福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练19全等三角形 10页

课时训练(十九)　全等三角形 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·衡阳模拟]如图K19-1,AB∥ED,CD=BF,若△ABC≌△EDF,则还需要补充的条件可以是 (　　)‎ 图K19-1‎ A.AC=EF B.BC=DF C.AB=DE D.∠B=∠E ‎2.[2018·南京]如图K19-2,AB⊥CD,且AB=CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为 (　　)‎ 图K19-2‎ A.a+c B.b+c ‎ C.a-b+c D.a+b-c ‎3.[2019·厦门集美区模拟]如图K19-3,点C,F,E,B在一条直线上,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E点,F点,BF=CE.求证:AB∥CD.‎ 图K19-3‎ 10‎ ‎4.[2018·陕西]如图K19-4,AB∥CD,E,F分别为AB,CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC,BF相交于点G,H.若AB=CD,求证:AG=DH.‎ 图K19-4‎ ‎5.[2019春·漳州期末]如图K19-5,四边形ABCD中,AD∥BC,点P在AB边上,CP平分∠BCD,DP平分∠ADC.‎ ‎(1)按三角形内角的大小分类,试判断△CPD的形状,并说明理由;‎ ‎(2)若AB=10,∠B=90°,求点P到CD的距离.‎ 图K19-5‎ ‎6.[2018秋·福州期末]求证:两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个锐角三角形全等.‎ ‎(要求:根据题意写出已知,求证,并证明)‎ ‎(友情提醒:可将锐角三角形的问题转化为直角三角形的问题处理)‎ 图K19-6‎ 10‎ ‎|能力提升|‎ ‎7.如图K19-7,线段AB=8 cm,射线AN⊥AB于点A,点C是射线上一动点,分别以AC,BC为直角边作等腰直角三角形,得△ACD与△BCE,连接DE交射线AN于点M,则CM的长为　　　　cm. ‎ 图K19-7‎ ‎8.[2018秋·江门蓬江区期末]如图K19-8,已知△ABC中,AB=AC=16 cm,BC=10 cm,点D为AB的中点,如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若△BPD与△CQP全等,则点Q运动速度可能为　　　　cm/s. ‎ 图K19-8‎ ‎9.[2019·泉州石狮一模]在△ABC中,AB=AC,将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD,旋转角为α.‎ ‎(1)如图K19-9①,∠BAC=90°,α=45°,试求点D到边AB,AC的距离的比值;‎ ‎(2)如图K19-9②,∠BAC=100°,α=20°,连接AD,BD,求∠CBD的大小.‎ 图K19-9‎ 10‎ ‎|思维拓展|‎ ‎10.[2018·龙东地区]如图K19-10,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为 (　　)‎ 图K19-10‎ A.15 B.12.5 C.14.5 D.17‎ ‎11.[2017·陕西]如图K19-11,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为　　　　. ‎ 图K19-11‎ ‎12.[2019·福州三模]如图K19-12,△ACB中,∠ACB=90°,在AB的同侧分别作正三角形ACD,正三角形ABE和正三角形BCF.若四边形CDEF的周长是24,面积是17,则AB的长是　　　　. ‎ 图K19-12‎ ‎13.[2019·福州模拟](1)已知,如图K19-13①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D,E,求证:DE=BD+CE.‎ ‎(2)如图K19-13②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明:若不成立,请说明理由.‎ 图K19-13‎ 10‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C ‎2.D　[解析]∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,‎ ‎∴∠CED=∠AFB=90°,∠A=∠C,‎ ‎∵AB=CD,∴△CED≌△AFB,‎ ‎∴AF=CE=a,DE=BF=b,DF=DE-EF=b-c,‎ ‎∴AD=AF+DF=a+b-c,故选D.‎ ‎3.证明:∵AE⊥BC,DF⊥BC,‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°.‎ ‎∵BF=CE,‎ ‎∴BF-EF=CE-EF,即BE=CF.‎ 在Rt△AEB和Rt△DFC中,‎BE=CF,‎AB=DC,‎ ‎∴Rt△AEB≌Rt△DFC(HL),‎ ‎∴∠B=∠C,‎ ‎∴AB∥CD.‎ ‎4.证明:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠A=∠D.‎ ‎∵EC∥BF,‎ ‎∴∠CGD=∠AHB.‎ ‎∵AB=CD,‎ ‎∴△ABH≌△DCG.‎ ‎∴AH=DG.‎ ‎∴AH-GH=DG-GH,‎ 即AG=DH.‎ ‎5.解:(1)∵AD∥BC,‎ ‎∴∠ADC+∠BCD=180°.‎ ‎∵CP平分∠BCD,DP平分∠ADC,‎ ‎∴∠PDC=‎1‎‎2‎∠ADC,∠PCD=‎1‎‎2‎∠BCD,‎ ‎∴∠PDC+∠PCD=‎1‎‎2‎(∠ADC+∠BCD)=‎1‎‎2‎×180°=90°,‎ ‎∴∠DPC=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-90°=90°,‎ 10‎ ‎∴△CPD为直角三角形.‎ ‎(2)过点P作PE⊥CD于点E,如图.‎ ‎∵∠B=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠A=90°.‎ ‎∵CP平分∠BCD,DP平分∠ADC,‎ ‎∴PA=PE=PB.‎ ‎∵AB=10,‎ ‎∴PA=PE=PB=5.‎ ‎∴点P到CD的距离为5.‎ ‎6.解:已知:如图,在锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',∠C=∠C'.‎ 求证:△ABC≌△A'B'C'.‎ 证明:在锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中,‎ 过点A作AD⊥BC于点D,过点A'作A'D'⊥B'C'于点D',‎ ‎∴∠ADC=∠A'D'C'=∠ADB=∠A'D'B'=90°,‎ 在△ACD和△A'C'D'中,‎‎∠C=∠C',‎‎∠ADC=∠A'D'C',‎AC=A'C',‎ ‎∴△ACD≌△A'C'D'(AAS),‎ ‎∴AD=A'D'.‎ 在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中,‎AB=A'B',‎AD=A'D',‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL),∴∠B=∠B'.‎ 在△ABC和△A'B'C'中,‎‎∠C=∠C',‎‎∠B=∠B',‎AC=A'C',‎ ‎∴△ABC≌△A'B'C'(AAS).‎ ‎7.4‎ 10‎ ‎8.2或3.2　[解析]∵AB=16 cm,BC=10 cm,点D为AB的中点,‎ ‎∴BD=‎1‎‎2‎AB=‎1‎‎2‎×16=8 cm.‎ 设点P,Q的运动时间为t,则BP=2t,‎ PC=(10-2t) cm.‎ ‎①当BD=PC时,10-2t=8,‎ 解得:t=1,‎ 则BP=CQ=2,‎ 故点Q的运动速度为:2÷1=2(cm/s);‎ ‎②当BP=PC时,∵BC=10 cm,‎ ‎∴BP=PC=5 cm,‎ ‎∴t=5÷2=2.5(s).‎ 此时CQ=BD=8 cm,‎ 故点Q的运动速度为8÷2.5=3.2(cm/s).‎ 故答案为:2或3.2.‎ ‎9.解:(1)如图①,‎ ‎∵∠BAC=90°,AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C=45°.‎ ‎∵α=45°,‎ ‎∴点D恰好落在BC上.‎ 过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,则有:∠BED=∠DFC=90°,‎ ‎∴△BDE∽△CDF,‎ ‎∴DEDF=BDCD.‎ 设AB=AC=m,‎ 则有:BC=‎2‎m,BD=BC-CD=‎2‎m-m,‎ ‎∴DEDF=BDCD=‎2‎m-mm=‎2‎-1,‎ 即点D到边AB,AC的距离的比值为‎2‎-1.‎ ‎(2)如图②,在BC边上截取CF=AD,连接DF.‎ 10‎ ‎∵∠BAC=100°,AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠BCA=40°.‎ ‎∵∠ACD=α=20°,‎ ‎∴∠DCB=20°.‎ 又∵AC=DC,‎ ‎∴∠CAD=80°,‎ ‎∴∠BAD=∠DCB=20°.‎ 在△DCF和△BAD中,‎DC=AB,‎‎∠DCF=∠BAD,‎CF=AD,‎ ‎∴△DCF≌△BAD(SAS),‎ ‎∴∠ABD=∠CDF,BD=DF,‎ ‎∴∠DBC=∠DFB.‎ ‎∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-∠ABD,∠DFB=∠DCF+∠CDF=20°+∠CDF,‎ ‎∴20°+∠CDF=40°-∠ABD,‎ ‎∴2∠ABD=40°-20°,即∠ABD=10°,‎ ‎∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=40°-10°=30°.‎ ‎10.B　[解析]如图,延长CB至点M,使BM=DC,连接AM.‎ ‎∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠DAB+∠DCB)=180°.‎ ‎∵∠ABC+∠ABM=180°,∴∠ADC=∠ABM.‎ 又∵AB=AD,∴△ADC≌△ABM,∴AC=AM,∠DAC=∠BAM.‎ ‎∵∠DAC+∠CAB=90°,∴∠BAM+∠CAB=90°,即∠CAM=90°.∵AC=5,∴AM=5,∴S△ACM=‎1‎‎2‎×5×5=‎25‎‎2‎.‎ ‎∵△ADC≌△ABM,∴S△ADC=S△ABM,∴S四边形ABCD=S△ACM=‎25‎‎2‎=12.5.故选B.‎ ‎11.18　[解析]过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E,由题意易证△AED≌△ACB,故AE=AC=6,四边形ABCD的面积等于△ACE的面积,即四边形ABCD的面积=‎1‎‎2‎AC·AE=‎1‎‎2‎×6×6=18.‎ 10‎ ‎12.2‎19‎　[解析]如图,过C作CG⊥EF于G,‎ ‎∵△ACD,△ABE,△BCF都是等边三角形,‎ ‎∴AD=AC,AE=AB,∠DAC=∠EAB=60°,‎ ‎∴∠DAE=∠CAB,‎ ‎∴△ADE≌△ACB(SAS),‎ ‎∴DE=CB=CF,‎ 同理可得,EF=AC=DC,‎ ‎∴四边形CDEF是平行四边形.‎ ‎∵∠ACD=∠BCF=60°,∠ACB=90°,‎ ‎∴∠DCF=150°,‎ ‎∴∠CFG=30°.‎ 设CG=x,EF=y,则CF=2x,‎ ‎∴xy=17,‎‎2(2x+y)=24,‎则‎4xy=68,‎‎4x‎2‎+4xy+y‎2‎=144,‎ ‎∴AB2=4x2+y2=144-68=76,‎ ‎∴AB=2‎19‎,‎ 故答案为:2‎19‎.‎ ‎13.解:(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,‎ ‎∴∠BDA=∠CEA=90°.‎ ‎∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.‎ ‎∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.‎ 在△ADB和△CEA中,‎‎∠ABD=∠CAE,‎‎∠BDA=∠AEC,‎AB=AC,‎ ‎∴△ADB≌△CEA(AAS),‎ ‎∴AE=BD,AD=CE,‎ 10‎ ‎∴DE=AE+AD=BD+CE.‎ ‎(2)结论DE=BD+CE成立.‎ 证明如下:‎ ‎∵∠BDA=∠BAC=α,‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,‎ ‎∴∠CAE=∠ABD.‎ 在△ADB和△CEA中,‎‎∠ABD=∠CAE,‎‎∠BDA=∠AEC,‎AB=AC,‎ ‎∴△ADB≌△CEA(AAS),‎ ‎∴AE=BD,AD=CE,‎ ‎∴DE=AE+AD=BD+CE.‎ 10‎