2010年西城区中考一模数学试题 13页

北京市西城区2010年抽样测试 初三数学试卷 2010.5‎ 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级和姓名。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4. 在答题卡上，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。‎ ‎5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1. -4的绝对值等于 ‎ A. 4 B. 　 C. - 　 D. -4 ‎ ‎2. 据统计，今年春节期间，北京本市居民在京旅游人数为2 410 000人次，同比增长17.6%.将2 410 000用科学记数法表示应为 ‎. 　　B. C. D. ‎ A B C D E O ‎3．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E .若CD＝8，OE=3，则⊙O的直径为 A. 5 　B. ‎6 ‎ 　　 C.8 D. 10‎ ‎4．若一个正多边形的一个内角是144°，则这个多边形的边数为 A. 12 B. ‎11 ‎ 　　 C.10 D. 9‎ ‎5．，则的值为 A.－6 B. ‎9 ‎ 　　 C.6 　 D. －9‎ ‎6．对于数据：85，83，85，81，86．下列说法中正确的是（ ）‎ A．这组数据的中位数是84 　　　 B．这组数据的方差是3.2 ‎ C．这组数据的平均数是85 D．这组数据的众数是86‎ ‎7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点P 若规定以下两种变换：‎ ‎①．如 ‎②．如 按照以上变换，那么等于 A． B． C． D． ‎ 图2‎ 图1‎ ‎8．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为 A. 　 B. ‎ C. 　 D. ‎ 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9．若分式的值为零，则x的值为　　　　 ．‎ C A E D B ‎10．分解因式： 　　　　 ．‎ ‎11．如图，在△ABC中，D、E分别AB、AC边上的点，DE∥BC．若AD＝3，DB＝5，DE＝1.2，则BC＝ 　　 ．‎ x y ‎8‎ ‎-8‎ ‎-4‎ ‎4‎ O A B C D ‎12．在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形AnBnCn D n的四个顶点坐标分别为（－2n,0），（0, n），（2n，0），（0，－n）（n为正整数），则菱形AnBnCn D n能覆盖的单位格点正方形的个数为 　　　　 （用含有n的式子表示）. ‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．计算：.‎ ‎14．解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解.‎ C B E A F DC G ‎15．已知：如图，A、B、C、D四点在一条直线上，且AB=CD，∠A=∠D，∠ECD=∠FBA.‎ 求证： AE=DF .‎ ‎16．已知，求的值.‎ ‎17．列方程或方程组解应用题：‎ ‎“家电下乡”农民得实惠，根据“家电下乡”的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户．小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机， 他从乡政府领到了390元补贴款． 若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？‎ D A B C ‎18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠BAC=105°，AD=CD=4．‎ 求BC的长．‎ 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）‎ ‎19．某电脑公司现有A，B，C三种型号的电脑和D，E两种型号的打印机．某校要从其中选购一台电脑和一台打印机送给山区小学．‎ ‎(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）；‎ ‎(2) 已知A、D是甲厂生产的产品，B、C、E是乙厂生产的产品．如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂生产的产品被选中的概率是多少？‎ x y O A ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-6‎ ‎2‎ ‎-8‎ ‎-4‎ ‎4‎ ‎20．如图，将直线沿轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A（），与双曲线（）交于点B．‎ ‎（1）求直线AB的解析式； ‎ ‎（2）若点B的纵坐标为m， 求k的值（用含m的代数式表示）． ‎ F C O D E A B ‎21．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF＝AE． ‎ ‎（1）求证：BF是⊙O的切线； ‎ ‎ (2）若AD＝4，，求BC的长．‎ A G H B E D F C ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎22．在△ABC中， BC＝a，BC边上的高h＝，沿图中线段DE、CF将△ABC剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG，如图1所示．‎ 请你解决如下问题：‎ 已知：如图2，在△A′B′C′中， B′C′＝a，B′C′边上的高h＝．请你设计两种不同的分割方法，将△A′B′C′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．‎ A′‎ B′‎ C′‎ 图3‎ A′‎ B′‎ C′‎ 图4‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．已知关于x的方程．‎ ‎（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；‎ ‎（2）若关于的二次函数的图象关于y轴对称．‎ ‎①求这个二次函数的解析式；‎ ‎②已知一次函数，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若二次函数y3＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．‎ 求二次函数y3＝ax2＋bx＋c的解析式.‎ ‎24．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，.‎ ‎（1）求证：AD=AE； ‎ ‎（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF. ‎ 求证：；‎ ‎（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.‎ 图1‎ E B C A D 图3‎ E B C A D 图2‎ E C B A D F P ‎25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC． ‎ y O A B C ‎1‎ ‎1‎ x ‎（1）求证：△ABC是等边三角形；‎ ‎（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．‎ ‎①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；‎ ‎②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F，设△AEF的面积为S1，△CFP的面积为S2，‎ y＝S1－S2，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．‎ 初三数学试卷答案及评分参考 2010.5 ‎ 阅卷须知：‎ ‎1.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎2.若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。‎ 一、选择题（共32分，每小题4分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A B ‎ D C B B A C 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎－2‎ ‎3.2‎ ‎48‎ 三、解答题（本题共30分 ，每小题5分）‎ ‎13．解： ‎ ‎＝ 4分 ‎=． 5分 ‎①‎ ‎②‎ ‎14．解：‎ 由①得x≥－2． 1分 由②得x＜3． 2分 不等式组的解集在数轴上表示如下： ‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎ 3分 所以原不等式组的解集为－2≤x＜3． 4分 所以原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2． 5分 F E G C B A DC 图1‎ ‎15．证明：如图1，‎ ‎∵ A、B、C、D四点在一条直线上，∠ECD=∠FBA，‎ ‎∴ ∠ECA=∠FBD ． 1分 ‎∵ AB=CD ‎∴ AB+BC=CD+BC，‎ 即 AC=DB． 2分 在△AEC和△DFB中，‎ ‎∴ △AEC≌△DFB ． 4分 ‎∴ AE = DF． 5分 ‎16．解：‎ ‎= 2分 ‎= ‎ ‎= ． 3分 当时，. 4分 原式==－6. 5分 ‎17．解：设一台彩电的售价为元，一台洗衣机的售价为元. 1分 ‎ 根据题意得： 3分 ‎ 解得 4分 ‎ 答：一台彩电售价2000元，一台洗衣机售价1000元． 5分 ‎18．解：作AE∥DC交BC于点E，AF⊥BC于点F（如图2）． 1分 ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形． 2分 D A B C E F 图2‎ ‎∵AD=CD，‎ ‎∴四边形ADCE是菱形． ‎ ‎∴ AE=EC=CD=AD=4． 3分 ‎∴∠EAC＝∠ACB，‎ ‎∵∠B=45°，∠BAC=105°， ‎ ‎∴∠ACB=180°－∠B－∠BAC=30°．‎ ‎∴∠AEB=∠EAC＋∠ACB =60°．‎ 在Rt△AEF中，，． 4分 在Rt△ABF中，． ‎ ‎∴BC=BF＋EF＋EC=． 5分 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）‎ ‎19．解：（1） 树状图如下： ‎ ‎　　　　　　　甲品牌 ‎ ‎ ‎　　　　　　　乙品牌 有6种可能结果：(A，D)，（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）．‎ 或列表如下：‎ ‎　　　甲 A B C 乙 D ‎（D，A）‎ ‎（D，B）‎ ‎（D，C）‎ E ‎（E，A）‎ ‎（E，B）‎ ‎（E，C）‎ ‎ 3分 ‎（2） 因为选中B型号电脑有2种方案，即(B，D)、（B，E），所以B型号电脑选中的概率是． 5分 ‎20．解：（1）将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（），‎ 设直线AB的解析式为． 1分 x y O A B ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎-6‎ ‎2‎ ‎-8‎ ‎-4‎ ‎4‎ 图3‎ 则．‎ 解得． 2分 ‎∴直线AB的解析式为． 3分 ‎（2）设点B的坐标为（xB，m），‎ ‎∵直线AB经过点B，‎ ‎∴．‎ ‎∴． ‎ ‎∴B点的坐标为（，m）， 4分 ‎∵点B在双曲线（）上，‎ ‎∴．‎ ‎∴． 5分 ‎21．证明：（1）如图，连结BD． 1分 ‎∵ AD⊥AB，‎ ‎∴ DB是⊙O的直径． 2分 ‎∴．‎ F C G O D E A B 图4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 又∵AE=AF，‎ ‎∴BE=BF，∠2=∠3．‎ ‎∵ AB=AC ，‎ ‎∴∠D=∠C =∠2=∠3．‎ ‎∴．‎ 即OB⊥BF于B ．‎ ‎∴ 直线BF是⊙O的切线． 3分 解：（2）作AG⊥BC于点G．‎ ‎∵∠D=∠2=∠3． ‎ ‎∴． ‎ 在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD = 4，， ‎ ‎∴， ． 4分 在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB = 3，，‎ ‎∴．‎ ‎∵ AB=AC ，‎ ‎∴． 6分 B′‎ A′‎ B′‎ C ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 图5‎ 图6‎ A′‎ C′‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎①‎ ‎22．解：‎ 说明：每个图形2分．‎ 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．解：（1）分两种情况：‎ 当m=0时，原方程化为，解得，‎ ‎∴当m=0，原方程有实数根. 1分 当时，原方程为关于x的一元二次方程，‎ ‎ ∵△ . ‎ ‎∴原方程有两个实数根.‎ ‎ 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. 3分 ‎（2）①∵关于的二次函数的图象关于y轴对称，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴抛物线的解析式为. 4分 ‎ ②∵，‎ ‎∴y1≥y2（当且仅当x=1时，等号成立）. 5分 ‎（3）由②知，当x=1时，y1＝y2＝0.‎ ‎∴y1、y2的图象都经过（1，0）. ‎ ‎∵对于x的同一个值， y1≥y3≥y2，‎ ‎∴y3＝ax2＋bx＋c的图象必经过（1，0）. 6分 又∵y3＝ax2＋bx＋c经过（－5，0），‎ ‎∴.‎ 设.‎ ‎∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，‎ ‎∴y3—y2≥0，‎ x y O 图7‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎-6‎ ‎-5‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎4‎ ‎∴.‎ 又根据y1、y2的图象可得 a>0，‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ 而.‎ 只有，解得.‎ ‎∴抛物线的解析式为. 7分 H E C B A D F P ‎2‎ ‎　‎ ‎1‎ 图8‎ ‎24．证明：（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ∴． 1分 ‎∵E为BC的中点， ‎ ‎ ∴． ‎ ‎∴AE=BC. ‎ ‎∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC. ‎ ‎∴AE=AD. 2分 E C B A F P D 图9‎ H ‎（2）在DP上截取DH=EF（如图8）．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC， ‎ ‎∴∠EAD=90°．‎ ‎∵EF⊥PD，∠1＝∠2，‎ ‎∴∠ADH=∠AEF．‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴△ADH≌△AEF． 4分 ‎∴∠HAD=∠FAE，AH=AF．‎ ‎∴∠FAH ==90°．‎ E C B A F P D 图10‎ H 在Rt△FAH中， AH=AF，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 即． 5分 ‎（3）按题目要求所画图形见图9， ‎ 线段DF、EF、AF之间的数量关系，‎ ‎；‎ 当EP＞2时（如图10），‎ ‎．‎ ‎ 7分 x O A B C ‎1‎ P E 图10‎ y ‎1‎ ‎25．（1）证明：如图10，‎ ‎∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3,0），B（0, ）．‎ ‎∵C（3,0）．‎ ‎∴OA＝OC．‎ 又y轴⊥AC，‎ ‎∴AB＝BC．‎ 在Rt△AOB中， ．‎ ‎∴∠BAC=60°.‎ ‎∴△ABC是等边三角形. 2分 ‎（2）①答：∠AEP=120°． 3分 ‎　　②解：如图9，‎ 连结DC，‎ ‎∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，‎ ‎∴DA=DC，∠BDA＝∠BDC＝，∠DBP=30°．‎ ‎∴∠BDH=60°．‎ ‎∵DH垂直平分CP，‎ ‎∴ DC=DP．‎ ‎∴ DA＝DC＝DP. 5分 在△CDP中，∠CDH=∠PDH＝，‎ ‎∵∠BDH=∠BDC＋∠CDH＝＋=60°．‎ ‎∴∠ADB=∠ADC＋∠PDC＝120°．‎ ‎ 6分 图9‎ x O A B C y ‎1‎ ‎1‎ P H D M G ‎（3）作PG⊥x轴于点G， ‎ 在Rt△PGC中，PC= t，．‎ 在Rt△BDH中，‎ ‎．‎ ‎∴‎ 又y＝S1－S2，‎ ‎＝（S1＋S△ACM）－（S2＋S△ACM），‎ ‎＝ S△DAC－S△PAC．‎ S△DAC==，‎ S△PAC==．‎ ‎∴y＝（t>0）． 7分