初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第19讲 转化灵活的圆中角 7页

1 第十九讲 转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形 法都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化． 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对 的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内 接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来． 熟悉以下基本图形、基本结论． 注：根据顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶 点在圆外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样 的关系?读者可自行作一番探讨． 【例题求解】 【例 1】 如图，直线 AB 与⊙O 相交于 A，B 再点，点 O 在 AB 上，点 C 在⊙O 上，且∠ AOC＝40°，点 E 是直线 AB 上一个动点(与点 O 不重合)，直线 EC 交⊙O 于另一点 D，则 使 DE=DO 的点正共有 个． 思路点拨 在直线 AB 上使 DE=DO 的动点 E 与⊙O 有怎样的位置关系? 分点 E 在 AB 上(E 在⊙O 内)、在 BA 或 AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过 角度的计算，确定 E 点位置、存在的个数． 注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化 的基本方法． 【例 2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边 BC 的中点，经过点 A、D 的⊙O 与边 AB、AC、BC 分别相交于点 E、F、M，对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF ＝AB；③ BC BA EF ED  ；④2BM2=BF×BA；⑤四边形 AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是 ( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证． 2 注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐 合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择． 【例 3】 如图，已知四边形 ABCD 外接⊙O 的半径为 5，对角线 AC 与 BD 的交点为 E， 且 AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD 的面积． 思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得 A 为弧 BD 中点，这是解本例的关 键． 【例 4】 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结 AC，过点 C 作直线 CD ⊥AB 于 D(AD