安徽省2021年中考数学模拟试题含答案（1） 14页

2021 年安徽省初中学业水平考试 数学模拟卷(一) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分) 1．在－4，1，－2，0 四个数中，最小的数是 ( C ) A．－2 B．1 C．－4 D．0 2．下列计算结果是 a6 的是 ( D ) A．a7－a B．a2·a3 C．(a4)2 D．a8÷a2 3．一个由半球和圆柱组成的几何体如图水平放置，其俯视图为 ( A ) 4．2019 年 12 月 17 日下午，我国第一艘国产航空母舰“山东舰”， 在海南三亚某军港交付海军．中共中央总书记、国家主席、中央军委 主席习近平出席交接入列仪式．该航母长 315 米，宽 75 米，排水量 近 7.2 万吨，巡航速度达 31 节，搭载 36 架歼－15 战机，采用滑跃 式起飞方式．其中排水量 7.2 万吨用科学记数法表示为 ( B ) A．7.2×103 吨 B．7.2×104 吨 C．0.72×105 吨 D．0.72×106 吨 5．若点 A(3，－2)关于 y 轴对称的点为 B，则经过点 B 的反比例函数 的解析式为 ( D ) A．y＝6x B．y＝－6 x C．y＝－6x D．y＝6 x 6．小明同学对九年级(1)班、(2)班(每班各 50 人)参加“阳光体育” 的情况进行了调查，统计结果如图所示．下列说法中正确的是 ( C ) A．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多 B．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多 C．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多 D．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多 7．如图，点 D 是△ABC 的边 BC 的中点，且∠CAD＝∠B，若△ABC 的 周长为 10，则△ACD 的周长是 ( B ) A.5 B．5 2 C．5 2 D．5 2 2 8．2018 年某县 GDP 总量为 1 000 亿元，计划到 2020 年全县 GDP 总 量实现 1 440 亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这 两年 GDP 总量的平均增长率为 ( C ) A．1.21% B．10% C．20% D．21% 9．[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[2.1]＝2，[－0.5]＝－1，则 下列说法正确的是 ( D ) A．[2x]＝2[x] B．[－x]＝－[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．设函数 y＝x－[x]，则 0≤y＜1 10．★如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，点 M 是 AD 边 的中点，点 N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到 △A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是 ( B ) A． 7 B． 7 －1 C． 3 D．2 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．计算 2 ÷ 8 ＝__1 2 __． 12．命题“对顶角相等”的逆命题是__相等的角为对顶角__． 13．如图，△ABC 内接于⊙O，∠O＋∠C＝90°，AB＝3，则劣弧 AB 的长是__π__． 第 13 题图 第 14 题图 14．★如图，在第一象限内作与 x 轴的夹角为 30°的射线 OC，在射 线 OC 上取点 A，过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H，在抛物线 y＝x2(x＞0)上 取一点 P，在 y 轴上取一点 Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三角形与△ AOH 全等，则符合条件的点 A 有__4__个． 三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 15．解方程：(x－3)2＝4. 解：由原方程得，x－3＝±2， x1＝1，x2＝5. 16．如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 的网 格中，点 A，B，C 均在网格线的交点上． (1)画出△ABC 关于直线 l 对称的△A′B′C′； (2)画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A1B1C1； (3)在(2)的条件下，求线段 BC 扫过的面积(结果保留π). 解：(1)△ABC 关于直线 l 对称的△A′B′C′如图所示． (2)△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A1B1C1 如图所示． (3)BC 扫过的面积＝S 扇形 OCC1－S 扇形 OBB1＝90π·（ 10）2 360 －90π·（ 2）2 360 ＝2π. 四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分) 17．观察下列等式： ①32－31＝2×31；②33－32＝2×32；③34－33＝2×33；④35－34＝2× 34…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)直接写出：第⑤个等式为______； (2)猜想：第 n 个等式为______(用含 n 的代数式表示)，并证明． 解：(1)36－35＝2×35. (2)第 n 个等式 3n＋1－3n＝2×3n. 证明：∵左边＝3n＋1－3n＝3×3n－3n＝3n×(3－1)＝2×3n＝右边， ∴结论得证． 故答案为 3n＋1－3n＝2×3n. 18．如图①是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图②所 示，直线型支架的上端 A，B 与台面下方相连，与圆弧形底座支架 EF 在 C，D 处相连接，支架 AC 与 BD 所在的直线过 EF 的圆心，若 AB＝ 200 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，EC ＝ FD ，AB 平行于地面 EF，EF 最顶端与 AB 的距离为 2 cm. (1)求 EF 的半径； (2)若台面 AB 与地面 EF 之间的距离为 72 cm，求 E，F 两点之间的距 离．(精确到 1 cm，参考数据： 3 ≈1.7， 1682－982 ≈137) 图① 图② 解：(1)延长 AC，BD 交于点 O，作 OM⊥AB 于点 M，交 EF 于 N， 连接 EF 交 OM 于点 K. ∵∠CAB＝∠DBA＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝200 cm， ∵OM⊥AB，∴OM＝100 3 cm， ∵MN＝2，∴ON＝100 3 －2≈168 cm， ∴ EF 的半径为 168 cm. (2)连接 OF.∵EF∥AB，OM⊥AB， ∴OK⊥EF， 在 Rt△OFK 中， OK＝OM－KM≈170－72≈98， ∴FK＝ OF2－OK2 ＝ 1682－982 ≈137 cm， 又∵OK⊥EF，∴EK＝KF， ∴EF＝2KF＝274 cm. 五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分) 19．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一题：“三百七十八里 关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意 是：有人要去某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起， 由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目 的地．请你求出此人第六天的路程． 解：设第六天走的路程为 x 里，则第五天走的路程为 2x 里，依此往 前推，第一天走的路程为 32x 里， 依题意，得 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＝378， 解得 x＝6. 答：此人第六天走的路程为 6 里． 20．如图，F 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点，EF⊥AC 且交 AD 于 点 E，交 CD 的延长线于点 G，连接 CE 和 AG. (1)求证：△ADG≌△CDE； (2)当 CE 平分∠ACD 时，求 tan ∠AGD. (1) 证明：由题意得， AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠ADG＝90°，∠CAD＝45°. ∴∠CDE＝∠ADG， 又∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°－∠CAD＝45°， ∴∠DEG＝∠AEF＝45°， 又∵在 Rt△EDG 中，∠DGE＝90°－∠DEG＝45°， ∴∠DGE＝∠DEG， ∴ED＝GD. 在△ADG 与△CDE 中， DG＝DE， ∠ADG＝∠CDE， AD＝CD， ∴△ADG≌△CDE(SAS). (2)∵CE 平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，AD⊥CD， ∴ED＝EF， ∴EF＝AF＝DE＝DG， 设 DG 为 k，则 ED＝k，AE＝ 2 k， AD＝AE＋ED＝( 2 ＋1)k， ∴tan ∠AGD＝AD DG ＝（ 2＋1）k k ＝ 2 ＋1. 六、(本题满分 12 分) 21．为创建绿色学校，培养青少年树立社会主义生态文明观，2021 年 3 月我省评选出了 37 所省级“绿色学校”．某校为参加暑假期间市 里举办的“绿色环保知识大赛”，在学校七、八年级学生中各随机选 取了 10 名学生进行初赛，各参赛选手的成绩如下： 七年级：91，98，88，92，93，93，100，94，98，93 八年级：93，98，96，89，93，99，93，95，96，98 (1)根据以上数据完成下表： 班级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ______ 93 93 12 八年级 95 ______ 93 8.4 (2)依据表中数据，请你判断哪个年级的成绩更好，并说明理由； (3)若选四名同学参加市里比赛，其中 100 分和 99 分的同学直接进入， 另外两个名额在四个“98 分”的学生中任选两个，求另外两个名额 落在同一个年级的概率． 解：(1)94；95.5. (2)八年级的成绩更好．理由：①八年级参赛选手成绩的平均数较高； ②八年级参赛选手成绩的方差较小，说明八年级参赛选手的成绩较稳 定． (3)用 A1，B1 表示七年级两名 98 分的同学，C2，D2 表示八年级两名 98 分的同学，画树状图如图所示． 所有等可能的情况有 12 种，其中另外两个名额落在同一个年级的情 况有 4 种， 则 P(另外两个名额落在同一个年级)＝ 4 12 ＝1 3 . 七、(本题满分 12 分) 22．阅读下列材料： 我们知道，一次函数 y＝kx＋b 的图象是一条直线，而 y＝kx＋b 经过 恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax＋By＋C＝0(A，B，C 是 常数，且 A，B 不同时为 0).如图①，点 P(m，n)到直线 l：Ax＋By＋ C＝0 的距离(d)计算公式是 d＝|A×m＋B×n＋C| A2＋B2 . 图① 图② 例：求点 P(1，2)到直线 y＝ 5 12 x－1 6 的距离 d 时，先将 y＝ 5 12 x－1 6 化 为 5x － 12y － 2 ＝ 0 ， 再 由 上 述 距 离 公 式 求 得 d ＝ |5×1＋（－12）×2＋（－2）| 52＋（－12）2 ＝21 13 . 解答下列问题： 如图②，已知直线 y＝－4 3 x－4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 抛物线 y＝x2－4x＋5 上的一点 M(3，2). (1)求点 M 到直线 AB 的距离； (2)抛物线上是否存在点 P，使得△PAB 的面积最小？若存在，求出点 P 的坐标及△PAB 面积的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)将直线 AB 化为 4x＋3y＋12＝0， 又 M(3，2)，则点 M 到直线 AB 的距离 d＝|4×3＋3×2＋12| 42＋32 ＝6. (2) 假设抛物线上存在点 P，使得△PAB 的面积最小， 设点 P 坐标为(a，a2－4a＋5)， ∴点 P 到直线 AB 的距离 d＝|4a＋3（a2－4a＋5）＋12| 42＋32 ＝|3a2－8a＋27| 5 ＝ |3 a－4 3 2 ＋65 3 | 5 ， ∴d 的最小值为 65 3 5 ＝13 3 ，此时 P 点坐标为 4 3，13 9 ； 又 y＝－4 3 x－4，令 x＝0，则 y＝－4，B(0，－4)， 令 y＝0，则 x＝－3，A(－3，0)， ∴OA＝3，OB＝4， ∴在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 AB＝ 32＋42 ＝5， ∴S△PAB 的最小值为1 2 ×5×13 3 ＝65 6 . 故 P 点的坐标为 4 3，13 9 ，△PAB 的面积最小为65 6 . 八、(本题满分 14 分) 23．如图①，P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA ＝120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点． (1)如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC＝60°. ①求证：△ABP∽△BCP； ②若 PA＝3，PC＝4，则 PB＝______． (2)已知锐角△ABC，分别以 AB，AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD， CE 和 BD 相交于点 P.如图②. ①求∠CPD 的度数； ②求证：P 点为△ABC 的费马点． 图① 图② (1)证明：①∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA ＝∠ABC＝60°， ∴∠PAB＝∠PBC， 又∵∠APB＝∠BPC＝120°， ∴△ABP∽△BCP. ②2 3 . (2)①解：∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形， ∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD， ∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC， 即∠EAC＝∠BAD， 在△ACE 和△ADB 中， AC＝AD， ∠EAC＝∠BAD， AE＝AB， ∴△ACE≌△ADB(SAS)， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠4， ∴∠CPD＝∠5＝60°. ②证明：设 AC 和 BD 相交于点 F. 由上可知，△ADF∽△PCF， ∴AF ∶PF＝DF ∶CF， ∵∠AFP＝∠CFD， ∴△AFP∽△DFC. ∴∠APF＝∠ACD＝60°， ∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°， ∴∠CPD＝60°， ∴∠BPC＝180°－∠CPD＝120°， ∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°， ∴P 点为△ABC 的费马点．