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  • 2021-11-06 发布

华东师大版九年级数学下册单元检测题全套及答案(含期中期末测试题)

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1 第 26 章检测题 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.下列函数中,属于二次函数的是( C ) A.y=-2x B.y=x2+1 x2 C.y=(x+3)2-9 D.y=1 x2 +1 2.(益阳中考)下列函数中,y 总随 x 的增大而减小的是( B ) A.y=4x B.y=-4x C.y=x-4 D.y=x2 3.(2020·广东)把函数 y=(x-1)2+2 图象向右平移 1 个单位长度,平移后图象的函 数解析式为( C ) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 4.用一根长为 12 cm 的细铁丝围成一个矩形,则围成的矩形面积最大为( C ) A.7 cm2 B.8 cm2 C.9 cm2 D.10 cm2 5.(山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①),它由五个高度不同, 跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉索与主梁相连,最高的钢拱如图②所示,此钢拱(近 似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于 A,B 两点.拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米),跨径为 90 米(即 AB=90 米),以最 高点 O 为坐标原点,以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线钢拱的函 数表达式为( B ) A.y= 26 675 x2 B.y=- 26 675 x2 C.y= 13 1350 x2 D.y=- 13 1350 x2 第 5 题图 第 8 题图 第 10 题图 6.(2020·达州)如图,直线 y1=kx 与抛物线 y2=ax2+bx+c 交于 A,B 两点,则 y=ax2 +(b-k)x+c 的图象可能是( B ) 2 7.(2020·呼和浩特)关于二次函数 y=1 4 x2-6x+a+27,下列说法错误的是( C ) A.若将图象向上平移 10 个单位,再向左平移 2 个单位后过点(4,5),则 a=-5 B.当 x=12 时,y 有最小值 a-9 C.x=2 对应的函数值比最小值大 7 D.当 a<0 时,图象与 x 轴有两个不同的交点 8.(2020·长沙)“闻起来臭,吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃,臭豆腐虽小,但 制作流程却比较复杂,其中在进行加工煎炸臭豆腐时,我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的 百分比称为“可食用率”.在特定条件下,“可食用率”P 与加工煎炸时间 t(单位:分钟)近 似满足的函数关系为:P=at2+bt+c(a≠0,a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根 据上述函数关系和实验数据,可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( C ) A.3.50 分钟 B.4.05 分钟 C.3.75 分钟 D.4.25 分钟 9.(2020·江西)在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,抛物线 y=x2-2x-3 与 y 轴 交于点 A,与 x 轴正半轴交于点 B,连接 AB,将 Rt△OAB 向右上方平移,得到 Rt△O′A′B′, 且点 O′,A′落在抛物线的对称轴上,点 B′落在抛物线上,则直线 A′B′的表达式为( B ) A.y=x B.y=x+1 C.y=x+1 2 D.y=x+2 10.(2020·随州)如图所示,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(-1, 0),B(3,0)两点,与 y 轴的正半轴交于点 C,顶点为 D,则下列结论:①2a+b=0;②2c <3b;③当△ABC 是等腰三角形时,a 的值有 2 个;④当△BCD 是直角三角形时,a=- 2 2 . 其中正确的有( B ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2020·哈尔滨)抛物线 y=3(x-1)2+8 的顶点坐标为__(1,8)__. 12.(天门中考)矩形的周长等于 40,则此矩形面积的最大值是__100__. 13.(2020·仙桃)某商店销售一批头盔,售价为每顶 80 元,每月可售出 200 顶.在“创 建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价 1 元,每月可多售出 20 顶.已 知头盔的进价为每顶 50 元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为__70__元. 14.(2020·无锡)二次函数 y=ax2-3ax+3 的图象过点 A(6,0),且与 y 轴交于点 B, 点M 在该抛物线的对称轴上,若△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形,则点M 的坐标为__(3 2 , -9)或(3 2 ,6)__. 15.(2020·内江)已知抛物线 y1=-x2+4x(如图)和直线 y2=2x+b.我们规定:当 x 取 任意一个值时,x 对应的函数值分别为 y1 和 y2.若 y1≠y2,取 y1 和 y2 中较大者为 M;若 y1= y2,记 M=y1=y2.①当 x=2 时,M 的最大值为 4;②当 b=-3 时,使 M>y2 的 x 的取值范围 是-1<x<3;③当 b=-5 时,使 M=3 的 x 的值是 x1=1,x2=3;④当 b≥1 时,M 随 x 的 增大而增大.上述结论正确的是__②④__.(填写所有正确结论的序号) 3 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)(2020·温州)已知抛物线 y=ax2+bx+1 经过点(1,-2),(-2,13). (1)求 a,b 的值. (2)若(5,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且 y2=12-y1,求 m 的值. 解:(1)把点(1,-2),(-2,13)代入 y=ax2+bx+1 得, -2=a+b+1, 13=4a-2b+1, 解得: a=1, b=-4 (2)由(1)得函数解析式为 y=x2-4x+1,把 x=5 代入 y=x2-4x+1 得 y1=6,∴y2=12 -y1=6,∵y1=y2,∴对称轴为 x=2,∴m=4-5=-1 17.(9 分)已知一个二次函数的对称轴是直线 x=1,图象上最低点 P 的纵坐标是-8, 图象经过点(-2,10)且与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C. (1)求这个二次函数的表达式; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)y=2x2-4x-6 (2)当 y=0 时,2x2-4x-6=0,即 x2-2x-3=0,解得 x1=3,x2=-1,∴|AB|=4. 当 x=0 时,y=-6,∴C(0,-6),S△ABC=1 2 ·|AB||yc|=1 2 ×4×6=12 18.(9 分)(2020·宁波)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+4x-3 图象的 顶点是 A,与 x 轴交于 B,C 两点,与 y 轴交于点 D.点 B 的坐标是(1,0). (1)求 A,C 两点的坐标,并根据图象直接写出当 y>0 时 x 的取值范围. (2)平移该二次函数的图象,使点 D 恰好落在点 A 的位置上,求平移后图象所对应的二 次函数的表达式. 解:(1)把 B(1,0)代入 y=ax2+4x-3,得 0=a+4-3,解得 a=-1,∴y=-x2+4x -3=-(x-2)2+1,∴A(2,1),∵对称轴 x=1,B,C 关于 x=2 对称,∴C(3,0),∴当 y >0 时,1<x<3 (2)∵D(0,-3),∴点 D 平移到 A,抛物线向右平移 2 个单位,向上平移 4 个单位,可得抛物线的解析式为 y=-(x-4)2+5 19.(9 分)如图,A(-1,0),B(2,-3)两点在一次函数 y2=-x+m 和二次函数 y1=ax2 +bx-3 的图象上. (1)求 m 的值和二次函数的表达式; 4 (2)请直接写出 y2>y1 时,x 的取值范围; (3)说出 y1=ax2+bx-3 可由 y=x2 如何平移得到? 解:(1)把 A(-1,0)代入 y=-x+m 中得 m=-1,将 A,B 坐标代入 y1 中,得 a-b-3=0, 4a+2b-3=-3, ∴ a=1, b=-2. ∴y1=x2-2x-3 (2)当 y2>y1 时,-1<x<2 (3)y1=x2 -2x-3=(x-1)2-4.可由 y=x2 向下平移 4 个单位,再向右平移 1 个单位得到 20.(9 分)(2020·临沂)已知抛物线 y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在 x 轴上,求其解析式; (3)设点 P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若 y1<y2,求 m 的取值范围. 解:(1)∵抛物线 y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3.∴抛物线的对称轴为直 线 x=1 (2)∵抛物线的顶点在 x 轴上,∴2a2-a-3=0,解得 a=3 2 或 a=-1,∴抛物线 为 y=3 2 x2-3x+3 2 或 y=-x2+2x-1 (3)∵抛物线的对称轴为 x=1,则 Q(3,y2)关于 x =1 对称点的坐标为(-1,y2),∴当 a=3 2 ,-1<m<3 时,y1<y2;当 a=-1,m<-1 或 m>3 时,y1<y2 21.(10 分)(2020·河北)用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实 验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘 米)的平方成正比,当 x=3 时,W=3. (1)求 W 与 x 的函数关系式; (2)如图,选一块厚度为 6 厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块 板(不计分割损耗).设薄板的厚度为 x(厘米),Q=W 厚-W 薄. ①求 Q 与 x 的函数关系式; ②x 为何值时,Q 是 W 薄的 3 倍?[注:(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围] 解:(1)设 W=kx2(k≠0).∵当 x=3 时,W=3,∴3=9k,解得 k=1 3 ,∴W 与 x 的函数 关系式为 W=1 3 x2 (2)①设薄板的厚度为 x 厘米,则厚板的厚度为(6-x)厘米,∴Q=W 厚- W 薄=1 3 (6-x)2-1 3 x2=-4x+12,即 Q 与 x 的函数关系式为 Q=-4x+12 ②∵Q 是 W 薄的 3 倍,∴-4x+12=3×1 3 x2,整理得,x2+4x-12=0,解得 x1=2,x2=-6(不合题意舍去), 故当 x 为 2 时,Q 是 W 薄的 3 倍 22.(10 分)(2020·随州)2020 年新冠肺炎疫情期间,部分药店趁机将口罩涨价,经调 查发现某药店某月(按 30 天计)前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的关系如下表: 5 第 x 天 1 2 3 4 5 销售价格 p(元/只) 2 3 4 5 6 销量 q(只) 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后,统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只, 该药店从第 6天起将该型号口罩的价格调整为 1 元/只.据统计,该药店从第 6 天起销量q(只) 与第 x 天的关系为 q=-2x2+80x-200 (6≤x≤30,且 x 为整数),已知该型号口罩的进货 价格为 0.5 元/只. (1)直接写出该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q 与 x 之间的函数关系式; (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W(元)与 x 的函数关系式,并判断第几天 的利润最大; (3)物价部门为了进一步加强市场整顿,对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获 得的正常利润之外的非法所得部分处以 m 倍的罚款,若罚款金额不低于 2000 元,则 m 的取 值范围为________. 解:(1)根据表格数据可知:前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的关系式为:p=x+1,1≤x≤5 且 x 为整数;q=5x+65,1≤x≤5 且 x 为整数 (2)当 1≤x≤5 且 x 为整数时,W=(x+1-0.5)(5x+65)=5x2+135 2 x+65 2 ;当 6≤x≤30 且 x 为 整 数 时 , W = (1 - 0.5)( - 2x2 + 80x - 200) = - x2 + 40x - 100. 即 有 W = 5x2+135 2 x+65 2 ,1≤x≤5 且 x 为整数, -x2+40x-100,6≤x≤30 且 x 为整数, 当 1≤x≤5 且 x 为整数时,售价,销量均随 x 的 增大而增大,故当 x=5 时,W 有最大值为:495 元;当 6≤x≤30 且 x 为整数时,W=-x2 +40x-100=-(x-20)2+300,故当 x=20 时,W 有最大值为:300 元;由 495>300,可知: 第 5 天的利润最大为 495 元 (3)根据题意可知:获得的正常利润之外的非法所得部分为: (2-1)×70+(3-1)×75+(4-1)×80+(5-1)×85+(6-1)×90=1250(元),∴1250m≥ 2000,解得 m≥8 5 .则 m 的取值范围为 m≥8 5 .故答案为:m≥8 5 23.(11 分)(河南中考)如图,抛物线 y=ax2+1 2 x+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C.直线 y=-1 2 x-2 经过点 A,C. (1)求抛物线的解析式; (2)点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 AC 于点 M,设点 P 的横坐标 为 m. ①当△PCM 是直角三角形时,求点 P 的坐标; ②作点 B 关于点 C 的对称点 B′,则平面内存在直线 l,使点 M,B,B′到该直线的距 离都相等.当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上,且与点 B 不重合时,请直接写出直线 l:y=kx +b 的解析式.(k,b 可用含 m 的式子表示) 6 解:(1)当 x=0 时,y=-1 2 x-2=-2,∴点 C 的坐标为(0,-2);当 y=0 时,-1 2 x -2=0,解得:x=-4,∴点 A 的坐标为(-4,0).将 A(-4,0),C(0,-2)代入 y=ax2 +1 2 x+c,得: 16a-2+c=0, c=-2, 解得 a=1 4 , c=-2, ∴抛物线的解析式为 y=1 4 x2+1 2 x-2 (2)①∵PM⊥x 轴,∴∠PMC≠90°,∴分两种情况考虑,如图①所示.(Ⅰ)当∠MPC=90° 时,PC∥x 轴,∴点 P 的纵坐标为-2.当 y=-2 时,即 1 4 x2+1 2 x-2=-2,解得:x1=-2, x2=0,∴点 P 的坐标为(-2,-2);(Ⅱ)当∠PCM=90°时,设 PC 与 x 轴交于点 D.∵∠OAC +∠OCA=90°,∠OCA+∠OCD=90°,∴∠OAC=∠OCD.又∵∠AOC=∠COD=90°,∴△AOC ∽△COD,∴OD OC =OC OA ,即OD 2 =2 4 ,∴OD=1,∴点 D 的坐标为(1,0).设直线 PC 的解析式 为 y=kx+b(k≠0),将 C(0,-2),D(1,0)代入 y=kx+b,得: b=-2, k+b=0, 解得: k=2, b=-2, ∴直线 PC 的解 析式为 y= 2x-2.联立 直线 PC 和抛 物线的解 析式成方 程组 ,得: y=2x-2, y=1 4 x2+1 2 x-2, 解得: x1=0, y1=-2, x2=6, y2=10, 点 P 的坐标为(6,10). 综上所述:当△PCM 是直角三角形时,点 P 的坐标为(-2,-2)或(6,10) ②当 y=0 时,1 4 x2+1 2 x-2=0,解得:x1=-4,x2=2,∴点 B 的坐标为(2,0).∵点 C 的坐标为(0, -2),点 B,B′关于点 C 对称,∴点 B′的坐标为(-2,-4).∵点 P 的横坐标为 m(m>0 且 m≠2),∴点 M 的坐标为(m,-1 2 m-2).利用待定系数法可求出:直线 BM 的解析式为 y =- m+4 2m-4 x+m+4 m-2 ,直线 B′M 的解析式为 y=-m+4 2m+4 x-5m+4 m+2 ,直线 BB′的解析式为 y=x-2.分三种情况考虑,如图②所示:当直线 l∥BM 且过点 C 时,直线 l 的解析式为 y= - m+4 2m-4 x-2;当直线 l∥B′M 且过点 C 时,直线 l 的解析式为 y=-m+4 2m+4 x-2;当直线 l∥BB′且过线段 CM 的中点 N(1 2 m,-1 4 m-2)时,直线 l 的解析式为 y=x-3 4 m-2.综上所 述:直线 l 的解析式为 y=- m+4 2m-4 x-2,y=-m+4 2m+4 x-2 或 y=x-3 4 m-2 7 第 27 章检测题 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2020·荆门)如图,⊙O 中,OC⊥AB,∠APC=28°,则∠BOC 的度数为( D ) A.14° B.28° C.42° D.56° 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 2.已知⊙O 的半径为 5,且圆心 O 到直线 l 的距离 d=2sin 30°+ 9 +|-2|,则直 线 l 与圆的位置关系是( C ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 3.(2020·眉山)如图,四边形 ABCD 的外接圆为⊙O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD= 45°,则∠ADB 的度数为( C ) A.55° B.60° C.65° D.70° 4.(2020·徐州)如图,AB 是⊙O 的弦,点 C 在过点 B 的切线上,OC⊥OA,OC 交 AB 于 点 P.若∠BPC=70°,则∠ABC 的度数等于( B ) A.75° B.70° C.65° D.60° 5.(2020·聊城)如图,有一块半径为 1 m,圆心角为 90°的扇形铁皮,要把它做成一 个圆锥形容器(接缝忽略不计),那么这个圆锥形容器的高为( C ) A.1 4 m B.3 4 m C. 15 4 m D. 3 2 m 6.(2020·宁夏)如图,等腰直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC= 2 ,以点 C 为圆心 画弧与斜边 AB 相切于点 D,交 AC 于点 E,交 BC 于点 F,则图中阴影部分的面积是( A ) A.1-π 4 B.π-1 4 C.2-π 4 D.1+π 4 7.(2020·永州)如图,已知 PA,PB 是⊙O 的两条切线,A,B 为切点,线段 OP 交⊙O 于点 M.给出下列四种说法:①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形 OAPB 有外接圆;④M 是△AOP 外接圆的圆心.其中正确说法的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 8 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8.(2020·随州)设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h,r,R,则下列结论不正确的是( C ) A.h=R+r B.R=2r C.r= 3 4 a D.R= 3 3 a 9.(2020·武汉)如图,在半径为 3 的⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,D 是 AC 的中点, AC 与 BD 交于点 E.若 E 是 BD 的中点,则 AC 的长是( D ) A.5 2 3 B.3 3 C.3 2 D.4 2 10.(泸州中考)如图,等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F, 且 AB=AC=5,BC=6,则 DE 的长是( D ) A.3 10 10 B.3 10 5 C.3 5 5 D.6 5 5 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2020·宜宾)如图,A,B,C 是⊙O 上的三点,若△OBC 是等边三角形,则 cos ∠A =__ 3 2 __. 第 11 题图 第 14 题图 第 15 题图 12.(2020·宿迁)用半径为 4,圆心角为 90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个 圆锥的底面圆半径为__1__. 13.(2020·青海)已知⊙O 的直径为 10 cm,AB,CD 是⊙O 的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm, CD=6 cm,则 AB 与 CD 之间的距离为__1 或 7__cm. 14.(2020·黄石)匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913-1996)曾提出:在平面 内有 n 个点,其中每三个点都能构成等腰三角形,人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集 称为爱尔特希点集.如图,是由五个点 A,B,C,D,O 构成的爱尔特希点集(它们为正五边 形的任意四个顶点及正五边形的中心构成),则∠ADO 的度数是__18°__. 15.(2020·鄂州)如图,已知直线 y=- 3 x+4 与 x,y 轴交于 A,B 两点,⊙O 的半 9 径为 1,P 为 AB 上一动点,PQ 切⊙O 于 Q 点.当线段 PQ 长取最小值时,直线 PQ 交 y 轴于 M 点,a 为过点 M 的一条直线,则点 P 到直线 a 的距离的最大值为__2 3 __. 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)(2020·嘉兴)已知:如图,在△OAB 中,OA=OB,⊙O 与 AB 相切于点 C.求证: AC=BC.小明同学的证明过程如下框: 证明:连结 OC, ∵OA=OB, ∴∠A=∠B, 又∵OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴AC=BC. 小明的证法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请写出你的证明过程. 解:证法错误;证明:连结 OC,∵⊙O 与 AB 相切于点 C,∴OC⊥AB,∵OA=OB,∴AC =BC 17.(9 分)(2020·山西)如图,四边形 OABC 是平行四边形,以点 O 为圆心,OC 为半径 的⊙O 与 AB 相切于点 B,与 AO 相交于点 D,AO 的延长线交⊙O 于点 E,连接 EB 交 OC 于点 F. 求∠C 和∠E 的度数. 解:连接 OB,∵⊙O 与 AB 相切于点 B,∴OB⊥AB,∵四边形 ABCO 为平行四边形,∴AB ∥OC,OA∥BC,∴OB⊥OC,∴∠BOC=90°,∵OB=OC,∴△OCB 为等腰直角三角形,∴∠C =∠OBC=45°,∵AO∥BC,∴∠AOB=∠OBC=45°,∴∠E=1 2 ∠AOB=22.5° 18.(9 分)如图,在△ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 M,弦 MN∥BC 交 AB 于点 E, 且 ME=3,AE=4,AM=5. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)求⊙O 的直径 AB 的长度. 10 (1)证明:∵在△AME 中,ME=3,AE=4,AM=5,∴AM2=ME2+AE2,∴△AME 是直角三 角形,∴∠AEM=90°,又∵MN∥BC,∴∠ABC=∠AEM=90°,∴AB⊥BC,∵AB 为直径,∴ BC 是⊙O 的切线 (2)解:连接 OM,设⊙O 的半径是 r,在 Rt△OEM 中,OE=AE-OA=4-r, ME=3,OM=r,∵OM2=ME2+OE2,∴r2=32+(4-r)2,解得:r=25 8 ,∴AB=2r=25 4 19.(9 分)(2020·武汉)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,AE 与过点 D 的切线互相垂直,垂足为 E. (1)求证:AD 平分∠BAE; (2)若 CD=DE,求 sin ∠BAC 的值. (1)证明:连接 OD,如图,∵DE 为切线,∴OD⊥DE,∵DE⊥AE,∴OD∥AE,∴∠1=∠ODA, ∵OA=OD,∴∠2=∠ODA,∴∠1=∠2,∴AD 平分∠BAE (2)解:连接 BD,如图,∵AB 为直径,∴∠ADB=90°,∵∠2+∠ABD=90°,∠3+ ∠ABD=90°,∴∠2=∠3,∵sin ∠1=DE AD ,sin ∠3=DC BC ,而 DE=DC,∴AD=BC, 设 CD=x,BC=AD=y,∵∠DCB=∠BCA,∠3=∠2,∴△CDB∽△CBA,∴CD:CB=CB: CA,即 x:y=y:(x+y),整理得 x2+xy-y2=0,解得 x=-1+ 5 2 y 或 x=-1- 5 2 y(舍 去),∴sin ∠3=DC BC = 5-1 2 ,即 sin ∠BAC 的值为 5-1 2 20.(9 分)(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图 三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据 实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图 1 是它的示意图,其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上,且 AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与 AC 垂直于点 B,DB 足够长. 使用方法如图 2 所示,若要把∠MEN 三等分,只需适当放置三分角器,使 DB 经过∠MEN 的顶点 E,点 A 落在边 EM 上,半圆 O 与另一边 EN 恰好相切,切点为 F,则 EB,EO 就把∠MEN 三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求 证”,请补充完整,并写出“证明”过程. 已 知 : 如 图 2 , 点 A , B , O , C 在 同 一 直 线 上 , EB ⊥ AC , 垂 足 为 点 B , ________________________. 求证:________________________. 11 解:已知:AB=OB,EN 切半圆 O 于 F.求证:EB,EO 把∠MEN 三等分,证明:∵EB⊥AC, ∴∠ABE=∠OBE=90°,∵AB=OB,BE=BE,∴△ABE≌△OBE(S.A.S.),∴∠1=∠2,∵BE ⊥OB,∴BE 是⊙E 的切线,∵EN 切半圆 O 于 F,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2=∠3,∴EB,EO 把∠MEN 三等分 21.(10 分)(2020·随州)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O,与 BC 交于点 M,与 AB 的另一个交点为 E,过 M 作 MN⊥AB,垂足为 N. (1)求证:MN 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的直径为 5,sin B=3 5 ,求 ED 的长. (1)证明:连接 OM,如图 1,∵OC=OD,∴∠OCM=∠OMC,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,∴CD=1 2 AB=BD,∴∠DCB=∠DBC,∴∠OMC=∠DBC,∴OM∥BD,∵MN⊥BD,∴ OM⊥MN,∵OM 为半径,∴MN 是⊙O 的切线 (2)解:连接 DM,CE,∵CD 是⊙O 的直径,∴∠CED=90°,∠DMC=90°,即 DM⊥BC, CE⊥AB,由(1)知:BD=CD=5,∴M 为 BC 的中点,∵sin B=3 5 ,∴cos B=4 5 ,在 Rt△BMD 中,BM=BD·cos B=4,∴BC=2BM=8,在 Rt△CEB 中,BE=BC·cos B=32 5 ,∴ED=BE -BD=32 5 -5=7 5 22.(10 分)(2020·包头)如图,AB 是⊙O 的直径,半径 OC⊥AB,垂足为 O,直线 l 为 ⊙O 的切线,A 是切点,D 是 OA 上一点,CD 的延长线交直线 l 于点 E,F 是 OB 上一点,CF 的延长线交⊙O 于点 G,连接 AC,AG,已知⊙O 的半径为 3,CE= 34 ,5BF-5AD=4. (1)求 AE 的长; (2)求 cos ∠CAG 的值及 CG 的长. 12 解:(1)延长 CO 交⊙O 于 T,过点 E 作 EH⊥CT 于 H.∵直线 l 是⊙O 的切线,∴AE⊥OA, ∵OC⊥AB,∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°,∴四边形 AEHO 是矩形,∴EH=OA=3,AE=OH, ∵CH= EC2-EH2 = ( 34)2-32 =5,∴AE=OH=CH-CO=5-3=2 (2)∵AE∥OC,∴ AE OC =AD DO =2 3 ,∴AD=2 5 OA=6 5 ,∵5BF-5AD=4,∴BF=2,∴OF=OB-BF=1,AF=AO+ OF=4, CF= OC2+OF2 = 32+12 = 10 ,∵∠FAC=∠FGB,∠AFC=∠GFB,∴△AFC∽△GFB, ∴AF FG =CF BF ,∴ 4 FG = 10 2 ,∴FG=4 10 5 ,∴CG=FG+CF=9 10 5 ,∵CT 是直径,∴∠CGT =90°,∴GT= TC2-CG2 = 62-(9 10 5 )2 =3 10 5 ,∴cos ∠CTG=TG TC = 3 10 5 6 = 10 10 ,∵∠CAG=∠CTG,∴cos ∠CAG= 10 10 23.(11 分)(成都中考)如图,AB 为⊙O 的直径,C,D 为圆上的两点,OC∥BD,弦 AD, BC 相交于点 E. (1)求证: AC = CD ; (2)若 CE=1,EB=3,求⊙O 的半径; (3)在(2)的条件下,过点 C 作⊙O 的切线,交 BA 的延长线于点 P,过点 P 作 PQ∥CB 交 ⊙O 于 F,Q 两点(点 F 在线段 PQ 上),求 PQ 的长. 题图 答图 解:(1)∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∵OC∥BD,∴∠OCB=∠CBD,∴∠OBC=∠CBD, ∴ AC = CD (2)如图,连接 AC,∵CE=1,EB=3,∴BC=4,∵ AC = CD ,∴∠CAD 13 =∠ABC,且∠ECA=∠ACB,∴△ACE∽△BCA,∴AC CE =CB AC ,∴AC2=CB·CE=4×1,∴AC= 2,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°,∴AB= AC2+BC2 =2 5 ,∴⊙O 的半径为 5 (3)如 图,过点 O 作 OH⊥FQ 于点 H,连接 OQ,∵PC 是⊙O 切线,∴∠PCO=90°,且∠ACB=90°, ∴∠PCA=∠BCO=∠CBO,且∠CPB=∠CPA,∴△APC∽△CPB,∴PA PC =PC PB =AC BC =2 4 =1 2 , ∴PC=2PA,PC2=PA·PB,∴4PA2=PA×(PA+2 5 ),∴PA=2 5 3 ,∴PO=5 5 3 ,∵PQ∥ BC,∴∠CBA=∠BPQ,且∠PHO=∠ACB=90°,∴△PHO∽△BCA,∴AC OH =BC PH =AB PO ,即 2 OH = 4 PH = 2 5 5 5 3 ,∴PH=10 3 ,OH=5 3 ,∴HQ= OQ2-OH2 =2 5 3 ,∴PQ=PH+HQ=10+2 5 3 第 28 章检测题 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2020·安顺)2020 年为阻击新冠疫情,某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况,以 便有针对性进行防疫,一志愿者得到某栋楼 60 岁以上人的年龄(单位:岁)数据如下:62, 63,75,79,68,85,82,69,70.获得这组数据的方法是( C ) A.直接观察 B.实验 C.调查 D.测量 2.为了了解某市九年级学生学业水平考试的数学成绩,从中随机抽取了 1000 名学生的 数学成绩.下列说法正确的是( D ) A.某市九年级学生是总体 B.每一名九年级学生是个体 C.1000 名九年级学生是总体的一个样本 D.样本容量是 1000 3.(湘西州中考)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛,经过三轮初赛,他们 的平均成绩都是 9 环,方差分别是 s 甲 2=0.25,s 乙 2=0.3,s 丙 2=0.4,s 丁 2=0.35,你认为 派谁去参赛更合适( A ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.以下几个抽样调查选取样本的方法合适的是( D ) A.为了解全班同学单元测试的平均成绩,老师抽查前 5 名同学的平均成绩 B.为调查居民的收入情况,对我市银行职工进行抽查 C.为调查某市主要植物种类,对山顶的部分植物作抽查 D.为调查某洗衣机厂产品质量情况,在其生产流水线上每隔 10 台产品抽取一台 5.在一个口袋中装有形状和大小完全相同的 10 个黄色球和若干个红色球,充分搅匀后 随意摸出 5 个球,结果恰有 2 个黄色球,据此可估计袋中红色球的个数大约是( C ) A.3 个 B.10 个 C.15 个 D.25 个 6.(2020·乐山)某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试,张老师从全校 学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷,将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优” 划分为四个等级,并绘制成如图所示的条形统计图.若该校学生共有 2000 人,则其中成绩 14 为“良”和“优”的总人数估计为( A ) A.1100 B.1000 C.900 D.110 第 6 题图 第 8 题图 第 10 题图 7.八(1)班有 48 位学生,春游前,班长把全班学生对春游地点的意向绘制成了扇形统 计图,其中“想去迪士尼乐园的学生数”的扇形圆心角为 60°,则下列说法正确的是( D ) A.想去迪士尼乐园的学生占全班学生的 60% B.想去迪士尼乐园的学生有 12 人 C.想去迪士尼乐园的学生肯定最多 D.想去迪士尼乐园的学生占全班学生的1 6 8.(2020·威海)为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响,某学校团委对初 二级部学生进行了问卷调查,其中一项是:疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内 心?针对该项调查结果制作的两个统计图(不完整)如图.由图中信息可知,下列结论错误的 是( C ) A.本次调查的样本容量是 600 B.选“责任”的有 120 人 C.扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为 64.8° D.选“感恩”的人数最多 9.对甲、乙两厂某种产品的质量的检验的结果如下: 厂家 甲 乙 被检产品数 10 10 不合格数 2 1 下列对于两厂产品不合格率说法正确的是( D ) A.甲厂生产出来的产品的不合格率高 B.乙厂生产出来的产品的不合格率高 C.两个厂生产出来的产品的不合格率一样 D.由于样本容量太小,所以无法判断 10.(2020·南京)党的十八大以来,党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置.根据国家 统计局发布的数据,2012~2019 年年末全国农村贫困人口的情况如图所示.根据图中提供 的信息,下列说法错误的是( A ) A.2019 年末,农村贫困人口比上年末减少 551 万人 B.2012 年末至 2019 年末,农村贫困人口累计减少超过 9000 万人 C.2012 年末至 2019 年末,连续 7 年每年农村贫困人口减少 1000 万人以上 D.为在 2020 年末农村贫困人口全部脱贫,今年要确保完成减少 551 万农村贫困人口的 任务 15 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(贺州中考)调查我市一批药品的质量是否符合国家标准.采用__抽样调查__方式更 合适.(填“全面调查”或“抽样调查”) 12.(2020·郴州)质检部门从 1000 件电子元件中随机抽取 100 件进行检测,其中有 2 件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有__20__件次品. 13.甲、乙、丙三组各有 7 名成员,测得三组成员体重数据的平均数都是 58,方差分 别为 s 甲 2=36,s 乙 2=25.4,s 丙 2=16.则数据波动最小的一组是__丙__. 14.为了测量调查对象每分钟的心跳情况,甲同学建议测量 2 分钟的心跳次数再除以 2, 乙同学建议测量 5 秒钟的心跳次数再乘以 12,如果把甲、乙两位同学的方法得出的每分钟 的心跳次数分别称为甲样本和乙样本,则比较合适的样本是__甲__. 15.(2020·温州)某养猪场对 200 头生猪的质量进行统计,得到频数直方图(每一组含 前一个边界值,不含后一个边界值)如图所示,其中质量在 77.5 kg 及以上的生猪有__140__ 头. 三、解答题(共 75 分) 16.(12 分)(2020·广东)某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动,调查问 卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级,要求每名 学生选且只能选其中一个等级,随机抽取了 120 名学生的有效问卷,数据整理如下: 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数(人) 24 72 18 x (1)求 x 的值; (2)若该校有学生 1800 人,请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解” 垃圾分类知识的学生共有多少人? 解:(1)x=120-(24+72+18)=6 (2)1800×24+72 120 =1440(人),答:根据抽样调查 结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有 1440 人 17.(12 分)(2020·大庆)为了了解某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数,从中随 机抽取了 40 名学生的一分钟跳绳次数(次数为整数,且最高次数不超过 150 次),整理后绘 制成如图的频数直方图,图中的 a,b 满足关系式 2a=3b.后由于保存不当,部分原始数据 模糊不清,但已知缺失数据都大于 120.请结合所给条件,回答下列问题. (1)求问题中的总体和样本容量; (2)求 a,b 的值(请写出必要的计算过程); (3)如果一分钟跳绳次数在 125 次以上(不含 125 次)为跳绳成绩优秀,那么估计该校该 年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人?(注:该年级共 1000 名学生) 16 解:(1)1000 名学生一分钟的跳绳次数是总体,40 是样本容量 (2)由题意所给数据可 知:50.5~75.5 的有 4 人,75.5~100.5 的有 16 人,∴a+b=40-4-16=20,∵2a=3b, ∴解得 a=12,b=8 (3)1000× 8 40 =200(人),答:估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的 人数大约是 200 人 18.(12 分)(2020·绵阳)为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏,天天快餐公司积极投入 到复工复产中.现有 A,B 两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同, 品质相近.该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿.检察人员从两家分别抽取 100 个鸡腿,然后再从中随机各抽取 10 个,记录它们的质量(单位:克)如表: A 加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B 加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 (1)根据表中数据,求 A 加工厂的 10 个鸡腿质量的中位数、众数、平均数; (2)估计 B 加工厂这 100 个鸡腿中,质量为 75 克的鸡腿有多少个? (3)根据鸡腿质量的稳定性,该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿? 解:(1)把这些数从小到大排列,最中间的数是第 5 和第 6 个数的平均数,则中位数是 75+75 2 =75(克);因为 75 出现了 4 次,出现的次数最多,所以众数是 75 克;平均数是:1 10 (74 +75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75(克) (2)根据题意得:100× 3 10 =30(个), 答:质量为 75 克的鸡腿有 30 个 (3)选 B 加工厂的鸡腿.A 的方差是:1 10 [(74-75)2+4×(75 -75)2+…+(76-75)2]=2.8;B 的平均数为 1 10 (78+74+…+75+75)=75,B 的方差是 1 10 [(78-75)2+(74-75)2+…+(75-75)2]=2.6;∵A,B 平均值一样,B 的方差比 A 的方 差小,B 更稳定,∴选 B 加工厂的鸡腿 19.(12 分)(2020·宿迁)某校计划成立下列学生社团. 社团名称 文学社 动漫创作社 合唱团 生物实验小组 英语俱乐部 社团代号 A B C D E 为了解该校学生对上述社团的喜爱情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷 调查(每名学生必需选一个且只能选一个学生社团).根据统计数据,绘制了如图条形统计图 和扇形统计图(部分信息未给出). (1)该校此次共抽查了________名学生; (2)请补全条形统计图(画图后标注相应的数据); (3)若该校共有 1000 名学生,请根据此次调查结果,试估计该校有多少名学生喜爱英语 俱乐部? 17 题图 答图 解:(1)该校此次共抽查了 12÷24%=50(名)学生,故答案为:50 (2)喜爱 C 的学生有: 50-8-10-12-14=6(人),补全的条形统计图如图所示 (3)1000×14 50 =280(名),答: 该校有 280 名学生喜爱英语俱乐部 20.(13 分)(2020·临沂)2020 年是脱贫攻坚年.为实现全员脱贫目标,某村贫困户在 当地政府支持帮助下,办起了养鸡场.经过一段时间精心饲养,总量为 3000 只的一批鸡可 以出售.现从中随机抽取 50 只,得到它们质量的统计数据如下: 质量/kg 组中值 频数(只) 0.9≤x<1.1 1.0 6 1.1≤x<1.3 1.2 9 1.3≤x<1.5 1.4 a 1.5≤x<1.7 1.6 15 1.7≤x<1.9 1.8 8 根据以上信息,解答下列问题: (1)表中 a=________,补全频数分布直方图; (2)这批鸡中质量不小于 1.7 kg 的大约有多少只? (3)这些贫困户的总收入达到 54000 元,就能实现全员脱贫目标.按 15 元/kg 的价格售 出这批鸡后,该村贫困户能否脱贫? 解:(1)a=50-8-15-9-6=12(只),补全频数分布直方图如图;故答案为:12 (2)3000× 8 50 =480(只),答:这批鸡中质量不小于 1.7 kg 的大约有 480 只 (3)x= 18 1×6+1.2×9+1.4×12+1.6×15+1.8×8 50 =1.44(千克),∵1.44×3000×15=64800> 54000,∴能脱贫,答:该村贫困户能脱贫 21.(14 分)(2020·沈阳)某市为了将生活垃圾合理分类,并更好地回收利用,将垃圾 分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类.现随机抽取该市 m 吨垃圾,将调查结 果制成如下两幅不完整的统计图: 根据统计图提供的信息,解答下列问题: (1)m=________,n=________; (2)根据以上信息直接补全条形统计图; (3)在扇形统计图中,厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为________度; (4)根据抽样调查的结果,请你估计该市 2000 吨垃圾中约有多少吨可回收物. 解:(1)m=8÷8%=100,n%=100-30-2-8 100 ×100%=60%,故答案为:100,60 (2) 可回收物有:100-30-2-8=60(吨),补全完整的条形统计图如图所示 (3)在扇形统计图 中,厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为:360°× 30 100 =108°,故答案为:108 (4)2000× 60 100 =1200(吨),即该市 2000 吨垃圾中约有 1200 吨可回收物 期中检测题 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.(2020·内江)如图,点 A,B,C,D 在⊙O 上,∠AOC=120°,点 B 是 AC 的中点, 19 则∠D 的度数是( A ) A.30° B.40° C.50° D.60° 2.下列二次函数中,图象以直线 x=2 为对称轴,且经过(0,1)的是( C ) A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3 第 1 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 3.二次函数 y=-x2+bx+c 的图象如图所示,若点 A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象 上,且 x1<x2<1,则 y1 与 y2 的大小关系是( B ) A.y1≤y2 B.y1<y2 C.y1≥y2 D.y1>y2 4.(2020·镇江)点 P(m,n)在以 y 轴为对称轴的二次函数 y=x2+ax+4 的图象上.则 m-n 的最大值等于( C ) A.15 4 B.4 C.-15 4 D.-17 4 5.(2020·通辽)如图,PA,PB 分别与⊙O 相切于 A,B 两点,∠P=72°,则∠C=( C ) A.108° B.72° C.54° D.36° 6.(2020·荆州)如图,在 6×6 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,点 A,B, C 均在网格交点上,⊙O 是△ABC 的外接圆,则 cos ∠BAC 的值为( B ) A. 5 5 B.2 5 5 C.1 2 D. 3 2 7.(湖州中考)已知 a,b 是非零实数,|a|>|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数 y1=ax2+bx 与一次函数 y2=ax+b 的大致图象不可能是( D ) 8.(2020·襄阳)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论:①ac<0;②3a +c=0;③4ac-b2<0;④当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小.其中正确的有( B ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 20 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9.(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同.当 水面刚好淹没小孔时,大孔水面宽度为 10 米,孔顶离水面 1.5 米;当水位下降,大孔水面 宽度为 14 米时,单个小孔的水面宽度为 4 米,若大孔水面宽度为 20 米,则单个小孔的水面 宽度为( B ) A.4 3 米 B.5 2 米 C.2 13 米 D.7 米 10.(潍坊中考)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 为直径,AD=CD,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,连接 AC 交 DE 于点 F.若 sin ∠CAB=3 5 ,DF=5,则 BC 的长为( C ) A.8 B.10 C.12 D.16 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(白银中考)将二次函数 y=x2-4x+5 化成 y=a(x-h)2+k 的形式为__y=(x-2)2 +1__. 12.(2020·黑龙江)如图,AD 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径,若∠BAD=40°,则∠ACB =__50__°. 第 12 题图 第 14 题图 13.(2020·南京)下列关于二次函数 y=-(x-m)2+m2+1(m 为常数)的结论:①该函数 的图象与函数 y=-x2 的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当 x>0 时, y 随 x 的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数 y=x2+1 的图象上.其中所有正确结论 的序号是__①②④__. 14.(2020·鄂尔多斯)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,∠BCD=30°, CD=2 3 ,则阴影部分面积 S 阴影=__2π 3 __. 15.(2020·荆州)我们约定:(a,b,c)为函数 y=ax2+bx+c 的“关联数”,当其图 象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,-m-2, 2)的函数图象与 x 轴有两个整交点(m 为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为__(1, 21 0),(2,0)或(0,2)__. 点拨:根据题意,令 y=0,将关联数(m,-m-2,2)代入函数 y=ax2+bx+c,则有 mx2 +(-m-2)x+2=0,Δ=(-m-2)2-4×2m=(m-2)2>0,∴mx2+(-m-2)x+2=0 有两个 根 , 由 求 根 公 式 可 得 x = m+2± (-m-2)2-8m 2m , x = m+2±|m-2| 2m , x1 = m+2+(m-2) 2m =1,此时 m 为不等于 0 的任意数,不合题意;x2=m+2+2-m 2m = 4 2m ,当 m=1 或 2 时符合题意,x2=2 或 1;x3=m+2-m+2 2m = 4 2m ,当 m=1 或 2 时符合题意,x3=2 或 1;x4=m+2-2+m 2m =1,此时 m 为不等于 0 的任意数,不合题意;所以这个函数图象上 整交点的坐标为(2,0),(1,0);令 x=0,可得 y=c=2,即得这个函数图象上整交点的坐 标(0,2).综上所述,这个函数图象上整交点的坐标为(2,0),(1,0)或(0,2);故答案为: (2,0),(1,0)或(0,2) 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C,D 在⊙O 上,且 AB=5,tan∠ADC=4 3 . (1)求 sin ∠BAC 的值; (2)如果 OE⊥AC,垂足为 E,求 OE 的长. 解:(1)3 5 (2)3 2 17.(9 分)如图,二次函数 y=(x-2)2+m 的图象与 y 轴交于点 C,点 B 是点 C 关于该 二次函数图象的对称轴对称的点,已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A(1,0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的表达式; (2)根据图象,写出满足 kx+b≥(x-2)2+m 的 x 的取值范围. 解:(1)y=x2-4x+3,y=x-1 (2)1≤x≤4 18.(9 分)(2020·安徽)如图,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆 O 上不同于 A,B 的两 点,AD=BC,AC 与 BD 相交于点 F.BE 是半圆 O 所在圆的切线,与 AC 的延长线相交于点 E. 22 (1)求证:△CBA≌△DAB; (2)若 BE=BF,求证:AC 平分∠DAB. (1)证明:∵AB 是半圆 O 的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,在 Rt△CBA 与 Rt△DAB 中, BC=AD, BA=AB, ∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL) (2)解:∵BE=BF,由(1)知 BC⊥EF,∴∠E=∠BFE, ∵BE 是半圆 O 所在圆的切线,∴∠ABE=90°,∴∠E+∠BAE=90°,由(1)知∠D=90°, ∴∠DAF+∠AFD=90°,∵∠AFD=∠BFE,∴∠AFD=∠E,∴∠DAF=90°-∠AFD,∠BAF =90°-∠E,∴∠DAF=∠BAF,∴AC 平分∠DAB 19.(9 分)(2020·北京)小云在学习过程中遇到一个函数 y=1 6 |x|(x2-x+1)(x≥-2). 下面是小云对其探究的过程,请补充完整: (1)当-2≤x<0 时,对于函数 y1=|x|,即 y1=-x,当-2≤x<0 时,y1 随 x 的增大而 ________,且 y1>0;对于函数 y2=x2-x+1,当-2≤x<0 时,y2 随 x 的增大而________, 且 y2>0;结合上述分析,进一步探究发现,对于函数 y,当-2≤x<0 时,y 随 x 的增大而 ________; (2)当 x≥0 时,对于函数 y,y 与 x 的几组对应值如下表: x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 … y 0 1 16 1 6 7 16 1 95 48 7 2 … 结合上表,进一步探究发现,当 x≥0 时,y 随 x 的增大而增大.在平面直角坐标系 xOy 中,画出当 x≥0 时的函数 y 的图象; (3)过点(0,m)(m>0)作平行于 x 轴的直线 l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线 l 与函数 y=1 6 |x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点,则 m 的最大值是________. 解:(1)减小,减小,减小 (2)函数图象如图所示: 23 (3)∵直线 l 与函数 y=1 6 |x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点,观察图象可知,x =-2 时,m 的值最大,最大值 m=1 6 ×2×(4+2+1)=7 3 ,故答案为7 3 20.(9 分)(2020·南京)小明和小丽先后从 A 地出发沿同一直道去 B 地.设小丽出发第 x min 时,小丽、小明离 B 地的距离分别为 y1m,y2m.y1 与 x 之间的函数表达式是 y1=-180x +2250,y2 与 x 之间的函数表达式是 y2=-10x2-100x+2000. (1)小丽出发时,小明离 A 地的距离为________m; (2)小丽出发至小明到达 B 地这段时间内,两人何时相距最近?最近距离是多少? 解:(1)∵y1=-180x+2250,y2=-10x2-100x+2000,∴当 x=0 时,y1=2250,y2 =2000,∴小丽出发时,小明离 A 地的距离为 2250-2000=250(m),故答案为:250 (2) 设小丽出发第 x min 时,两人相距 s m,则 s=(-180x+2250)-(-10x2-100x+2000)= 10x2-80x+250=10(x-4)2+90,∴当 x=4 时,s 取得最小值,此时 s=90,答:小丽出发 第 4 min 时,两人相距最近,最近距离是 90 m 21.(10 分)(2020·荆门)2020 年是决战决胜脱贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年, 荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按 30 天 计) 的 第 x 天 (x 为 正 整数 ) 的 销 售价 格 p( 元 / 千 克 )关 于 x 的 函 数关 系 式 为 p = 2 5 x+4(0<x≤20), -1 5 x+12(20<x≤30), 销售量 y(千克)与 x 之间的关系如图所示. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售 价格) 解:(1)当 0<x≤20 时,设 y 与 x 的函数关系式为 y=ax+b, b=80, 20a+b=40, 解得 a=-2, b=80, 即当 0<x≤20 时,y 与 x 的函数关系式为 y=-2x+80;当 20<x≤30 时,设 y 与 x 的函数关系式为 y=mx+n, 20m+n=40, 30m+n=80, 解得 m=4, n=-40, 即当 20<x≤30 时,y 与 x 的函数关系式为 y=4x-40,由上可得,y 与 x 的函数关系式为 y= -2x+80(0<x≤20) 4x-40(20<x≤30) (2)设当月第 x 天的销售额为 w 元,当 0<x≤20 时,w=(2 5 x+4)×(-2x+80)=-4 5 (x- 15)2+500,∴当x=15时,w取得最大值,此时w=500,当20<x≤30时,w=(-1 5 x+12)×(4x 24 -40)=-4 5 (x-35)2+500,∴当 x=30 时,w 取得最大值,此时 w=480,由上可得,当 x =15 时,w 取得最大值,此时 w=500,答:当月第 15 天,该农产品的销售额最大,最大销 售额是 500 元 22.(10 分)(2020·陕西)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°. 连接 AO 并延长,交⊙O 于点 D,连接 BD.过点 C 作⊙O 的切线,与 BA 的延长线相交于点 E. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AB=12,求线段 EC 的长. 题图 答图 (1)证明:连接 OC,∵CE 与⊙O 相切于点 C,∴∠OCE=90°,∵∠ABC=45°,∴∠AOC =90°,∵∠AOC+∠OCE=180°,∴AD∥EC (2)解:如图,过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 于 F, ∵∠BAC=75°,∠ABC=45°,∴∠ACB=60°,∴∠D=∠ACB=60°,∴sin ∠ADB=AB AD = 3 2 ,∴AD=12×2 3 =8 3 ,∴OA=OC=4 3 ,∵AF⊥EC,∠OCE=90°,∠AOC=90°, ∴四边形 OAFC 是矩形,又∵OA=OC,∴四边形 OAFC 是正方形,∴CF=AF=4 3 ,∵∠BAD =90°-∠D=30°,∴∠EAF=180°-90°-30°=60°,∵tan ∠EAF=EF AF = 3 ,∴ EF= 3 AF=12,∴CE=CF+EF=12+4 3 23.(11 分)(2020·武汉)将抛物线 C:y=(x-2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1,再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2. (1)直接写出抛物线 C1,C2 的解析式; (2)如图①,点 A 在抛物线 C1(对称轴 l 右侧)上,点 B 在对称轴 l 上,△OAB 是以 OB 为 斜边的等腰直角三角形,求点 A 的坐标; (3)如图②,直线 y=kx(k≠0,k 为常数)与抛物线 C2 交于 E,F 两点,M 为线段 EF 的中 点;直线 y=-4 k x 与抛物线 C2 交于 G,H 两点,N 为线段 GH 的中点.求证:直线 MN 经过一 个定点. 解:(1)∵抛物线 C:y=(x-2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1,∴C1:y=(x- 2)2-6,∵将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2.∴C2:y=(x-2+2)2-6,即 y 25 =x2-6 (2)过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,过 B 作 BD⊥AC 于点 D,如图 1,设 A[a,(a-2)2- 6],则 BD=a-2,AC=|(a-2)2-6|,∵∠BAO=∠ACO=90°,∴∠BAD+∠OAC=∠OAC+ ∠AOC=90°,∴∠BAD=∠AOC,∵AB=OA,∠ADB=∠OCA,∴△ABD≌△OAC(AAS),∴BD =AC,∴a-2=|(a-2)2-6|,解得 a=4,或 a=-1(舍去),或 a=0(舍去),或 a=5,∴ A(4,-2)或(5,3) (3)把 y=kx 代入 y=x2-6 中得,x2-kx-6=0,∴xE+xF=k,∴M(k 2 ,k2 2 ),把 y=- 4 k x 代入 y=x2-6 中得,x2+4 k x-6=0,∴xG+xH=-4 k ,∴N(-2 k ,8 k2 ),设 MN 的解析式 为 y=mx+n(m≠0),则 k 2 m+n=k2 2 , -2 k m+n=8 k2, 解得 m=k2-4 k , n=2, ∴直线 MN 的解析式为:y=k2-4 k x +2,当 x=0 时,y=2,∴直线 MN:y=k2-4 k x+2 经过定点(0,2),即直线 MN 经过一个 定点 期末检测题 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.已知⊙O 的半径为 5,若点 P 到圆心 O 的距离 PO=4,则点 P 与⊙O 的位置关系是( A ) A.点 P 在⊙O 内 B.点 P 在⊙O 上 C.点 P 在⊙O 外 D.无法判断 2.(上海中考)下列对二次函数 y=x2-x 的图象的描述,正确的是( C ) A.开口向下 B.对称轴是 y 轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的 3.实验中学有学生 3000 名,2020 年母亲节,晓彤为了调查本校大约有多少学生知道 自己母亲的生日,随机调查了 200 名学生,结果有 20 名同学不知道自己母亲的生日,关于 这个数据收集和处理的问题,下列说法错误的是( A ) A.个体是该校每一位学生 B.本校约有 300 名学生不知道自己母亲的生日 C.调查的方式是抽样调查 D.样本是随机调查的 200 名学生是否知道自己母亲的生日 4.(2020·陕西)如图,△ABC 内接于⊙O,∠A=50°.E 是边 BC 的中点,连接 OE 并延 26 长,交⊙O 于点 D,连接 BD,则∠D 的大小为( B ) A.55° B.65° C.60° D.75° 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 9 题图 第 10 题图 5.如图是二次函数 y=a(x+1)2+2 图象的一部分,则关于 x 的不等式 a(x+1)2+2>0 的解集是( C ) A.x<2 B.x>-3 C.-3<x<1 D.x<-3 或 x>1 6.(2020·泰安)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD 是直径, AD=8,则 AC 的长为( B ) A.4 B.4 3 C.8 3 3 D.2 3 7.如图,一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax2+bx+c 的图象相交于 P,Q 两点,则函数 y=ax2+(b-1)x+c 的图象可能为( A ) 8.某校七年级共 320 名学生参加数学测试,随机抽取 50 名学生的成绩进行统计,其中 15 名学生成绩达到优秀,估计该校七年级学生在这次数学测试中成绩达到优秀的人数大约 有( D ) A.50 人 B.64 人 C.90 人 D.96 人 9.(2020·泰安)如图,点 A,B 的坐标分别为 A(2,0),B(0,2),点 C 为坐标平面内 一点,BC=1,点 M 为线段 AC 的中点,连接 OM,则 OM 的最大值为( B ) A. 2 +1 B. 2 +1 2 C.2 2 +1 D.2 2 -1 2 10.(2020·丹东)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A,B 两点, 与 y 轴交于点 C,点 A 坐标为(-1,0),点 C 在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),抛物 线的顶点为 D,对称轴为直线 x=2.有以下结论:①abc>0;②若点 M(-1 2 ,y1),点 N(7 2 , y2)是函数图象上的两点,则 y1<y2;③-3 5 <a<-2 5 ;④△ADB 可以是等腰直角三角形.其 中正确的有( B ) 27 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11.(2020·牡丹江)将抛物线 y=ax2+bx-1 向上平移 3 个单位长度后,经过点(-2, 5),则 8a-4b-11 的值是__-5__. 12.(2020·苏州)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,连接 OC 交⊙O 于点 D,连接 BD.若∠C=40°,则∠B 的度数是__25__°. 第 12 题图 第 14 题图 13.商场 4 月份随机抽查了 6 天的营业额,结果如下(单位:万元):2.8,3.2,3.4, 3.7,3.0,3.1,试估算该商场 4 月份的总营业额大约是__96__万元. 14.(2020·恩施州)如图,已知半圆的直径 AB=4,点 C 在半圆上,以点 A 为圆心,AC 为半径画弧交 AB 于点 D,连接 BC.若∠ABC=60°,则图中阴影部分的面积为__2 3 -π __.(结果不取近似值) 15.(2020·武汉)抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a<0)经过 A(2,0),B(-4, 0)两点,下列四个结论:①一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 x1=2,x2=-4;②若点 C(- 5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则 y1<y2;③对于任意实数 t,总有 at2+bt≤a-b;④对 于 a 的每一个确定值,若一元二次方程 ax2+bx+c=p(p 为常数,p>0)的根为整数,则 p 的值只有两个.其中正确的结论是__①③__(填写序号). 三、解答题(共 75 分) 16.(8 分)下列抽样调查中,结果能否较准确地反映总体的情况,为什么? (1)某商场为了了解 10 月份的营业情况,从 10 月 2 日开始连续调查了 5 天的营业情况; (2)某公司为了了解自己产品的普及率,在市区某火车站对 100 名流动人员进行调查分 析. 解:(1)不能,因为 10 月 2 日~6 日是国庆假期,商品卖出的多 (2)不能,因为流动 人口远远少于固定人口 17.(9 分)(广东中考)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为 1,每个小正方形 的顶点叫格点,△ABC 的三个顶点均在格点上,以点 A 为圆心的 EF 与 BC 相切于点 D,分 别交 AB,AC 于点 E,F. (1)求△ABC 三边的长; (2)求图中由线段 EB,BC,CF 及 EF 所围成的阴影部分的面积. 28 解:(1)AB= 22+62 =2 10 ,AC= 62+22 =2 10 ,BC= 42+82 =4 5 (2)由(1) 得,AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°,连接 AD,AD= 22+42 =2 5 ,∴S 阴影=S△ABC-S 扇形 AEF =1 2 AB·AC-1 4 π·AD2=20-5π 18.(9 分)(2020·陕西)如图,抛物线 y=x2+bx+c 经过点(3,12)和(-2,-3),与 两坐标轴的交点分别为 A,B,C,它的对称轴为直线 l. (1)求该抛物线的表达式; (2)P 是该抛物线上的点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为 D,E 是 l 上的点.要使以 P,D, E 为顶点的三角形与△AOC 全等,求满足条件的点 P,点 E 的坐标. 解:(1)将点(3,12)和(-2,-3)代入抛物线表达式得{12=9+3b+c, 解得{b=2, 故抛物线的表达式为:y=x2+2x-3 (2)由(1)知抛物线的对称轴 l 为 x=-1,令 y=0, 则 x=-3 或 1,令 x=0,则 y=-3,故点 A,B 的坐标分别为(-3,0),(1,0);点 C(0, -3),故 OA=OC=3,∵∠PDE=∠AOC=90°,∴当 PD=DE=3 时,以 P,D,E 为顶点的三 角形与△AOC 全等,设点 P(m,n),当点 P 在抛物线对称轴右侧时,m-(-1)=3,解得:m =2,故 n=22+2×2-3=5,故点 P(2,5),故点 E(-1,2)或(-1,8);当点 P 在抛物线 对称轴的左侧时,由抛物线的对称性可得,点 P(-4,5),此时点 E 坐标同上,综上,点 P 的坐标为(2,5)或(-4,5);点 E 的坐标为(-1,2)或(-1,8) 19.(9 分)(2020·长沙)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 与过 C 点的直线 互相垂直,垂足为 D,AC 平分∠DAB. (1)求证:DC 为⊙O 的切线; (2)若 AD=3,DC= 3 ,求⊙O 的半径. 解:(1)如图,连接 OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵AC 平分∠DAB,∴∠DAC=∠OAC, ∴∠OCA=∠DAC,∴AD∥OC,∵AD⊥DC,∴OC⊥DC,又 OC 是⊙O 的半径,∴DC 为⊙O 的切 29 线 (2)过点 O 作 OE⊥AC 于点 E,在 Rt△ADC 中,AD=3,DC= 3 ,∴tan ∠DAC=DC AD = 3 3 , ∴∠DAC=30°,∴AC=2DC=2 3 ,∵OE⊥AC,根据垂径定理,得 AE=EC=1 2 AC= 3 , ∵∠EAO=∠DAC=30°,∴OA= AE cos 30° =2,∴⊙O 的半径为 2 20.(9 分)(2020·宜宾)在新冠肺炎疫情期间,为落实“停课不停学”,某校对本校学 生某一学科在家学习情况进行抽样调查,了解到学生的学习方式有:电视直播、任课教师在 线辅导、教育机构远程教学、自主学习.参与调查的学生只能选择一种学习方式,将调查结 果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图.根据如图所示的统计图,解答下列问题. (1)本次接受调查的学生有________名; (2)补全条形统计图; (3)根据调查结果,若本校有 1800 名学生,估计有多少名学生参与任课教师在线辅导? 解:(1)本次接受调查的学生有:9÷15%=60(名);故答案为:60 (2)选择 C 学习方式 的人数有:60-9-30-6=15(人),补全统计图如图 (3)根据题意得:1800×30 60 =900(名), 答:估计有 900 名学生参与任课教师在线辅导 21.(10 分)(2020·黄冈)网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的 库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗,为提高大家购买的积极性, 直播时,板栗公司每天拿出 2000 元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为 6 元/kg,每日销售量 y(kg)与销售单价 x(元/kg)满足关系式:y=-100x+5000.经销售发 现,销售单价不低于成本价且不高于 30 元/kg.当每日销售量不低于 4000 kg 时,每千克成 本将降低 1 元,设板栗公司销售该板栗的日获利为 w(元). (1)请求出日获利 w 与销售单价 x 之间的函数关系式; (2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?最大利润为多少元? (3)当 w≥40000 元时,网络平台将向板栗公司收取 a 元/kg(a<4)的相关费用,若此时 日获利的最大值为 42100 元,求 a 的值. 解:(1)当 y≥4000,即-100x+5000≥4000,∴x≤10,∴当 6≤x≤10 时,w=(x-6 +1)(-100x+5000)-2000=-100x2+5500x-27000,当 10<x≤30 时,w=(x-6)(-100x + 5000) - 2000 = - 100x2 + 5600x - 32000 , 综 上 所 述 : w = {-100x2+5500x-27000(6≤x≤10) (2)当 6≤x≤10 时,w=-100x2+5500x-27000 =-100(x-55 2 )2+48625,∵a=-100<0,对称轴为 x=55 2 ,∴当 6≤x≤10 时,y 随 x 的增大而增大,即当 x=10 时,w 最大值=18000(元),当 10<x≤30 时,w=-100x2+5600x -32000=-100(x-28)2+46400,∵a=-100<0,对称轴为 x=28,∴当 x=28 时,w 有 30 最大值为 46400 元,∵46400>18000,∴当销售单价定为 28 元时,销售这种板栗日获利最 大,最大利润为 46400 元 (3)∵40000>18000,∴10<x≤30,∴w=-100x2+5600x-32000, 当 w=40000 元时,40000=-100x2+5600x-32000,∴x1=20,x2=36,∴当 20≤x≤36 时, w≥40000,又∵10<x≤30,∴20≤x≤30,此时:日获利 w1=(x-6-a)(-100x+5000)- 2000=-100x2+(5600+100a)x-32000-5000a,∴对称轴为直线 x=- 5600+100a 2×(-100) =28 +1 2 a,∵a<4,∴28+1 2 a<30,∴当 x=28+1 2 a 时,日获利的最大值为 42100 元,∴(28 +1 2 a-6-a)[-100×(28+1 2 a)+5000]-2000=42100,∴a1=2,a2=86,∵a<4,∴a =2 22.(10 分)(2020·襄阳)如图,AB 是⊙O 的直径,E,C 是⊙O 上两点,且 EC = BC , 连接 AE,AC.过点 C 作 CD⊥AE 交 AE 的延长线于点 D. (1)判定直线 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若 AB=4,CD= 3 ,求图中阴影部分的面积. (1)证明:连接 OC,∵ EC = BC ,∴∠CAD=∠BAC,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO, ∴∠CAD=∠ACO,∴AD∥OC,∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD 是⊙O 的切线 (2)解:连接 OE, 连接 BE 交 OC 于点 F,∵ EC = BC ,∴OC⊥BE,BF=EF,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB =90°,∴∠FED=∠D=∠EFC=90°,∴四边形 DEFC 是矩形,∴EF=CD= 3 ,∴BE=2 3 , ∴AE= AB2-BE2 = 42-(2 3)2 =2,∴AE=1 2 AB,∴∠ABE=30°, ∴∠AOE=60°,∴∠BOE=120°,∵ EC = BC ,∴∠COE=∠BOC=60°,连接 CE, ∵OE=OC,∴△COE 是等边三角形,∴∠ECO=∠BOC=60°,∴CE∥AB,∴S△ACE=S△COE,∵ ∠OCD=90°,∠OCE=60°,∴∠DCE=30°,∴DE= 3 3 CD=1,∴AD=3,∴图中阴影部 分的面积=S△ACD-S 扇形 COE=1 2 × 3 ×3-60π×22 360 =3 3 2 -2π 3 23.(11 分)(2020·雅安)已知二次函数 y=x2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A,B(1, 31 0)两点,与 y 轴交于点 C(0,-3). (1)求二次函数的表达式及 A 点坐标; (2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点,求点 D 到直线 AC 的距离取得最大值时点 D 的坐标; (3)M 是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点 N.使以 M,N,B,O 为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点 N 的坐标(不写求解过程). 解:(1)把 B(1,0),C(0,-3)代入 y=x2+bx+c,则有{c=-3, 解得{b=2, ∴二 次函数的解析式为 y=x2+2x-3,令 y=0,得到 x2+2x-3=0,解得 x=-3 或 1,∴A(-3, 0) (2)如图①中连接 AD,CD.∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大,∴此时△DAC 的面积最大, 设直线 AC 解析式为:y=kx+b,把 A(-3,0),C(0,-3)代入,得{b=-3, 解得{k=-1, ∴直线 AC 的解析式为 y=-x-3,过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G,设点 D 的坐标为(x, x2+2x-3),则 G(x,-x-3),∵点 D 在第三象限,∴DG=-x-3-(x2+2x-3)=-x-3 -x2-2x+3=-x2-3x,∴S△ACD=1 2 DG·OA=1 2 (-x2-3x)×3=-3 2 x2-9 2 x=-3 2 (x+3 2 )2 +27 8 ,∴当 x=-3 2 时,S 最大=27 8 ,点 D(-3 2 ,-15 4 ),∴点 D 到直线 AC 的距离取得最 大时,D(-3 2 ,-15 4 ) (3)如图②中,当OB是平行四边形的边时,OB=MN=1,OB∥MN,可得N(-2,-3)或N′(0, -3),当 OB 为对角线时,点 N″的横坐标为 2,x=2 时,y=4+4-3=5,∴N″(2,5).综 上所述,满足条件的点 N 的坐标为(-2,-3)或(0,-3)或(2,5)