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  • 2021-11-06 发布

江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年九上数学期中试卷&答案

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2 / 15 【鼓楼区数学】2020 九上期中考试(试卷+答案) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分。在每小题所给出的四个选项中,恰 有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1、下列方程中,是一元二次方程的是( ) A. 1 2x   B. 2 1x y  C. 2 4 3x x  D. 3 5xy   2、某校九年级 8 个班级向“希望工程”捐献图书的册数情况如下: 班级 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 八班 册数 50 96 100 90 90 120 500 90 所捐图书册数的中位数和众数分别是( ) A.93 册,90 册 B.93 册,500 册 C.90 册,90 册 D.90 册,500 册 3、用配方法解方程 2 8 4 0x x   ,变形后的结果正确的是( ) A. 22 0x   B. 22 4x   C. 24 12x   D. 24 20x   4、关于 x 的方程 2 2 1x p  (p 为常数)的根的情况,下列结论中正确的是( ) A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根,一个负根 D.无实数根 5、某戏院举办文艺演出,经调研,票价每张 30 元,1200 张门票可以全部售出;票价每增 加 1 元,售出的门票就减少 20 张,若涨价后,门票总收入达到 38500 元,设票价每张 x 元,则可列方程为( ) A.  1200 20 38500x x  B.  1200 20 30 38500x x     C.   30 1200 20 38500x x   D.    30 1200 20 30 38500x x      6、如图, O 是正八边形 ABCDEFGH 的外接圆,则下列结论: ①弧 DF 的度数为 90°; ② 2AE DF ; ③ ABCDEFGHS AE DF 正八边形 . 其中所有正确结论的序号是( ) A.①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3 / 15 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分. 不需写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡相应的位置上.........) 7、方程 2 2 0x x  的解是_____________. 8、某地某日最高气温为 12℃,最低气温是 7 ℃,该日气温极差是_____________℃. 9、在△ABC 中,AB=AC,若以 A 为圆心,AB 长为半径作圆,则点 C 在 A _____________(填 “内”,“上”或“外”). 10、已知一个扇形的半径为 6,面积为 10π,该扇形的圆心角是_____________°. 11、学校将平时成绩、期中成绩和期末成绩按 3:3:4 计算学生的学期平均成绩.若某同学 的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩分别是 90 分、85 分、90 分,则该同学数学学 期平均成绩是_____________分. 12、如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中数据计算这个几何体的侧 面积为_____________cm². (第 12 题) (第 13 题) 13、 如图,PA 与 O 切于点 A,PO 的延长线交 O 于点 B,若 O 的半径为 3,∠APB=54°, 则弧 AB 的长度为_____________. 14、 在半径为 1 的 O 中,AB、AC 为 O 的弦,AB= 3 ,AC=1,则∠BAC=_____________°. 15、如图, O 的直径为 10,A、B、C、D 是 O 上四个动点,且 AB=6,CD=8,若点 E、 F 分别是弦 AB、CD 的中点,则线段 EF 的长度的取值范围是_____________. (第 16 题) (第 15 题) (第 16 题) 16、如图,点 O、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心,若∠CAB=8∠OAC=48°, 则 AOI CIO    _____________°. 4 / 15 三、解答题(本大题共 7 小题,共 64 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17、(10 分)解方程 ⑴ 2 2 3 0x x   ⑵   22 2x x x    18、(5 分)已知关于 x 的方程 2 26 3 5 0x x m m     (m 为常数)的一个根是 1, 求 m 的值. 19、(6 分)某种服装原价每件 100 元,经两次降价,现售价每件 81 元,求该种服装平均 每次降价的百分率. 20、(6 分)已知关于 2 2 5 0x x k   ( k 为常数)总有实数根. ⑴求 k 的取值范围; ⑵若该方程有两个相等的实数根,直接写出该方程的根. 21、(7 分)在体操比赛中,往往在所有裁判给出的分数中,去掉一个最高分和一个最低分, 然后计算余下分数的平均分,6 个 B 组裁判对某一运动员的打分数据(动作完成分) 为: 9.8,9.8,9.5,9.4,9.4,8.5. ⑴如果不去掉最高分和最低分,计算这组数据的平均分和方差; ⑵如果去掉一个最高分和最低分,与⑴中的结果相比,平均数_____________, 方差_____________(填“变小”、“变大”或“不变”); ⑶你认为哪种统计平均分的方法更合理,请说明理由. 5 / 15 22、(7 分)用两种方法证明命题“在圆的内接四边形中,如果一组对边相等,那么另一组 对边平行”. 已知:如图,四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, AB CD . 求证: AD BC∥ . 证法1:∵_____________, ∴   AB CD . ∴_____________, 即   BD AC , ∴∠DCB=∠ABC, ∵四边形 ABCD 是 O 的内接四边形, ∴_____________, ∴∠BAD+∠ABC=180°, ∴ AD BC∥ . 请把证 1 补充完整,并用不同的方法完成证法 2. 23、(8 分)已知关于 x 的方程 2 0x px q   (p,q 为常数)有两个实数根 1 2,x x . ⑴若 2, 8p q    ,则 2 4p q 的值是_____________,方程的解是_____________; ⑵若 1 23, 2x x   ,求 2 4p q 的值; ⑶用含 1 2x x、 的代数式表示 2 4p q ,下列结论中正确的是( ) A.  22 1 24 = +p q x x B.  22 1 24 =p q x x C.  22 1 24 =p q x x  D.  22 1 2 1 24 =p q x x x x   O D CB A 6 / 15 24、(9 分)如图,AB 是 O 的直径,C、D 是 O 上的两点,过 D 作 DE⊥CA,垂足为 E, 且 DE 与 O 相切,DO 的延长线与 BC 交于点 F. ⑴求证:四边形 CEDF 是矩形; ⑵若 AC=OA=2,求弦长 BC 与  BC 所围成的图形(阴影部分)的面积. 25、(9 分)如图,在一块矩形 ABCD 的草坪上有两条部分重叠的平行四边形(□ AEFH 、 □ BFHG )小路,小路进出口的宽 AE、BG、FH 均为 2m,小路的边 EF、GH 与 AB 所 成的夹角均为 60°,小路的面积是整个矩形面积的 3 8 ,设 AB 长为 x m. ⑴EF 与 GH 的交点记为 P,△PHF 的面积为_____________m2; ⑵用含 x 的代数式分别表示线段 BE、BC 的长(直接写出答案,不必说明理由); ⑶求 x 的值 7 / 15 26、(10 分)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是⊙O 的切线,A 是切点,B 是⊙O 上一点,且 PB=PA,射线 PO 交⊙O 于 C、D 两点. (1)求证:PB 是⊙O 的切线; (2)求证:AC 平分∠PAB; (3)若⊙O 的直径是 6,AB= 2 5 ,则点 D 与△PAB 的内切圆上各点之间距离的最大 值为 ; C B A O P D 8 / 15 27、(11 分)【概念认识】 自一点引出的两条射线分别经过已知线段的两端,则这两条射线所成的角称为该点对 已知线段的视角,如图①,∠APB 是点 P 对线段 AB 的视角. 【数学理解】 如图②,已知线段 AB 与直线 l,在直线 l 上取一点 P,使点 P 对线段 AB 的视角最大. (1)过 A、B 两点,作⊙O 使其与直线 l 相切,切点为 P,则点 P 对线段 AB 的视角最 大,即∠APB 最大. 为了证明点 P 的位置即为所求,不妨在直线 l 上另外任取一点 Q,连接 AQ、BQ, 证明:∠APB>∠AQB 即可,请完成这个证明. 【问题解决】 在足球电子游戏中,足球队球门的视角越大,越容易被踢进,如果一名球员沿直线带球 前进,那么他应当在哪个地方射门,才能使进球的可能性最大? (2)如图③,A、B 是足球门的两端,线段 AB 是球门的宽,CD 是球场边线,∠ADC 是 直角. ①若该球员沿边线 CD 带球前进,记足球所在的位置为点 P,在图③中,用直尺和圆 规在线段 CD 上求作点 P,使点 P 对 AB 的视角最大(不写作法,保留作图痕迹). ②若 M 是线段 CD 上一点,∠CMN=60°,该球员沿射线 MN 带球前进(如图④), 记足球所在的位置为点 P,已知 AB=4,BD=9,DM= 3 ,求点 P 对 AB 的最大视 角. l ②① B A P O P B A Q ④③ NA D C CD A B B M 9 / 15 【鼓楼区数学】2020 九上期中考试答案 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分。在每小题所给出的四个选项中,恰 有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C C B D 第 6 题解析: ①∵正八边形中心角为 45° ∴∠DOF=90°,即弧 DF 的度数为 90° ②设 O 的半径为 r,则 AE=2r 在 Rt△DOF 中,DO=FO=r ∴ 2DF r , 则 2AE DF ③易证 1 2DOFES OE DF 四边形 , 4ABCDEFGH DOFES S正八边形 四边形 ∴ 2ABCDEFGHS OE DF AE DF   正八边形 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分. 不需写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡相应的位置上.........) 第 16 题解析: 连接 AI、CO、BI,以 O 为圆心,OA 为半径作圆; ∵点 O、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心 且∠CAB=8∠OAC=48° ∴OC=AO,∠OAC=6°,∠CAI=∠BAI=24°, ACI BCI∠ ∠ , ABI CBI∠ ∠ ∴∠CAO=∠OCA=6° ∴ 180 168AOC CAO OCA        , 24 6 18OAI       ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC=84° ∵ ABI CBI∠ ∠ ∴ =42ABI CBI∠ ∠ ° ∵∠CAB=48°,∠ABC=84° ∴ 180 48ACB CAB ABC      ∠ ∠ ∴∠ACI=∠BCI=24° 设∠AIO=x,∠CIO=y, 则 162AOI x    , 162AOI CIO x y       ∵ 360 132x y AIB BIC      ∠ ∠ ∴ 162 =30AO xI CIO y      题号 7 8 9 10 11 答案 1 0x  , 2 2x  19 上 100 88.5 题号 12 13 14 15 16 答案 12π 12 5 π 30 或 90 1 7EF  30 10 / 15 三、解答题(本大题共 11 小题,共 68 分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤) 17、⑴解: 1 21 3x x  , ⑵解: 1 21 2x x   , 18、解:将 1x  代入方程 可得 21 6 3 5 0m m     , 整理后为 2 3 10=0m m  , 即 1 25 2m m  , , 19、解:设该种服装平均每次降价的百分率为 x 2100(1 ) 81x  解得 1 210% 190%x x , (舍) 答:每次降价的百分率为 10%。 20、解⑴∵方程有实数根 ∴ 2 4 0b ac ≥ ∴  2 2 5 4 0k ≥ ∴ 5k≤ ⑵ 1 2 5x x  21、解:⑴ 1 9.8 9.8 9.5 9.4 9.4 8.56x      ( )=9.4            2 2 2 2 2 22 1s = 9.8 9.4 9.8 9.4 9.5 9.4 9.4 9.4 9.4 9.4 8.5 9.4 0.196               ⑵变大;变小; ⑶答:我觉得去掉一个最高分和最低分,然后计算余下分数的平均分的计算方式更合 理,因为这样可以减少极端值对整体的影响,使得数据更加具有公正。 22、证法 1:AB=CD     AB AD CD AD   ∠BAD+∠DCB=180° 证法 2:连接 AC ∵AB=CD, ∴   AB CD ∴ AOB DOC   又∵ 1 1 2 2ACB AOB CAD DOC     , ∴∠ACB=∠CAD, ∴ AD BC∥ 11 / 15 23、解:⑴36; 1 2= 2 =4x x- , ⑵∵ 1 23, 2x x   ∴ 9 3 0 4 2 0 p q p q       - 解得 6 p q    -1 - ∴ 2 4 1 24 25p q    ⑶C 24、⑴证明:∵DE 与 O 相切 ∴OD⊥DE ∴∠FDE=90° ∵AB 是 O 的直径 ∴∠ACF=90° ∵DE⊥CA ∴∠E=90° ∴四边形 CEDF 是矩形. ⑵解:连接 OC ∵AC=OA=OC=2 ∴△OAC 为等边三角形 ∴∠COA=∠ACO=60° ∴∠COB=120° ∵∠ACB=90° ∴∠OCF=30° ∵四边形 CEDF 是矩形 ∴∠OFC=90° Rt△OCF 中,OC=2,∠OCF=30° ∴OF=1,CF= 3 ∴BC=2 3 ∴S 阴影=S 扇形 OBC-S△OBC= 120 1 44 2 3 1 3360 2 3π π      25、解:⑴ 3 ⑵BE=(x-2)m, 3 32BC x      m ⑶ 3 3 34( 3) 3 ( 3)2 8 2x x x    解得: 1 2 8=10 = 3x x, (舍去) 综上 x=10. 12 / 15 26、(1)证明:连接 OA、OB; 在△PAO 和△PBO 中 PA PB OA OB PO PO      ∴△PAO≌△PBO(SSS) ∴∠PBO=∠PAO=90° ∵OB 为半径(B 为半径外端),∠PBO=90° ∴PB 为⊙O 的切线 (2)证明:连接 OA、OB;设∠PAC=α; ∵∠PAO=90° ∴ 90OAC     ∵OA=OC ∴ 90OCA     ∵PA=PB、OA=OB ∴PO 为 AB 的垂直平分线 ∴∠CAB=  90 90 90OCA           ∴∠PAC=∠CAB ∴AC 平分∠PAB; (3)7 解析:由(1)得:PO 为∠APB 的角平分线; 由(2)得:AC 为∠PAB 的角平分线; ∴C 为△PAB 的内切圆圆心 ∵⊙O 直径为 6 ∴OA=3 ∵PO 为 AB 中垂线,AB= 2 5 ∴AM= 5 ∴OM= 2 2 2OA AM  ∵OC=3 ∴CM=1 ∴CH=1 ∵D 到△PAB 内切圆上各点的最大距离为 DH ∴最大距离 DH=CD+CH=6+1=7 27、(1)证明:设 BQ 交⊙O 于点 H,连接 AH; ∵∠APB、∠AHB 均为弧 AB 所对的圆周角 ∴∠APB=∠AHB ∵∠AHB 为△AHQ 的外角 ∴∠AHB=∠AQB+∠QAH ∴∠AHB>∠AQB,即∠APB>∠AQB C B A P O D C B A P O D l H P OB A Q H MC B A OP D 13 / 15 (2)①如图所示,点 P 即为所求; ②解:由(1)得:过 A、B 的⊙O 与 MN 相切时,点 P 对 AB 的视角最大; 如图,延长 NM、AD 交于点 H,作 AB 的中垂线 EF 交 MN 于 E,则点 O 在 线段 EF 上, ∵∠CMN=60°、∠ADC=90° ∴∠H=30°,∠HEF=60° ∵DM= 3 ∴DH=3 ∵OF⊥AB,AB 为弦,O 为圆心 ∴AF=BF ∵AB=4 ∴AF=BF=2 ∵BD=9 ∴HF=14 ∵∠H=30°,∠EFH=90° ∴EF=14 3 3 设⊙O 的半径为 R, ∵OP=R,∠OEP=60°,∠OPE=90° ∴OE= 2 3 3 R ∴ 14 3 2 3 3 3OF EF OE R    又∵OF= 2 2 2 22OB BF R   ∴ 2 2 14 3 2 32 3 3R R   解得: 1 52R  , 2 4R  ∵14 3 2 3 03 3 R  ∴R<7 P OHP CD A Q B H E P F NA D C B M O 14 / 15 ∴R=4 ∵AB=4,OA=OB=R=4 ∴△AOB 为等边三角形 ∴∠AOB=60° ∵∠APB= 1 2 AOB ∴∠APB=30°