华东师大版九年级数学下册单元检测题全套及答案（含期中期末测试题） 31页

1 第 26 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列函数中，属于二次函数的是( C ) A．y＝－2x B．y＝x2＋1 x2 C．y＝(x＋3)2－9 D．y＝1 x2 ＋1 2．(益阳中考)下列函数中，y 总随 x 的增大而减小的是( B ) A．y＝4x B．y＝－4x C．y＝x－4 D．y＝x2 3．(2020·广东)把函数 y＝(x－1)2＋2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的函 数解析式为( C ) A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2＋3 4．用一根长为 12 cm 的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为( C ) A．7 cm2 B．8 cm2 C．9 cm2 D．10 cm2 5．(山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同， 跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近 似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点．拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB＝90 米)，以最 高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函 数表达式为( B ) A．y＝ 26 675 x2 B．y＝－ 26 675 x2 C．y＝ 13 1350 x2 D．y＝－ 13 1350 x2 第 5 题图 第 8 题图 第 10 题图 6．(2020·达州)如图，直线 y1＝kx 与抛物线 y2＝ax2＋bx＋c 交于 A，B 两点，则 y＝ax2 ＋(b－k)x＋c 的图象可能是( B ) 2 7．(2020·呼和浩特)关于二次函数 y＝1 4 x2－6x＋a＋27，下列说法错误的是( C ) A．若将图象向上平移 10 个单位，再向左平移 2 个单位后过点(4，5)，则 a＝－5 B．当 x＝12 时，y 有最小值 a－9 C．x＝2 对应的函数值比最小值大 7 D．当 a＜0 时，图象与 x 轴有两个不同的交点 8．(2020·长沙)“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但 制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的 百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间 t(单位：分钟)近 似满足的函数关系为：P＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根 据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( C ) A．3.50 分钟 B．4.05 分钟 C．3.75 分钟 D．4.25 分钟 9．(2020·江西)在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y＝x2－2x－3 与 y 轴 交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，连接 AB，将 Rt△OAB 向右上方平移，得到 Rt△O′A′B′， 且点 O′，A′落在抛物线的对称轴上，点 B′落在抛物线上，则直线 A′B′的表达式为( B ) A．y＝x B．y＝x＋1 C．y＝x＋1 2 D．y＝x＋2 10．(2020·随州)如图所示，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－1， 0)，B(3，0)两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，则下列结论：①2a＋b＝0；②2c ＜3b；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有 2 个；④当△BCD 是直角三角形时，a＝－ 2 2 . 其中正确的有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·哈尔滨)抛物线 y＝3(x－1)2＋8 的顶点坐标为__(1，8)__． 12．(天门中考)矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是__100__． 13．(2020·仙桃)某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出 200 顶．在“创 建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20 顶．已 知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为__70__元． 14．(2020·无锡)二次函数 y＝ax2－3ax＋3 的图象过点 A(6，0)，且与 y 轴交于点 B， 点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为__(3 2 ， －9)或(3 2 ，6)__． 15．(2020·内江)已知抛物线 y1＝－x2＋4x(如图)和直线 y2＝2x＋b.我们规定：当 x 取 任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和 y2.若 y1≠y2，取 y1 和 y2 中较大者为 M；若 y1＝ y2，记 M＝y1＝y2.①当 x＝2 时，M 的最大值为 4；②当 b＝－3 时，使 M＞y2 的 x 的取值范围 是－1＜x＜3；③当 b＝－5 时，使 M＝3 的 x 的值是 x1＝1，x2＝3；④当 b≥1 时，M 随 x 的 增大而增大．上述结论正确的是__②④__．(填写所有正确结论的序号) 3 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(2020·温州)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋1 经过点(1，－2)，(－2，13). (1)求 a，b 的值． (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且 y2＝12－y1，求 m 的值． 解：(1)把点(1，－2)，(－2，13)代入 y＝ax2＋bx＋1 得， －2＝a＋b＋1， 13＝4a－2b＋1， 解得： a＝1， b＝－4 (2)由(1)得函数解析式为 y＝x2－4x＋1，把 x＝5 代入 y＝x2－4x＋1 得 y1＝6，∴y2＝12 －y1＝6，∵y1＝y2，∴对称轴为 x＝2，∴m＝4－5＝－1 17．(9 分)已知一个二次函数的对称轴是直线 x＝1，图象上最低点 P 的纵坐标是－8， 图象经过点(－2，10)且与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C. (1)求这个二次函数的表达式； (2)求△ABC 的面积． 解：(1)y＝2x2－4x－6 (2)当 y＝0 时，2x2－4x－6＝0，即 x2－2x－3＝0，解得 x1＝3，x2＝－1，∴|AB|＝4. 当 x＝0 时，y＝－6，∴C(0，－6)，S△ABC＝1 2 ·|AB||yc|＝1 2 ×4×6＝12 18．(9 分)(2020·宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋4x－3 图象的 顶点是 A，与 x 轴交于 B，C 两点，与 y 轴交于点 D.点 B 的坐标是(1，0). (1)求 A，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当 y＞0 时 x 的取值范围． (2)平移该二次函数的图象，使点 D 恰好落在点 A 的位置上，求平移后图象所对应的二 次函数的表达式． 解：(1)把 B(1，0)代入 y＝ax2＋4x－3，得 0＝a＋4－3，解得 a＝－1，∴y＝－x2＋4x －3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，∵对称轴 x＝1，B，C 关于 x＝2 对称，∴C(3，0)，∴当 y ＞0 时，1＜x＜3 (2)∵D(0，－3)，∴点 D 平移到 A，抛物线向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位，可得抛物线的解析式为 y＝－(x－4)2＋5 19．(9 分)如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数 y2＝－x＋m 和二次函数 y1＝ax2 ＋bx－3 的图象上． (1)求 m 的值和二次函数的表达式； 4 (2)请直接写出 y2＞y1 时，x 的取值范围； (3)说出 y1＝ax2＋bx－3 可由 y＝x2 如何平移得到？ 解：(1)把 A(－1，0)代入 y＝－x＋m 中得 m＝－1，将 A，B 坐标代入 y1 中，得 a－b－3＝0， 4a＋2b－3＝－3， ∴ a＝1， b＝－2. ∴y1＝x2－2x－3 (2)当 y2＞y1 时，－1＜x＜2 (3)y1＝x2 －2x－3＝(x－1)2－4.可由 y＝x2 向下平移 4 个单位，再向右平移 1 个单位得到 20．(9 分)(2020·临沂)已知抛物线 y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在 x 轴上，求其解析式； (3)设点 P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若 y1＜y2，求 m 的取值范围． 解：(1)∵抛物线 y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3.∴抛物线的对称轴为直 线 x＝1 (2)∵抛物线的顶点在 x 轴上，∴2a2－a－3＝0，解得 a＝3 2 或 a＝－1，∴抛物线 为 y＝3 2 x2－3x＋3 2 或 y＝－x2＋2x－1 (3)∵抛物线的对称轴为 x＝1，则 Q(3，y2)关于 x ＝1 对称点的坐标为(－1，y2)，∴当 a＝3 2 ，－1＜m＜3 时，y1＜y2；当 a＝－1，m＜－1 或 m＞3 时，y1＜y2 21．(10 分)(2020·河北)用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实 验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘 米)的平方成正比，当 x＝3 时，W＝3. (1)求 W 与 x 的函数关系式； (2)如图，选一块厚度为 6 厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块 板(不计分割损耗).设薄板的厚度为 x(厘米)，Q＝W 厚－W 薄． ①求 Q 与 x 的函数关系式； ②x 为何值时，Q 是 W 薄的 3 倍？[注：(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围] 解：(1)设 W＝kx2(k≠0).∵当 x＝3 时，W＝3，∴3＝9k，解得 k＝1 3 ，∴W 与 x 的函数 关系式为 W＝1 3 x2 (2)①设薄板的厚度为 x 厘米，则厚板的厚度为(6－x)厘米，∴Q＝W 厚－ W 薄＝1 3 (6－x)2－1 3 x2＝－4x＋12，即 Q 与 x 的函数关系式为 Q＝－4x＋12 ②∵Q 是 W 薄的 3 倍，∴－4x＋12＝3×1 3 x2，整理得，x2＋4x－12＝0，解得 x1＝2，x2＝－6(不合题意舍去)， 故当 x 为 2 时，Q 是 W 薄的 3 倍 22．(10 分)(2020·随州)2020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调 查发现某药店某月(按 30 天计)前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的关系如下表： 5 第 x 天 1 2 3 4 5 销售价格 p(元/只) 2 3 4 5 6 销量 q(只) 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只， 该药店从第 6天起将该型号口罩的价格调整为 1 元/只．据统计，该药店从第 6 天起销量q(只) 与第 x 天的关系为 q＝－2x2＋80x－200 (6≤x≤30，且 x 为整数)，已知该型号口罩的进货 价格为 0.5 元/只． (1)直接写出该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q 与 x 之间的函数关系式； (2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W(元)与 x 的函数关系式，并判断第几天 的利润最大； (3)物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获 得的正常利润之外的非法所得部分处以 m 倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元，则 m 的取 值范围为________. 解：(1)根据表格数据可知：前 5 天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量 q(只)与第 x 天的关系式为：p＝x＋1，1≤x≤5 且 x 为整数；q＝5x＋65，1≤x≤5 且 x 为整数 (2)当 1≤x≤5 且 x 为整数时，W＝(x＋1－0.5)(5x＋65)＝5x2＋135 2 x＋65 2 ；当 6≤x≤30 且 x 为 整 数 时 ， W ＝ (1 － 0.5)( － 2x2 ＋ 80x － 200) ＝ － x2 ＋ 40x － 100. 即 有 W ＝ 5x2＋135 2 x＋65 2 ，1≤x≤5 且 x 为整数， －x2＋40x－100，6≤x≤30 且 x 为整数， 当 1≤x≤5 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的 增大而增大，故当 x＝5 时，W 有最大值为：495 元；当 6≤x≤30 且 x 为整数时，W＝－x2 ＋40x－100＝－(x－20)2＋300，故当 x＝20 时，W 有最大值为：300 元；由 495＞300，可知： 第 5 天的利润最大为 495 元 (3)根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为： (2－1)×70＋(3－1)×75＋(4－1)×80＋(5－1)×85＋(6－1)×90＝1250(元)，∴1250m≥ 2000，解得 m≥8 5 .则 m 的取值范围为 m≥8 5 .故答案为：m≥8 5 23．(11 分)(河南中考)如图，抛物线 y＝ax2＋1 2 x＋c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C.直线 y＝－1 2 x－2 经过点 A，C. (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标 为 m. ①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； ②作点 B 关于点 C 的对称点 B′，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B′到该直线的距 离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l：y＝kx ＋b 的解析式．(k，b 可用含 m 的式子表示) 6 解：(1)当 x＝0 时，y＝－1 2 x－2＝－2，∴点 C 的坐标为(0，－2)；当 y＝0 时，－1 2 x －2＝0，解得：x＝－4，∴点 A 的坐标为(－4，0).将 A(－4，0)，C(0，－2)代入 y＝ax2 ＋1 2 x＋c，得： 16a－2＋c＝0， c＝－2， 解得 a＝1 4 ， c＝－2， ∴抛物线的解析式为 y＝1 4 x2＋1 2 x－2 (2)①∵PM⊥x 轴，∴∠PMC≠90°，∴分两种情况考虑，如图①所示．(Ⅰ)当∠MPC＝90° 时，PC∥x 轴，∴点 P 的纵坐标为－2.当 y＝－2 时，即 1 4 x2＋1 2 x－2＝－2，解得：x1＝－2， x2＝0，∴点 P 的坐标为(－2，－2)；(Ⅱ)当∠PCM＝90°时，设 PC 与 x 轴交于点 D.∵∠OAC ＋∠OCA＝90°，∠OCA＋∠OCD＝90°，∴∠OAC＝∠OCD.又∵∠AOC＝∠COD＝90°，∴△AOC ∽△COD，∴OD OC ＝OC OA ，即OD 2 ＝2 4 ，∴OD＝1，∴点 D 的坐标为(1，0).设直线 PC 的解析式 为 y＝kx＋b(k≠0)，将 C(0，－2)，D(1，0)代入 y＝kx＋b，得： b＝－2， k＋b＝0， 解得： k＝2， b＝－2， ∴直线 PC 的解 析式为 y＝ 2x－2.联立 直线 PC 和抛 物线的解 析式成方 程组 ，得： y＝2x－2， y＝1 4 x2＋1 2 x－2， 解得： x1＝0， y1＝－2， x2＝6， y2＝10， 点 P 的坐标为(6，10). 综上所述：当△PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为(－2，－2)或(6，10) ②当 y＝0 时，1 4 x2＋1 2 x－2＝0，解得：x1＝－4，x2＝2，∴点 B 的坐标为(2，0).∵点 C 的坐标为(0， －2)，点 B，B′关于点 C 对称，∴点 B′的坐标为(－2，－4).∵点 P 的横坐标为 m(m＞0 且 m≠2)，∴点 M 的坐标为(m，－1 2 m－2).利用待定系数法可求出：直线 BM 的解析式为 y ＝－ m＋4 2m－4 x＋m＋4 m－2 ，直线 B′M 的解析式为 y＝－m＋4 2m＋4 x－5m＋4 m＋2 ，直线 BB′的解析式为 y＝x－2.分三种情况考虑，如图②所示：当直线 l∥BM 且过点 C 时，直线 l 的解析式为 y＝ － m＋4 2m－4 x－2；当直线 l∥B′M 且过点 C 时，直线 l 的解析式为 y＝－m＋4 2m＋4 x－2；当直线 l∥BB′且过线段 CM 的中点 N(1 2 m，－1 4 m－2)时，直线 l 的解析式为 y＝x－3 4 m－2.综上所 述：直线 l 的解析式为 y＝－ m＋4 2m－4 x－2，y＝－m＋4 2m＋4 x－2 或 y＝x－3 4 m－2 7 第 27 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·荆门)如图，⊙O 中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC 的度数为( D ) A．14° B．28° C．42° D．56° 第 1 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 2．已知⊙O 的半径为 5，且圆心 O 到直线 l 的距离 d＝2sin 30°＋ 9 ＋|－2|，则直 线 l 与圆的位置关系是( C ) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．(2020·眉山)如图，四边形 ABCD 的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝ 45°，则∠ADB 的度数为( C ) A．55° B．60° C．65° D．70° 4．(2020·徐州)如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，OC⊥OA，OC 交 AB 于 点 P.若∠BPC＝70°，则∠ABC 的度数等于( B ) A．75° B．70° C．65° D．60° 5．(2020·聊城)如图，有一块半径为 1 m，圆心角为 90°的扇形铁皮，要把它做成一 个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为( C ) A．1 4 m B．3 4 m C． 15 4 m D． 3 2 m 6．(2020·宁夏)如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2 ，以点 C 为圆心 画弧与斜边 AB 相切于点 D，交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积是( A ) A．1－π 4 B．π－1 4 C．2－π 4 D．1＋π 4 7．(2020·永州)如图，已知 PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，线段 OP 交⊙O 于点 M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形 OAPB 有外接圆；④M 是△AOP 外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 8 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8．(2020·随州)设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h，r，R，则下列结论不正确的是( C ) A．h＝R＋r B．R＝2r C．r＝ 3 4 a D．R＝ 3 3 a 9．(2020·武汉)如图，在半径为 3 的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是 AC 的中点， AC 与 BD 交于点 E.若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是( D ) A．5 2 3 B．3 3 C．3 2 D．4 2 10．(泸州中考)如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， 且 AB＝AC＝5，BC＝6，则 DE 的长是( D ) A.3 10 10 B．3 10 5 C．3 5 5 D．6 5 5 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·宜宾)如图，A，B，C 是⊙O 上的三点，若△OBC 是等边三角形，则 cos ∠A ＝__ 3 2 __． 第 11 题图 第 14 题图 第 15 题图 12．(2020·宿迁)用半径为 4，圆心角为 90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个 圆锥的底面圆半径为__1__． 13．(2020·青海)已知⊙O 的直径为 10 cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm， CD＝6 cm，则 AB 与 CD 之间的距离为__1 或 7__cm. 14．(2020·黄石)匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos，1913－1996)曾提出：在平面 内有 n 个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的 n 个点构成的点集 称为爱尔特希点集．如图，是由五个点 A，B，C，D，O 构成的爱尔特希点集(它们为正五边 形的任意四个顶点及正五边形的中心构成)，则∠ADO 的度数是__18°__． 15．(2020·鄂州)如图，已知直线 y＝－ 3 x＋4 与 x，y 轴交于 A，B 两点，⊙O 的半 9 径为 1，P 为 AB 上一动点，PQ 切⊙O 于 Q 点．当线段 PQ 长取最小值时，直线 PQ 交 y 轴于 M 点，a 为过点 M 的一条直线，则点 P 到直线 a 的距离的最大值为__2 3 __． 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(2020·嘉兴)已知：如图，在△OAB 中，OA＝OB，⊙O 与 AB 相切于点 C.求证： AC＝BC.小明同学的证明过程如下框： 证明：连结 OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC. 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 解：证法错误；证明：连结 OC，∵⊙O 与 AB 相切于点 C，∴OC⊥AB，∵OA＝OB，∴AC ＝BC 17．(9 分)(2020·山西)如图，四边形 OABC 是平行四边形，以点 O 为圆心，OC 为半径 的⊙O 与 AB 相切于点 B，与 AO 相交于点 D，AO 的延长线交⊙O 于点 E，连接 EB 交 OC 于点 F. 求∠C 和∠E 的度数． 解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB ∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C ＝∠OBC＝45°，∵AO∥BC，∴∠AOB＝∠OBC＝45°，∴∠E＝1 2 ∠AOB＝22.5° 18．(9 分)如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 M，弦 MN∥BC 交 AB 于点 E， 且 ME＝3，AE＝4，AM＝5. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)求⊙O 的直径 AB 的长度． 10 (1)证明：∵在△AME 中，ME＝3，AE＝4，AM＝5，∴AM2＝ME2＋AE2，∴△AME 是直角三 角形，∴∠AEM＝90°，又∵MN∥BC，∴∠ABC＝∠AEM＝90°，∴AB⊥BC，∵AB 为直径，∴ BC 是⊙O 的切线 (2)解：连接 OM，设⊙O 的半径是 r，在 Rt△OEM 中，OE＝AE－OA＝4－r， ME＝3，OM＝r，∵OM2＝ME2＋OE2，∴r2＝32＋(4－r)2，解得：r＝25 8 ，∴AB＝2r＝25 4 19．(9 分)(2020·武汉)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，AE 与过点 D 的切线互相垂直，垂足为 E. (1)求证：AD 平分∠BAE； (2)若 CD＝DE，求 sin ∠BAC 的值． (1)证明：连接 OD，如图，∵DE 为切线，∴OD⊥DE，∵DE⊥AE，∴OD∥AE，∴∠1＝∠ODA， ∵OA＝OD，∴∠2＝∠ODA，∴∠1＝∠2，∴AD 平分∠BAE (2)解：连接 BD，如图，∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠2＋∠ABD＝90°，∠3＋ ∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∵sin ∠1＝DE AD ，sin ∠3＝DC BC ，而 DE＝DC，∴AD＝BC， 设 CD＝x，BC＝AD＝y，∵∠DCB＝∠BCA，∠3＝∠2，∴△CDB∽△CBA，∴CD：CB＝CB： CA，即 x：y＝y：(x＋y)，整理得 x2＋xy－y2＝0，解得 x＝－1＋ 5 2 y 或 x＝－1－ 5 2 y(舍 去)，∴sin ∠3＝DC BC ＝ 5－1 2 ，即 sin ∠BAC 的值为 5－1 2 20．(9 分)(2020·河南)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图 三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据 实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长． 使用方法如图 2 所示，若要把∠MEN 三等分，只需适当放置三分角器，使 DB 经过∠MEN 的顶点 E，点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把∠MEN 三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求 证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已 知 ： 如 图 2 ， 点 A ， B ， O ， C 在 同 一 直 线 上 ， EB ⊥ AC ， 垂 足 为 点 B ， ________________________． 求证：________________________． 11 解：已知：AB＝OB，EN 切半圆 O 于 F.求证：EB，EO 把∠MEN 三等分，证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE＝∠OBE＝90°，∵AB＝OB，BE＝BE，∴△ABE≌△OBE(S.A.S.)，∴∠1＝∠2，∵BE ⊥OB，∴BE 是⊙E 的切线，∵EN 切半圆 O 于 F，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴EB，EO 把∠MEN 三等分 21．(10 分)(2020·随州)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作⊙O，与 BC 交于点 M，与 AB 的另一个交点为 E，过 M 作 MN⊥AB，垂足为 N. (1)求证：MN 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的直径为 5，sin B＝3 5 ，求 ED 的长． (1)证明：连接 OM，如图 1，∵OC＝OD，∴∠OCM＝∠OMC，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，∴CD＝1 2 AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∵MN⊥BD，∴ OM⊥MN，∵OM 为半径，∴MN 是⊙O 的切线 (2)解：连接 DM，CE，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即 DM⊥BC， CE⊥AB，由(1)知：BD＝CD＝5，∴M 为 BC 的中点，∵sin B＝3 5 ，∴cos B＝4 5 ，在 Rt△BMD 中，BM＝BD·cos B＝4，∴BC＝2BM＝8，在 Rt△CEB 中，BE＝BC·cos B＝32 5 ，∴ED＝BE －BD＝32 5 －5＝7 5 22．(10 分)(2020·包头)如图，AB 是⊙O 的直径，半径 OC⊥AB，垂足为 O，直线 l 为 ⊙O 的切线，A 是切点，D 是 OA 上一点，CD 的延长线交直线 l 于点 E，F 是 OB 上一点，CF 的延长线交⊙O 于点 G，连接 AC，AG，已知⊙O 的半径为 3，CE＝ 34 ，5BF－5AD＝4. (1)求 AE 的长； (2)求 cos ∠CAG 的值及 CG 的长． 12 解：(1)延长 CO 交⊙O 于 T，过点 E 作 EH⊥CT 于 H.∵直线 l 是⊙O 的切线，∴AE⊥OA， ∵OC⊥AB，∴∠EAO＝∠AOH＝∠EHO＝90°，∴四边形 AEHO 是矩形，∴EH＝OA＝3，AE＝OH， ∵CH＝ EC2－EH2 ＝ （ 34）2－32 ＝5，∴AE＝OH＝CH－CO＝5－3＝2 (2)∵AE∥OC，∴ AE OC ＝AD DO ＝2 3 ，∴AD＝2 5 OA＝6 5 ，∵5BF－5AD＝4，∴BF＝2，∴OF＝OB－BF＝1，AF＝AO＋ OF＝4， CF＝ OC2＋OF2 ＝ 32＋12 ＝ 10 ，∵∠FAC＝∠FGB，∠AFC＝∠GFB，∴△AFC∽△GFB， ∴AF FG ＝CF BF ，∴ 4 FG ＝ 10 2 ，∴FG＝4 10 5 ，∴CG＝FG＋CF＝9 10 5 ，∵CT 是直径，∴∠CGT ＝90°，∴GT＝ TC2－CG2 ＝ 62－（9 10 5 ）2 ＝3 10 5 ，∴cos ∠CTG＝TG TC ＝ 3 10 5 6 ＝ 10 10 ，∵∠CAG＝∠CTG，∴cos ∠CAG＝ 10 10 23．(11 分)(成都中考)如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为圆上的两点，OC∥BD，弦 AD， BC 相交于点 E. (1)求证： AC ＝ CD ； (2)若 CE＝1，EB＝3，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 P，过点 P 作 PQ∥CB 交 ⊙O 于 F，Q 两点(点 F 在线段 PQ 上)，求 PQ 的长． 题图 答图 解：(1)∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD，∴∠OBC＝∠CBD， ∴ AC ＝ CD (2)如图，连接 AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4，∵ AC ＝ CD ，∴∠CAD 13 ＝∠ABC，且∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴AC CE ＝CB AC ，∴AC2＝CB·CE＝4×1，∴AC＝ 2，∵AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝ AC2＋BC2 ＝2 5 ，∴⊙O 的半径为 5 (3)如 图，过点 O 作 OH⊥FQ 于点 H，连接 OQ，∵PC 是⊙O 切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°， ∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA，∴△APC∽△CPB，∴PA PC ＝PC PB ＝AC BC ＝2 4 ＝1 2 ， ∴PC＝2PA，PC2＝PA·PB，∴4PA2＝PA×(PA＋2 5 )，∴PA＝2 5 3 ，∴PO＝5 5 3 ，∵PQ∥ BC，∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°，∴△PHO∽△BCA，∴AC OH ＝BC PH ＝AB PO ，即 2 OH ＝ 4 PH ＝ 2 5 5 5 3 ，∴PH＝10 3 ，OH＝5 3 ，∴HQ＝ OQ2－OH2 ＝2 5 3 ，∴PQ＝PH＋HQ＝10＋2 5 3 第 28 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·安顺)2020 年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以 便有针对性进行防疫，一志愿者得到某栋楼 60 岁以上人的年龄(单位：岁)数据如下：62， 63，75，79，68，85，82，69，70.获得这组数据的方法是( C ) A．直接观察 B．实验 C．调查 D．测量 2．为了了解某市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了 1000 名学生的 数学成绩．下列说法正确的是( D ) A．某市九年级学生是总体 B．每一名九年级学生是个体 C．1000 名九年级学生是总体的一个样本 D．样本容量是 1000 3．(湘西州中考)从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们 的平均成绩都是 9 环，方差分别是 s 甲 2＝0.25，s 乙 2＝0.3，s 丙 2＝0.4，s 丁 2＝0.35，你认为 派谁去参赛更合适( A ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．以下几个抽样调查选取样本的方法合适的是( D ) A．为了解全班同学单元测试的平均成绩，老师抽查前 5 名同学的平均成绩 B．为调查居民的收入情况，对我市银行职工进行抽查 C．为调查某市主要植物种类，对山顶的部分植物作抽查 D．为调查某洗衣机厂产品质量情况，在其生产流水线上每隔 10 台产品抽取一台 5．在一个口袋中装有形状和大小完全相同的 10 个黄色球和若干个红色球，充分搅匀后 随意摸出 5 个球，结果恰有 2 个黄色球，据此可估计袋中红色球的个数大约是( C ) A．3 个 B．10 个 C．15 个 D．25 个 6．(2020·乐山)某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校 学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优” 划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有 2000 人，则其中成绩 14 为“良”和“优”的总人数估计为( A ) A.1100 B．1000 C．900 D．110 第 6 题图 第 8 题图 第 10 题图 7．八(1)班有 48 位学生，春游前，班长把全班学生对春游地点的意向绘制成了扇形统 计图，其中“想去迪士尼乐园的学生数”的扇形圆心角为 60°，则下列说法正确的是( D ) A．想去迪士尼乐园的学生占全班学生的 60% B．想去迪士尼乐园的学生有 12 人 C．想去迪士尼乐园的学生肯定最多 D．想去迪士尼乐园的学生占全班学生的1 6 8．(2020·威海)为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初 二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内 心？针对该项调查结果制作的两个统计图(不完整)如图．由图中信息可知，下列结论错误的 是( C ) A．本次调查的样本容量是 600 B．选“责任”的有 120 人 C．扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为 64.8° D．选“感恩”的人数最多 9．对甲、乙两厂某种产品的质量的检验的结果如下： 厂家 甲 乙 被检产品数 10 10 不合格数 2 1 下列对于两厂产品不合格率说法正确的是( D ) A．甲厂生产出来的产品的不合格率高 B．乙厂生产出来的产品的不合格率高 C．两个厂生产出来的产品的不合格率一样 D．由于样本容量太小，所以无法判断 10．(2020·南京)党的十八大以来，党中央把脱贫攻坚摆到更加突出的位置．根据国家 统计局发布的数据，2012～2019 年年末全国农村贫困人口的情况如图所示．根据图中提供 的信息，下列说法错误的是( A ) A．2019 年末，农村贫困人口比上年末减少 551 万人 B．2012 年末至 2019 年末，农村贫困人口累计减少超过 9000 万人 C．2012 年末至 2019 年末，连续 7 年每年农村贫困人口减少 1000 万人以上 D．为在 2020 年末农村贫困人口全部脱贫，今年要确保完成减少 551 万农村贫困人口的 任务 15 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(贺州中考)调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用__抽样调查__方式更 合适．(填“全面调查”或“抽样调查”) 12．(2020·郴州)质检部门从 1000 件电子元件中随机抽取 100 件进行检测，其中有 2 件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有__20__件次品． 13．甲、乙、丙三组各有 7 名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是 58，方差分 别为 s 甲 2＝36，s 乙 2＝25.4，s 丙 2＝16.则数据波动最小的一组是__丙__． 14．为了测量调查对象每分钟的心跳情况，甲同学建议测量 2 分钟的心跳次数再除以 2， 乙同学建议测量 5 秒钟的心跳次数再乘以 12，如果把甲、乙两位同学的方法得出的每分钟 的心跳次数分别称为甲样本和乙样本，则比较合适的样本是__甲__． 15．(2020·温州)某养猪场对 200 头生猪的质量进行统计，得到频数直方图(每一组含 前一个边界值，不含后一个边界值)如图所示，其中质量在 77.5 kg 及以上的生猪有__140__ 头． 三、解答题(共 75 分) 16．(12 分)(2020·广东)某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问 卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名 学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了 120 名学生的有效问卷，数据整理如下： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 人数(人) 24 72 18 x (1)求 x 的值； (2)若该校有学生 1800 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解” 垃圾分类知识的学生共有多少人？ 解：(1)x＝120－(24＋72＋18)＝6 (2)1800×24＋72 120 ＝1440(人)，答：根据抽样调查 结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有 1440 人 17．(12 分)(2020·大庆)为了了解某校某年级 1000 名学生一分钟的跳绳次数，从中随 机抽取了 40 名学生的一分钟跳绳次数(次数为整数，且最高次数不超过 150 次)，整理后绘 制成如图的频数直方图，图中的 a，b 满足关系式 2a＝3b.后由于保存不当，部分原始数据 模糊不清，但已知缺失数据都大于 120.请结合所给条件，回答下列问题． (1)求问题中的总体和样本容量； (2)求 a，b 的值(请写出必要的计算过程)； (3)如果一分钟跳绳次数在 125 次以上(不含 125 次)为跳绳成绩优秀，那么估计该校该 年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？(注：该年级共 1000 名学生) 16 解：(1)1000 名学生一分钟的跳绳次数是总体，40 是样本容量 (2)由题意所给数据可 知：50.5～75.5 的有 4 人，75.5～100.5 的有 16 人，∴a＋b＝40－4－16＝20，∵2a＝3b， ∴解得 a＝12，b＝8 (3)1000× 8 40 ＝200(人)，答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的 人数大约是 200 人 18．(12 分)(2020·绵阳)为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入 到复工复产中．现有 A，B 两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同， 品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取 100 个鸡腿，然后再从中随机各抽取 10 个，记录它们的质量(单位：克)如表： A 加工厂 74 75 75 75 73 77 78 72 76 75 B 加工厂 78 74 78 73 74 75 74 74 75 75 (1)根据表中数据，求 A 加工厂的 10 个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； (2)估计 B 加工厂这 100 个鸡腿中，质量为 75 克的鸡腿有多少个？ (3)根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ 解：(1)把这些数从小到大排列，最中间的数是第 5 和第 6 个数的平均数，则中位数是 75＋75 2 ＝75(克)；因为 75 出现了 4 次，出现的次数最多，所以众数是 75 克；平均数是：1 10 (74 ＋75＋75＋75＋73＋77＋78＋72＋76＋75)＝75(克) (2)根据题意得：100× 3 10 ＝30(个)， 答：质量为 75 克的鸡腿有 30 个 (3)选 B 加工厂的鸡腿．A 的方差是：1 10 [(74－75)2＋4×(75 －75)2＋…＋(76－75)2]＝2.8；B 的平均数为 1 10 (78＋74＋…＋75＋75)＝75，B 的方差是 1 10 [(78－75)2＋(74－75)2＋…＋(75－75)2]＝2.6；∵A，B 平均值一样，B 的方差比 A 的方 差小，B 更稳定，∴选 B 加工厂的鸡腿 19．(12 分)(2020·宿迁)某校计划成立下列学生社团． 社团名称 文学社 动漫创作社 合唱团 生物实验小组 英语俱乐部 社团代号 A B C D E 为了解该校学生对上述社团的喜爱情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷 调查(每名学生必需选一个且只能选一个学生社团).根据统计数据，绘制了如图条形统计图 和扇形统计图(部分信息未给出). (1)该校此次共抽查了________名学生； (2)请补全条形统计图(画图后标注相应的数据)； (3)若该校共有 1000 名学生，请根据此次调查结果，试估计该校有多少名学生喜爱英语 俱乐部？ 17 题图 答图 解：(1)该校此次共抽查了 12÷24%＝50(名)学生，故答案为：50 (2)喜爱 C 的学生有： 50－8－10－12－14＝6(人)，补全的条形统计图如图所示 (3)1000×14 50 ＝280(名)，答： 该校有 280 名学生喜爱英语俱乐部 20．(13 分)(2020·临沂)2020 年是脱贫攻坚年．为实现全员脱贫目标，某村贫困户在 当地政府支持帮助下，办起了养鸡场．经过一段时间精心饲养，总量为 3000 只的一批鸡可 以出售．现从中随机抽取 50 只，得到它们质量的统计数据如下： 质量/kg 组中值 频数(只) 0.9≤x＜1.1 1.0 6 1.1≤x＜1.3 1.2 9 1.3≤x＜1.5 1.4 a 1.5≤x＜1.7 1.6 15 1.7≤x＜1.9 1.8 8 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中 a＝________，补全频数分布直方图； (2)这批鸡中质量不小于 1.7 kg 的大约有多少只？ (3)这些贫困户的总收入达到 54000 元，就能实现全员脱贫目标．按 15 元/kg 的价格售 出这批鸡后，该村贫困户能否脱贫？ 解：(1)a＝50－8－15－9－6＝12(只)，补全频数分布直方图如图；故答案为：12 (2)3000× 8 50 ＝480(只)，答：这批鸡中质量不小于 1.7 kg 的大约有 480 只 (3)x＝ 18 1×6＋1.2×9＋1.4×12＋1.6×15＋1.8×8 50 ＝1.44(千克)，∵1.44×3000×15＝64800＞ 54000，∴能脱贫，答：该村贫困户能脱贫 21．(14 分)(2020·沈阳)某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾 分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．现随机抽取该市 m 吨垃圾，将调查结 果制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)m＝________，n＝________； (2)根据以上信息直接补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为________度； (4)根据抽样调查的结果，请你估计该市 2000 吨垃圾中约有多少吨可回收物． 解：(1)m＝8÷8%＝100，n%＝100－30－2－8 100 ×100%＝60%，故答案为：100，60 (2) 可回收物有：100－30－2－8＝60(吨)，补全完整的条形统计图如图所示 (3)在扇形统计图 中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为：360°× 30 100 ＝108°，故答案为：108 (4)2000× 60 100 ＝1200(吨)，即该市 2000 吨垃圾中约有 1200 吨可回收物 期中检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2020·内江)如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，∠AOC＝120°，点 B 是 AC 的中点， 19 则∠D 的度数是( A ) A．30° B．40° C．50° D．60° 2．下列二次函数中，图象以直线 x＝2 为对称轴，且经过(0，1)的是( C ) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3 第 1 题图 第 3 题图 第 5 题图 第 6 题图 3．二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象 上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是( B ) A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 4．(2020·镇江)点 P(m，n)在以 y 轴为对称轴的二次函数 y＝x2＋ax＋4 的图象上．则 m－n 的最大值等于( C ) A．15 4 B．4 C．－15 4 D．－17 4 5．(2020·通辽)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，∠P＝72°，则∠C＝( C ) A．108° B．72° C．54° D．36° 6．(2020·荆州)如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A，B， C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则 cos ∠BAC 的值为( B ) A． 5 5 B．2 5 5 C．1 2 D． 3 2 7．(湖州中考)已知 a，b 是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y1＝ax2＋bx 与一次函数 y2＝ax＋b 的大致图象不可能是( D ) 8．(2020·襄阳)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a ＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而减小．其中正确的有( B ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 20 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．(2020·绵阳)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当 水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水面 宽度为 14 米时，单个小孔的水面宽度为 4 米，若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水面 宽度为( B ) A．4 3 米 B．5 2 米 C．2 13 米 D．7 米 10．(潍坊中考)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，AD＝CD，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，连接 AC 交 DE 于点 F.若 sin ∠CAB＝3 5 ，DF＝5，则 BC 的长为( C ) A．8 B．10 C．12 D．16 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(白银中考)将二次函数 y＝x2－4x＋5 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式为__y＝(x－2)2 ＋1__． 12．(2020·黑龙江)如图，AD 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB ＝__50__°. 第 12 题图 第 14 题图 13．(2020·南京)下列关于二次函数 y＝－(x－m)2＋m2＋1(m 为常数)的结论：①该函数 的图象与函数 y＝－x2 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 y＝x2＋1 的图象上．其中所有正确结论 的序号是__①②④__. 14．(2020·鄂尔多斯)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，∠BCD＝30°， CD＝2 3 ，则阴影部分面积 S 阴影＝__2π 3 __． 15．(2020·荆州)我们约定：(a，b，c)为函数 y＝ax2＋bx＋c 的“关联数”，当其图 象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为(m，－m－2， 2)的函数图象与 x 轴有两个整交点(m 为正整数)，则这个函数图象上整交点的坐标为__(1， 21 0)，(2，0)或(0，2)__． 点拨：根据题意，令 y＝0，将关联数(m，－m－2，2)代入函数 y＝ax2＋bx＋c，则有 mx2 ＋(－m－2)x＋2＝0，Δ＝(－m－2)2－4×2m＝(m－2)2＞0，∴mx2＋(－m－2)x＋2＝0 有两个 根 ， 由 求 根 公 式 可 得 x ＝ m＋2± （－m－2）2－8m 2m ， x ＝ m＋2±|m－2| 2m ， x1 ＝ m＋2＋（m－2） 2m ＝1，此时 m 为不等于 0 的任意数，不合题意；x2＝m＋2＋2－m 2m ＝ 4 2m ，当 m＝1 或 2 时符合题意，x2＝2 或 1；x3＝m＋2－m＋2 2m ＝ 4 2m ，当 m＝1 或 2 时符合题意，x3＝2 或 1；x4＝m＋2－2＋m 2m ＝1，此时 m 为不等于 0 的任意数，不合题意；所以这个函数图象上 整交点的坐标为(2，0)，(1，0)；令 x＝0，可得 y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐 标(0，2).综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2，0)，(1，0)或(0，2)；故答案为： (2，0)，(1，0)或(0，2) 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，且 AB＝5，tan∠ADC＝4 3 . (1)求 sin ∠BAC 的值； (2)如果 OE⊥AC，垂足为 E，求 OE 的长． 解：(1)3 5 (2)3 2 17．(9 分)如图，二次函数 y＝(x－2)2＋m 的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该 二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过该二次函数图象上点 A(1，0)及点 B. (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)根据图象，写出满足 kx＋b≥(x－2)2＋m 的 x 的取值范围． 解：(1)y＝x2－4x＋3，y＝x－1 (2)1≤x≤4 18．(9 分)(2020·安徽)如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上不同于 A，B 的两 点，AD＝BC，AC 与 BD 相交于点 F.BE 是半圆 O 所在圆的切线，与 AC 的延长线相交于点 E. 22 (1)求证：△CBA≌△DAB； (2)若 BE＝BF，求证：AC 平分∠DAB. (1)证明：∵AB 是半圆 O 的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在 Rt△CBA 与 Rt△DAB 中， BC＝AD， BA＝AB， ∴Rt△CBA≌Rt△DAB(HL) (2)解：∵BE＝BF，由(1)知 BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE， ∵BE 是半圆 O 所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E＋∠BAE＝90°，由(1)知∠D＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°－∠AFD，∠BAF ＝90°－∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC 平分∠DAB 19．(9 分)(2020·北京)小云在学习过程中遇到一个函数 y＝1 6 |x|(x2－x＋1)(x≥－2). 下面是小云对其探究的过程，请补充完整： (1)当－2≤x＜0 时，对于函数 y1＝|x|，即 y1＝－x，当－2≤x＜0 时，y1 随 x 的增大而 ________，且 y1＞0；对于函数 y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0 时，y2 随 x 的增大而________， 且 y2＞0；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 y，当－2≤x＜0 时，y 随 x 的增大而 ________； (2)当 x≥0 时，对于函数 y，y 与 x 的几组对应值如下表： x 0 1 2 1 3 2 2 5 2 3 … y 0 1 16 1 6 7 16 1 95 48 7 2 … 结合上表，进一步探究发现，当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大．在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 x≥0 时的函数 y 的图象； (3)过点(0，m)(m＞0)作平行于 x 轴的直线 l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线 l 与函数 y＝1 6 |x|(x2－x＋1)(x≥－2)的图象有两个交点，则 m 的最大值是________. 解：(1)减小，减小，减小 (2)函数图象如图所示： 23 (3)∵直线 l 与函数 y＝1 6 |x|(x2－x＋1)(x≥－2)的图象有两个交点，观察图象可知，x ＝－2 时，m 的值最大，最大值 m＝1 6 ×2×(4＋2＋1)＝7 3 ，故答案为7 3 20．(9 分)(2020·南京)小明和小丽先后从 A 地出发沿同一直道去 B 地．设小丽出发第 x min 时，小丽、小明离 B 地的距离分别为 y1m，y2m.y1 与 x 之间的函数表达式是 y1＝－180x ＋2250，y2 与 x 之间的函数表达式是 y2＝－10x2－100x＋2000. (1)小丽出发时，小明离 A 地的距离为________m； (2)小丽出发至小明到达 B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？ 解：(1)∵y1＝－180x＋2250，y2＝－10x2－100x＋2000，∴当 x＝0 时，y1＝2250，y2 ＝2000，∴小丽出发时，小明离 A 地的距离为 2250－2000＝250(m)，故答案为：250 (2) 设小丽出发第 x min 时，两人相距 s m，则 s＝(－180x＋2250)－(－10x2－100x＋2000)＝ 10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90，∴当 x＝4 时，s 取得最小值，此时 s＝90，答：小丽出发 第 4 min 时，两人相距最近，最近距离是 90 m 21．(10 分)(2020·荆门)2020 年是决战决胜脱贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年， 荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按 30 天 计) 的 第 x 天 (x 为 正 整数 ) 的 销 售价 格 p( 元 / 千 克 )关 于 x 的 函 数关 系 式 为 p ＝ 2 5 x＋4（0＜x≤20）， －1 5 x＋12（20＜x≤30）， 销售量 y(千克)与 x 之间的关系如图所示． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； (2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售 价格) 解：(1)当 0＜x≤20 时，设 y 与 x 的函数关系式为 y＝ax＋b， b＝80， 20a＋b＝40， 解得 a＝－2， b＝80， 即当 0＜x≤20 时，y 与 x 的函数关系式为 y＝－2x＋80；当 20＜x≤30 时，设 y 与 x 的函数关系式为 y＝mx＋n， 20m＋n＝40， 30m＋n＝80， 解得 m＝4， n＝－40， 即当 20＜x≤30 时，y 与 x 的函数关系式为 y＝4x－40，由上可得，y 与 x 的函数关系式为 y＝ －2x＋80（0＜x≤20） 4x－40（20＜x≤30） (2)设当月第 x 天的销售额为 w 元，当 0＜x≤20 时，w＝(2 5 x＋4)×(－2x＋80)＝－4 5 (x－ 15)2＋500，∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，当20＜x≤30时，w＝(－1 5 x＋12)×(4x 24 －40)＝－4 5 (x－35)2＋500，∴当 x＝30 时，w 取得最大值，此时 w＝480，由上可得，当 x ＝15 时，w 取得最大值，此时 w＝500，答：当月第 15 天，该农产品的销售额最大，最大销 售额是 500 元 22．(10 分)(2020·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°. 连接 AO 并延长，交⊙O 于点 D，连接 BD.过点 C 作⊙O 的切线，与 BA 的延长线相交于点 E. (1)求证：AD∥EC； (2)若 AB＝12，求线段 EC 的长． 题图 答图 (1)证明：连接 OC，∵CE 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC ＝90°，∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC (2)解：如图，过点 A 作 AF⊥EC 交 EC 于 F， ∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin ∠ADB＝AB AD ＝ 3 2 ，∴AD＝12×2 3 ＝8 3 ，∴OA＝OC＝4 3 ，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°， ∴四边形 OAFC 是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形 OAFC 是正方形，∴CF＝AF＝4 3 ，∵∠BAD ＝90°－∠D＝30°，∴∠EAF＝180°－90°－30°＝60°，∵tan ∠EAF＝EF AF ＝ 3 ，∴ EF＝ 3 AF＝12，∴CE＝CF＋EF＝12＋4 3 23．(11 分)(2020·武汉)将抛物线 C：y＝(x－2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2. (1)直接写出抛物线 C1，C2 的解析式； (2)如图①，点 A 在抛物线 C1(对称轴 l 右侧)上，点 B 在对称轴 l 上，△OAB 是以 OB 为 斜边的等腰直角三角形，求点 A 的坐标； (3)如图②，直线 y＝kx(k≠0，k 为常数)与抛物线 C2 交于 E，F 两点，M 为线段 EF 的中 点；直线 y＝－4 k x 与抛物线 C2 交于 G，H 两点，N 为线段 GH 的中点．求证：直线 MN 经过一 个定点． 解：(1)∵抛物线 C：y＝(x－2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物线 C1，∴C1：y＝(x－ 2)2－6，∵将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2.∴C2：y＝(x－2＋2)2－6，即 y 25 ＝x2－6 (2)过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过 B 作 BD⊥AC 于点 D，如图 1，设 A[a，(a－2)2－ 6]，则 BD＝a－2，AC＝|(a－2)2－6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD＋∠OAC＝∠OAC＋ ∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC(AAS)，∴BD ＝AC，∴a－2＝|(a－2)2－6|，解得 a＝4，或 a＝－1(舍去)，或 a＝0(舍去)，或 a＝5，∴ A(4，－2)或(5，3) (3)把 y＝kx 代入 y＝x2－6 中得，x2－kx－6＝0，∴xE＋xF＝k，∴M(k 2 ，k2 2 )，把 y＝－ 4 k x 代入 y＝x2－6 中得，x2＋4 k x－6＝0，∴xG＋xH＝－4 k ，∴N(－2 k ，8 k2 )，设 MN 的解析式 为 y＝mx＋n(m≠0)，则 k 2 m＋n＝k2 2 ， －2 k m＋n＝8 k2， 解得 m＝k2－4 k ， n＝2， ∴直线 MN 的解析式为：y＝k2－4 k x ＋2，当 x＝0 时，y＝2，∴直线 MN：y＝k2－4 k x＋2 经过定点(0，2)，即直线 MN 经过一个 定点 期末检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．已知⊙O 的半径为 5，若点 P 到圆心 O 的距离 PO＝4，则点 P 与⊙O 的位置关系是( A ) A.点 P 在⊙O 内 B．点 P 在⊙O 上 C．点 P 在⊙O 外 D．无法判断 2．(上海中考)下列对二次函数 y＝x2－x 的图象的描述，正确的是( C ) A.开口向下 B．对称轴是 y 轴 C.经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的 3．实验中学有学生 3000 名，2020 年母亲节，晓彤为了调查本校大约有多少学生知道 自己母亲的生日，随机调查了 200 名学生，结果有 20 名同学不知道自己母亲的生日，关于 这个数据收集和处理的问题，下列说法错误的是( A ) A.个体是该校每一位学生 B.本校约有 300 名学生不知道自己母亲的生日 C.调查的方式是抽样调查 D.样本是随机调查的 200 名学生是否知道自己母亲的生日 4．(2020·陕西)如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝50°.E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延 26 长，交⊙O 于点 D，连接 BD，则∠D 的大小为( B ) A.55° B．65° C．60° D．75° 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 9 题图 第 10 题图 5．如图是二次函数 y＝a(x＋1)2＋2 图象的一部分，则关于 x 的不等式 a(x＋1)2＋2＞0 的解集是( C ) A.x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3 或 x＞1 6．(2020·泰安)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD 是直径， AD＝8，则 AC 的长为( B ) A.4 B．4 3 C．8 3 3 D．2 3 7．如图，一次函数 y1＝x 与二次函数 y2＝ax2＋bx＋c 的图象相交于 P，Q 两点，则函数 y＝ax2＋(b－1)x＋c 的图象可能为( A ) 8．某校七年级共 320 名学生参加数学测试，随机抽取 50 名学生的成绩进行统计，其中 15 名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中成绩达到优秀的人数大约 有( D ) A.50 人 B．64 人 C．90 人 D．96 人 9．(2020·泰安)如图，点 A，B 的坐标分别为 A(2，0)，B(0，2)，点 C 为坐标平面内 一点，BC＝1，点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为( B ) A. 2 ＋1 B． 2 ＋1 2 C．2 2 ＋1 D．2 2 －1 2 10．(2020·丹东)如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，点 A 坐标为(－1，0)，点 C 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，抛物 线的顶点为 D，对称轴为直线 x＝2.有以下结论：①abc＞0；②若点 M(－1 2 ，y1)，点 N(7 2 ， y2)是函数图象上的两点，则 y1＜y2；③－3 5 ＜a＜－2 5 ；④△ADB 可以是等腰直角三角形．其 中正确的有( B ) 27 A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2020·牡丹江)将抛物线 y＝ax2＋bx－1 向上平移 3 个单位长度后，经过点(－2， 5)，则 8a－4b－11 的值是__－5__． 12．(2020·苏州)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接 OC 交⊙O 于点 D，连接 BD.若∠C＝40°，则∠B 的度数是__25__°. 第 12 题图 第 14 题图 13．商场 4 月份随机抽查了 6 天的营业额，结果如下(单位：万元)：2.8，3.2，3.4， 3.7，3.0，3.1，试估算该商场 4 月份的总营业额大约是__96__万元． 14．(2020·恩施州)如图，已知半圆的直径 AB＝4，点 C 在半圆上，以点 A 为圆心，AC 为半径画弧交 AB 于点 D，连接 BC.若∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为__2 3 －π __．(结果不取近似值) 15．(2020·武汉)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a＜0)经过 A(2，0)，B(－4， 0)两点，下列四个结论：①一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 x1＝2，x2＝－4；②若点 C(－ 5，y1)，D(π，y2)在该抛物线上，则 y1＜y2；③对于任意实数 t，总有 at2＋bt≤a－b；④对 于 a 的每一个确定值，若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝p(p 为常数，p＞0)的根为整数，则 p 的值只有两个．其中正确的结论是__①③__(填写序号). 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)下列抽样调查中，结果能否较准确地反映总体的情况，为什么？ (1)某商场为了了解 10 月份的营业情况，从 10 月 2 日开始连续调查了 5 天的营业情况； (2)某公司为了了解自己产品的普及率，在市区某火车站对 100 名流动人员进行调查分 析． 解：(1)不能，因为 10 月 2 日～6 日是国庆假期，商品卖出的多 (2)不能，因为流动 人口远远少于固定人口 17．(9 分)(广东中考)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形 的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点 A 为圆心的 EF 与 BC 相切于点 D，分 别交 AB，AC 于点 E，F. (1)求△ABC 三边的长； (2)求图中由线段 EB，BC，CF 及 EF 所围成的阴影部分的面积． 28 解：(1)AB＝ 22＋62 ＝2 10 ，AC＝ 62＋22 ＝2 10 ，BC＝ 42＋82 ＝4 5 (2)由(1) 得，AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接 AD，AD＝ 22＋42 ＝2 5 ，∴S 阴影＝S△ABC－S 扇形 AEF ＝1 2 AB·AC－1 4 π·AD2＝20－5π 18．(9 分)(2020·陕西)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点(3，12)和(－2，－3)，与 两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l. (1)求该抛物线的表达式； (2)P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点．要使以 P，D， E 为顶点的三角形与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标． 解：(1)将点(3，12)和(－2，－3)代入抛物线表达式得{12＝9＋3b＋c， 解得{b＝2， 故抛物线的表达式为：y＝x2＋2x－3 (2)由(1)知抛物线的对称轴 l 为 x＝－1，令 y＝0， 则 x＝－3 或 1，令 x＝0，则 y＝－3，故点 A，B 的坐标分别为(－3，0)，(1，0)；点 C(0， －3)，故 OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当 PD＝DE＝3 时，以 P，D，E 为顶点的三 角形与△AOC 全等，设点 P(m，n)，当点 P 在抛物线对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得：m ＝2，故 n＝22＋2×2－3＝5，故点 P(2，5)，故点 E(－1，2)或(－1，8)；当点 P 在抛物线 对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P(－4，5)，此时点 E 坐标同上，综上，点 P 的坐标为(2，5)或(－4，5)；点 E 的坐标为(－1，2)或(－1，8) 19．(9 分)(2020·长沙)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过 C 点的直线 互相垂直，垂足为 D，AC 平分∠DAB. (1)求证：DC 为⊙O 的切线； (2)若 AD＝3，DC＝ 3 ，求⊙O 的半径． 解：(1)如图，连接 OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又 OC 是⊙O 的半径，∴DC 为⊙O 的切 29 线 (2)过点 O 作 OE⊥AC 于点 E，在 Rt△ADC 中，AD＝3，DC＝ 3 ，∴tan ∠DAC＝DC AD ＝ 3 3 ， ∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2 3 ，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得 AE＝EC＝1 2 AC＝ 3 ， ∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA＝ AE cos 30° ＝2，∴⊙O 的半径为 2 20．(9 分)(2020·宜宾)在新冠肺炎疫情期间，为落实“停课不停学”，某校对本校学 生某一学科在家学习情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任课教师在 线辅导、教育机构远程教学、自主学习．参与调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结 果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图．根据如图所示的统计图，解答下列问题． (1)本次接受调查的学生有________名； (2)补全条形统计图； (3)根据调查结果，若本校有 1800 名学生，估计有多少名学生参与任课教师在线辅导？ 解：(1)本次接受调查的学生有：9÷15%＝60(名)；故答案为：60 (2)选择 C 学习方式 的人数有：60－9－30－6＝15(人)，补全统计图如图 (3)根据题意得：1800×30 60 ＝900(名)， 答：估计有 900 名学生参与任课教师在线辅导 21．(10 分)(2020·黄冈)网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的 库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性， 直播时，板栗公司每天拿出 2000 元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为 6 元/kg，每日销售量 y(kg)与销售单价 x(元/kg)满足关系式：y＝－100x＋5000.经销售发 现，销售单价不低于成本价且不高于 30 元/kg.当每日销售量不低于 4000 kg 时，每千克成 本将降低 1 元，设板栗公司销售该板栗的日获利为 w(元). (1)请求出日获利 w 与销售单价 x 之间的函数关系式； (2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？ (3)当 w≥40000 元时，网络平台将向板栗公司收取 a 元/kg(a＜4)的相关费用，若此时 日获利的最大值为 42100 元，求 a 的值． 解：(1)当 y≥4000，即－100x＋5000≥4000，∴x≤10，∴当 6≤x≤10 时，w＝(x－6 ＋1)(－100x＋5000)－2000＝－100x2＋5500x－27000，当 10＜x≤30 时，w＝(x－6)(－100x ＋ 5000) － 2000 ＝ － 100x2 ＋ 5600x － 32000 ， 综 上 所 述 ： w ＝ {－100x2＋5500x－27000（6≤x≤10） (2)当 6≤x≤10 时，w＝－100x2＋5500x－27000 ＝－100(x－55 2 )2＋48625，∵a＝－100＜0，对称轴为 x＝55 2 ，∴当 6≤x≤10 时，y 随 x 的增大而增大，即当 x＝10 时，w 最大值＝18000(元)，当 10＜x≤30 时，w＝－100x2＋5600x －32000＝－100(x－28)2＋46400，∵a＝－100＜0，对称轴为 x＝28，∴当 x＝28 时，w 有 30 最大值为 46400 元，∵46400＞18000，∴当销售单价定为 28 元时，销售这种板栗日获利最 大，最大利润为 46400 元 (3)∵40000＞18000，∴10＜x≤30，∴w＝－100x2＋5600x－32000， 当 w＝40000 元时，40000＝－100x2＋5600x－32000，∴x1＝20，x2＝36，∴当 20≤x≤36 时， w≥40000，又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30，此时：日获利 w1＝(x－6－a)(－100x＋5000)－ 2000＝－100x2＋(5600＋100a)x－32000－5000a，∴对称轴为直线 x＝－ 5600＋100a 2×（－100） ＝28 ＋1 2 a，∵a＜4，∴28＋1 2 a＜30，∴当 x＝28＋1 2 a 时，日获利的最大值为 42100 元，∴(28 ＋1 2 a－6－a)[－100×(28＋1 2 a)＋5000]－2000＝42100，∴a1＝2，a2＝86，∵a＜4，∴a ＝2 22．(10 分)(2020·襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径，E，C 是⊙O 上两点，且 EC ＝ BC ， 连接 AE，AC.过点 C 作 CD⊥AE 交 AE 的延长线于点 D. (1)判定直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 AB＝4，CD＝ 3 ，求图中阴影部分的面积． (1)证明：连接 OC，∵ EC ＝ BC ，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线 (2)解：连接 OE， 连接 BE 交 OC 于点 F，∵ EC ＝ BC ，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形 DEFC 是矩形，∴EF＝CD＝ 3 ，∴BE＝2 3 ， ∴AE＝ AB2－BE2 ＝ 42－（2 3）2 ＝2，∴AE＝1 2 AB，∴∠ABE＝30°， ∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵ EC ＝ BC ，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接 CE， ∵OE＝OC，∴△COE 是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵ ∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝ 3 3 CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部 分的面积＝S△ACD－S 扇形 COE＝1 2 × 3 ×3－60π×22 360 ＝3 3 2 －2π 3 23．(11 分)(2020·雅安)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交于 A，B(1， 31 0)两点，与 y 轴交于点 C(0，－3). (1)求二次函数的表达式及 A 点坐标； (2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点 D 到直线 AC 的距离取得最大值时点 D 的坐标； (3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 N.使以 M，N，B，O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点 N 的坐标(不写求解过程). 解：(1)把 B(1，0)，C(0，－3)代入 y＝x2＋bx＋c，则有{c＝－3， 解得{b＝2， ∴二 次函数的解析式为 y＝x2＋2x－3，令 y＝0，得到 x2＋2x－3＝0，解得 x＝－3 或 1，∴A(－3， 0) (2)如图①中连接 AD，CD.∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大，∴此时△DAC 的面积最大， 设直线 AC 解析式为：y＝kx＋b，把 A(－3，0)，C(0，－3)代入，得{b＝－3， 解得{k＝－1， ∴直线 AC 的解析式为 y＝－x－3，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D 的坐标为(x， x2＋2x－3)，则 G(x，－x－3)，∵点 D 在第三象限，∴DG＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x－3 －x2－2x＋3＝－x2－3x，∴S△ACD＝1 2 DG·OA＝1 2 (－x2－3x)×3＝－3 2 x2－9 2 x＝－3 2 (x＋3 2 )2 ＋27 8 ，∴当 x＝－3 2 时，S 最大＝27 8 ，点 D(－3 2 ，－15 4 )，∴点 D 到直线 AC 的距离取得最 大时，D(－3 2 ，－15 4 ) (3)如图②中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N(－2，－3)或N′(0， －3)，当 OB 为对角线时，点 N″的横坐标为 2，x＝2 时，y＝4＋4－3＝5，∴N″(2，5).综 上所述，满足条件的点 N 的坐标为(－2，－3)或(0，－3)或(2，5)