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- 2021-11-06 发布
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【建邺区数学】2020 年九上期中考试试卷
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分。在每小题所给出的四个选项中,恰
有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1、已知 O 的半径是 4cm,点 P 到圆心 O 的距离为 4.5cm,则点 P 与 O 的位置关系是
( )
A. O 内 B. O 上 C. O 外 D.以上都有可能
2、某学生六次数学考试的成绩(单位:分)分别为:72、80、77、81、89、81,则这组数
据的众数与中位数分别是( )
A.81 分、80.5 分 B.89 分、80.5 分 C.81 分、79 分 D.89 分、81 分
3、已知圆锥的底面半径为 2,母线长为 4,则其侧面积为( )
A.6π B.8π C.16π D.32π
4、一元二次方程 2 3 4 0x x 的根的情况是( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
5、如图 PA、PB 是 O 的切线,切点分别为 A、B,点 C 在 AB 上,过 C 作 O 的切线分
别交 PA、PB 于点 D、E,连接 OD、OE,若∠P=50°,则∠DOE 的度数为( )
A.130° B.50° C.60° D.65°
6、如图,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 内接于 O,DC、BC 交 EF 于 G、H,若正方形
ABCD 的边长是 4,则 GH 的长度为( )
A. 2 2 B. 44 2 33 C. 4 63 D. 8 2 33
第 5 题 第 6 题
E
D
P
O
A
B
C HG FE
BD O
A
C
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分. 不需写出解答过程,请把答案直
接填写在答题卡相应的位置上.........)
7、写一个一元二次方程使它的解是 0 和 1 :_____________.
8、设 x1、x2 是方程 2 3 0x x m 的两个根,且 1 2 1 2 2x x x x ,则 m 的值是______.
9、已知扇形的圆心角为 120°,半径为 3,则这个扇形的面积是______.
10、Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,△ABC 的内切圆半径是______cm.
11、数学期末总评成绩是将平时、期中和期末的成绩按 3:3:4 计算,若小红平时、期中
和期末的成绩分别是 90 分、80 分、100 分,则小红一学期的数学期末总评成绩是
_____________分.
12、若关于 x 的方程 2 0ax bx c 的解为 1 1x , 2 3x ,则方程 2( 1) ( 1) 0a x b x c
的解为________.
13、如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 为正方形,顶点 A、C 在坐标轴上,以边 AB 为
弦的⊙M 与 x 轴相切,若点 A 的坐标为(0,8),则圆心 M 的坐标为__________.
14、如图,点 A、B、C、D、E 在⊙O 上,且
AE 为 50°,则∠B+∠D=_______°.
15、要组织一场篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都只赛一场),计划安排 15 场比赛,
应邀请_______个球队参加比赛.
16、如图,在边长为 2 的正八边形 ABCDEFGH 中,点 P 在 CD 上,则△PGH 的面积为
_________.
第 13 题 第 14 题 第 15 题
三、解答题(本大题共 7 小题,共 88 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17、(8 分)解方程:
⑴ 2 3 4 0x x ⑵ 4 (2 1) 3(2 1)x x x
O
E
B
C
D
A
C
GB
F
A
ED
H
P
18、(7 分)如图,AB 是 O 的直径,CD 是 O 的弦, 60DBA ,求∠DCB 的度数.
19、(7 分)某果农 2017 年的年收入为 5 万元,由于党的惠农政策的落实,2019 年年收入
增加到 7.2 万元,求平均每年年收入的增长率.
20、(7 分)如图, O 的弦 AB、CD 的延长线相交于点 P,且 PA=PC.求证 AB=CD.
21、(8 分)已知关于 x 的方程 2 ( 2) 2 0mx m x .
⑴若方程有一个根为 2,求 m 的值.
⑵求证:无论 m 取何值,方程总有实数根.
22、(8 分)某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训,两人各射了 5 箭,
他们的总成绩(单位:环)相同,甲、乙两人射箭成绩统计表如下.
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
⑴求 a 的值和甲、乙的方差;
⑵请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中.
23、(9 分)配方法可以用来解一元二次方程,还可以用它来解决一些求最值的问题.
例如: 2 0a ,所以 2 1 1a ,即 2 1a 有最小值为 1,此时 0a .
再如: 23 1 0a ,所以 23 1 5 5a ,即 23 1 5a 有最大值为5,此时 1a .
⑴当 x ______ 时,代数式 22 1 3x 有最______(填“大”或“小”)值,且为______.
⑵当 x ______ 时,代数式 2 2x x 有最______(填“大”或“小”)值,且为______.
⑶如图,矩形花圃一面靠墙(墙足够长),另外三面所围成的栅栏的总长是 18m,栅栏
如何围能使花圃面积最大?最大面积是多少?
(第23题)
墙
24、(8 分)矩形 ABCD 中,P 在线段..DC..上..
⑴请在图①中利用尺规画出点 P,使得 =90APB (不写作法,保留作图痕迹).
⑵①请在图②中利用尺规画出点 P,使得 =60APB (不写作法,保留作图痕迹).
② AB m , 4AD .若一定存在一点 P,使得 =60APB ,则 m 的取值范围是
.
25、(8 分)如图, AB 是 O 的直径,AC 与 O 交于 F,弦 AD 平分 CAB , DE AC ,
垂足为 E.
⑴判断直线 DE 与 O 的位置关系,并说明理由.
⑵若 O 的半径为 3,若 =60CAB ,求线段 EF.
26、(8 分)某公司组织员工到附近风景区旅游,根据旅行社提供的收费方案,绘制了如图
所示的图像,图中的折线 ABCD 表示人均费用 y(元)与参加人数 x(人)之间的函数关
系.如果该公司支付给旅行社 2800 元,那么参加这次旅游的人数是多少?
C
C
A B BA
D
D
x
y
5530
55
80
DC
BA
O
C
E
F D
OA B
27、(10 分)
【问题提出】
AB、AC、BC 是某区的三条道路,其中 AB=6km,∠BAC=60°,∠B=45°,该区想在 BC
道路边建物资总站点 P,在 AB、AC 道路边分别建物资分站点 E、F,即在线段 BC、AB、
AC 上分别选取点 P、E、F.由于该区工作人员每天要将物资在各物资站点间按 P→E→F
→P 的路径进行运输,因此,该区工作人员开始研究线段 PE、EF、FP 之和的最短问题.
图① 图②
【方案设计】
如图②,过点 A 作 AP⊥BC,垂足为 P,分别作 AP 关于 AB、AC 对称线段 AP1,AP2.连接
P1P2,P1P2 与 AB、AC 交于 E、F,此时 PE、EF、FP 距离之和最短.试求 PE+EF+FP 的
最小值.
【拓展延伸】
该区的三条道路改为如图所示的 AB、AC、弧 BC 的方式,其中 AB=6km,AC=3km,
∠BAC=60°,弧 BC 为 60°.分别在弧 BC、AB、和 AC 上选取点 P、E、F.使得线段 PE、
EF、FP 之和最短,画出图形确定 P、E、F 的位置,并求 PE+EF+FP 的最小值.
图③
F
E
P2
P1
B C
A A
CB P
A
CB
【建邺区数学】2020 九上期中考试答案
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分。在每小题所给出的四个选项中,恰
有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A B D D A
第 6 题解析:
连接 AC 交 EF 于 M,由正方形 ABCD,
可知△ACD 为等腰直角三角形,所以 AC= 4 2 ,
r= 2 2 .等边三角形 AEF 中,O 为中心,则 2 2AO ,
22
OFOM ,所以 3 2AM .
Rt△CMG 中,CM=MG= 2 ,则 GH= 2 2 .
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分. 不需写出解答过程,请把答案直
接填写在答题卡相应的位置上.........)
第 16 题解析:作正八边形外接圆⊙O
∴
1 4 360 902 8HGD ,
1 2 360 452 8FGD
∵正八边形 ABCDEFGH
∴CD∥HG
∴S△HGP=S△HGD
过点 F 作 FM⊥GD 于点 M,过点 E 作 EN⊥GD 于点 N
Rt△GMF 中,∠FGD=45°,GF= 2
∴GM=1
同理 DN=1
又 MN=EF= 2
∴GD=1+ 2 +1= 2 +2
∴S△HGP=S△HGD= 1
2 HG GD = 1 2 2+22 ( )= 2+1
题号 7 8 9 10 11
答案 2 0x x 1 3π 1 91
题号 12 13 14 15 16
答案 1 0x , 2 4x ( 4 ,5) 155 6 2 1
N
M
C
GB
F
A
ED
H
P
M HG FE
BD O
C
A
三、解答题
17、⑴ 1 4x , 2 1x ⑵ 1
3
4x , 2
1
2x
18、解:∵AB 是 O 的直径
∴ 90ADB
即: Rt ABD△ 中, 90ADB , 60DBA
∴ 180 30DAB DBA ADB
∵ BD BD
∴ 30DCB DAB
19、解:设平均每年收入的增长率为 x .
根据题意得: 25 1 7.2x ,
解得: 1 0.2=20%x , 2 2.2x (舍负)
答:平均每年收入的增长率为 20%.
20、证明:
法一:连接 AC 、BD,
∵PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA,
∵四边形 ACDB 为 O 的内接四边形,
∴ 180PAC BDC 180PCA ABD ,
∵∠PAC=∠PCA,
∴ BDC ABD ,
∵ 180PBD ABD 180PDB BDC ,
∴ PBD PDB ,
∴ PB PD ,
∵ AB AP PB CD PC PD 且 PA PC ,
∴ AB CD
法二:连接 AC、OA、OB、OC、OD,
∵PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA,
∵∠PAC= 1
2
∠BOC,∠PCA 1
2 ∠AOD,
D
B
PO
A
C
∴∠BOC=∠AOD,
∴ AD BC ,
∴ AD BD BC BD ,即 AB CD ,
∴ AB CD
21、⑴解:令 2x ,得: 4 2 4 2 0m m ,所以 1m ;
⑵证明:
①当 0m 时,该方程为一元二次方程.
a m , 2b m , 2c
22 4 2 4 2b ac m m
2 4 4m m
22 0m ≥
∴当 0m 时,该方程有两个实数根.
②当 0m 时,该方程为一元一次方程.
原方程变为 2 2 0x ,解得: 1x
∴当 0m 时,该方程有解.
∴综上所述,无论 m 取何值,方程总有实数根.
22、(1) 4a ; 2 3.6s 甲 , 2 1.6s 乙
解析:∵甲乙总成绩相同
∴ 9+4+7+4+6 7 5 7 7 4a
9+4+7+4+6= = =65x x甲 乙
2 2 2 2 22 1 9 6 4 6 7 6 4 6 6 6 3.65s 甲
2 2 2 2 22 1 7 6 5 6 7 6 4 6 7 6 1.65s 乙
(2)选择乙.
由(1)得 = =6x x甲 乙 ,甲乙两人平均数相等; 2 3.6s 甲 , 2 1.6s 乙 ,甲的方差大于乙的方
差,说明甲的成绩波动较大,所以乙将被选中.
23、(1) 1,小,3
22 1 0x , 22 1 +3 3x 有最小值,当 1x 取到.
(2) 1 ,大,1
配方得 22 2 1 1x x x , 21 0x , 21 1 1x 有最大值,当 1x 取到.
(3)宽为 9
2 m 时,最大面积是 281m2
设与墙垂直的边为 xm,则平行于墙的边为 18 2x m.
2
18 2
2 18
9 812 2 2
S x x
x x
x
∵ 92 02x
;
9 81 812 2 2 2x
,当 9
2x , S 有最大值 81
2
.
24、⑴
如图:点 1 2P P、 即为所求
⑵①
如图:点 1 2P P、 即为所求
P2P1 C
BA
D
P2P1 C
A B
D
② 8 3 4 33 m
提示:当 CD 与圆相切时 m 取最小值 8 3
3
;
当圆为矩形 ABCD 的外接圆时 m 取最大值 4 3
25、⑴答:直线 DE 与 O 相切,理由如下:
如图:连接 OD
∵ AD 平分 CAB
∴ =CAD BAD
∵OA OD
∴ BAD ADO
∴ =CAD ADO
∴OD∥AC
∴ 180DEA EDO
∵ DE AC
∴ 90DEA
∴ 90EDO
即 DE OD
∵D 在 O 上
∴DE 与 O 相切于点 D
⑵解:如图:过点O 点作OG AF 交 AF 于点G
∵ =60CAB , 3OA
∴ 1 3
2 2AG FG OA
∴AF=3
∵OD∥AF,OD=AF
C
E
F D
O
BA
C
G
E
F D
OA B
C
BA
D
C
A B
D
∴四边形 OAFD 是平行四边形
∴DF∥OA,DF=OA=3
∴ = 60DFE BAC
∴ 1 3
2 2EF DF
26、解:①当0 30x 时
∵30 80 2400 2800
∴旅游人数大于 30 人
②当30 55x 时
设直线 BC 表达式为 y kx b ( 0k )
将 30,80B 、 55,55C 代入,得
30 80
55 55
k b
k b
解得: 1
110
k
b
∴ 110(30 55)y x x
由题意得, 110 2800x x
解得: 1 240, 70x x (舍去)
∴人数为 40 人
③当 55x 时,55 55 3025 2800 >
∴旅游人数小于 55 人
答:综上,这次旅游参加人数为 40 人.
27、【方案设计】
AP BC∵ ⊥
90APB ∴∠
45BAP B ∴∠ ∠
BP AP∴
2 2 2 36BP AP AB ∵
3 2AP ∴
由对称知, 1 2 3 2AP AP AP , 1 2,P AE PAE PAF P AF ∠ ∠ ∠ ∠
60BAC ∵∠
1 2 2 2 120P AP PAE PAF ∴∠ ∠ ∠
过点 A 作 AG⊥ 1 2PP ,垂足为 G
1 2AP AP∵
1 2 1 230 ,P P PG P G ∴∠ ∠
1
1 3 22 2AG AP ∴
2 2
1 1
3 6
2PG AP AG ∴
1 2 12 3 6PP PG ∴
∴ PE EF FP 最小值为3 6km .
【拓展延伸】
如图,补全扇形 BOC
∵弧 BC 的度数是 60 度
∴ 60BOC ∠
在弧 BC 上任取一点 P
在 APO△ 中, AP AO PO
当 A、P、O 三点共线时, AP AO PO ,即取最小值,故连接 AO,交 BC 于点 P
取 AB 中点 D ,连接CD
则 3AD BD AC
又∵ DAC 60°
∴ ADC△ 为等边三角形
∴ ADC 60°,CD AD BD
∴ 120BDC
∴ 30ABC
∴ 90ACB
∵OB OC , 60BOC
∴ BOC△ 为等边三角形
G F
E
P2
P1 A
CB P
∴ 60OBC ,OB BC
∴ 90ABO
2 2 3 3BC AB AC
∴ 3 3OB
∴ 2 2+ 3 7AO AB BO
∴ 3 7 3 3AP AO PO
分别作 AP 关于 AB , AC 对称线段 1AP , 2AP ,交 AB , AC 于 E , F
则 1 2PP 为 PE EF FP 最小值
可知 1 2 3 7 3 3AP AP AP
同“方案设计”可求 1 2 3 21 9PP
∴ PE EF FP 最小为(3 21 9) km.
D
F
E
P2
P1
P
O
A
B C