中考数学专题复习精品大全集+中考数学专题突破导学练等精品大全集 114页

中考数学专题复习精品大全集 +中考数学专题突破导学练等精品大全集 三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰 三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图 所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长 线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体 会。 典型例题 【例 1】如图，等边△ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B=∠C=∠EDF=60° 再用外角可证∠BED=∠CDF，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段 BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF=60° ∴∠B=∠C=∠EDF=60° ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD （2）∵△BDE∽△CFD ∴ BE CD BD FC  ∵BD=1，FC=3，CD=5 ∴BE= 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例 2】如图，等腰△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，∠EDF=∠B， 求证：△BDE∽△DFE 【思路分析】比较例 1 来说区别仅是点 D 成为了 BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及 BD=CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB=AC，∠EDF=∠B C A DB E F CD E A B F ∴∠B=∠C=∠EDF ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED ∴∠BED=∠FDC ∴△BDE∽△CFD ∴ DF DE CD BE  又∵BD=CD ∴ DF DE BD BE  即 DF BD DE BE  ∵∠EDF=∠B ∴△BDE∽△DFE 点评：三等角型相似中若点 D 是等腰三角形底边上任意一点则仅有一对相似三角形，若点 D 是底边中点则有三对相似三角形，△BDE 与△CFD 相似后若得 DF DE CF BD  加上 BD=CD 可证得 △CFD 与△DFE 相似 【例 3】如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合）， 过点 P作射线 PM 交 AC 于点 M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设 BP=x，CM=y．求 y 与 x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求 PB 的长． 【思路分析】第（1）（2）小题都是用常规的三等角型相似的方法。对△APM 进行等腰三角形的分类讨论时，可将条件转化成与△ABP∽△PCM 相关的结论 解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠B=∠C ∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP ∴∠BAP=∠MPC ∴△ABP∽△PCM （2）∵BP=x，CM=y，CP=8-x ∵ MC BP PC AB  ∴ y x x  8 5 ∴ xxy 5 8 5 1 2  )80(  x （3）当 AP=PM 时 ∵ AB PC PA PM  ∴PC=AB=5 ∴BP=3 当 AP=AM 时 ∵∠APM=∠B=∠C ∴∠PAM=∠BAC 即点 P 与点 B重合 ∴P 不与点 B、C 重合 ∴舍去 当 MP=AM 时 ∴∠MAP=∠MPA A B P C M A B CP M A B CP M ∴△MAP∽△ABC ∴ 8 5  BC AB AP MP ∴ 8 5  AB PC PA PM 即 8 5 5 8   x ∴BP= 8 39 点评：等腰三角形分类讨论需要灵活应用，可采用的方法添底边上的高，将等腰的条件进行 转化，三等角型相似这类问题中可将等腰的条件转化至△ABP 和△PCM 中简化运算。 【例 4】（1）在 ABC 中， 5 ACAB ， 8BC ，点 P 、Q 分别在射线CB 、 AC 上 （点 P 不与点C 、点 B 重合），且保持 ABCAPQ  . ①若点 P 在线段CB 上（如图 10），且 6BP ，求线段CQ 的长； ②若 xBP  ， yCQ  ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的 定义域； （2）正方形 ABCD 的边长为5（如图 12），点 P 、Q分别在直线．．CB 、DC 上（点 P 不与点C 、点 B 重合），且保持  90APQ . 当 1CQ 时，写出线段 BP 的长（不需要计算过程，请直接写出结果）. 【思路分析】本例与前几例的区别在于与等腰三角形底角相等的角的顶点不仅 在线段上还可以运动至线段的延长线上，这类变式问题是上海中考中最常见 的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式 后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问 题。 解：（1）∵ BAPBCPQAPQ  ， ABCAPQ  ， ∴ CQPBAP  . 又∵ ACAB  ，∴ CB  . ∴ QCP ∽ ABP . ∴ AB CP BP CQ  . ∵ 5 ACAB ， 8BC ， 6BP ， 268 CP ， ∴ 5 2 6  CQ ， 5 12 CQ . （2）若点 P 在线段CB 上，由（1）知 AB CP BP CQ  . A B C 备用图 A B CP Q A B C D 图 12 ∵ xBP  ， 8BC ， ∴ xBPBCCP  8 ， 又∵ yCQ  ， 5AB ，∴ 5 8 x x y   ，即 xxy 5 8 5 1 2  . 故所求的函数关系式为 xxy 5 8 5 1 2  ， )80(  x . 若点 P 在线段CB 的延长线上，如图 11. ∵ CPQAPBAPQ  ， PABAPBABC  ， ABCAPQ  ，∴ PABCPQ  . 又∵ ABCABP  180 ， ACBPCQ  180 ， ACBABC  ， ∴ PCQABP  .∴ QCP ∽ PBA .∴ PC AB CQ BP  . ∵ xBP  ， xBPBCCP  8 ， 5AB ， yCQ  ， ∴ xy x   8 5 ，即 xxy 5 8 5 1 2  )0( x . （2）当点 P 在线段 BC 上， 2 55  BP ，或 2 55  BP . 当点 P 在线段 BC 的延长线上，则点Q在线段 DC 的延长线上， 2 535  BP . 当点 P 在线段CB 的延长线上，则点Q在线段 DC 的延长线上， 2 535  BP . 点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通 过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情 况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。 强化训练： 1. 如图，在△ABC 中， 8 ACAB ， 10BC ，D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且 CADE  ． (1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果 xBD  ， yAE  ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域； (3) 当点 D 是 BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． A B CD E A B C 备用图 P Q 2. 已知：如图，在△ABC 中， 5 ACAB ， 6BC ，点 D 在边 AB 上， ABDE  ，点 E在边 BC 上．又点 F 在边 AC 上，且 BDEF  ． (1) 求证：△FCE∽△EBD； (2) 当点 D在线段 AB 上运动时，是否有可能使 EBDFCE SS   4 ． 如果有可能，那么求出 BD 的长．如果不可能请说明理由． 3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上一点，且 BP=2，将一 个大小与∠B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P点转动， 使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点为 D、E。 （1）求证△BPD∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出 BD 的长；若不存在，说明理由。 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不 重合)，PE⊥AB 与 E，PF⊥BC 交 AC 与 F，设 PC=x，记 PE= 1y ，PF= 2y （1）分别求 1y 、 2y 关于 x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出 CP 的长，若不能，请说明理由。 5. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 上的一个动点(与 B、C 不 重合)，PE⊥AB 与 E，PF⊥BC 交 AC 与 F，设 PC=x，△PEF 的面积为 y （1）写出图中的相似三角形不必证明； （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求 PC 的长。 6. 已知在等腰三角形 ABC 中， 4, 6AB BC AC   ，D 是 AC 的中点， E 是 BC 上的动点（不与 B 、C 重合），连结 DE ，过点 D 作射线 DF ，使 EDF A   ， 射线 DF 交射线 EB 于点 F ，交射线 AB 于点 H . （1）求证： CED ∽ ADH ； （2）设 ,EC x BF y  . ①用含 x 的代数式表示 BH ； ②求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的定义域. 7. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A． CP E A B F CP E A B D CP E A B F A B C D E F H A B C D E F C DA B P ①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交 直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式，并 写出函数的定义域； ②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）． 8. 已知：如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，  90B ， 8AB ， 12AD ， 3 4tan C ， AM∥DC，E、F 分别是线段 AD、AM 上的动点（点 E 与 A、D不重合）且 AMBFEM  ， 设 xDE  ， yMF  . （1）求证： DMAM  ； （2）求 y 与 x 的函数关系式并写出定义域； （3）若点 E 在边 AD 上移动时， EFM 为等腰三角形，求 x 的值； 9. 已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E是 AB 的中点． （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 ①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并 写出函数的定义域；②当 BEPDMF SS   4 9 时，求 BP 的长． 10. 如图，在梯形 ABCD 中，AD//BC，AB=CD=BC=4，AD=2．点 M 为边 BC 的中点， A E F D B M C E D CB A P （第 25 题图） E D CB A （备用图） A B C D M E F 以 M 为顶点作∠EMF=∠B，射线 ME 交边 AB 于点 E，射线 MF 交边 CD 于点 F，连结 EF． （1）指出图中所有与△BEM 相似的三角形，并加以证明； （2）设 BE=x，CF=y，求 y关于 x 的函数解析式，并写出定义域； 答案： 1. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE （2）∵△ABD∽△DCE∴ AB CD BD CE  ∵ xBD  ， yAE  ， xDC  10 ∴ y x x    810 8 ∴ 8 4 5 8 1 2  xxy )100(  x （3）∵ ACAB  ， D 是 BC 的中点∴AD⊥BC∴∠DAE+∠ADE=90°∵ DEAE  ∴△ADE 是直角三角形 2. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ∵∠BED+∠DEF=∠C+∠EFC=90°又∵ BDEF  ∴∠BED=∠EFC ∴△FCE∽△EBD （2）∵BD=x，BE= x 3 5 ， xEC 3 56  ∵△FCE∽△EBD∴ 2)( BD EC S S BED FEC    若 EBDFCE SS   4 ∴ 4)3 56 ( 2   x x ∴ 11 18 x ∴ 3 11 36 3 56  x ∴BD 不存在 3. 解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C ∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP∴∠EPC =∠BDP ∴△ABD∽△DCE （2）∵∠DPE=∠B 90° 若∠PDE=90°，在 Rt△ABH 和 Rt△PDE 中 ∴cos∠ABH=cos∠DPE= 5 3  PE PD AB BH ∴ 5 3  PC BD PE PD ∵PC=4 ∴ 5 12 BD 若∠PED=90°在 Rt△ABH 和 Rt△PDE 中 ∴cos∠ABH=cos∠PED= 5 3  PD PE AB BH ∴ 3 5  PC BD PE PD CP E A B D H CP E A B D H ∵PC=4 ∴ 5 3 20 BD （舍去） 综上所述，BD 的长为 5 12 4. 解：（1） 5 24 5 4)6( 5 4 1  xxy 、 xy 3 4 2  （2）∵∠FPE=∠B 90° 若∠PFE=90°，在 Rt△ABH 和 Rt△PFE 中 ∴cos∠ABH=cos∠FPE= 5 3  PE PF AB BH ∴ 5 3 1 2  y y ∴ 5 3 5 24 5 4 3 4   x x ∴ 17 27 x 若∠PEF=90°，在 Rt△ABH 和 Rt△PFE 中 ∴cos∠ABH=cos∠FPE= 5 3  PE PF AB BH ∴ 3 5 1 2  y y ∴ 3 5 5 24 5 4 3 4   x x ∴ 3x 5. 解：（1）△PEB∽△EPC （2）∵PC=x∴ xPF 3 4  ， )6( 5 4 xPE  ， )6( 25 16 5 4 xEPEH  ∴ )6( 75 32)6( 25 16 3 4 2 1 2 1 xxxxEHPFy  即 xxy 25 64 75 32 2  )30(  x （3）当 PE=PF 时，△EPC≌△PEB，PC=BE=x， 5 3 6   x x ∴ 4 9 x 当 PE=EF 时， xPFPH 3 2 2 1  ，cos∠EPH=cosB， 5 3 )6( 5 4 3 2   x x ∴ 43 108 x 当 FE=PF 时， )6( 5 2 2 1 xEPPM  ， cos∠FPM=cosB， 5 3 3 4 )6( 5 2   x x ∴ 2x 综上所述，PC 的长分别为 4 9 x 、 43 108 、 2 6. 解：（1）∵ AB BC ,∴ A C   ∵ CDE EDF A H     又 EDF A   ,∴ CDE H   CED ∽ ADH CP E A B F H CP E A B F H CP E A B F G H M （2）①∵ CED ∽ ADH ，∴ CE CD AD AH  ∵ D 是 AC 的中点， 6AC  ，∴ 3AD CD  ，又 ∵ , 4CE x AB  ∴当 H 点在线段 AB 的延长线上时， 3 3 4 x BH   ，∴ 9 4BH x   当 H 点在线段 AB 上时， 3 3 4 x BH   ，∴ 94BH x   ②过点 D 作 DG∥AB,交 BC 于点G ∴ 1 2 DG CG CD AB BC AC    ，∴ 2, 2DG BG  ∴当 H 点在线段 AB 的延长线上时，∴ BH BF GD GF  ，∴ 9 4 2 2 yx y    ∴ 18 8 90 9 2 4 xy x x         当 H 点 在 线 段 AB 上 时 ， ∴ BH BF GD GF  ， ∴ 94 2 2 yx y    ∴ 8 18 9 4 9 2 4 xy x x         7. 解：（1）①证明：∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB， ∠BPC＝∠A，∴ ∠ABP＝∠DPC． ∵ 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D．∴ △ABP∽△DPC． ②解：设 AP＝x，则 DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得 DC PD AP AB  ，即 2 52 x x   解得 x1＝1，x2＝4，则 AP 的长为 1 或 4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ DQ AP PD AB  即 y x x    25 2 ，得 2 2 5 2 1 2  xxy ，1＜x＜4． ②AP＝2或 AP＝3－ 5 ． 8. 证明：（1）过点 M 作 ADMG  交AD于 G ∵AM//DC ∴ CAMB  ∵ 8AB,90B  ∴ BM ABCAMB  tantan ∴ BM 8 3 4  ∴ 6BM  C DA B P Q E ∵AD//BC，AB//MG ∴AG=BM=6 ∵AD=12 ∴AG=GD∴ AGM ≌ DGM ∴AM=DM (2) ∵ AMBFEM  AFEAMB  ∴ EFM∽ AEM ∴ FM EM EM AM  ∵ 2222 6)-(8EM1086AM x ∴ y x x 22 22 )6(8 )6(8 10    ∴ 10 5 6 10 1y 2  xx 定义域为： 120  x (3) ∵ FEMAEFMAEEFM  ∴EM≠FM ∴若 EFM 为等腰三角形，则 EF=EM 或 EF=FM ① 当 EF=EM 时,12- x =10∴ x =2 ② 当 EF=FM 时 ∵ MAEFF  EMME ∴ AE=EM ∴ 22 6)-(x8x-12  ∴ 3 11x  9. 证明：（1）∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C BE=2,BP=2,CP=4,CD=4，∴ CD BP CP EB  ，∴△BEP∽△CPD (2) ① FPCEPFBEPBEPF  又 ∠ EPF= ∠ C= ∠ B ， ∴ FPCBEP  ∴△BEP∽△CPF，∴ CF BP CP EB  ∴ 46 2    y x x ∴ 43 2 1 2  xxy （ 42  x ） ②当点 F 在线段 CD 的延长线上时 ∠FDM=∠C=∠B， FMDFPCBEP  ，∴△BEP∽△DMF  BEPDMF SS   4 9 ，∴ x y BP DF  2 3 又 43 2 1 2  xxy ，∴ 0832  xx ，Δ＜0，∴此方程无实数根， 故当点 F 在线段 CD 的延长线上时，不存在点 P 使 BEPDMF SS   4 9 当点 F 在线段 CD 上时，同理△BEP∽△DMF  BEPDMF SS   4 9 ，∴ x y BP DF  2 3 ，又∴△BEP∽△CPF∴ CF BP CP EB  ，∴ y x x    46 2 ∴ 43 2 1 2  xxy ，∴ 0892  xx ，解得 11 x ， 82 x 由于 82 x 不合题意舍去，∴ 1x ，即 BP=1 所以当 BEPDMF SS   4 9 时，BP 的长为 1． 10. 解：（1）△CMF∽△BEM，△MEF∽△BEM． 证明如下：在梯形 ABCD 中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C． 又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，∠EMF=∠B，∴∠FMC=∠BEM． ∴△CMF∽△BEM． ∴ CM BE FM EM  ． 又∵CM=BM，∴ BM BE FM EM  ．∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM． （2）∵△CMF∽△BEM，∴ CF CM BM BE  ． ∵BM=CM=2，∴ y x 2 2  ．∴所求函数的解析式为 x y 4  ，（ 41  x ） 中考数学专题复习——数学应用题 解题步骤： 1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于 数据处理，最 好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。 2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。 3、合理求解纯数学问题 4、解释并回答实际问题 一、选择题 1. 已知某种商品的售价为 204 元，即使促销降价 20℅仍有的 20℅利润，则该商 品的成本价是（ ） A．133 B．134 C．135 D．136 2. 为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中， 先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿 3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正 确反映这一过程中，国旗高度 h（米）与升旗时间 t(秒）的函数关系的大致图象 是（ ） 3. 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度 h随时 间 t的变化规律如图所示(图中 OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） 4. 如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6米 的位置上，则球拍击球的高度 h为 （ ） A B C D A B C O t h A、8/15 B、 1 C、4/3 D、 8/5 5. 如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他影子的 顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行 20m 到达点时，发现身前他影子的 顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都 是 9m，则两路灯之间的距离是（ ） A．24m B．25m C．28m D．30m 二、填空题 6. 为紧急安置 100 名地震灾民,需要同时搭建可容纳 6人和 4人的两种帐篷,则 搭建方案共有 ． 7. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m 元的商品，甲超市连续两次降 价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时 顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 ． 8. 某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利 20%，若该书的进价为 21 元， 则标价为 ． 9. 一只不透明的袋子中，装有 2 个白球和 1个红球，这些球除颜色外都相同。 搅匀后从中一把摸出两个球，两个球必是白球的概率为 ． 10. 如图，山脚下有一棵树 AB，小华从点 B沿山坡向上走 50 米到达点 D，用 高 为 1.5 米的测角仪 CD 测得树顶的仰角为 10°，已知山 坡的坡角为 15°，则树 AB 的高为 ．(精确到 0．1 米)（已知 sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈ 0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈ 0.27．) 三、解答题 11. 为了解教学情况,某校抽取了部分初三年级学生期末数学考试成绩,将所得 分数整理后,画出频率分布直方图（分数取整数，满分 120 分）,如图 14 所示, 图中从左到右各小组的小长方形面积之比是 5：16：13：9：7，第一小组的频数 为 10. 请根据以上信息，回答下列问题： ⑴填空：第一小组的频率为_________； ⑵填空：在这个问题中，样本的容量是_____________； ⑶若分数在 81 分以上（含 81 分）为合格，试估计该校初三学生数学成绩的合格 率是多少？（写出计算过程，并作答） 12.小华与小丽设计了 A,B 两种游戏： 游戏 A的规则：用 3张数字分别是 2，3， 4的扑克牌，将牌洗匀后背面朝上放置在桌面上，第一次随机抽出一张牌记下数 字后再原样放回，洗匀后再第二次随机抽出一张牌记下数字．若抽出的两张牌上 的数字之和为偶数，则小华获胜；若两数字之和为奇数，则小丽获胜． 游戏 B的规则：用 4张数字分别是 5，6，8，8的扑克牌，将牌洗匀后背面朝 上放置在桌面上，小华先随机抽出一张牌，抽出的牌不放回，小丽从剩下的牌中 再随机抽出一张牌．若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大， 则小华获胜；否则小丽获胜． 请你帮小丽选择其中一种游戏，使她获胜的可能性较大，并说明理由． 13.如图所示，一根长 2a 的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上， 设木棍的中点为 P. 若木棍 A端沿墙下滑，且 B端沿地面向右滑行. （1）请判断木棍滑动的过程中，点 P到点 O的距离是否变化，并简述理由. （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB 的面积最大？简述 理由，并求出面积的最大值. 中考数学专题复习——信息题问题 班级______________ 姓名_____________________ 座号___________  信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、 加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．  解答信息题时，首先要仔细观阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信 息（如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等），然后对这些 信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题 顺利获解． 一、选择题 1．如下图所示，正方形的面积y与边长x之间的函数关系的大致图象是（ ） A B P M N O 2．四个二次函数的图象，函数在 x=2 时有最大值 3的是（ ） 3．如图，在方格纸中有四个图形＜1＞、＜2＞、＜3＞、＜4＞，其中面积相等 的图形是（ ） A． ＜1＞和＜2＞ B．＜2＞和＜3＞ C．＜2＞和＜4＞ D．＜1 ＞和＜4＞ 4. 市内货摩(运货的摩托)的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的， 每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（ ） 5. 2003 年春季，我国部分地区 SARS 流行，党和政府采取果断措施，防治结合， 很快使病情得到控制．图 2－l－10 是某同学记载的 5 月 1 日到 30 日每天全 国的 SARS 新增确诊病例数据图．将图中记载的数据每 5天作为一组，从左至 右分为第一组至第六 组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的 中位数为 138；③第四组的众数为 28．其中正确的有（ ） A．0个 B．l个 C．2个 D．3个 二.填空题 6. 4、函数 的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确．．．．．的是 ___________. ① 该函数的图象是中心对称图形 ② 当 时，该函数在 时取得最小值 2 ③ 的值不可能为 1 ④ 在每个象限内， 的值随 值的增大而减小 7．红星村今年对农田秋季播种作如图（3）的规划，且只种植这三种农 作物，则该村种植油菜占种植所有农作物的______%． 8. 二次函数 y＝ax2+(a－b）x—b 的图象如图，那么化简 2 22 | |a ab b b a    的结果是_________________. 9.为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条 件下对他们的电脑知识进行了 10 次测验，成绩如下，（单位：分）： 甲 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84 乙 82 86 87 90 79 81 93 90 74 76 请填写下表： 平均数 中位数 众数 方差 85 分以上频率 甲 84 84 14.4 0.3 乙 84 84 34 10.如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km 的过程中，行使的路程 y与经过的时间 x之间的函数关系．请根据图象填空：____________出发的早， 早了___________小时，____________先到达，先到_________小时，电动自行车 的速度为_________km / h，汽车的速度为_________km / h． 三、解答题 11.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙 两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃 烧时间x(h)的关系如图2－1－2所示．请根据图象所提供的信 息解答下列问题： ⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是_____，从点燃到燃 尽所用的时间分别是_____； ⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； ⑶当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相 等？ 12.某农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型收割机20台，乙型收割机30 台，现将这50台收割机派往 A、B两地，其中30台派往 A地区，20台派往 B地区， 两地区与该农机公司商定的每天的租赁价格表如下： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B 地区 1600元 1200元 （1）设派往 A地区 x台乙型收割机，租赁公司这50台收割机一天获得的租金为 y元，求 y与 x的函数关系式，并写出 x的取值范围。 （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元， 说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来。 （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为该农机租赁公司 提出一个合理建议。 中考数学专题复习——网格问题 这类题型的特点：以网格为背景，引出线段、角、三角形、四边形、相似、 圆、面积以及图案设计等问题，给人以耳目一新的感觉，作为考查学生数形结 合思想方法的运用能力和动手操作能力的载体，它除了给出图形显性特征，还 隐藏了网格所具有的隐含条件，解决问题的关键在于用好“网格”这个隐含条 件。 一、选择题．．．．． 1、如图，将三角形向右平移 2个单位长度，再向上平移 3个单位长 度，则平移后三个顶点的坐标是 （ ） A、(1, 7),(－2, 2),(3, 4) B、 (1, 7),(-2, 2),(4, 3)． C、 (1, 7),(2, 2),(3, 4)． D、(1, 7),(2,－2),(3, 3)． 2、如图，已知△ABC 的顶点 B的坐标是(2，1)，将△ABC 向左平移两个单位 后，点 B平移到 B1，则 B1的坐标是（ ）． A．(4，1) B．(0，1) C．(－1，1) D．(1， 0) 3、如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸 横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ） A．（2, -1） B．（2, 2） C．（2, 1） D．（3, 1） 4、在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，A、B两点在小方格的 顶点上，位置如图所示，点 C也在小方格的顶点上，且 A、B、C为顶点的三角形 的面积为 1个平方单位，则点 C的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5、如图，在方格纸中，α、β与γ这三个角的大小关系是（ ） A. α=β>γ B. α<β<γ C. α>β>γ D. α=β=γ 二、填空题 1、如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则 AC 边 上的高是 ． 2、如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的⊙O 的圆心 O在 格点上，则∠AED 的正切值等于 ． 3、某正方形园地是由边长为 1 的四个小正方形组成的，现要在 园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半， 以下图中设计不合要求．．．．的是 ． 4、如图，是一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 2 x 的图像，则关 于 x的方程 kx+b= 2 x 的解为 ． 5、请你在下面 3个网格（两相邻格点的距离均为 1个单位长度）内，分别设计 1个图案，要求:在(1)中所设计的图案是面积等于 3 的轴对称图形；在（2）中 γ β α A CB 所设计的图案是面积等于 2 3 的中心对称图形；在（3）中所设计的图案既是轴 对称图形又是中心对称图形，并且面积等于 3 3 ．将你设计的图案用铅笔涂黑． 三、解答题 11、如图⑴是某城市三月份 1至 10 日的最低气温随时间变化的图象． ⑴ 根据图⑴提供的信息，在图⑵中补全直方图； ⑵ 这 10 大最低气温的众数是℃，最低气温的中位数是______ ℃，最低气 温的平均数是_______℃． 12、如图 6，已知 ABC△ : （1） AC 的长等于_______． （2）若将 ABC△ 向右平移 2 个单位得到 A B C  △ ， 则 A点的对应点 A的坐标是______； （3） 若将 ABC△ 绕点C 按顺时针方向旋转90后得到  A1B1C1，则 A点对应点 A1的坐标是_________． 13、如图，网格小正方形的边长都为 1．在△ABC 中， 试画出三边的中线（顶点与对边中点连结的线段），然后探究三条中线位置及其 有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？请说明理由． （1） （2） （3） 14、现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸 中，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，并且平行四边形纸片的每个顶点与 小正方形的顶点重合（如图 1、图 2、图 3）． 分别在图 1、图 2、图 3 中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁 剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下 列要求的几何图形． 要求： （1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格 纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形； （2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合． 中考数学习题精选：圆的有关计算与证明 解答题 1.△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm， 求 AF、BD、CE 的长？ 2.如图，在 4×4 的方格纸中（共有 16 个小方格），每个小方格都是边长为 1 的正方形．O、A、 B 分别是小正方形的顶点，求扇形 OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）． 图 1 矩形（非正方形） 图 2 正方形 图 3 有一个角是 135°的三角形 3.如图,直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,圆心 P 的坐标为(1,0),圆 P 与 y 轴相切于点 O.若将圆 P沿 x轴向左移动,当圆 P与该直线相交时,求横坐标为整数的点 P的个 数. 4.如图所示，已知 F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是弧 BF 的中点，AD⊥BC 于点 D，求证：AD= BF． 5.如图，在△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点 D 在 AB 边上，以 DB 为直径的半圆 O 经过点 E，交 BC 于点 F （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知 sinA= ，⊙O 的半径为 3，求图中阴影部分的面积 6.如图，已知 是△ 的外角 的平分线，交 的延长线于点 ，延长 交△ 的外接圆于点 ，连接 ， ． （1）求证： ． （2）已知 ，若 是△ 外接圆的直径， ，求 的长． 7.已知：如图，在△ABC 中，AB=BC=10，以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，连 接 DE和 DB，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，交 BD 于点 P． （1）求证：AD=DE； （2）若 CE=2，求线段 CD 的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE 的面积． 8.如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC 是半圆 O 的切线； （2）若 OC∥AD，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长． 9.如图 1，在正方形 ABCD 中，以 BC 为直径的正方形内，作半圆 O，AE 切半圆于点 F 交 CD 于点 E，连接 OA、OE． （1）求证：AO⊥EO； （2）如图 2，连接 DF 并延长交 BC 于点 M，求 的值． 10.如图，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，AB 是⊙O 的弦．过点 B 作 BC∥AD，交⊙O 于点 C， 连接 AC，过点 C 作 CD∥AB，交 AD 于点 D．连接 AO并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线 于点 P，且∠BCP=∠ACD． （1）判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB=9，BC=6．求 PC 的长． 11.如图，点 A 在⊙O 上，点 P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，连接 OP 交⊙O 于点 D，作 AB⊥OP 于点 C，交⊙O于点 B，连接 PB． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若 PC=9，AB=6 ， ①求图中阴影部分的面积； 12.如图，AB 是⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切线并在其上取一点 C，连接 OC 交⊙O 于点 D， BD 的延长线交 AC 于 E，连接 AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若 AB=2，AC=2 ，求 AE 的长． 13.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 是一点，过点 B 作⊙O 的切线，与 AC 延长线交于点 D， 连接 BC，OE//BC 交⊙O于点 E，连接 BE 交 AC 于点 H． （1）求证：BE 平分∠ABC； （2）连接 OD，若 BH=BD=2，求 OD的长． 14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（2，8），且与 x 轴相 切于点 B. 图① 图② （1）当 x＞0，y=5 时，求 x的值； （2）当 x = 6 时，求⊙P 的半径； （3）求 y 关于 x 的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象 （不必列表，画草图即可）. 15.如图，△OAB 的底边经过⊙O 上的点 C，且 OA=OB，CA=CB，⊙O 与 OA、OB 分别交于 D、 E 两点． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 D 为 OA 的中点，阴影部分的面积为 ，求⊙O 的半径 r． 16.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于 点 F，⊙O 是△BEF 的外接圆． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）过点 E作 EH⊥AB，垂足为 H，求证：CD=HF； （3）若 CD=1，EH=3，求 BF 及 AF 长． 17.如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 F，AO⊥BC，垂足为点 E，CE=2． （1）求 AB 的长； （2）求⊙O 的半径． 18.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE，OE． （1）判断 DE 与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=2CD•OE； （3）若 cos∠BAD= ，BE= ，求 OE的长． 19.如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D，已 知∠D＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点 F 在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为 E，CF＝ ，求图中阴影部分的面积. 20.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，点 D，E，F 分别在 AC，BC，AB 边上，以 AF 为直径的⊙ O 恰好经过 D，E，且 DE=EF． （1）求证：BC 为⊙O的切线； （2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数； （3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长． 21.如图，⊙ 的圆心 在反比例函数 的图像上，且与 轴、 轴相切于点 、 ，一次函数 的图像经过点 ，且与 轴交于点 ，与⊙ 的另一个 交点为点 . （1）求 的值及点 的坐标； （2）求 长及 的大小； （3）若将⊙ 沿 轴上下平移，使其与 轴及直线 均相切，求平移的方向 及平移的距离. 参考答案 解答题 1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D、E、F， ∴AF=AE，BF=BD，CD=CE． 设 AF=AE=x，则 BF=BD=11﹣x，EC=DC=15﹣x． 根据题意得 11﹣x+15﹣x=16． 解得；x=5cm． ∴AF=5cm．BD=11﹣x=11﹣5=6cm，EC=15﹣x=10cm． ∴AF=5cm，BD=6cm，EC=10cm． 2.解：由图形可知，∠AOB=90°， ∴OA=OB= =2 ， ∴ = = ，扇形 OAB 的面积= =2π． 弧 AB 的长是： = π ∴周长=弧 AB 的长+2OA= π+4 ． 综上所述，扇形 OAB 的弧长是 π，周长是 π+4 ，面积是 2π． 3.解:∵直线 y= 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐 标为(0, ),∴AB=2 . 如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C1时,连结 P1C1,则 P1C1=1, 易知△AP1C1∽△ABO,∴ = ,∴AP1=2,∴P1的坐标为(-1,0),同理可得 P2的坐标为(-5,0). -5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 3 4.证明：连接 OA，交 BF 于点 E， ∵A 是弧 BF 的中点，O 为圆心， ∴OA⊥BF， ∴BE= BF， ∵AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADO=∠BEO=90°， 在△OAD 与△OBE 中， ， ∴△OAD≌△OBE（AAS）， ∴AD=BE， ∴AD= BF 5. （1）证明：连结 OE， [MISSING IMAGE: , ] ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE， ∴∠ABC=∠AOE， 又∵∠C=90°， ∴∠A+∠ABC=90°， ∴∠A+∠AOE=90°， ∵∠AEO=90°， 即 OE⊥AC， ∴AC 为⊙O的切线 . （2）解：连结 OF， ∵sinA= , ∴∠A=30°， 由（1）知 OE⊥AC， ∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3， ∴OD=OE=OF=OB=BF=3， ∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S 扇形OEF= ， 在 Rt△AOE 中， ∴AO=6，AE=3 ， 在 Rt△ACB 中， ∴AB=9，BC= ， AC= ， ∴CE=AC-AE= -3 ， CF=BC-BF= -3= ， ∴S 梯形OFCE= = = ， ∴S 阴=S 梯形OFCE-S 扇形OEF= - . 6.（1）解：∵四边形 内接于圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是△ 的外角 平分线， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ （2）解：由（ ）得 ， 又∵ ， ∴△ ∽△ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ， ∵ 是直径， ∴ ， ∴BD= ， 又∵∠D=∠D， ∴△DBF∽△DAC， ∴ ， ∴ CD=24，解得：CD= . 7.（1）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，即 BD⊥AC ∵AB=BC， ∴△ABD≌CBD ∴∠ABD=∠CBD 在⊙O 中，AD 与 DE 分别是∠ABD 与∠CBD 所对的弦 ∴AD=DE； （2）解：∵四边形 ABED 内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB， ∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴ ， ∵AB=BC=10，CE=2，D 是 AC 的中点， ∴CD= ； （3）解：延长 EF 交⊙O 于 M， 在 Rt△ABD 中，AD= ，AB=10， ∴BD=3 ， ∵EM⊥AB，AB 是⊙O 的直径， ∴ ， ∴∠BEP=∠EDB， ∴△BPE∽△BED， ∴ ， ∴BP= ， ∴DP=BD-BP= ， ∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32， ∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5， ∴S△BDE=12， ∴S△DPE= ． 8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径 ∴∠D=90° ∴∠A+∠DBA=90° ∵∠DBC=∠A ∴∠DBC+∠DBA=90° ∴BC⊥AB ∴BC 是半圆 O的切线 （2）解：∠BEC=∠D=90∘， ∵BD⊥AD，BD=6， ∴BE=DE=3， ∵∠DBC=∠A， ∴△BCE∽△BAD， ∴ ，即 ∴AD=4.5 9.（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠B=∠C=90°，AB∥CD， ∴AB 和 CD 为⊙O 的切线， ∵AE 切半圆于点 F， ∴OA 平分∠BAE，OE 平分∠AEC， 而 AB∥CD， ∴∠BAE+∠AEC=180°， ∴∠OAE+∠OEA=90°， ∴∠AOE=90°， ∴OA⊥OE （2）解：作 FH⊥CD 于 H，如图，设正方形 ABCD 的边长为 4a， 则 AF=AB=4a，OB=OC=2a， ∵∠AOE=90°， ∴∠AOB+∠COE=90°， ∵∠AOB+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠EOC， ∴Rt△ABO∽Rt△OCE， ∴AB：OC=OB：CE，即 4a：2a=2a：CE，解得 CE=a， ∴EF=EC=a， ∴EA=5a，ED=3a， ∵FH∥AD， ∴△EFH∽△EAD， ∴ = = ，即 = = ， ∴FH= a，EH= a， ∴DH=3a﹣ a= a， ∴CH=4a﹣ a= a， ∵FH∥CM， ∴ = = ． 10.（1）解：PC 与圆 O 相切，理由为： 过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图， ∵CE 为直径， ∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD． ∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°， ∴CE⊥PC， ∴PC 与圆 O 相切； （2）解：∵AD 是⊙O 的切线，切点为 A， ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM=CM= BC=3， ∴AC=AB=9， 在 Rt△AMC 中，AM= =6 ， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r， 在 Rt△OCM 中，OM2+CM2=OC2 ， 即 32+（6 ﹣r）2=r2 ， 解得 r= ， ∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ， ∴BE=2OM= ， ∵∠E=∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴ = ， 即 = ， ∴PC= ． 11.（1）证明：如图 1，连接 OB， ∵OP⊥AB，OP 经过圆心 O， ∴AC=BC， ∴OP 垂直平分 AB， ∴AP=BP， ∵OA=OB，OP=OP， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO， ∵PA 切⊙O于点 A， ∴AP⊥OA， ∴∠PAO=90°， ∴∠PBO=∠PAO=90°， ∴OB⊥BP， 又∵点 B 在⊙O上， ∴PB 与⊙O 相切于点 B； （2）解：如图 1， ∵OP⊥AB，OP 经过圆心 O， ∴BC= AB=3 ， ∵∠PBO=∠BCO=90°， ∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°， ∴∠PBC=∠BOC， ∴△PBC∽△BOC， ∴ ∴OC= = =3， ∴在 Rt△OCB 中，OB= = =6，tan∠COB= = ， ∴∠COB=60°， ∴S△OPB= ×OP×BC= × =18 ，S 扇 DOB= =6π， ∴S 阴影=S△OPB﹣S 扇 DOB=18 ﹣6π； ②若点 E 是⊙O 上一点，连接 AE，BE，当 AE=6 时，BE= ． 3 ﹣3 或 3 +3 12.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC 为⊙O的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， 而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， 而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD （2）解：∵AB=2， ∴OA=1， 在 Rt△AOC 中，AC=2 ， ∴OC= =3， ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴ = ，即 = ， ∴CE= ． ∴AE=AC﹣CE=2 ﹣ = ． 13.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵OE//BC， ∴OE⊥AC， ∴ = ， ∴∠1=∠2， ∴BE 平分∠ABC （2）解：∵BD 是⊙O 的切线， ∴∠ABD=90°， ∵∠ACB=90°，BH=BD=2， ∴∠CBD=∠2， ∴∠1=∠2=∠CBD， ∴∠CBD=30°，∠ADB=60°， ∵∠ABD=90°， ∴AB=2 ，OB= ， ∵OD2=OB2+BD2 ， ∴OD= ． 14.（1）解: 由 y=5，得到 P（x，5），连接 AP，PB， ∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴， 即 PB=5， 由 AP=PB，由勾股定理得，x=2+ =2+4=6， ∴x=6 （2）解: 由 x=6，得到 P（6，y），连接 AP，PB，∵圆 P 与 x 轴相切，∴PB⊥x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 =y， 解得：y=5，则圆 P 的半径为 5 （3）解: 同（2），由 AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得： = ， 即 图 象 为 抛 物 线 ， 画 出 函 数 图 象 ， 如 图 ② 所 示 ； 15.（1）证明：连 OC，如图， ∵OA=OB，CA=CB， ∴OC⊥AB， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）解：∵D为 OA 的中点，OD=OC=r， ∴OA=2OC=2r， ∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC= r， ∴∠AOB=120°，AB=2 r， ∴S 阴影部分=S△OAB﹣S 扇形ODE= •OC•AB﹣ = ﹣ ， ∴ •r•2 r﹣ r2= ﹣ ， ∴r=1， 即⊙O 的半径 r 为 1 16. （1）证明：如图，连接 OE． ∵BE⊥EF， ∴∠BEF=90°， ∴BF 是圆 O 的直径． ∵BE 平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC 是⊙O的切线； （2）证明：如图，连结 DE． ∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC 于 C，EH⊥AB 于 H， ∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE 与△HFE 中， ， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF （3）由（2）得 CD=HF，又 CD=1， ∴HF=1， 在 Rt△HFE 中，EF= = ， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90°， ∴∠EHF=∠BEF=90°， ∵∠EFH=∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴ = ，即 = ， ∴BF=10， ∴OE= BF=5，OH=5﹣1=4， ∴Rt△OHE 中，cos∠EOA= ， ∴Rt△EOA 中，cos∠EOA= = ， ∴ = ， ∴OA= ， ∴AF= ﹣5= 17.（1）解：∵ ， ∴ 在 中 ∴ ∴ ∵ , ∴ ∵ 是 的直径， ∴ ∴ （2）解：∵ 是 的半径， , ∴ , ∵ , ∴ . ∵ ， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即 的半径是 18.（1）证明：连接 OD，BD， ∵AB 为圆 O 的直径， ∴∠ADB=90°， 在 Rt△BDC 中，E 为斜边 BC 的中点， ∴CE=DE=BE= BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又 OD 为圆的半径， ∴DE 为圆 O 的切线； （2）证明：∵E 是 BC 的中点，O 点是 AB 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴ ，即 BC2=AC•CD． ∴BC2=2CD•OE （3）解：∵cos∠BAD= ， ∴sin∠BAC= = ， 又∵BE= ，E是 BC 的中点，即 BC= ， ∴AC= ． 又∵AC=2OE， ∴OE= AC= 19.（1）解：连接 OC， ∵CD 切⊙O 于点 C ∴∠OCD=90° ∵∠D=30° ∴∠COD=60° ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO=30°； （2）解：∵CF⊥直径 AB，CF=4 ∴CE=2 ∴在 Rt△OCE 中，tan∠COE= ， OE= =2， ∴OC=2OE=4 ∴S 扇形 BOC= ，S△EOC= ×2×2 =2 ∴S 阴影=S 扇形 BOC-S△EOC= -2 ． 20.（1）证明：连接 OD、OE、DF，如图， ∵AF 为直径， ∴∠ADF=90°， 而∠C=90°， ∴DF∥BC， ∵DE=EF， ∴ = ∴OE⊥DF， ∴OE⊥BC， ∴BC 为⊙O 的切线 （2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°， ∴∠BOE=90°﹣40°=50°， ∴∠OFE= （180°﹣50°）=65°， ∴∠CDE=∠AFE=65° （3）解：易得四边形 CDHE 为矩形， ∴HE=CD=2，DH=CE=4， 设⊙O 的半径为 r，则 OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r， 在 Rt△OHD 中，（r﹣2）2+42=r2 ， 解得 r=5， ∵OH⊥DF， ∴HF=DH=4， ∵HF∥BE， ∴△OHF∽△OEB， ∴HF：BE=OH：OE，即 4：BE=3：5， ∴BE= 21.（1）解：如图 1 中，连接 AC、AB． ∵⊙A 与 x轴、y 轴相切于点 B、C， ∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形 ABOC 是正方形，设 A（m，m）， ∵点 A 在 y= 上， ∴m2=3，∵m＞0， ∴点 A 坐标（ ， ）， ∴OC= ， ∴点 C 坐标（0， ）， ∵一次函数 y= x+b 的图象经过点 C， ∴b= ， ∴一次函数的解析式为 y= ， 令 y=0 得 x=-3，∴D（-3，0），b= （2）解：如图 2 中，连接 BC、BE，作 AM⊥CE 于 M． 在 Rt△DOC 中， ∵tan∠CDO= ， ∴∠CDO=30°， ∵AC∥BD， ∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°， ∵AM⊥CE， ∴∠CAM=∠EAM=60°， ∴∠CAE=120°， 在 Rt△AMC 中，CM=AC•cos30°= ，∴CE=2CM=3，∴∠CBE= ∠CAE=60° （3）解：如图 3 中， ①当⊙A″与直线 y= 相切于点 E，AB 与直线 CD 交于点 K， ∵AB∥OC， ∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在 Rt△A″EK 中，A″E= ，A″K=A″E÷cos30°=2，在 Rt△CKA 中， AK=CA•tan30°=1， ∴AA″=A″K+AK=1+2=3， ∴⊙A 向上平移 3 的单位⊙A 与 y 轴及直线 y= 均相切．②同理可得⊙A 向下平 移 1 个单位⊙A 与 y 轴及直线 y= 均相切 中考数学专题复习——阅读理解题 班级______________ 姓名_____________________ 座号___________ 阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材 料，别一部分是根据阅读材料需解决的有关问题．阅读材料既有选用与教材知 识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的．考查目标除了初中数学和基础知 识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质 和能力． 一、 选择题 1. 形如 d c b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为 d c b a ＝ad －bc，依此法则计算 4 1 3 2  的结果为（ ） A．11 B．－11 C．5 D．－2 2.为了求 200832 22221   的值，可令 S＝ 200832 22221   ，则 2S＝ 2009432 22222   ，因此 2S-S＝ 122009  ，所以 200832 22221   ＝ 122009  仿照以上推理计算出 200932 55551   的值是（ ） A. 152009  B. 152010  C. 4 152009  1 2 312 1 2 3 1 2 3 4 x y D. 4 152010  3. 有一个运算程序，可以使：a⊕b = n ( n为常数)时，得 （ a +1） ⊕b = n +1， a⊕（b +1）= n -2，现在已知1⊕1 = 2，那么2008⊕2008 = ． 4. 如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成，图 中，第 1个黑色 L形由 3个正方形组成，第 2个黑色 L形由 7个正方 形组成，……那么第 6个黑色 L形的正方形个数是（ ） A.22 B.23 C.24 D.25 二、填空题 5. 定义新运算“”，规则： ( ) ( ) a a b a b b a b      ，如1 2 2  ， 5 2 2   。若 2 1 0x x   的两根为 1 2,x x ，则 1 2x x ＝ ． 6. 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码 0和 1 的 二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数 1011 换算成十进制数应为： 3 2 1 01 2 0 2 1 2 1 2 11        ．按此方式，则将十进制数 6 换算成二进制数应 为 ． 7. 小明用下面的方法求出方程 2 3 0x   的解，请你仿照他的方法求出下面另 外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中． 方程 换元法得新 方程 解新方程 检验 求原方程的 解 2 3 0x   令 x t ， 则 2 3 0t   3 2 t  3 0 2 t   3 2 x  ， 所以 9 4 x  2 3 0x x   2 4 0x x    8. 阅读材料，解答问题． 例 用图象法解一元二次不等式： 2 2 3 0x x   ． 解：设 2 2 3y x x   ，则 y 是 x 的二次函数． 1 0a    ， 抛物线开口向上． 又当 0y  时， 2 2 3 0x x   ，解得 1 21 3x x  ， ． 由此得抛物线 2 2 3y x x   的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当 1x   或 3x  时， 0y  ．  2 2 3 0x x   的解集是： 1x   或 3x  ． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 2 2 3 0x x   的解集是____________； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 2 1 0x   ．（大致图象画在答题卡．．． 上） 三、解答题 9. 阅读下面材料，再回答问题： 一般地，如果函数 y＝f（x）对于自变量取值范围内的任意 x，都有 f（－x）＝ －f（x），那么 y＝f（x）就叫做奇函数；如果函数 y＝f（x）对于自变量取值范 围内的任意 x，都有 f（－x）＝f（x），那么 y＝f（x）就叫做偶函数． 例如： xxxf  3)( 当 x取任意实数时， )()()()( 333 xxxxxxxf  即 f（－x）＝－f（x） 所以 )()( xfxf  为奇函数 又如 f（x）＝ x 当 x取任意实数时， )()( xfxxxf  即 f（－x）＝f（x） 所以 f（x）＝ x 是偶函数 问题（1）：下列函数中 ① 4xy  ② 12  xy ③ 3 1 x y  ④ 1 xy ⑤ x xy 1  所有奇函数是 ，所有偶函数是 （只填序 号）． 问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数． 10．阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过 A、 C两点画直线 AC 把平行四边形 ABCD 分割成两个部分（ a），小刚过 AB、AC 的 1 2 4 3 F E DD D CCC BBB AAA 中点画直线 EF，把平行四边形 ABCD 也分割成两个部分（b ）； （ a ） （b ） （ c ） （1）这两种分割方法中面积之间的关系为： 21 ____ SS ， 43 ____ SS ； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面 积关系的直线有 条，请在图（ c）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ 11.阅读理解：对于任意正实数 a、b，∵ 2( )a b ≥0， ∴ 2a ab b  ≥0， ∴ a b ≥ 2 ab ，只有当 a＝b时，等号成立． 结论：在 a b ≥ 2 ab （a、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b ≥ 2 p ，只有当 a＝b时，a+b 有最小值 2 p ． 根据上述内容，回答下列问题： 若m＞0，只有当 m＝ ▲ 时， 1m m  有最小值 ▲ ． 思考验证：如图 1，AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆上任意一 点（与点 A、B 不重合），过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，AD＝a， DB＝b．试根据图形验证 a b ≥ 2 ab ，并指出等号成立时的条件． 探索应用：如图 2，已知 A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线 D C BA O 第 11 题图 1 第 11 题图 2 x y 12  （x＞0）上的任意一点，过点 P 作 PC⊥x轴于点 C，PD⊥y 轴于点 D．求 四边形 ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形 ABCD 的形状． 中考数学专题讲座：新概念型问题 一、中考专题诠释 所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推 理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视 学生应用新的知识解决问题的能力 二、解题策略和解法精讲 “新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 三、中考典例剖析 考点一：规律题型中的新概念 例 1 （2012•永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，… 就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如 2，4，6，8，10 就 是一个等差数列，它的公差为 2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是 等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列 1，3，9，19，33，…，它的后一个数 与前一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，…，这是一个公差为 4 的等差数列，所以， 数列 1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列 1，3，7，13，… 的第五个数应是 ． 思路分析：由于 3－1=2，7－3=4，13－7=6，…，由此得出相邻两数之差依次大 2，故 13 的 后一个数比 13 大 8． 解答：解：由数字规律可知，第四个数 13，设第五个数为 x， 则 x－13=8，解得 x=21，即第五个数为 21， 故答案为：21． 点评：本题考查了数字变化规律类问题．关键是确定二阶等差数列的公差为 2． 对应训练 1．（2012•自贡）若 x是不等于 1的实数，我们把 1 1 x 称为 x的差倒数，如 2的差倒数是 1 1 2 1 ，－1 的差倒数为 1 1 ( 1)  1 2 ，现已知 x 1 1 3 ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数， x4是 x3的差倒数，…，依次类推，则 x2012= ． 考点二：运算题型中的新概念 例 2 （2012•菏泽）将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 a b c d ， 概念 a b c d =ad－bc，上述记号就叫做 2 阶行列式．若 1 1 1 1 x x x x     8，则 x= ． 思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为 x 的值． 解：根据题意化简 1 1 1 1 x x x x     =8，得：（x+1）2－（1－x）2=8， 整理得：x2+2x+1－（1－2x+x2）－8=0，即 4x=8， 解得：x=2． 故答案为：2 点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去 括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键． 对应训练 2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8） ． 考点三：探索题型中的新概念 例 3 （2012•南京）如图，A、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与 A、B 重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点 A、B 的滑动角． （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点 A、B 的滑动角， ①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB °； ②若⊙O 的半径是 1，AB ，求∠APB 的度数； （2）已知 O2是⊙O1 外一点，以 O2 为圆心作一个圆与⊙O1 相交于 A、B 两点，∠APB 是 ⊙O1上关于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与 点 B 均不重合），连接 AN，试探索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系． 思路分析： （1）①根据直径所对的圆周角等于 90°即可求解； ②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB90°，再分点 P 在优弧 上；点 P 在劣弧 上两种情 况讨论求解； （2）根据点 P 在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关 系． 解：（1）①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB90． ②如图，连接 AB、OA、OB． 在△AOB 中， ∵OAOB1．AB ， ∴OA2+OB2AB2． ∴∠AOB90°． 当点 P 在优弧 上时，∠AP1B ∠AOB45°； 当点 P 在劣弧 上时，∠AP2B （360°﹣∠AOB）135°…6 分 （2）根据点 P 在⊙O1 上的位置分为以下四种情况． 第一种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 ① ∵∠MAN∠APB+∠ANB， ∴∠APB∠MAN﹣∠ANB； 第二种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图 ②． ∵∠MAN∠APB+∠ANP∠APB+（180°﹣∠ANB）， ∴∠APB∠MAN+∠ANB﹣180°； 第三种情况：点 P 在⊙O2 外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 ③． ∵∠APB+∠ANB+∠MAN180°， ∴∠APB180°﹣∠MAN﹣∠ANB， 第四种情况：点 P 在⊙O2 内，如图④， ∠APB∠MAN+∠ANB． 点评： 综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大， 注意分类思想的运用． 对应训练 3．（2012•陕西）如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线 y=－x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线 y=－x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为 对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明 理由． 考点四：开放题型中的新概念 例 4 （2012•北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2） 的“非常距离”，给出如下概念： 若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1－x2|； 若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1－y2|． 例如：点 P1（1，2），点 P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点 P1与点 P2的“非常距离” 为|2－5|=3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点）． （1）已知点 A（－ 1 2 ，0），B 为 y 轴上的一个动点， ①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， ①如图 2，点 D 的坐标是（0，1），求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐 标； ②如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离” 的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标． 思路分析：（1）①根据点 B 位于 y 轴上，可以设点 B 的坐标为（0，y）．由“非常距离”的概 念可以确定|0－y|=2，据此可以求得 y 的值； ②设点 B 的坐标为（0，y）．因为|－ 1 2 －0|≥|0－y|，所以点 A 与点 B 的“非常距离”最小值 为|－ 1 2 －0|= 1 2 ； （2）①设点 C 的坐标为（x0， 3 4 x0+3）．根据材料“若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非 常距离”为|x1－x2|”知，C、D 两点的“非常距离”的最小值为－x0= 3 4 x0+2，据此可以求得点 C 的坐标； ②当点 E在过原点且与直线 y= 3 4 x+3 垂直的直线上时，点 C 与点 E 的“非常距离”最小，即 E （－ 3 5 ， 4 5 ）．解答思路同上． 解：（1）①∵B 为 y 轴上的一个动点， ∴设点 B 的坐标为（0，y）． ∵|－ 1 2 －0|= 1 2 ≠2， ∴|0－y|=2， 解得，y=2 或 y=－2； ∴点 B 的坐标是（0，2）或（0，－2）； ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 1 2 ； （2）①∵C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， ∴设点 C 的坐标为（x0， 3 4 x0+3）， ∴－x0= 3 4 x0+2， 此时，x0=－ 8 7 ， ∴点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为： 8 7 ， 此时 C（－ 8 7 ， 15 7 ）； ②E（－ 3 5 ， 4 5 ）． － 3 5 －x0= 3 4 x0+3－ 4 5 ， 解得，x0=－ 8 5 ， 则点 C 的坐标为（－ 8 5 ， 9 5 ）， 最小值为 1． 点评：本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本 题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键． 对应训练 4．（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立： 1⊕2=2⊕1=3，（－3）⊕（－4）=（－4）⊕（－3）=－ 7 6 ，（－3）⊕5=5⊕（－3）=－ 4 15 ，… 你规定的新运算 a⊕b= （用 a，b 的一个代数式表示）． 考点五：阅读材料题型中的新概念 例 5 （2012•常州）平面上有两条直线 AB、CD 相交于点 O，且∠BOD=150°（如图），现按 如下要求规定此平面上点的“距离坐标”： （1）点 O 的“距离坐标”为（0，0）； （2）在直线 CD 上，且到直线 AB 的距离为 p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）； （3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）． 设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决 下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； ②满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满足的关系式．（说明： 图中 OI 长为一个单位长） 思路分析：（1）①以 O 为圆心，以 2 为半径作圆，交 CD 于两点，则此两点为所求；②分别 作∠BOC 和∠BOD 的角平分线并且反向延长，即可求出答案； （2）过 M 作 MN⊥AB 于 N，根据已知得出 OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根据锐角三 角函数得出 sin60°= MN OM m n ，求出即可． 解：（1）①如图所示： 点 M1和 M2为所求； ②如图所示： 直线 MN 和直线 EF（O 除外）为所求； （2）如图： 过 M 作 MN⊥AB 于 N， ∵M 的“距离坐标”为（m，n）， ∴OM=n，MN=m， ∵∠BOD=150°，直线 l⊥CD， ∴∠MON=150°－90°=60°， 在 Rt△MON 中，sin60°= MN OM m n ， 即 m 与 n 所满足的关系式是：m= 3 2 n． 点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形的应用，主要 考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 对应训练 5．（2012•钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换： ①f（x，y）=（y，x）．如 f（2，3）=（3，2）； ②g（x，y）=（－x，－y），如 g（2，3）=（－2，－3）． 按照以上变换有：f（g（2，3））=f（－2，－3）=（－3，－2），那么 g（f（－6，7））等于 （ ） A．（7，6） B．（7，－6） C．（－7，6） D．（－7，－6） 四、中考真题演练 一、选择题 1．（2012•六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（－m，－n）．例如 f（2，3） =（3，2），g（－1，－4）=（1，4）．则 g[f（－5，6）]等于（ ） A．（－6，5） B．（－5，－6） C．（6，－5） D．（－5，6） 2． （2012•湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出 的数比输入的数的平方小 1，若输入 7 ，则输出的结果为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键． 3． （2012•丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1 中棋子围城三角形，其棵数 3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图 2 中的 4，8，12，16，…称为正方形数．下列 数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A．2010 B．2012 C．2014 D．2016 二、填空题 4．（2012•常德）规定用符号[m]表示一个实数 m 的整数部分，例如：[ ]0，[3.14]3．按此 规定[ ]的值为 ． 5．（2012•随州）概念：平面内的直线 1l 与 2l 相交于点 O，对于该平面内任意一点 M，点 M 到直线 1l 、 2l 的距离分别为 a、b，则称有序非实数对（a，b）是点 M 的“距离坐标”，根据 上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ） A．2 B．1 C．4 D．3 6．（2012•荆门）新概念：[a，b]为一次函数 y=ax+b（a≠0，a，b 为实数）的“关联数”．若“关 联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 1 1x  + 1 m 1的解为 ． 7．（2012•自贡）如图，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、 弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 ． 8． （2012•泉州）在△ABC 中，P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B），过点 P 的直线截△ABC， 使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的△ABC 的相似线，简记为 P （lx）（x 为自然数）． （1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当 BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点 P 的△ABC 的相 似线（其中 l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有 条； （2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 BP BA = 时，P（lx）截得的三角形面积为 △ABC 面积的 1 4 ． 三、解答题 9．（2012•铜仁地区）如图，概念：在直角三角形 ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α 的余切，记作 ctanα，即 ctanα=   角 的邻边 角 的对边 = AC BC ，根据上述角的余切概念，解下列问题： （1）ctan30°= ； （2）如图，已知 tanA= 3 4 ，其中∠A 为锐角，试求 ctanA 的值． 10．（2012•无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1 －x2|+|y1－y2|叫做 P1、P2两点间的直角距离，记作 d（P1，P2）． （1）已知 O 为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O，P）=1，请写出 x 与 y 之间满足的关 系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形； （2）设 P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线 y=ax+b 上的动点，我们把 d（P0，Q）的 最小值叫做 P0到直线 y=ax+b的直角距离．试求点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离． 11．（2012•厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3）、B（6，3），连接 AB．如 果点 P在直线 y=x－1上，且点 P到直线 AB的距离小于 1，那么称点 P是线段 AB的“临近点”． （1）判断点 C（ 7 5, 2 2 ）是否是线段 AB 的“临近点”，并说明理由； （2）若点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”，求 m 的取值范围． 12．（2012•兰州）如图，概念：若双曲线 y= k x （k＞0）与它的其中一条对称轴 y=x 相交于 A、 B 两点，则线段 AB 的长度为双曲线 y= k x （k＞0）的对径． （1）求双曲线 y= 1 x 的对径． （2）若双曲线 y= k x （k＞0）的对径是 10 2 ，求 k 的值． （3）仿照上述概念，概念双曲线 y= k x （k＜0）的对径． 13．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为△ABC 的准外心． 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= 1 2 AB，求∠APB 的度数． 探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA的长． 14．（2012•嘉兴）将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的 n 倍，得 △AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC 作变换[60°， 3 ]得△AB′C′，则 S△AB′C′：S△ABC= ；直线 BC 与 直线 B′C′所夹的锐角为 度； （2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点 B、C、C′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为矩形，求θ和 n 的值； （3）如图③，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使 点 B、C、B′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求θ和 n 的值． 15．（2012•台州）概念：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值 叫做线段 a与线段 b 的距离． 已知 O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点． （1）根据上述概念，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是 ；当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 AB 长）为 ； （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d， 求 d 关于 m 的函数解析式． （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M， ①求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点 D 的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作 MN⊥x 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A、 M、H 为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出 m的值；若不存在，请说明理由． 专题讲座二：新概念型问题参考答案 三、中考典例剖析 对应训练 1． 3 4 解：∵x1=－ 1 3 ， ∴x2= 1 11 ( ) 3   = 3 4 ，x3= 1 31 ( ) 4  =4，x4= 1 1 1 4 3   ， ∴差倒数为 3 个循环的数， ∵2012=670×3+2， ∴x2012=x2= 3 4 ， 故答案为： 3 4 ． 2．64 解：∵（x1，y1）•（x2，y2）x1x2+y1y2， ∴（4，5）•（6，8）4×6+5×864， 故答案为 64． 3．解：（1）如图； 根据抛物线的对称性，抛物线的顶点 A 必在 O、B 的垂直平分线上，所以 OA=AB，即：“抛 物线三角形”必为等腰三角形． 故填：等腰． （2）∵抛物线 y=－x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴该抛物线的顶点（ 2 , 2 4 b b ）满足 2 2 4 b b  （b＞0）． ∴b=2． （3）存在． 如图，作△OCD 与△OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形． 当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 又∵AO=AB， ∴△OAB 为等边三角形． 作 AE⊥OB，垂足为 E， ∴AE= 3 OE． ∴ 2 4 b = 3 • 2 b （b′＞0）． ∴b′=2 3 ． ∴A（ 3 ，3），B（2 3 ，0）． ∴C（－ 3 3 ），D（－2 3 ，0）． 设过点 O、C、D 的抛物线为 y=mx2+nx，则 12 2 3 0 3 3 3 m n m n        ， 解得 1 2 3 m n    ． 故所求抛物线的表达式为 y=x2+2 3 x． 4．解：根据题意可得： 1⊕2=2⊕1=3= 2 2 1 2  ， （－3）⊕（－4）=（－4）⊕（－3）=－ 7 6 = 2 2 3 4    ， （－3）⊕5=5⊕（－3）=－ 4 15 = 2 2 3 5   ， 则 a⊕b= 2 2 a b  = 2 2a b ab  ． 故答案为： 2 2a b ab  ． 5．C 解：∵f（－6，7）=（7，－6）， ∴g（f（－6，7））=g（7，－6）=（－7，6）． 故选 C． 四、中考真题演练 一、选择题 1．A 2．B． 3．D 解：∵3，6，9，12，…称为三角形数， ∴三角数都是 3 的倍数， ∵4，8，12，16，…称为正方形数， ∴正方形数都是 4 的倍数， ∴既是三角形数又是正方形数的是 12 的倍数， ∵2010÷12=167…6， 2012÷12=167…8， 2014÷12=167…10， 2016÷12=168， ∴2016 既是三角形数又是正方形数． 故选 D． 二、填空题 4．4 解：∵3＜ ＜4， ∴3+1＜ +1＜4+1， ∴4＜ +1＜5， ∴[ +1]4， 故答案为：4． 5．C 解：如图所示，所求的点有 4 个， 故选 C． 6．x=3 解：根据题意可得：y=x+m－2， ∵“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数， ∴m－2=0， 解得：m=2， 则关于 x 的方程 1 1x  + 1 m 1变为 1 1x  + 1 2 1， 解得：x=3， 检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x－1）=4≠0， 故 x=3 是原分式方程的解， 故答案为：x=3． 7．4π 解：弧 CD 的长是 120 1 180   = 2 3  ， 弧 DE的长是： 120 2 180   = 4 3  ， 弧 EF 的长是： 120 3 180   =2π， 则曲线 CDEF 的长是： 2 3  + 4 3  +2π=4π． 故答案是：4π． 8．（1）1；（2） 1 2 或 3 4 或 3 4 解：（1）存在另外 1 条相似线． 如图 1 所示，过点 P 作 l3∥BC 交 AC 于 Q，则△APQ∽△ABC； 故答案为：1； （2）设 P（lx）截得的三角形面积为 S，S= 1 4 S△ABC，则相似比为 1：2． 如图 2 所示，共有 4 条相似线： ①第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l1∥AC，∴ BP BA = 1 2 ； ②第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点，l2∥AC，∴ BP BA = 1 2 ； ③第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且 BP BC = 1 2 ，∴ BP BA = cos30BP BC  = 3 4 ； ④第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且 AP AC = 1 2 ，∴ 1sin 30 4 AP AP AB AC   ， ∴ BP BA = 3 4 ． 故答案为： 1 2 或 3 4 或 3 4 ． 三、解答题 9．解：（1）∵Rt△ABC 中，α=30°， ∴BC= 1 2 AB， ∴AC= 2 2AB BC = 2 21 4 AB AB = 3 2 AB， ∴ctan30°= AC BC = 3 ． 故答案为： 3 ； （2）∵tanA= 3 4 ， ∴设 BC=3，AC=4，则 AB=5， ∴ctanA= AC BC = 4 3 ． 10．解：（1）由题意，得|x|+|y|=1， 所有符合条件的点 P 组成的图形如图所示。 （2）∵d（M，Q）=|x－2|+|y－1|=|x－2|+|x+2－1|=|x－2|+|x+1|， 又∵x 可取一切实数，|x－2|+|x+1|表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和－1 所对应的点 的距离之和，其最小值为 3． ∴点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离为 3。 11．解：（1）点 C（ 7 5, 2 2 ）是线段 AB 的“临近点”．理由是： ∵点 P 到直线 AB 的距离小于 1，A、B 的纵坐标都是 3， ∴AB∥x 轴，3－1=2，3+1=4， ∴当纵坐标 y 在 2＜y＜4 范围内时，点是线段 AB 的“临近点”，点 C 的坐标是（ 7 5, 2 2 ）， ∴y= 5 2 ＞2，且小于 4， ∵C（ 7 5, 2 2 ）在直线 y=x－1 上， ∴点 C（ 7 5, 2 2 ）是线段 AB 的“临近点”． （2）由（1）知：线段 AB 的“临近点”的纵坐标的范围是 2＜y＜4， 把 y=2 代入 y=x－1 得：x=3， 把 y=4 代入 y=x－1 得：x=5， ∴3＜x＜5， ∵点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”， ∴m 的取值范围是 3＜m＜5． 12．解：过 A 点作 AC⊥x轴于 C，如图， （1）解方程组 1y x y x      ，得 1 1 1 1 x y    ， 2 2 1 1 x y      ， ∴A 点坐标为（1，1），B 点坐标为（－1，－1）， ∴OC=AC=1， ∴OA= 2 OC= 2 ， ∴AB=2OA=2 2 ， ∴双曲线 y= 1 x 的对径是 2 2 ； （2）∵双曲线的对径为 10 2 ，即 AB=10 2 ，OA=5 2 ， ∴OA= 2 OC= 2 AC， ∴OC=AC=5， ∴点 A 坐标为（5，5）， 把 A（5，5）代入双曲线 y= k x （k＞0）得 k=5×5=25， 即 k 的值为 25； （3）若双曲线 y= k x （k＜0）与它的其中一条对称轴 y=－x 相交于 A、B 两点， 则线段 AB 的长称为双曲线 y= k x （k＜0）的对径． 13．解：①若 PB=PC，连接 PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD 为等边三角形的高， ∴AD=BD，∠PCB=30°， ∴∠PBD=∠PBC=30°， ∴PD= 3 3 DB= 3 6 AB， 与已知 PD= 1 2 AB 矛盾，∴PB≠PC， ②若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC， ③若 PA=PB，由 PD= 1 2 AB，得 PD=BD， ∴∠APD=45°， 故∠APB=90°； 探究：解：∵BC=5，AB=3， ∴AC= 2 2BC AB = 2 25 3 =4， ①若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32=（4－x）2， ∴x= 7 8 ，即 PA= 7 8 ， ②若 PA=PC，则 PA=2， ③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能． 故 PA=2 或 7 8 ． 14．解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′， ∴S△AB′C′：S△ABC=（ A B AB   ）2=（ 3 ）2=3，∠B=∠B′， ∵∠ANB=∠B′NM， ∴∠BMB′=∠BAB′=60°； 故答案为：3，60； （2）∵四边形 ABB′C′是矩形， ∴∠BAC′=90°． ∴θ=∠CAC′=∠BAC′－∠BAC=90°－30°=60°． 在 Rt△ABC 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°， ∴∠AB′B=30°， ∴n= AB AB  =2； （3）∵四边形 ABB′C′是平行四边形， ∴AC′∥BB′， 又∵∠BAC=36°， ∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． ∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B， ∴△ABC∽△B′BA， ∴AB：BB′=CB：AB， ∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）， 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1， ∴AB2=1（1+AB）， ∴AB= 51 2  ， ∵AB＞0， ∴n= B C BC   = 51 2  ． 15．解：（1）当 m=2，n=2 时， 如题图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离等于平行线之间的距离，即为 2； 当 m=5，n=2 时， B 点坐标为（5，2），线段 BC 与线段 OA 的距离，即为线段 AB 的长， 如答图 1，过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，则 AN=1，BN=2， 在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：AB= 2 2 2 21 2AN BN   = 5 ． （2）如答图 2 所示，当点 B 落在⊙A 上时，m 的取值范围为 2≤m≤6： 当 4≤m≤6，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于⊙A 半径，即 d=2； 当 2≤m＜4 时，作 BN⊥x 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长， ON=m，AN=OA－ON=4－m，在 Rt△ABN 中，由勾股定理得： ∴d= 2 22 (4 )m  = 4 16 8m m   = 2 8 12m m   ． （3）①依题意画出图形，点 M 的运动轨迹如答图 3 中粗体实线所示： 由图可见，封闭图形由上下两段长度为 8 的线段，以及左右两侧半径为 2 的半圆所组成， 其周长为：2×8+2×π×2=16+4π， ∴点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π． ②结论：存在． ∵m≥0，n≥0，∴点 M 位于第一象限． ∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD． 如图 4 所示，相似三角形有三种情形： （I）△AM1H1，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点左侧． 如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA－OH1=2－m， 由相似关系可知，M1H1=2AH1，即 2=2（2－m）， ∴m=1； （II）△AM2H2，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点右侧． 如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2－OA=m－2， 由相似关系可知，M2H2=2AH2，即 2=2（m－2）， ∴m=3； （III）△AM3H3，此时点 B 落在⊙A 上． 如图，OH3=m+2，AH3=OH3－OA=m－2， 过点 B 作 BN⊥x 轴于点 N，则 BN=M3H3=n，AN=m－4， 由相似关系可知，AH3=2M3H3，即 m－2=2n （1） 在 Rt△ABN 中，由勾股定理得：22=（m－4）2+n2 （2） 由（1）、（2）式解得：m1= 26 5 ，m2=2， 当 m=2 时，点 M 与点 A 横坐标相同，点 H 与点 A 重合，故舍去， ∴m= 26 5 ． 综上所述，存在 m 的值使以 A、M、H 为顶点的三角形与△AOD 相似，m 的取值为：1、3 或 26 5 ． 中考数学专题讲座 代数、三角、几何综合问题 概述： 代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几 何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合 思想、转化与化归思想进行综合来解题． 典型例题精析 例 1．有一根直尺的短边长 2cm，长边长 10cm，还有一块锐角为 45°的直角三角形纸板， 它的斜边长 12cm，如图 1，将直尺的矩边 DE 放置与直角三角形纸板的斜边 AB 重合，且点 D 与点 A 重合，将直尺沿 AB 方向平移如图 2，设平移的长度为 xcm（ 0≤x≤10），直尺和三 角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为 Scm2． （1）当 x=0 时（如图），S=________；当 x=10 时，S=___________； （2）当 01 时，y 随 x 的增大而减小． （1）求 k 的值及抛物线的解析式； （2）设抛物线与 x 轴交于 A、B两点（A 在 B 的左边），抛物线的顶点为 P，试求出 A、 B、P 三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线； （3）求经过 P、A、B 三点的圆的圆心 O′的坐标； （4）设点 G（0，m）是 y轴上的动点． ①当点 G 运动到何处时，直线 BG 是⊙O′的切线？并求出此时直线 BG 的解析式． ②若直线 BG 与⊙O 相交，且另一个交点为 D，当 m满足什么条件时，点 D 在 x 轴的下方？ 2．如图，已知圆心 A（0，3），⊙A 与 x 轴相切，⊙B的圆心在 x 轴的正半轴上，且⊙B 与⊙A外切于点 P，两圆的公切线 MP 交 y 轴于点 M，交 x轴于点 N． （1）若 sin∠OAB= 4 5 ，求直线 MP 的解析式及经过 M、N、B三点的抛物线的解析式； （2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在 x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终 外切，过 M作⊙B 的切线 MC，切点为 C，在此变化过程中探究： ①四边形 OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明； ②经过 M、N、B 三点的抛物线内是否存在以 BN 为腰的等腰三角形？若存在， 表示出 来；若不存在，说明理由． 3．如图，已知直线 L 与⊙O 相交于点 A，直径 AB=6，点 P 在 L 上移动，连结 OP 交⊙O 于 点 C，连结 BC 并延长 BC 交直线 L于点 D． （1）若 AP=4，求线段 PC 的长； （2）若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和 四边形 OADC 的面积．（ 答案要求保留根号） 考前热身训练 1．如图，已知 A 为∠POQ 的边 OQ 上一点，以 A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线 OP 于 M、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 为以点 A 为旋转中心，AM 边从与 AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M、N 两点在射线 OP 上 同时以不同的速度向右平行移动．设 OM=x，ON=y（y>x≥0），△AOM 的面积为 S，若 cosα、 OA 是方程 2z2-5z+2=0 的两个根． （1）当∠MAN 旋转 30°（即∠OAM=30°）时，求 点 N 移动的距离； L C B A D P O y M C B A x P O N M A Q PO N （2）求证：AN2=ON·MN； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式及自变量量 x 的取值范围； （4）试写出 S 随 x 变化的函数关系式，并确定 S 的取值范围． 2．如图，已知 P、A、B 是 x 轴上的三点，点 A 的坐标为（-1，0），点 B的坐标为（3， 0）， 且 PA：AB=1：2，以 AB 为直径画⊙M交 y轴的正半轴于点 C． （1）求证：PC 是⊙M 的切线； （2）在 x轴上是否存在这样的点 Q，使得直线 QC 与过 A、C、B 三点的抛物线只有一 个交点？若存在，求点 Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）画⊙N，使得圆心 N 在 x 轴的负半轴上，⊙N 与⊙M 外切，且与直线 PC 相切于 D， 问将过 A、C、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过 P、D、A 三点？为什么？ y M C BA x D P ON 答案: 中考样题看台 1．（1）k=1，抛物线解析式 y=-x2+2x+3 （2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4） （3）∵⊙O′过 A、B 两点， ∴O′在 AB 的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上， 设抛物线的对称轴交 x 轴于 M，交⊙O′于 N， 则有 MP×MN=MA×MB，4MN=2×2， ∴MN=1， PN=5，O′P= 5 2 ∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO，∴OB=OC，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°． 在 Rt△BAD 中，∠2=∠APO=30°． ∴AD=6sin30°=6× 3 3 =2 3 ． 过点 O作 OE⊥BC 于点 E ∵∠2=30°，BO=3， ∴OE= 3 2 ，BE=3×cos30°= 3 3 2 ， ∴BC=2BE=3 3 ， ∴S 四边形 OADC=S△BAD-S△BOC= 1 2 AB·AD = 1 2 BC·OE= 1 2 ×6×2 3 - 1 2 ×3 3 × 3 2 =6 3 - 9 4 3 = 15 4 3 ． 考前热身训练 1．（1）易知 OA=2，cosα= 1 2 ，∠POQ=∠MAN=60°， ∴初始状态时，△AON 为等边三角形， ∴ON=OA=2，当 AM 旋转到 AM′时，点 N 移动到 N′， ∵∠OAM′=30°，∠POQ=∠M′AN ′=60°， ∴∠M′N′A=30°，在 Rt△OAN 中，ON′=2AO=4， ∴NN′=ON′-ON=2，∴点 N 移动的距离为 2． （2）易知△OAN∽△AMN，∴AN2=ON·MN． （3）∵MN=y-x，∴AN2=y2-xy， 过 A 点作 AD⊥OP，垂足为 D，可得 OD=1，AD= 3 ， ∴DN=ON-OD=y-1， 在 Rt△AND 中，AN2=AD2+DN2=y2-2y+4， ∴y2-xy=y2-2y+4，即 y= 4 2 x ． ∴y>0，∴2-x>0，即 x<2， 又∵x≥0，∴x的取值范围是：0≤x<2． （4）S= 1 2 ·OM·AD= 3 2 x， ∵S 是 x 的正比例函数，且比例系数 3 2 >0， ∴0≤S< 3 2 ·2．即 0≤S< 3 2．（1）易知⊙M半径为 2，设 PA=x，则 x：4=1：2 x=2， 由相交弦定理推论得 OC=OA．OB=1×3， ∴OC= 3 ，∴PC2=PO2+OC2=32+（ 3 ）2=12， PM2=42=16，MC2=22=4， ∴PM2=PC2+MC2，∴∠PCM=90°． （2）易知过 A、C、B 三点的抛物线的解析式为 y=- 3 3 （x+1）（x-3）， 假设满足条件的 Q 点存在，坐标为（m，0），直线 QC 的解析式为 y=- 3 m x+ 3 ， ∵直线 QC 与抛物线只有一个公共点， ∴方程- 3 3 （x+1）（x-3）=- 3 m x+ 3 有相等的实根， ∴（2+ 3 m ）2=0，∴m=- 3 2 ，即满足条件的 Q 点存在， 坐标为（- 3 2 ，0）； （3）连结 DN，作 DH⊥PN，垂足为 H，设⊙N 的半径为 r，则∵ND⊥PC， ∴ND∥MC，∴ DN PN MC PM  ，∴ 2 2 4 r r  ， ∴r= 2 3 ，∵DN2=NH·NP， ∴（ 2 3 ）2=NH·（2- 2 3 ），∴NH= 1 3 ， ∴DH= NH HP = 3 3 ，∴D（-2， 3 3 ）． ∵抛物线 y=- 3 3 （x+1）（x-3）平移，使其经过 P、A 两点的抛物线的解析式为 y=- 3 3 （x+ 1）（x+3） 又经验证 D 是该抛物线上的点， ∴将过 A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过 P、D、A三点． 课程解读 一、学习目标： 了解实际应用问题地常见类型，掌握其分析方法和解题思路，能把实际应用问题转化成 数学问题. 二、考点分析： 实际应用问题是中考地必考内容、重点内容，题型包括选择题、填空题和解答题，综合 程度较高.实际应用问题主要考查学生收集和处理信息地能力以及探究分析问题和解决问题 地创新实践能力.此类问题在中考中所占比例较大，分值一般在 20 分以上，题目中等偏难. 个人收集整理 勿做商业用途 知识梳理 1、实际应用问题按知识内容可分为：代数应用题、几何应用题、函数应用题、概率统计 应用题等.按现实生产和生活中地应用进行分类，则有成本、价格、利润、存款与贷款、运 输、航行、管理与决策、农业生产、生物繁殖等.个人收集整理 勿做商业用途 2、实际应用问题地特点是贴近日常生活，反映市场经济规律，涉及地背景材料十分广泛， 这就要求学生学会运用数学知识去观察、分析、概括题目所给地实际问题，将其转化为数学 模型来解答.个人收集整理 勿做商业用途 典型例题 知识点一：方程型实际应用问题 例 1：快乐公司决定按如图所示给出地比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买 200 件同种产 品 A，已知这三个工厂生产地产品 A 地优品率如下表所示：个人收集整理 勿做商业用途 （1）快乐公司从甲厂应购买多少件产品 A； （2）求快乐公司所购买 200 件产品 A 地优品率； （3）你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买地产品 A 地比例，使所购买地 200 件产品 A 地优品率上升 3%.若能，请问应从甲厂购买多少件产品 A；若不能，请说明理由.个 人收集整理 勿做商业用途 工厂 优品率 甲 80% 乙 85% 丙 90% 别忘了优等品数 也是整数哦！ 甲25% 乙40% 丙35% 思路分析： 1）题意分析：左面表格给出地是各厂地优品率，右面扇形图给出地是从各厂购买产品 A 地比例. 2）解题思路：难点在第（3）问，先假设优品率能上升 3%，再设未知数列方程求解. 但应注意前提条件，即 200 件产品 A 中包含甲、乙、丙三个厂地产品.个人收集整理 勿做商业用途 解答过程：（1）甲厂：200×25%＝50. （2）乙厂：200×40%＝80；丙厂：200×35%＝70.优品率：（50×80%＋80×85%＋70×90%） ÷200＝0.855＝85.5%.个人收集整理 勿做商业用途 （3）设从甲厂购买 x 件，从乙厂购买 y 件，从丙厂购买（200－x－y）件. 则 80%x＋85%y＋90%（200－x－y）＝200×（85.5%＋3%）. 即 2x＋y＝60，又 80%x 和 85%y 均为整数. 当 y＝0 时，x＝30；当 y＝20 时，x＝20；当 y＝40 时，x＝10；当 y＝60 时，x＝0. 所以从甲厂购买产品 20 件或 10 件时，可满足条件. 解题后地思考：本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程解决 实际问题地能力. 例 2：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元，市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台，而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台，商场 要想使这种冰箱地销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱地定价应为多少元？个人收集整 理 勿做商业用途 思路分析： 1）题意分析：要理清进价、销售价、利润之间地关系：利润＝销售价－进价. 解这个方程得 x1＝x2＝2750. 所以，每台冰箱应定价 2750 元. 解题后地思考：用方程解答实际应用问题地关键是理清数量关系，找到相等关系.这道 题地等量关系是：每台冰箱地销售利润×平均每天销售冰箱地数量＝5000 元.个人收集整理 勿做 商业用途 例 3：有一种用特殊材料制成地质量为 30 克地“泥块”，现把它切为大、小两块，将较大 地“泥块”放在一架不等臂天平地左盘中，称得质量为 27 克；又将较小地“泥块”放在该天平 地右盘中，称得质量为 8 克.若只考虑该天平地臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠 杆地平衡原理，求出较大“泥块”和较小“泥块”地质量.个人收集整理 勿做商业用途 思路分析： 1）题意分析：由杠杆原理 F1L1＝F2L2 可知这架不等臂天平地两臂长分别是杠杆中地动 力臂和阻力臂， 2）解题思路：我们可设左臂长为 L1，右臂长为 L2，它们可看作是本题地辅助元，再设 较大泥块地质量为 x 克，较小泥块地质量为 y 克，由题意可列出三个方程：①x＋y＝30； ②xL1＝27L2；③8L1＝yL2.个人收集整理 勿做商业用途 解答过程：设天平左臂长为 L1，右臂长为 L2，再设较大泥块地质量为 x 克，较小泥块 地质量为 y 克，由题意可列出方程：个人收集整理 勿做商业用途 x＋y＝30…①；xL1＝27L2…②；8L1＝yL2…③. 答：较大泥块地质量为 18 克，较小泥块地质量为 12 克. 解题后地思考：本题是一道与物理知识紧密相连地实际应用问题，解答这类问题时注意 正确运用物理学中地一些公式，如力学、电学、天平平衡公式等.个人收集整理 勿做商业用途 小结：方程是描述现实世界数量关系地最重要地数学语言，也是中考命题所要考查地重 点、热点之一.同学们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动地有关常识， 并学会用数学中方程地思想去分析和解决一些实际问题.解答此类问题地方法是：（1）审题， 明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系， 列出方程；（4）解方程，必要时验根.个人收集整理 勿做商业用途 知识点二：不等式型实际应用问题 例 4：康乐公司在 A、B 两地分别有同型号地机器 17 台和 15 台，现要运往甲地 18 台，乙 地 14 台.从 A、B 两地运往甲、乙两地地费用如下表：个人收集整理 勿做商业用途 甲地（元/台） 乙地（元/台） A 地 600 500 B 地 400 800 （1）如果从 A 地运往甲地 x 台，求完成以上调运所需总费用 y（元）与 x（台）地函数 关系式； （2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总地费用最少，该公司完成以上调运 方案至少需要多少费用？为什么？个人收集整理 勿做商业用途 思路分析：本题考查函数和不等式这两个知识点 解答过程：（1）y＝600x＋500（17－x）＋400（18－x）＋800[15－（18－x）]＝500x ＋13300；个人收集整理 勿做商业用途 又在 y＝500x＋13300 中，随 x 地增大，y 也增大， ∴当 x＝3 时，y 最小＝500×3＋13300＝14800（元），该公司完成以上调运方案至少需 要 14800 元运费，最佳方案是：由 A 地调 3 台到甲地，调 14 台到乙地，由 B 地调 15 台到 甲地.个人收集整理 勿做商业用途 解题后地思考：关于不等式地应用往往和函数、方程综合在一起，通过方案设计型问题 进行考查，解答这类问题时虽然主要运用不等式地知识，但关键还是要正确地建立方程和函 数模型.个人收集整理 勿做商业用途 小结：现实世界中地不等关系是普遍存在地，许多现实问题很难确定（有时也不需要确 定）具体地数值.但可以求出或确定这一问题中某个量地变化范围（趋势），从而对所研究问 题地概况有一个比较清楚地认识.本讲中我们要讨论地问题是求某个量地取值范围或极端可 能性，列不等式时要从题意出发，设好未知量后，用心体会题目所规定地实际情境，从中找 出不等关系.个人收集整理 勿做商业用途 知识点三：函数型实际应用问题 他地行程与时间关系如图所示（假定总路程为 1），则他到达考场所花地时间比一直步行 提前了（ ） A. 20 分钟 B. 22 分钟 C. 24 分钟 D. 26 分钟 O 1 1 2 1 4 10 12 路程 时间（分钟） 思路分析： 1）题意分析：从图中可以看出，图象分两部分，是由两个一次函数图象组合在一起地 分段函数. 2）解题思路：先求出该考生一直步行所用时间和先步行后改乘出租车所用时间，再求 差. 所以，先步行后乘出租车赶往考场共用时间为 10＋6＝16（分钟），他到达考场所花地时间 比一直步行提前了 40－16＝24（分钟），故选 C.个人收集整理 勿做商业用途 解题后地思考：在这里未知数地系数地意义是表示不同地行使速度. 例 6：甲车在弯路进行刹车试验，收集到地数据如下表所示： （1）请用上表中地各对数据（x，y）作为点地坐标，在如图所示地坐标系中画出甲车 刹车距离 y（米）与速度 x（千米/时）地函数图象，并求函数地解析式.个人收集整理 勿做商业用 途 （2）在一限速为 40 千米/时地弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞 了.事后测得甲、乙两车地刹车距离分别为 12 米和 10.5 米，又知乙车个人收集整理 勿做商 业用途 x y O 思路分析： 1）题意分析：解答本题地关键是确定甲车刹车距离 y（米）与速度 x（千米/时）地函 数关系式. 2）解题思路：利用收集地数据，通过描点可以看出 y 与 x 地关系图象近似于二次函数 图象，因此取三点求出二次函数地解析式，再利用解析式解决实际问题.个人收集整理 勿做商业 用途 解答过程：（1）函数图象如图所示.设函数地解析式为 y＝ax2＋bx＋c. x y O ∵图象经过点（0，0）、（10，2）、（20，6）， 因为乙车速度为 42 千米/时，大于 40 千米/时，而甲车速度为 30 千米/时，小于 40 千 米/时.所以，就速度因素而言，由于乙车超速，导致两车相撞.个人收集整理 勿做商业用途 解题后地思考：（1）本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点地二次函数 解析式及利用函数值求自变量取值地应用问题.（2）对于这类开放性综合问题，要求学生能 透过现象看本质，将其转化并抽象为数学问题，也就是构建数学模型.个人收集整理 勿做商业用途 小结：函数及其图象是初中数学中地主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系地 纽带，它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系.中考命题中，既重点考查函数及其 图象地有关基础知识，同时以函数知识为背景地应用性问题也是命题热点之一.解答这类题 地关键是对问题地审读和理解，掌握用一个变量地代数式表示另一个变量，从而建立两个变 量间地等量关系，同时还要从题中确定自变量地取值范围.个人收集整理 勿做商业用途 知识点四：几何型实际应用问题 例 7：兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边地一根电线杆 AB（如图所示），已知距电线 杆 AB 水平距离 14 米处是河岸，即 BD＝14 米，该河岸地坡面 CD 地坡角∠CDF 地正切值为 2，岸高 CF 为 2 米，在坡顶 C 处测得杆顶 A 地仰角为 30°，D、E 之间是宽 2 米地人行道， 请你通过计算说明在拆除电线杆 AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以 点 B 为圆心，以 AB 长为半径地圆形区域为危险区域）.个人收集整理 勿做商业用途 A B G ED F C 思路分析： 1）题意分析：这是一道有关锐角三角函数地实际应用问题. 2）解题思路：是否需要封闭人行道关键是看电线杆 AB 向河岸放倒后点 A 能不能到达 点 E，也就是 AB 是否大于 BE.个人收集整理 勿做商业用途 ∴AB＝8.66＋2＝10.66（米），BE＝BD－ED＝12 米. ∵BE＞AB，∴不需要封闭人行道. 解题后地思考：锐角三角函数地实际应用问题一般通过构造直角三角形，综合运用直角 三角形、勾股定理等知识来解答.个人收集整理 勿做商业用途 例 8：台球是一项高雅地体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识.图①是一个台球 桌，目标球 F 与本球 E 之间有一个 G 球阻挡.（忽略球地大小）个人收集整理 勿做商业用途 （1）击球者想通过击打 E球先撞击球台地 AB 边，经过一次反弹后再撞击 F 球.他应将 E 球打到 AB 边上地哪一点？请在图①中用尺规作出这一点 H.并作出 E 球地运行路线；（不 写画法，保留作图痕迹）个人收集整理 勿做商业用途 （2）如图②以 D 为原点，建立直角坐标系，记 A（0，4）、C（8，0）、E（4，3）、F （7，1），求 E 球按刚才方式运行到 F 球地路线长度.个人收集整理 勿做商业用途 A B CD E G F A B CD E G F x y ① ② 思路分析： 1）题意分析：注意本题中忽略球地大小这一条件，球 E、F、G 都可认为是几何问题中 地点. 2）解题思路：先根据题意画出 E 球地运行路线，再构造直角三角形求解. 解答过程：（1）画出正确地图形（可作点 E 关于直线 AB 地对称点 E’，连结 E’F，E’F 与 AB 交于点 H，球 E 地运动路线就是 EH→HF），有正确地尺规作图痕迹即可.个人收集整理 勿做商 业用途 ∵点 E’是点 E 关于直线 AB 地对称点，∴EH＝E’H.∴EH＋HF＝E’F＝5. ∴E 球运行到 F 球地路线长度为 5. A B CD E G F A B CD E G F x y ① ② E' H N E' H 解题后地思考：求线段长度地问题，特别是求最短路线问题，常常通过直角三角形、等 腰三角形、对称等知识解答.个人收集整理 勿做商业用途 小结：几何应用题常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用 几何知识解决实际问题以及探索、发现问题地能力和观察、想象、分析、综合、比较、演绎、 归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法地运用.个人收集整理 勿做商业 用途 提分技巧 初中数学教材中展现了许多数学模型，这些模型都与社会、生活、科学、生产联系密切， 我们把在中考中具有代表性地代数模型和几何模型总结如下表：个人收集整理 勿做商业用途 模型名称 数学知识 生活中地数学应用问题 方程（组）模 型 一元一次、一元二次、二元 一次、分式方程（组） 行程问题、工程问题、溶液配制、人员调 配、银行存贷、数字问题、平均增长率…… 不等式（组） 模型 一元一次不等式（组） 市场营销、生产决策、投资方案…… 函数模型 一次、二次函数，反比例函 数 市场营销、生产决策、投资方案……地最大、 最小、最优…… 三角模型 解直角三角形 航海、测量…… 几何模型 线、多边形、圆 美工设计、建筑设计、区域规划…… 统计、概率模 型 平均数、方差、频率分布、 概率 调查、报表、统计、概率…… 解答类问题时，首先要阅读材料，理解题意，找到考查地主要内容和知识点，揭示数学 本质，把实际问题转化成数学问题，然后进行计算.个人收集整理 勿做商业用途 同步练习（答题时间：60 分钟） 一、选择题. 1、甲、乙二人沿相同地路线由 A 到 B 匀速行进，A，B 两地间地路程为 20km.他们行进地 路程 s（km）与甲出发后地时间 t（h）之间地函数图象如图所示.根据图象信息，下列说法 正确地是（ ）个人收集整理 勿做商业用途 A. 甲地速度是 4km/h B. 乙地速度是 10km/h C. 乙比甲晚出发 1h D. 甲比乙晚到 B 地 3h O 1 2 3 4 10 20 S/km t/h 乙 甲 *2、有面值为 10 元、20 元、50 元地人民币（每种至少一张）共 24 张，合计 1000 元， 那么面值为 20 元地人民币有（ ）张.个人收集整理 勿做商业用途 A. 2 或 4 B. 4 C. 4 或 8 D. 2 到 4 之间地任意偶数 二、填空题. 3、某音像社对外出租光盘地收费方法是：每张光盘在租出后地头两天每天收 0.8 元，以 后每天收 0.5 元，那么一张光盘在租出地第 n 天（n 是大于 2 地自然数）应收租金__________ 元.个人收集整理 勿做商业用途 4、一轮船以每小时 20 海里地速度沿正东方向航行，上午 8 时，该船在 A 处测得某灯塔 位于它地北偏东 30°地 B 处（如图所示），上午 9 时行至 C 处，测得灯塔恰好在它地正北方 向，此时它与灯塔地距离是__________海里（结果保留根号）.个人收集整理 勿做商业用途 A B C 北 东 30° 三、解答题. 5、如图，某市区南北走向地北京路与东西走向地喀什路相交于点 O 处.甲沿着喀什路以 4m/s地速度由西向东走，乙沿着北京路以 3m/s 地速度由南向北走.当乙走到 O 点以北 50m 处时，甲恰好到点 O处.若两人继续向前行走，求两人相距 85m 时各自地位置.个人收集整理 勿 做商业用途 *6、某商场将进货价为 30 元地台灯以 40 元售出，平均每月售出 600 个，调查表明，这种 台灯地售价每上涨 1 元，其销售量就减少 10 个，为了实现平均每月 10000 元地销售利润， 这种台灯地售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？个人收集整理 勿做商业用途 **7、一辆经营长途运输地货车在高速公路地 A 处加满油后，以每小时 80 千米地速度匀 速行驶，前往与 A 处相距 636 千米地 B 地，下表记录地是货车一次加满油后油箱内余油量 y （升）与行驶时间 x（时）之间地关系：个人收集整理 勿做商业用途 行驶时间 x（时） 0 1 2 2.5 余油量 y（升） 100 80 60 50 （1）请你认真分析上表中所给地数据，用你学过地一次函数、反比例函数或二次函数 中地一种来表示 y 与 x 之间地变化规律，说明选择这种函数地理由，并求出它地函数表达式； （不要求写出自变量地取值范围）个人收集整理 勿做商业用途 （2）按照（1）中地变化规律，货车从 A 处出发行驶 4.2 小时到达 C 处，求此时油箱内 余油多少升？ （3）在（2）地前提下，C 处前方 18 千米地 D 处有一加油站，根据实际经验此货车在 行驶中油箱内至少保证有 10 升油，如果货车地速度和每小时地耗油量不变，那么在 D处至 少加多少升油，才能使货车到达 B 地.（货车在 D 处加油过程中地时间和路程忽略不计）个人 收集整理 勿做商业用途 **8、某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行 销售.若只在国内销售，销售价格 y（元/件）与月销量 x（件）地函数个人收集整理 勿做商业用途 设月利润为 w 内（元）（利润＝销售额－成本－广告费）.若只在国外销售，销售价格为 150 元/件， 设月利润为 w 外（元）（利润＝销售额－成本－附加费）. （1）当 x＝1000 时，y＝__________元/件，w 内＝__________元； （2）分别求出 w 内，w 外与 x 间地函数关系式（不必写出 x 地取值范围）； （3）当 x 为何值时，在国内销售地月利润最大？若在国外销售月利润地最大值与在国 内销售月利润地最大值相同，求 a地值；个人收集整理 勿做商业用途 （4）如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司作出决策，选择在国 内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：个人收集整理 勿做商业用途 试题答案 一、选择题： 1、C 解析：由图可知，甲地速度是 5km/h，乙地速度是 20km/h，乙比甲晚出发 1h，甲 比乙晚到 B 地 2h.故选 C.个人收集整理 勿做商业用途 2、B 解析：设面值为 10 元地人民币有 x 张，20 元地有 y 张，则 50 元地有（24－x－y） 张.根据题意得 10x＋20y＋50（24－x－y）＝1000，即 4x＋3y＝20，个人收集整理 勿做商业用途 二、填空题： 3、0.6＋0.5n 三、解答题： 5、解：设经过 x 秒时两人相距 85m，根据题意得：（4x）2＋（50＋3x）2＝852，化简得： x2＋12x－189＝0.解得：x1＝9，x2＝－21（不符合实际情况，舍去）.当 x＝9 时，4x＝36， 50＋3x＝77.∴当两人相距 85m 时，甲在 O 点以东 36m 处，乙在 O 点以北 77m 处.个人收集整 理 勿做商业用途 6、解：这个问题地等量关系为：每个台灯地销售利润×平均每月售出台灯地数量＝10000 元.设每个台灯涨价 x 元，根据题意得（40＋x－30）×（600－10x）＝10000，解得 x1＝10， x2＝40.所以，这种台灯地售价应定为 50 元或 80 元，进货量相应为 500 个或 200 个.个人收集 整理 勿做商业用途 ∴y＝－20x＋100，验证：当 x＝2 时，y＝－20×2＋100＝60，符合一次函数；当 x＝2.5 时，y＝－20×2.5＋100＝50，也符合一次函数.∴可用一次函数 y＝－20x＋100 表示其变化规 律，而不用反比例函数、二次函数表示其变化规律.∴y 与 x 之间地关系是一次函数，其函数 表达式为 y＝－20x＋100.（2）当 x＝4.2 时，由 y＝－20x＋100 可得 y＝16.即货车行驶到 C 处时油箱内余油 16 升.（3）方法不唯一，方法一：由（1）得，货车行驶中每小时耗油 20 升，设在 D处至少加油 a升，货车才能到达 B 地.个人收集整理 勿做商业用途 油 69 升，货车才能到达 B 地.   36000015025 2  a ，解得 a1＝30，a2＝270（不合题意，舍去）.所以 a＝30.（4）当 x＝5000 时，w 内 ＝337500，w 外 ＝－5000a＋500000.若 w 内＜w 外，则 a＜32.5；若 w 内＝w 外，则 a＝32.5；若 w 内＞w 外，则 a＞32.5.所以，当 10≤a＜32.5 时，选择在国外销 售；当 a＝32.5 时，在国外和国内销售都一样；当 32.5＜a≤40 时，选择在国内销售.个人收集 第 14 讲 二次函数的应用 【知识梳理】 （一）基本知识点 1.实际问题中二次函数关系式的确定 列二次函数解析式解决实际问题与列整式方程的思路和方法类似，不同之处是，表示量与量 的关系的式子是含有两个变量的等式，而求出二次函数的最大值和最小值是解决实际问题的 关键。 运用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审清题意，找出其中的等量关系； （2）设出适当的未知数，分清自变量和函数； （3）列出二次函数解析式； （4）结合已知条件或点的坐标，求出解析式； （5）根据题意求解，检验所求得的解是否符号实际，即是否为所提问题的答案； （6）写出答案。 注意： （1）实际问题情境下二次函数中自变量的取值范围不一定是全体实数，所对应的图象也可 能是抛物线的一部分； （2）实际问题情境下的二次函数的最值不一定是整个抛物线的顶点的纵坐标。 2.二次函数与最大利润问题 这类问题反映的是销售额与单价、销售量及利润与每件利润、销售量间的关系，为解决这类 实际问题，我们需要掌握几个反映其关系的公式： （1）销售额=销售单价×销售量； （2）利润=销量额-总成本=每件利润×销售量 （3）每件利润=销售单价-成本单价。 3.二次函数与最大(小)面积 (1)规则图形面积由面积公式直接计算(如：圆、三角形、矩形、梯形)。 （2）不规则图形的面积多采用分割法求得，即把图形分割成几个规则图形，分别求得面积 再把它们加起来，然后联系二次函数的顶点坐标公式求解。 注意：表示图形面积的各量之间的关联变化及其取值的实际意义。 4.二次函数与抛物线形建筑问题 抛物线在实际生活中有着广泛的应用，如拱形桥洞的修建、涵洞和隧道的修建、公园里喷泉 水柱运行的轨迹、投出的铅球和篮球的运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子等。 解决此类问题的关键是根据已知条件选择合适的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求 出函数解析式，再利用二次函数的性质解决问题。 【考点解析】 考点一：求利润最大问题 【例 1】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第 x 天（1≤x≤90， 且 x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为 30 元/件，设该商品的售 价为 y（单位：元/件），每天的销售量为 p（单位：件），每天的销售利润为 w（单位：元）． 时间 x（天） 1 30 60 90 每天销售量 p（件） 198 140 80 20 （1）求出 w 与 x 的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请直接写出结果． 【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）当 0≤x≤50 时，设商品的售价 y与时间 x的函数关系式为 y=kx+b，由点的坐 标利用待定系数法即可求出此时 y关于 x 的函数关系式，根据图形可得出当 50＜x≤90 时， y=90．再结合给定表格，设每天的销售量 p与时间 x的函数关系式为 p=mx+n，套入数据利 用待定系数法即可求出 p关于 x 的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得 出 w 关于 x的函数关系式； （2）根据 w关于 x 的函数关系式，分段考虑其最值问题．当 0≤x≤50 时，结合二次函数的 性质即可求出在此范围内 w 的最大值；当 50＜x≤90 时，根据一次函数的性质即可求出在此 范围内 w 的最大值，两个最大值作比较即可得出结论； （3）令 w≥5600，可得出关于 x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出 x 的取值范围，由此即可得出结论． 【解答】解：（1）当 0≤x≤50 时，设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b（k、b 为常数且 k≠0）， ∵y=kx+b 经过点（0，40）、（50，90）， ∴ ，解得： ， ∴售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=x+40； 当 50＜x≤90 时，y=90． ∴售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y= ． 由书记可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系， 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n（m、n 为常数，且 m≠0）， ∵p=mx+n 过点（60，80）、（30，140）， ∴ ，解得： ， ∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且 x 为整数）， 当 0≤x≤50 时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000； 当 50＜x≤90 时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000． 综上所示，每天的销售利润 w与时间 x的函数关系式是 w= ． （2）当 0≤x≤50 时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050， ∵a=﹣2＜0且 0≤x≤50， ∴当 x=45 时，w取最大值，最大值为 6050 元． 当 50＜x≤90 时，w=﹣120x+12000， ∵k=﹣120＜0，w 随 x 增大而减小， ∴当 x=50 时，w取最大值，最大值为 6000 元． ∵6050＞6000， ∴当 x=45 时，w最大，最大值为 6050 元． 即销售第 45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是 6050 元． （3）当 0≤x≤50 时，令 w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0， 解得：30≤x≤50， 50﹣30+1=21（天）； 当 50＜x≤90 时，令 w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0， 解得：50＜x≤53 ， ∵x 为整数， ∴50＜x≤53， 53﹣50=3（天）． 综上可知：21+3=24（天）， 故该商品在销售过程中，共有 24 天每天的销售利润不低于 5600 元． 考点二：利用二次函数解决抛物线形建筑问题 【例 2】（2015•辽宁省朝阳,第 15 题 3 分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h （m）与足球被踢出后经过的时间 t（s）之间具有函数关系 h=at2+19.6t，已知足球被踢出 后经过 4s 落地，则足球距地面的最大高度是 19.6 m． 考点： 二次函数的应用． 分析： 首先由题意得：t=4 时，h=0，然后再代入函数关系 h=at2+19.6t 可得 a 的值，然后 再利用函数解析式计算出 h 的最大值即可． 解答： 解：由题意得：t=4 时，h=0， 因此 0=16a+19.6×4， 解得：a=﹣4.9， ∴函数关系为 h=﹣4.9t2+19.6t， 足球距地面的最大高度是： =19.6（m）， 故答案为：19.6． 点评： 此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象 经过的点必能满足解析式． 考点三：利用二次函数求跳水、投篮等实际问题 【例 3】（2017•温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图 1），完全开启后，水 流路线呈抛物线，把手端点 A，出水口 B 和落水点 C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管 BD 的距离为 12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图 2 所示，现用高 10.2cm 的圆柱型水杯去接 水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E，则点 E 到洗手盆内侧的距离 EH 为 24 ﹣8 cm． 【考点】HE：二次函数的应用． 【专题】153：代数几何综合题． 【分析】先建立直角坐标系，过 A 作 AG⊥OC 于 G，交 BD 于 Q，过 M作 MP⊥AG 于 P，根据△ ABQ∽△ACG，求得 C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24）， 可设抛物线为 y=ax2+bx+24，把 C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为 y=﹣ x 2 + x+24，最后根据点 E 的纵坐标为 10.2，得出点 E 的横坐标为 6+8 ，据此可得点 E 到 洗手盆内侧的距离． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过 A 作 AG⊥OC 于 G，交 BD 于 Q，过 M 作 MP⊥AG 于 P， 由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故 AP=6，AG=36， ∴Rt△APM 中，MP=8，故 DQ=8=OG， ∴BQ=12﹣8=4， 由 BQ∥CG 可得，△ABQ∽△ACG， ∴ = ，即 = ， ∴CG=12，OC=12+8=20， ∴C（20，0）， 又∵水流所在抛物线经过点 D（0，24）和 B（12，24）， ∴可设抛物线为 y=ax2+bx+24， 把 C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得 ，解得 ， ∴抛物线为 y=﹣ x 2 + x+24， 又∵点 E 的纵坐标为 10.2， ∴令 y=10.2，则 10.2=﹣ x 2 + x+24， 解得 x1=6+8 ，x2=6﹣8 （舍去）， ∴点 E的横坐标为 6+8 ， 又∵ON=30， ∴EH=30﹣（6+8 ）=24﹣8 ． 故答案为：24﹣8 ． 【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用 数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的 问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注 生活，利用数学方法解决实际问题． 考点四：利用二次函数求最大面积 【例 4】 【中考热点】 （2017•温州）如图，过抛物线 y= x 2 ﹣2x 上一点 A作 x轴的平行线，交抛物线于另一点 B， 交 y 轴于点 C，已知点 A的横坐标为﹣2． （1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标； （2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C关于直线 OP 的对称点 D； ①连结 BD，求 BD 的最小值； ②当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式． 【考点】HA：抛物线与 x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）思想确定点 A 的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点 B 坐标； （2）①由题意点 D 在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上，推出当 O、D、B 共线时，BD 的最小值 =OB﹣OD； ②当点 D在对称轴上时，在 Rt△OD=OC=5，OE=4，可得 DE= = =3，求出 P、 D的坐标即可解决问题； 【解答】解：（1）由题意 A（﹣2，5），对称轴 x=﹣ =4， ∵A、B关于对称轴对称， ∴B（10，5）． （2）①如图 1 中， 由题意点 D在以 O 为圆心 OC 为半径的圆上， ∴当 O、D、B 共线时，BD 的最小值=OB﹣OD= ﹣5=5 ﹣5． ②如图 2 中， 图 2 当点 D在对称轴上时，在 Rt△ODE 中，OD=OC=5，OE=4， ∴DE= = =3， ∴点 D的坐标为（4，3）． 设 PC=PD=x，在 Rt△PDK 中，x2=（4﹣x）2+22， ∴x= ， ∴P（ ，5）， ∴直线 PD 的解析式为 y=﹣ x+ ． 【点评】本题考查抛物线与 X 轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的 关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型． 【达标检测】 1. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x件．已知产销两种产 品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产销量（件） 甲 6 a 20 200 乙 20 10 40＋0.05x2 80 其中 a为常数，且 3≤a≤5． （1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为 y1万元、y2万元，直接写出 y1、y2与 x 的函 数关系式； （2）分别求出产销两种产品的最大年利润； （3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由． 【考点】二次函数的应用，一次函数的应用 【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲 种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440 万元；（3）当 3≤a＜3.7 时，选择甲产品；当 a=3.7 时，选择甲乙产品；当 3.7＜a≤5 时，选择乙产品 【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）； （2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随 x的增大而增大． ∴当 x＝200 时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5） 乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80） ∴当 0＜x≤80 时，y2随 x的增大而增大． 当 x＝80 时，y2max＝440（万元）． ∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为 440 万元； （3）1180－200＞440，解得 3≤a＜3.7 时，此时选择甲产品； 1180－200＝440，解得 a=3.7 时，此时选择甲乙产品； 1180－200＜440，解得 3.7＜a≤5时，此时选择乙产品． ∴当 3≤a＜3.7 时，生产甲产品的利润高； 当 a=3.7 时，生产甲乙两种产品的利润相同； 当 3.7＜a≤5 时，上产乙产品的利润高． 2. 某片果园有果树 80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果 y（千 克），增种果树 x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750 千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量 w（千克）最大？最大产量是多少？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）函数的表达式为 y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可． （2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定 x 的值． （3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）设函数的表达式为 y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66）， 得 ， 解得 ， ∴该函数的表达式为 y=﹣0.5x+80， （2）根据题意，得， （﹣0.5x+80）（80+x）=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入成本最低． ∴x2=70 不满足题意，舍去． ∴增种果树 10 棵时，果园可以收获果实 6750 千克． （3）根据题意，得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） =﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200 ∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当 x=40 时，w最大值为 7200 千克． ∴当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200 千克． 3. （2016·湖北黄石·8分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园． 如图所示，图中点的横坐标 x表示科技馆从 8：30 开门后经过的时间（分钟），纵坐标 y 表 示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为 y= ， 10：00 之后来的游客较少可忽略不计． （1）请写出图中曲线对应的函数解析式； （2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684 人，后来的人在馆外休息区等 待．从 10：30 开始到 12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4人，直到馆内人数减少 到 624 人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？ 【分析】（1）构建待定系数法即可解决问题． （2）先求出馆内人数等于 684 人时的时间，再求出直到馆内人数减少到 624 人时的时间， 即可解决问题． 【解答】解（1）由图象可知，300=a×30 2 ，解得 a= ， n=700，b×（30﹣90） 2 +700=300，解得 b=﹣ ， ∴y= ， （2）由题意﹣ （x﹣90） 2 +700=684， 解得 x=78， ∴ =15， ∴15+30+（90﹣78）=57 分钟 所以，馆外游客最多等待 57 分钟． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数 法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 4. 如图，抛物线 y=a（x﹣1）（x﹣3）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，其 顶点为 D． （1）写出 C，D两点的坐标（用含 a 的式子表示）； （2）设 S△BCD：S△ABD=k，求 k 的值； （3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）令 x=0 可求得 C点坐标，化为顶点式可求得 D 点坐标； （2）令 y=0 可求得 A、B 的坐标，结合 D 点坐标可求得△ABD 的面积，设直线 CD 交 x 轴于 点 E，由 C、D坐标，利用待定系数法可求得直线 CD 的解析式，则可求得 E 点坐标，从而可 表示出△BCD 的面积，可求得 k 的值； （3）由 B、C、D 的坐标，可表示出 BC2、BD2和 CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况， 分别利用勾股定理可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值，则可求得抛物线的解析式． 【解答】解： （1）在 y=a（x﹣1）（x﹣3），令 x=0 可得 y=3a， ∴C（0，3a）， ∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a， ∴D（2，﹣a）； （2）在 y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令 y=0 可解得 x=1 或 x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣1=2， ∴S△ABD= ×2×a=a， 如图，设直线 CD 交 x 轴于点 E，设直线 CD 解析式为 y=kx+b， 把 C、D 的坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 CD 解析式为 y=﹣2ax+3a，令 y=0 可解得 x= ， ∴E（ ，0）， ∴BE=3﹣ = ∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a， ∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3， ∴k=3； （3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a）， ∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2， ∵∠BCD＜∠BCO＜90°， ∴△BCD 为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况， ①当∠CBD=90°时，则有 BC2+BD2=CD2，即 9+9a2+1+a2=4+16a2，解得 a=﹣1（舍去）或 a=1， 此时抛物线解析式为 y=x2﹣4x+3； ②当∠CDB=90°时，则有 CD 2 +BD 2 =BC 2 ，即 4+16a 2 +1+a 2 =9+9a 2 ，解得 a=﹣ （舍去）或 a= ， 此时抛物线解析式为 y= x 2 ﹣2 x+ ； 综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x 2 ﹣4x+3或y= x 2 ﹣2 x+ ． 5. 如图，直线 y=﹣ x+ 分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A在 x轴上，∠ACB=90°， 抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MH⊥BC 于点 H，作 MD∥y 轴交 BC 于点 D，求△DMH 周长的最大值． 【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°， 则在 Rt△AOC 中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得 OA，则可求得 A 点坐标； （2）由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在 Rt△DMH 中利用三角函数的定义可得到 DH、 MH 与 DM 的关系，可设出 M 点的坐标，则可表示出 DM 的长，从而可表示出△DMH 的周长，利 用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解： （1）∵直线 y=﹣ x+ 分别与 x轴、y 轴交于 B、C两点， ∴B（3，0），C（0， ）， ∴OB=3，OC= ， ∴tan∠BCO= = ， ∴∠BCO=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO=30°， ∴ =tan30°= ，即 = ，解得 AO=1， ∴A（﹣1，0）； （2）∵抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x 2 + x+ ； （3）∵MD∥y 轴，MH⊥BC， ∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH= DM，MH= DM， ∴△DMH 的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM， ∴当 DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点 M是直线 BC 上方抛物线上的一点， ∴可设 M（t，﹣ t 2 + t+ ），则 D（t，﹣ t+ ）， ∴DM=﹣ t 2 + t+ ），则 D（t，﹣ t+ ）， ∴DM=﹣ t 2 + t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t 2 + t=﹣ （t﹣ ） 2 + ， ∴当 t= 时，DM 有最大值，最大值为 ， 此时 DM= × = ， 即△DMH 周长的最大值为 ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次函数的性质、 方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法，在（2）中注意待定系数法 的应用，在（3）中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性 较强，难度适中．