中考数学三轮真题集训冲刺知识点38相似位似及其应用pdf含解析 41页

1 / 41 一、选择题 1．（2019·苏州）如图，在△ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点．且 AD=AB=2，AD⊥AB，过点 D 作 DE⊥AD，DE 交 AC 于点 F．若 DE=1，则△ABC 的面积为（ ） A．4 2 B．4 C．2 5 D．8 第 10 题图 【答案】B 【解析】∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴∠BAD＝∠ADE＝90°，∴DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∵∠C＝∠ C，∴ △CED∽△CAB，∵DE＝1，AB＝2，即 DE∶AB＝1∶2，∴S△DEC∶S△ACB＝1∶4，∴S 四边形 ABDE∶ S△ACB＝3∶4，∵S 四边形 ABDE＝S△ABD+S△ADE 1 2 = × 2×2 1 2 +×2×1＝2+1＝3，∴S△ACB＝4，故选 B． 2．（2019·绍兴）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水， 水 面高为 6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】A 【解析】如图所示：设 DM＝x，则 CM＝8﹣x， H M B A D C 知识点 38——相似、位似及其应用 2 / 41 根据题意得： （8﹣x+8）×3×3＝3×3×5， 解得：x＝4，∴DM＝6， ∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝ 2 2 2243BD DM+=+＝5， 过点 B 作 BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM +∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以 Rt△ABH∽△MBD， ∴ BH BD AB BM = ，即 3 85 BH = ，解得 BH＝ 5 24 ，即水面高度为 5 24 ． 3.（2019·杭州）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB 和 AC 边上，DE∥BC，M 为 BC 边上一点(不与点 B，C 重合)连接 AM 交 DE 干点 N，则（ ） A. AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NE MC BM = 【答案】C 【解析】根据 DE∥BC，可得△ADN∽△ABM 与△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥ BM，∴ △ ADN∽△ABM，∴ DN AN BM AM = ，∵ NE∥MC，∴ △ ANE∽△AMC，∴ NE AN MC AM = ，∴ DN NE BM MC = ．故 选 C． 4．（2019·常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三 角 形的面积为 1，△ABC 的面积为 42，则四边形 DBCE 的面积是（ ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】D 【解析】∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为 1，△ABC 的面积为 42，∴最小的三角 形与△ABC 的相似比为 1 42 ，∵△ADE∽△ABC，∴ ADE ABC S S   ＝ 2DE BC   ，∵ DE BC ＝4× 1 42 ＝ 4 42 ，∴ N E A B C D M 3 / 41 ADE ABC S S   ＝ 16 42 ＝ 8 21 ， ∴S△ADE＝ 8 21 ×42＝16，∴四边形 DBCE 的面积＝S△ABC－S△ADE＝26，故选项 D 正确． 5．（2019·陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ） A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】B 【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B． 6. (2019·枣庄)如图,将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为 16,阴 影部分三角形的面积为 9,若 AA'＝1,则 A'D 等于( ) A.2 B.3 C.4 D. 3 2 【答案】B 【解析】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为 k,∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因为 AD 和 A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝ 1,则 A'D＝3,故选 B. 4 / 41 7.(2019·淄博）如图，在 △ ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为 BC 边上的一点，且∠CAD＝∠B. 若 △ ADC 的面积为a ，则 △ ABD 的面积为（） A. 2a B. 5 2 a C.3a D. 7 2 a 【答案】C. 【解析】在 △ BAC 和 △ ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴ 2BC AC = , ∴ 2AB DA =( ) 4C C S BC S AC =  ，又∵△ADC 的面积为 a ，∴△ABC 的面积为 4a ，∴△ABD 的面积为3a . 8. (2019· 巴中)如图， ABCD,F 为 BC 中点,延长 AD 至 E,使 DE:AD＝1:3,连接 EF 交 DC 于点 G,则 S △DEG:S△CFG＝( ) A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 【答案】D 【解析】因为 DE:AD＝1:3,F 为 BC 中点,所以 DE:CF＝2:3,  ABCD 中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG, 相似比为 2:3,所以 S△DEG:S△CFG＝4:9.故选 D. 9.（2019·乐山）把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A． 6 1 B． 3 1 C． 5 1 D． 4 1 【答案】A 第 8 题答图 【解析】∵四边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ ECF，∴ AD DH CE CH = ，∴ 1 21 DH DH = − ，解得 DH= 1 3 ，∴阴影部分面积为 1 2 × 1 3 ×1= 1 6 ，故选 A. B A CD 5 / 41 10.（2019·乐山）如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中，∠B = 30°，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，现 将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置， AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A． 3 −1 B．1C． 2 1 D． 2 3 第 10题图 【答案】A 【解析】∵ BCAE ⊥ ，∴∠AEB=90°，菱形 ABCD 的边长为 3 ， °=∠ 30B ，∴AE= 1 2 AB= 1 2 3 ， BE=CF= 22AB AE− =1.5，BF=3，CF=BF-BC=3- 3 ，∵ AD∥CF，∴ △ AGD∽△FGC，∴ DG AD CG CF = ， ∴ 33 33 CG CG − = − ，解得 CG= 3 −1 ，故选 A. 11.（2019·凉山）如图，在△ABC 中，D 在 AC 边上，AD∶DC = 1∶2，O 是 BD 的中点，连接 A0 并 延长交 BC 于 E，则 BE∶EC=（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3 【答案】B 12.（2019·眉山）如图，一束光线从点 A（4，4）出发，经 y 轴上的点 C 反射后，经过点 B （1，0），则点 C 的坐标是（ ） A．（0， 1 2 ） B．（ 0， 4 5 ） C．（ 0，1） D．（ 0，2） G FE DA B C 第11题图 第11题解答图 6 / 41 【答案】B 【解析】解：过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO，∴△OBA∽△ DAC，∴ OC DC OB AD = ，∴ 4 14 OC OC−= ，解得：OC= 4 5 ，∴点 C（0， 4 5 ），故选 B. 13.（2019·眉山）如图，在菱形 ABCD 中已知 AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点 E 在CB 的延长线上，点 F 在 DC 的延长线上，有下列结 论：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③ △ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，则点 F 到 BC 的距离为 2 3 − 2 ，则其中正确结论的个 数是（ ） A．1 个 B． 2 个 C．3 个 D． 4 个 【答案】B 【解析】连接 AC，在菱形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC， ∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵ ∠ ABE= ∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正确；由△ABE≌△ACF，可得 AE=AF，∵∠ EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°， ∴∠CEF=∠EAB，故②正确；在△ABE 中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点 A 作 AG ⊥BC 于点 G，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在 Rt△ AGB 中，∵∠ABC=60°，AB=4， ∴BG= 1 2 AB=2，AG= 3 BG= 23，在 Rt△AEG 中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE= 23， ∴EB=EG-BG= 23-2，∵ ∠ BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵ ∠ ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE= ∠ACF=120° 在△AEB 和△AFC 中，    ∠∠ ∠∠ ° EAB FAC AB AC ABE ACF 120 ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF= 23-2， 7 / 41 在 Rt△CHF 中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF= 23-2，∴ FH=CF•sin60°=（ 23-2）• 3 2 =3- 3 . ∴点 F 到 BC 的距离为 3- 3 .故④错误.故选 B. 14.（2019·重庆 B 卷）下列命题是真命题的是（ ） A.如 果 两 个 三 角 形 相 似 ， 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 为 2:3 B.如 果 两 个 三 角 形 相 似 ， 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 为 4:9 C.如 果 两 个 三 角 形 相 似 ， 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 全 角 形 的 面 积 比 为 2:3 D.如 果 两 个 三 角 形 相 似 ， 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 面 积 比 为 4:9 【答案】Ｂ 【 解 析 】 如 果 两 个 三 角 形 相 似 ,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 等 于 相 似 比 ， 面 积 比 是 相 似 比 的 平 方 .即 如 果 两 个 三 角 形 相 似 ，相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 为 4:9；面 积 比 是 相 似 比 的 平 方 ， 即 16:81.故 选 Ｂ ． 15.（2019·重庆 A 卷）如图，△ABO∽△CDO，若 BO＝6，DO＝3，CD＝2，则 AB 的长是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C． 【解析】∵△ABO∽△CDO，∴ AB BO CD DO = ．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴ 6 23 AB = ．∴AB＝4．故 选 C． 二、填空题 1．（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A（－2，4），B（－4，0），O （0，0）．以原点 O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的 1 2 ，得到△CDO，则点 A 的对应点 C 的坐标是________________________． 【答案】（－1，2）或（1，－2） 【解析】点 A 的对应点 C 的坐标是（－2× 1 2 ，4× 1 2 ）或（－2×（－ 1 2 ），4×（－ 1 2 ）），即（－1， 2）或（1，－2）． 8 / 41 2.（2019·滨州）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，交 BD 于 点 F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接 OE．下列结论： ① EO⊥AC； ② S△AOD＝4S△OCF； ③ AC： BD＝ ：7； ④ FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】在Y ABCD 中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴ △BCE 是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ ACB=90°．在Y ABCD 中，AO=CO，BO=DO，∴OE 是△ACB 的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC， 故①正确；∵OE 是△ACB 的中位线，∴OE= 1 2 BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE： BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在 Rt△ABC 中，∵AB=2BC，∴AC= 3 BC，∴OC= 3 2 BC．在 Rt△BCO 中，OB= 7 2 BC ，∴BD= 7 BC，∴AC：BD= 3 BC： 7 BC = 21 ：7，故③ 正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2， OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确． 3.（2019·凉山）在□ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 2∶3 的两部分， 连接 BE、AC 相 交于 F，则 S△AEF∶S△CBF 是 . 【答案】4：25 或 9∶25 【解析】在□ABCD 中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图 1，当 AE∶DE=2∶3 时，AE∶AD=2∶ 5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图 2，当 AE∶DE=3∶2 时，AE∶AD=3∶5, ∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为 4∶25 或 9∶25. （第 3 题图答图 1） （第 3 题图答图 2） 9 / 41 4. （2019·自贡）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E，DE= . 【答案】 9 5 √ 5. 【解析】∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∵AB∥CD, ∴∠D=∠ABD, ∴∠CBD=∠D， ∴CD=BD=6. 在 Rt△ABC 中，AC= √