（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题1 21页

第1章锐角三角函数1.1锐角三角函数（第2课时）一、单选题1．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（）．A．B．3C．D．2【答案】B【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．【详解】解析设小正方形的边长为1，由图形可知，，是等腰直角三角形，．， ，，，．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．2．如图，在直角坐标平面内，射线与轴正半轴的夹角为，如果，，那么点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点A作轴于点B，先根据得出，然后在中利用勾股定理即可求出OB,AB的值，从而可求出点A的坐标．【详解】过点A作轴于点B， 在中，，．，，，．故选：A．【点睛】本题主要考查正切的定义和勾股定理，掌握正切的定义和勾股定理是解题的关键．3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，若，则的长是（） A．10B．C．8D．【答案】B【分析】解直角三角形求出AE，根据垂直平分线求出AB，再解直角三角形求出BC即可．【详解】解：在中，；即；∴；∵垂直平分线；∴；在中，；即；∴； 故选：B.【点睛】本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，则的值是（）.A．B．C．D．3【答案】C【分析】将点设为点C，过点C作轴于点D，然后利用正切的定义即可求出答案．【详解】将点设为点C，过点C作轴于点D，， ，，故选：C．【点睛】本题主要考查正切，构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB【答案】B【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c∴，即，则A选项不成立，B选项成立，即，则C、D选项均不成立故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，则tanB的值为（　　） A．B．C．D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB=，代入求出即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，∴tanB=，故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．7．RtABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式错误的是（）A．b=c·cosBB．b=a·tanBC．a=c·sinAD．a=c·cosB【答案】A【分析】根据Rt中，cosB，tanB，sinA的定义，进行判断．【详解】解：如图，∵Rt中，∴a=c•cosB，b=a•tanB，a=c•sinA，∴选项A错误，选项B、C、D正确， 故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形．8．在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可．【详解】解：由已知，，∵∴∵∠C=90°∴=45°故选：C【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解．二、填空题9．在中，已知，，的对边，另一条直角边的长是______．【答案】6【分析】由直接得到答案．【详解】解：，，，故答案为：【点睛】本题考查的是锐角三角函数，掌握锐角的正切是解题的关键．10．如图，在4 x4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中cos∠ABC =_______． 【答案】【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】∵由图可知，，，，∴，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴cos∠ABC=．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是_____．【答案】【分析】 先确定取最小值的情况，画出相应的图形，并求得，再通过添加辅助线“连接，过作于”构造出直角三角形，最后根据相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数即可求得答案．【详解】解：∵由题意得，∴点在以为圆心、为半径的圆上，作，连接交于点，此时的值最小，如图：∵点是的中点∴∵∴∵∴∴连接，过作于，如图： ∵∴∴∴∴∴，∴∴∴．故答案是：【点睛】本题考查了几何图形中求最值问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数等知识点，能根据题意画出相应图形并构造出直角三角形是解决问题的关键．12．如图，是的边上一点，且点的横坐标为3，，则______． 【答案】【分析】由已知条件可得出点P的纵坐标为4，则就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值．【详解】解：由题意可得，∵，∴点P的纵坐标为4，∴就等于点P的纵坐标与其横坐标的比值，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是正弦与正切的定义，熟记定义内容是解此题的关键．13．如图，在中，是斜边的垂直平分线，分别交于点，若，则______． 【答案】2【分析】连接BF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，再根据等边对等角的性质求出∠ABF=∠A，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBF，再根据三角函数的定义即可求出CF．【详解】如图，连接BF，∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴，，在△BCF中，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角函数的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．14．如图，在中，，已知，，则__________． 【答案】【分析】先由勾股定理求出的长，再用正弦定义求解即可．【详解】解：因为，，，所以：，所以：．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角函数正弦的定义及勾股定理，掌握正弦定义是解题关键．三、解答题15．计算：．【答案】-4【分析】根据实数的运算法则计算即可．【详解】 解：原式．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值，三角函数，乘方，算术平方根的运算是解题关键．16．已知：如图，中，于点，若，，求．【答案】【分析】根据条件即可求出CD，然后根据∠B的正切值即可求出AD，从而求出．【详解】解：∵∴CD=4∵∴∴AD=BD=6∴tanC= 【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握正切值的定义是解决此题的关键．17．如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．【答案】，，．【分析】根据直线的图像，首先求出与坐标轴的两个交点坐标，根据勾股定理求得两交点之间的距离，进一步利用锐角三角函数的定义求出三角函数值即可．【详解】解：如图，直线的图象与x轴的交点A为（，0），即OA=；与y轴的交点B为（0，5），即OB=5；则AB==； ===，，．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点以及锐角三角函数的定义．18．如图，在△ABC中（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．【答案】(1)见解析;(2)【分析】（1）分别以B、C为圆心，大于BC的一半长为半径画弧，两弧交于两点，再过两点画直线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质可得EC=BC=6，BD=CD=9，再根据余弦定义可求解．【详解】解：（1）如图所示，直线DE即为所求； （2）∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝BC＝6，BD＝CD＝9，∴cos∠C＝＝＝．【点睛】本题考查基本作图，三角函数定义，关键是掌握线段垂直平分线的画法，以及线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．19．（1）（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）分别计算负整数指数幂，立方根，锐角的三角函数，绝对值，再计算除法，合并即可得到答案，（2）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后代入求值，可得结论．【详解】解：（1）解：原式 （2）解：原式．当，上式＝．【点睛】本题考查的是实数的混合运算，考查了负整数指数幂，立方根，绝对值，锐角的三角函数值，同时考查了分式的化简求值，掌握以上知识是解题的关键．20．在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，点F在边AD上，且DF=BE，连接DE，CF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若DE平分∠ADC，AB=5，AD=8，求tan∠ADE的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）证四边形AECF是平行四边形，再证出∠AEC=90°，即可得出结论；（2）证出∠DEC=∠CDE，得出CD=CE=5，则BE=BC-CE=3，由勾股定理求出AE=4，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD中 ∴AD＝BC，AD∥BC，又∵DF=BE，∴AF＝EC∴四边形AECF为平行四边形∵∠AEC＝90°∴平行四边形AECF为矩形（2）∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE∵AD∥BC∴∠ADE＝∠CED∴∠CDE＝∠CED∴EC＝DC＝AB＝5∴BE＝3在Rt△ABE中，AE＝＝4∵在矩形AECF中∴∠DAE＝90°∴tan∠ADE＝＝＝【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．