由题意可知抛物线的对称轴为 x＝3，所以 AB＝6，所以等边三角形 ABC 的周长为 18。 *4. C 解析：抛物线与 x 轴两交点坐标分别为（ 3 2，0）、（ 9 2，0），当 x＝2 时 y＝－4＋12－ 27 4 ＝ 5 4，所以红色区域内在直线 x＝2 上的整点有（2，0）和（2，1）；当 x＝3 时 y＝ 9 4，且抛物线的对称 轴是 x＝3，所以红色区域内在直线 x＝3 上的整点有（3，0）、（3，1）、（3，2）；由抛物线的对称性 可知在红色区域内直线 x＝4 上的整点有两个。所以满足题意的整点共 7 个。本题可用数形结合法， 画出图象，结 果一目了然。 **5. B 解析：设 A E＝AH＝CF＝CG＝x，则 BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x，设四边形 EFGH 的面积 为 y，依题意，得 y＝ab－x2－（a－x）（b－x），即 y＝－2x2＋（a＋b）x，∵－2＜0，抛物线开 口向下，函数有最大值为 0－（a＋b）2 4 × （－2）＝ 1 8（a＋b）2。故选 B。 **6. B 解析：设矩形的长为 x m，半圆的半径是 r m，中间的矩形区域面积是 S m2，根据题意知 2x＋2πr＝400。所以 S＝2rx＝r（400－2πr）＝－2πr2＋400r，即 S 是 r 的二次函数，其图象开 口向下，当 r＝－ 400 2 × （－2π）＝ 100 π 时，S 取得最大值。此时 x＝ 400－2πr 2 ＝100（m），所以， 应设计矩形的长为 100m，宽约为 2r＝ 200 π ≈ 63.7m 时，矩形面积最大，故选 B。 7. y＝－πx2＋16π 解析：半径为 4 的圆的面积是 16π，半径为 x 的圆的面积是 πx2，所以函 数解析式为 y＝－πx2＋16π。 8. y＝ 1 2（20－2t）2 解析：由题意可知重叠部分为等腰直角三角形，且 AM＝20－2t，所以重叠 部分的面积 y＝ 1 2（20－2t）2 。 9. 16cm2 解析：根据题意，点 P 沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从点 A 出发， 沿 AC 方向以 1cm/s 的速度向点 C 运动，∴AP＝2t，AQ＝t，S△APQ＝t2，∵0＜t≤4，∴三角形 APQ 的 最大面积是 16。 10. 23 1 8 解析：本题即是求△EBF 面积的最大值，设其面积为 y，y＝ 1 2BE·BF，因为 EB＋BF＝ 9 15，设 BE＝x，则 BF＝ 15－x，所以 y＝ 1 2x·（ 15－x）＝－ 1 2x2＋ 15 2 x。由二次函数的性质可 知当 x＝ 15 2 时 y 取得最大值为 y＝ 15 8 。所以五边形 AEFCD 的面积的最小值是 25－ 15 8 ＝ 185 8 。 11. 解：已知抽屉底面宽为 x cm，则底面长为 180÷2－x＝（90－x）cm。由题意得：y＝x（90－ x）×20＝－20（x2－ 90x）＝－20（x－45）2＋40500，当 x＝45 时，y 有最大值，最大值为 40500。 答：当抽屉底面宽为 45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为 40500cm3。 12. 解：（1）抛物线与 x 轴只有一个交点，说明△＝0，即（－2）2－4（m－1）＝0，∴m＝2。 （2）由（1）得抛物线的解析式是 y＝x2－2x＋1，∴A（0，1），B（1，0），∴△AOB 是等腰直角三 角形。又 AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°，A，C 是抛物线上一对对称点，∴AB＝BC，∴△ABC 是等 腰直角三角形。 *13. 解：把 x＝m 代入抛物线 y＝－x2＋6x 中，得 AD＝－m2＋6m，把 y＝－m2＋6m 代入抛物线 y＝－ x2＋6x 中，得－m2＋6m＝－x2＋6x，解得 x1＝m，x2＝6－m，∴C 的横坐标是 6－m，故 AB＝6－m－m＝ 6－2m，∴矩形的周长 l＝2（－m2＋6m）＋2（6－2m），即 l＝－2m2＋8m＋12。 **14. 解：连接 EC，作 DF⊥EC，垂足为 F，∵∠DCB＝∠CDE＝∠DEA，∠EAB＝∠CBA＝90°，∴∠ DCB＝∠CDE＝∠DEA＝120°，∵DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE＝30°，∴∠CEA＝∠ECB＝90°，∴四边 形 EABC 为矩形，∵DE＝x m，∴AE＝6－x，DF＝ 1 2x，EC＝ 3x，S＝－ 3 3 4 x2＋6 3x（0＜x＜6）。∴ 当 x＝4m 时，S 最大＝12 3m2。 **15.解：根据题意等腰直角三角形的直角边长为 2xm，矩形的一边长为 2xm。所以 S＝2x·[10 －2x－ 2x]＋ 1 2× 2x× 2x＝－（3＋2 2）x2＋20x，（0＜x＜10－5 2）。当 x＝ 10 3＋2 2＝30－ 20 2时，金属框围成的面积最大，此时矩形的一边长 2x＝60－40 2（m），相邻 边长为 10－（2＋ 2）·10（3－2 2）＝10 2－10（m），S 最大＝100（3－2 2）＝300－200 2（m2）。