人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）射影定理和内接矩形 12页

射影定理和内接矩形内容基本要求略高要求较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题模块一（斜）射影定理类相似问题射影定理常见及扩展模型：图1有：图2有：【例1】如图，直角中，，，证明：，，．12 【难度】星【解析】由两组对角分别相等证明三组相似三角形，由三组相似三角形可得到证明．【答案】∵，∴∽∽∵∽∴同理可得，，点评：上述的结论就叫做射影定理，这个结论及相关基本图形非常重要．【巩固】如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．⑴，⑵．【难度】星【解析】（1）根据平行线分线段成比例以及等腰三角形两底角相等得到证明．（2）由射影定理直接可得，又，线段的等量代换可得到．【答案】⑴∵，∴∴，又∵，∴，⑵，，∴，12 ∴∴【巩固】如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（）．．．．【难度】星【解析】本题根据选项可以确定利用射影定理可以解决．【答案】∵在中，∴根据射影定理有又∵，点为中点∴∴故选．【例2】如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：．【难度】星【解析】熟悉了掌握了射影定理后，这一题就不难解答了．12 直接证明有些困难，可通过射影定理转化成证明即证明，这个结论比较明显，证明∽即可．【答案】∵∴∴∴，即又∵在根据射影定理有：∴【巩固】已知：如图，,求证：．【难度】星【解析】由题目中求角相等，根据本章学习的内容可知，我们可能由已知条件证明相似，进而得到相等的角，根据三点定形法，可初步猜测：．由射影定理可知：，又根据两角相等两三角形相似，证明:，得到相似比例线段：，即，根据线段的等量代换得到：，可证明：【答案】∵在中∴根据射影定理有：又∵∴，即∴，又∴∴【巩固】如图，中，点在上，，是的中点，于，点12 是的中点，连接．求证：．【难度】星【解析】本题证明的关键是要证明，证明这对相似三角形就需要由已知条件推到出有用的成比例线段，再根据都是直角三角形，才可得证．【答案】连接．∵∴，∴（射影定理）∵∴∵∴∴∴【拓展】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：平分．【难度】星【解析】解答本题的关键是要利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，再根据线段的等量代换得到，利用公共角相等可证明，由相似得到有用的等角，再根据为等腰三角形，利用角之间的等量代换可得到证明．【答案】连接，12 ∵垂直平分，∴，∵，∴∴，又∵∴，∴，∵，，∴，即平分．模块二内接矩形类相似问题内接矩形类的模型及结论：其中，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．【例3】中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【难度】星【解析】根据内接矩形的模型可列比例关系式，即可解题．【答案】设正方形的边长为，、的交点为，则有12 ，即解之得，故本题有有另外一个解题思路：相似三角形的高线比等于相似比．如图，，，则【巩固】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．【难度】星【解析】略【答案】过作，垂足为，连接．设，则，则有，即，解得，∴设正方形的边长为，则有，即．解得．所以正方形的边长为．【巩固】如图，有一块三角形土地，它的底边米，高米，某单位要沿着底边修一座底面是矩形的大楼。当这个大楼地基面积为平方米时，这个矩形的长和宽各是多少？12 【难度】星【解析】这是常见的内接矩形类相似问题，可利用模型的公式与设未知量轻松解题．【答案】设大楼地基的长为，则根据面积，宽为．根据内接矩形类相似模型可列：，解得．所以，地基的长与宽分别为：．【拓展】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．【难度】星【解析】略【答案】设正方形边长为，则．由，得，∴，解得，∴，∴12 课堂检测1.如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．【难度】星【解析】略【答案】连接∵垂直平分，∴，∴，即，又∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴2.如图，正方形的顶点在三角形的边上，当边与高满足什么条件时，正方形12 的面积是三角形面积的一半？【难度】星【解析】根据内接矩形的模型可得到一个比例等式，再根据已知条件：正方形面积是三角形面积的一半，列出另外一个等式，通过两个等式得到与的关系．【答案】设正方形的边长为．根据内接矩形模型可列：，得到：．又∵正方形的面积是三角形面积的一半∴可列：，可得：两式子联立：，解得：，即．总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：①．②．③．课后作业1.如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，求证：．12 【难度】星【解析】略【答案】连接，由，∴，再证明可得（也可以由，于是，等量减等量便可得）又∵，∴，∴，又∵，∴．1.如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．【难度】星12 【解析】略【答案】方法1由勾股定理可求得，由可得．由可得，设正方形的边长为，则，解得．方法2：设，则，∴，∴，即，解得，∴12