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- 2021-11-06 发布
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2020 年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(3 分)3 的绝对值是 ( )
A. 3 B.3 C. 3 D. 1
3
2.(3 分)如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是 ( )
A. B. C. D.
3.(3 分)下列计算正确的是 ( )
A. 2 3 5x y xy B. 2( 1)( 2) 2x x x x
C. 2 3 6a a a D. 2 2( 2) 4a a
4.(3 分)“红色小讲解员”演讲比赛中,7 位评委分别给出某位选手的原始评分.评定该选
手成绩时,从 7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到 5 个有效评分.5 个有效
评分与 7 个原始评分相比,这两组数据一定不变的是 ( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
5.(3 分)不等式组 2 1 3,
1 2
x
x
的解集在数轴上表示为 ( )
A. B.
C. D.
6.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠,使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处.若
24DBC ,则 A EB 等于 ( )
A. 66 B. 60 C.57 D. 48
7.(3 分)10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内, A 、 B 、C 、
D 、 E 、 O 均是正六边形的顶点.则点 O 是下列哪个三角形的外心 ( )
A. AED B. ABD C. BCD D. ACD
8.(3 分)快车从甲地驶往乙地,慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发并且在同一条公路上
匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程 ( )y km 与它们的行驶时间 ( )x h 之间的函数关
系.小欣同学结合图象得出如下结论:
①快车途中停留了 0.5h ;
②快车速度比慢车速度多 20 /km h ;
③图中 340a ;
④快车先到达目的地.
其中正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
二、填空题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把答案直接
填写在答题卡相应位置上)
9.(3 分)我市某天的最高气温是 4 C ,最低气温是 1 C ,则这天的日温差是 C .
10.(3 分)“我的连云港” APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来,实名注
册用户超过 1600000 人.数据“1 600 000”用科学记数法表示为 .
11.(3 分)如图,将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中,若顶点 M 、 N 的坐标
分别为 (3,9) 、 (12,9) ,则顶点 A 的坐标为 .
12.(3 分)按照如图所示的计算程序,若 2x ,则输出的结果是 .
13.(3 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,
可食用率 y 与加工时间 x(单位: )min 满足函数表达式 20.2 1.5 2y x x ,则最佳加工时
间为 min .
14.(3 分)用一个圆心角为 90 ,半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,这个圆锥
的底面圆半径为 cm .
15.(3 分)如图,正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 内部有一个正五边形 1 2 3 4 5B B B B B ,且 3 4 3 4/ /A A B B ,
直线 l 经过 2B 、 3B ,则直线 l 与 1 2A A 的夹角 .
16.(3 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的 O 与 x 轴的正半轴交于点 A ,
点 B 是 O 上一动点,点 C 为弦 AB 的中点,直线 3 34y x 与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、
E ,则 CDE 面积的最小值为 .
三、解答题(本大题共 11 小题,共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答,解答时写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6 分)计算 2020 1 31( 1) ( ) 645
.
18.(6 分)解方程组 2 4 5,
1
x y
x y
19.(6 分)化简
2
2
3 3
1 2 1
a a a
a a a
.
20.(8 分)在世界环境日 (6 月 5 日),学校组织了保护环境知识测试,现从中随机抽取部分
学生的成绩作为样本,按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计,绘制了如
下尚不完整的统计图表.
测试成绩统计表
等级 频数(人数) 频率
优秀 30 a
良好 b 0.45
合格 24 0.20
不合格 12 0.10
合计 c 1
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中 a , b , c ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校有 2400 名学生参加了本次测试,估计测试成绩等级在良好以上(包括良好)的
学生约有多少人?
21.(10 分)从 2021 年起,江苏省高考采用“ 3 1 2 ”模式:“3”是指语文、数学、外语
3 科为必选科目,“1”是指在物理、历史 2 科中任选 1 科,“2”是指在化学、生物、思想政
治、地理 4 科中任选 2 科.
(1)若小丽在“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理,则她选择生物的概率是 ;
(2)若小明在“1”中选择了物理,用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.
22.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中, / /AD BC ,对角线 BD 的垂直平分线与边 AD 、BC
分别相交于点 M 、 N .
(1)求证:四边形 BNDM 是菱形;
(2)若 24BD , 10MN ,求菱形 BNDM 的周长.
23.(10 分)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共
捐款 100000 元,乙公司共捐款 140000 元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人?
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A 、B 两种防疫物资,A 种防疫物资每箱 15000
元, B 种防疫物资每箱 12000 元.若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱,并恰好将捐款用完,
有几种购买方案?请设计出来(注: A 、 B 两种防疫物资均需购买,并按整箱配送).
24.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx
的图象经过点 3(4, )2A ,
点 B 在 y 轴的负半轴上, AB 交 x 轴于点 C , C 为线段 AB 的中点.
(1) m ,点 C 的坐标为 ;
(2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点,过点 D 作 / /DE y 轴,交反比例函数图象于点 E ,
求 ODE 面积的最大值.
25.(12 分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋)中写道:
“水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为 3m 的筒车 O 按逆时针方向每分钟转 5
6
圈,筒车
与水面分别交于点 A 、 B ,筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m ,筒车上均匀分布
着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间.
(1)经过多长时间,盛水筒 P 首次到达最高点?
(2)浮出水面 3.4 秒后,盛水筒 P 距离水面多高?
(3)若接水槽 MN 所在直线是 O 的切线,且与直线 AB 交于点 M , 8MO m .求盛水筒
P 从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线 MN 上.
(参考数据: 11cos43 sin 47 15
, 11sin16 cos74 40
, 3sin22 cos68 )8
26.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物
线”.如图,抛物线 2
1
1 3: 22 2L y x x 的顶点为 D ,交 x 轴于点 A 、B(点 A 在点 B 左侧),
交 y 轴于点 C .抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”,其顶点为 P .
(1)若抛物线 2L 经过点 (2, 12) ,求 2L 对应的函数表达式;
(2)当 BP CP 的值最大时,求点 P 的坐标;
(3)设点 Q 是抛物线 1L 上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若 DPQ 与 ABC 相似,
求其“共根抛物线” 2L 的顶点 P 的坐标.
27.(12 分)(1)如图 1,点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点,过点 P 作 / /EF BC ,分别
交 AB 、 CD 于点 E 、 F .若 2BE , 6PF , AEP 的面积为 1S , CFP 的面积为 2S ,
则 1 2S S ;
(2)如图 2,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边
的中点.设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PFCG 的面积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD
的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示);
(3)如图 3,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),过点 P 作 / /EF AD , / /HG AB ,
与各边分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H .设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PGCF 的面
积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD 的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示);
(4)如图 4,点 A 、B 、C 、D 把 O 四等分.请你在圆内选一点 P (点 P 不在 AC 、BD
上),设 PB 、 PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为 1S , PA 、 PD 、 AD 围成的封闭图形的
面积为 2S , PBD 的面积为 3S , PAC 的面积为 4S ,根据你选的点 P 的位置,直接写出一
个含有 1S 、 2S 、 3S 、 4S 的等式(写出一种情况即可).
2020 年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(3 分)3 的绝对值是 ( )
A. 3 B.3 C. 3 D. 1
3
【解答】解:| 3| 3 ,
故选: B .
2.(3 分)如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是 ( )
A. B. C. D.
【解答】解:从正面看有两层,底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形.
故选: D .
3.(3 分)下列计算正确的是 ( )
A. 2 3 5x y xy B. 2( 1)( 2) 2x x x x
C. 2 3 6a a a D. 2 2( 2) 4a a
【解答】解: .2A x 与 3y 不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意;
B . 2( 1)( 2) 2x x x x ,故本选项符合题意;
C . 2 3 5a a a ,故本选项不合题意;
D . 2 2( 2) 4 4a a a ,故本选项不合题意.
故选: B .
4.(3 分)“红色小讲解员”演讲比赛中,7 位评委分别给出某位选手的原始评分.评定该选
手成绩时,从 7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到 5 个有效评分.5 个有效
评分与 7 个原始评分相比,这两组数据一定不变的是 ( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
【解答】解:根据题意,从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分,得到 5 个有效评
分.5 个有效评分与 7 个原始评分相比,不变的是中位数.
故选: A .
5.(3 分)不等式组 2 1 3,
1 2
x
x
的解集在数轴上表示为 ( )
A. B.
C. D.
【解答】解:解不等式 2 1 3x ,得: 2x ,
解不等式 1 2x ,得: 1x ,
不等式组的解集为1 2x ,
表示在数轴上如下:
故选: C .
6.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠,使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处.若
24DBC ,则 A EB 等于 ( )
A. 66 B. 60 C.57 D. 48
【解答】解:四边形 ABCD 是矩形,
90A ABC ,
由折叠的性质得: 90BA E A , A BE ABE ,
1 1(90 ) (90 24 ) 332 2A BE ABE DBC ,
90 90 33 57A EB A BE ;
故选: C .
7.(3 分)10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内, A 、 B 、C 、
D 、 E 、 O 均是正六边形的顶点.则点 O 是下列哪个三角形的外心 ( )
A. AED B. ABD C. BCD D. ACD
【解答】解:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,
从 O 点出发,确定点 O 分别到 A , B , C , D , E 的距离,只有 OA OC OD ,
点 O 是 ACD 的外心,
故选: D .
8.(3 分)快车从甲地驶往乙地,慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发并且在同一条公路上
匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程 ( )y km 与它们的行驶时间 ( )x h 之间的函数关
系.小欣同学结合图象得出如下结论:
①快车途中停留了 0.5h ;
②快车速度比慢车速度多 20 /km h ;
③图中 340a ;
④快车先到达目的地.
其中正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
【解答】解:根据题意可知,两车的速度和为: 360 2 180( / )km h ,
相遇后慢车停留了 0.5h ,快车停留了1.6h,此时两车距离为 88km ,故①结论错误;
慢车的速度为:88 (3.6 2.5) 80( / )km h ,则快车的速度为100 /km h ,
所以快车速度比慢车速度多 20 /km h ;故②结论正确;
88 180 (5 3.6) 340( )km ,
所以图中 340a ,故③结论正确;
(360 2 80) 80 2.5( )h , 5 2.5 2.5( )h ,
所以慢车先到达目的地,故④结论错误.
所以正确的是②③.
故选: B .
二、填空题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把答案直接
填写在答题卡相应位置上)
9.(3 分)我市某天的最高气温是 4 C ,最低气温是 1 C ,则这天的日温差是 5 C .
【解答】解: 4 ( 1) 4 1 5 .
故答案为:5.
10.(3 分)“我的连云港” APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来,实名注
册用户超过 1600000 人.数据“1 600 000”用科学记数法表示为 61.6 10 .
【解答】解:数据“1600000”用科学记数法表示为 61.6 10 ,
故答案为: 61.6 10 .
11.(3 分)如图,将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中,若顶点 M 、 N 的坐标
分别为 (3,9) 、 (12,9) ,则顶点 A 的坐标为 (15,3) .
【解答】解:如图,
顶点 M 、 N 的坐标分别为 (3,9) 、 (12,9) ,
/ /MN x 轴, 9MN , / /BN y 轴,
正方形的边长为 3,
6BN ,
点 (12,3)B ,
/ /AB MN ,
/ /AB x 轴,
点 (15,3)A
故答案为 (15,3) .
12.(3 分)按照如图所示的计算程序,若 2x ,则输出的结果是 26 .
【解答】解:把 2x 代入程序中得:
210 2 10 4 6 0 ,
把 6x 代入程序中得:
210 6 10 36 26 0 ,
最后输出的结果是 26 .
故答案为: 26 .
13.(3 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,
可食用率 y 与加工时间 x(单位: )min 满足函数表达式 20.2 1.5 2y x x ,则最佳加工时
间为 3.75 min .
【解答】解:根据题意: 20.2 1.5 2y x x ,
当 1.5 3.752 ( 0.2)x
时, y 取得最大值,
则最佳加工时间为 3.75min .
故答案为:3.75.
14.(3 分)用一个圆心角为 90 ,半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,这个圆锥
的底面圆半径为 5 cm .
【解答】解:设这个圆锥的底面圆半径为 r ,
根据题意得 90 202 180r ,
解得 5( )r cm .
故答案为:5.
15.(3 分)如图,正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 内部有一个正五边形 1 2 3 4 5B B B B B ,且 3 4 3 4/ /A A B B ,
直线 l 经过 2B 、 3B ,则直线 l 与 1 2A A 的夹角 48 .
【解答】解:延长 1 2A A 交 4 3A A 的延长线于 C ,设 l 交 1 2A A 于 E 、交 4 3A A 于 D ,如图所示:
六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 是正六边形,六边形的内角和 (6 2) 180 720 ,
1 2 3 2 3 4
720 1206A A A A A A ,
2 3 2 3 180 120 60CA A A A C ,
180 60 60 60C ,
五边形 1 2 3 4 5B B B B B 是正五边形,五边形的内角和 (5 2) 180 540 ,
2 3 4
540 1085B B B ,
3 4 3 4/ /A A B B ,
4 2 3 4 108EDA B B B ,
180 108 72EDC ,
180 180 60 72 48CED C EDC ,
故答案为:48.
16.(3 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的 O 与 x 轴的正半轴交于点 A ,
点 B 是 O 上一动点,点 C 为弦 AB 的中点,直线 3 34y x 与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、
E ,则 CDE 面积的最小值为 2 .
【解答】解:如图,连接 OB ,取 OA 的中点 M ,连接 CM ,过点 M 作 MN DE 于 N .
AC CB , AM OM ,
1 12MC OB ,
点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心,1 为半径的 M ,设 M 交 MN 于 C.
直线 3 34y x 与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ,
(4,0)D , (0, 3)E ,
4OD , 3OE ,
2 23 4 5DE ,
MDN ODE , MND DOE ,
DNM DOE ∽ ,
MN DM
OE DE
,
3
3 5
MN ,
9
5MN ,
当点 C 与 C重合时,△ C DE 的面积最小,最小值 1 95 ( 1) 22 5
,
故答案为 2.
三、解答题(本大题共 11 小题,共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答,解答时写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6 分)计算 2020 1 31( 1) ( ) 645
.
【解答】解:原式 1 5 4 2 .
18.(6 分)解方程组 2 4 5,
1
x y
x y
【解答】解: 2 4 5
1
x y
x y
①
②
把②代入①,得 2(1 ) 4 5y y ,
解得 3
2y .
把 3
2y 代入②,得 1
2x .
原方程组的解为
1
2
3
2
x
y
.
19.(6 分)化简
2
2
3 3
1 2 1
a a a
a a a
.
【解答】解:原式
23 ( 1)
1 ( 3)
a a
a a a
23 (1 )
1 ( 3)
a a
a a a
1 a
a
.
20.(8 分)在世界环境日 (6 月 5 日),学校组织了保护环境知识测试,现从中随机抽取部分
学生的成绩作为样本,按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计,绘制了如
下尚不完整的统计图表.
测试成绩统计表
等级 频数(人数) 频率
优秀 30 a
良好 b 0.45
合格 24 0.20
不合格 12 0.10
合计 c 1
根据统计图表提供的信息,解答下列问题:
(1)表中 a 0.25 , b , c ;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校有 2400 名学生参加了本次测试,估计测试成绩等级在良好以上(包括良好)的
学生约有多少人?
【解答】解:(1)本次抽取的学生有: 24 0.20 120 (人 ) ,
30 120 0.25a , 120 0.45 54b , 120c ,
故答案为:0.25,54,120;
(2)由(1)知, 54b ,
补全的条形统计图如右图所示;
(3) 2400 (0.45 0.25) 1680 (人 ) ,
答:测试成绩等级在良好以上(包括良好)的学生约有 1680 人.
21.(10 分)从 2021 年起,江苏省高考采用“ 3 1 2 ”模式:“3”是指语文、数学、外语
3 科为必选科目,“1”是指在物理、历史 2 科中任选 1 科,“2”是指在化学、生物、思想政
治、地理 4 科中任选 2 科.
(1)若小丽在“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理,则她选择生物的概率是 1
3
;
(2)若小明在“1”中选择了物理,用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率.
【解答】解:(1)在“2”中已选择了地理,从剩下的化学、生物,思想品德三科中选一科,
因此选择生物的概率为 1
3
;
故答案为: 1
3
;
(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下:
共有 12 种可能出现的结果,其中选中“化学”“生物”的有 2 种,
2 1
12 6P 化学生物 .
22.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中, / /AD BC ,对角线 BD 的垂直平分线与边 AD 、BC
分别相交于点 M 、 N .
(1)求证:四边形 BNDM 是菱形;
(2)若 24BD , 10MN ,求菱形 BNDM 的周长.
【解答】(1)证明: / /AD BC ,
DMO BNO ,
MN 是对角线 BD 的垂直平分线,
OB OD , MN BD ,
在 MOD 和 NOB 中,
DMO BNO
MOD NOB
OD OB
,
( )MOD NOB AAS ,
OM ON ,
OB OD ,
四边形 BNDM 是平行四边形,
MN BD ,
四边形 BNDM 是菱形;
(2)解:四边形 BNDM 是菱形, 24BD , 10MN ,
BM BN DM DN , 1 122OB BD , 1 52OM MN ,
在 Rt BOM 中,由勾股定理得: 2 2 2 25 12 13BM OM OB ,
菱形 BNDM 的周长 4 4 13 52BM .
23.(10 分)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共
捐款 100000 元,乙公司共捐款 140000 元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人?
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A 、B 两种防疫物资,A 种防疫物资每箱 15000
元, B 种防疫物资每箱 12000 元.若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱,并恰好将捐款用完,
有几种购买方案?请设计出来(注: A 、 B 两种防疫物资均需购买,并按整箱配送).
【解答】解:(1)设甲公司有 x 人,则乙公司有 ( 30)x 人,
依题意,得: 100000 7 140000
6 30x x
,
解得: 150x ,
经检验, 150x 是原方程的解,且符合题意,
30 180x .
答:甲公司有 150 人,乙公司有 180 人.
(2)设购买 A 种防疫物资 m 箱,购买 B 种防疫物资 n 箱,
依题意,得:15000 12000 100000 140000m n ,
416 5m n .
又 10n
,且 m , n均为正整数,
8
10
m
n
, 4
15
m
n
,
有 2 种购买方案,方案 1:购买 8 箱 A 种防疫物资,10 箱 B 种防疫物资;方案 2:购买 4
箱 A 种防疫物资,15 箱 B 种防疫物资.
24.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx
的图象经过点 3(4, )2A ,
点 B 在 y 轴的负半轴上, AB 交 x 轴于点 C , C 为线段 AB 的中点.
(1) m 6 ,点 C 的坐标为 ;
(2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点,过点 D 作 / /DE y 轴,交反比例函数图象于点 E ,
求 ODE 面积的最大值.
【解答】解:(1)反比例函数 ( 0)my xx
的图象经过点 3(4, )2A ,
34 62m ,
AB 交 x 轴于点 C , C 为线段 AB 的中点.
(2,0)C ;
故答案为 6, (2,0) ;
(2)设直线 AB 的解析式为 y kx b ,
把 3(4, )2A , (2,0)C 代入得
34 2
2 0
k b
k b
,解得
3
4
3
2
k
b
,
直线 AB 的解析式为 3 3
4 2y x ;
点 D 为线段 AB 上的一个动点,
设 (D x , 3 3)(0 4)4 2x x ,
/ /DE y 轴,
6( , )E x x
,
2 21 6 3 3 3 3 3 27( ) 3 ( 1)2 4 2 8 4 8 8ODES x x x x xx ,
当 1x 时, ODE 的面积的最大值为 27
8
.
25.(12 分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋)中写道:
“水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为 3m 的筒车 O 按逆时针方向每分钟转 5
6
圈,筒车
与水面分别交于点 A 、 B ,筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m ,筒车上均匀分布
着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间.
(1)经过多长时间,盛水筒 P 首次到达最高点?
(2)浮出水面 3.4 秒后,盛水筒 P 距离水面多高?
(3)若接水槽 MN 所在直线是 O 的切线,且与直线 AB 交于点 M , 8MO m .求盛水筒
P 从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线 MN 上.
(参考数据: 11cos43 sin 47 15
, 11sin16 cos74 40
, 3sin22 cos68 )8
【解答】解:(1)如图 1 中,连接 OA .
由题意,筒车每秒旋转 5360 60 56
,
在 Rt ACO 中, 2.2 11cos 3 15
OCAOC OA
.
43AOC ,
180 43 27.45
(秒 ) .
答:经过 27.4 秒时间,盛水筒 P 首次到达最高点.
(2)如图 2 中,盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后,此时 3.4 5 17AOP ,
43 17 60POC AOC AOP ,
过点 P 作 PD OC 于 D ,
在 Rt POD 中, 1cos60 3 1.5( )2OD OP m ,
2.2 1.5 1.7( )m ,
答:浮出水面 3.4 秒后,盛水筒 P 距离水面1.7m .
(3)如图 3 中,
点 P 在 O 上,且 MN 与 O 相切,
当点 P 在 MN 上时,此时点 P 是切点,连接 OP ,则 OP MN ,
在 Rt OPM 中, 3cos 8
OPPOM OM
,
68POM ,
在 Rt COM 中, 2.2 11cos 8 40
OCCOM OM
,
74COM ,
180 180 68 74 38POH POM COM ,
需要的时间为 38 7.65
(秒 ) ,
答:盛水筒 P 从最高点开始,至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上.
26.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物
线”.如图,抛物线 2
1
1 3: 22 2L y x x 的顶点为 D ,交 x 轴于点 A 、B(点 A 在点 B 左侧),
交 y 轴于点 C .抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”,其顶点为 P .
(1)若抛物线 2L 经过点 (2, 12) ,求 2L 对应的函数表达式;
(2)当 BP CP 的值最大时,求点 P 的坐标;
(3)设点 Q 是抛物线 1L 上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若 DPQ 与 ABC 相似,
求其“共根抛物线” 2L 的顶点 P 的坐标.
【解答】解:(1)当 0y 时, 21 3 2 02 2x x ,解得 1x 或 4,
( 1,0)A , (4,0)B , (0,2)C ,
由题意设抛物线 2L 的解析式为 ( 1)( 4)y a x x ,
把 (2, 12) 代入 ( 1)( 4)y a x x ,
12 6a ,
解得 2a ,
抛物线的解析式为 22( 1)( 4) 2 6 8y x x x x .
(2)抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”, ( 1,0)A , (4,0)B ,
抛物线 1L , 2L 的对称轴是直线 3
2x ,
点 P 在直线 3
2x 上,
BP AP ,如图 1 中,当 A , C , P 共线时, BP PC 的值最大,
此时点 P 为直线 AC 与直线 3
2x 的交点,
直线 AC 的解析式为 2 2y x ,
3(2P , 5)
(3)由题意, 5AB , 2 5CB , 5CA ,
2 2 2AB BC AC ,
90ACB , 2CB CA ,
2 21 3 1 3 252 ( )2 2 2 2 8y x x x ,
顶点 3(2D , 25)8
,
由题意, PDQ 不可能是直角,
第一种情形:当 90DPQ 时,
①如图 3 1 中,当 QDP ABC ∽ 时, 1
2
QP AC
DP BC
,
设 21 3( , 2)2 2Q x x x ,则 3(2P , 21 3 2)2 2x x ,
2 21 3 25 1 3 92 ( )2 2 8 2 2 8DP x x x x , 3
2QP x ,
2PD QP ,
21 3 92 3 2 2 8x x x ,解得 11
2x 或 3
2
(舍弃),
3(2P , 39)8
.
②如图 3 2 中,当 DQP ABC ∽ 时,同法可得 2QO PD ,
23 932 4x x x ,
解得 5
2x 或 3
2
(舍弃),
3(2P , 21)8
.
第二种情形:当 90DQP .
①如图 3 3 中,当 PDQ ABC ∽ 时, 1
2
PQ AC
DQ BC
,
过点 Q 作 QM PD 于 M .则 QDM PDQ ∽ ,
1
2
QM PQ
MD DQ
,由图 3 1 可知, 3(2M , 39)8
, 11( 2Q , 39)8
,
8MD , 4MQ ,
4 5DQ ,
由 DQ PD
DM DQ
,可得 10PD ,
3(2D , 25)8
3(2P , 55)8
.
②当 DPQ ABC ∽ 时,过点 Q 作 QM PD 于 M .
同法可得 3(2M , 21)8
, 5(2Q , 21)8
,
1
2DM , 1QM , 5
2QD ,
由 QD PD
DM DQ
,可得 5
2PD ,
3(2P , 5)8
.
27.(12 分)(1)如图 1,点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点,过点 P 作 / /EF BC ,分别
交 AB 、 CD 于点 E 、 F .若 2BE , 6PF , AEP 的面积为 1S , CFP 的面积为 2S ,
则 1 2S S 12 ;
(2)如图 2,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边
的中点.设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PFCG 的面积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD
的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示);
(3)如图 3,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),过点 P 作 / /EF AD , / /HG AB ,
与各边分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H .设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PGCF 的面
积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD 的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示);
(4)如图 4,点 A 、B 、C 、D 把 O 四等分.请你在圆内选一点 P (点 P 不在 AC 、BD
上),设 PB 、 PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为 1S , PA 、 PD 、 AD 围成的封闭图形的
面积为 2S , PBD 的面积为 3S , PAC 的面积为 4S ,根据你选的点 P 的位置,直接写出一
个含有 1S 、 2S 、 3S 、 4S 的等式(写出一种情况即可).
【解答】解:(1)如图 1 中,
过点 P 作 PM AD 于 M ,交 BC 于 N .
四边形 ABCD 是矩形, / /EF BC ,
四边形 AEPM ,四边形 MPFD ,四边形 BNPE ,四边形 PNCF 都是矩形,
2BE PN CF , 1 62PFCS PF CF , AEP APMS S , PEB PBNS S , PDM PFDS S ,
PCN PCFS S , ABD BCDS S ,
AEPM PNCFS S 矩形 矩形 ,
1 2 6S S ,
1 2 12S S ,
故答案为 12.
(2)如图 2 中,连接 PA , PC ,
在 APB 中,点 E 是 AB 的中点,
可设 APE PBES S a ,同理, APH PDHS S b , PDG PGCS S c , PFC PBFS S d ,
AEPH PFCGS S a b c d 四边形 四边形 , PEBF PHDGS S a b c d 四边形 四边形 ,
1 2AEPH PFCG PEBF PHDGS S S S S S 四边形 四边形 四边形 四边形 ,
1 2
1
2ABD ABCDS S S S 平行四边形 ,
1 1 2 1 1 2 1( ) ( )PBD ABD PBE PHDS S S S S S S S a S a S S .
(3)如图 3 中,由题意四边形 EBGP ,四边形 HPFD 都是平行四边形,
2 EBPEBGPS S 四边形 , 2 HPDHPFDS S四边形 ,
1 2 1 2
1 1 12 22 2 2ABD EBP HPD EBP HPDABCDS S S S S S S S S S 平行四边形 ,
1 2 1
1( ) ( )2PBD ABD EBP HPDS S S S S S S .
(4)如图 4 1 中,结论: 2 1 3 4S S S S .
理由:设线段 PB ,线段 PA ,弧 AB 围成的封闭图形的面积为 x ,线段 PC ,线段 PD ,弧 CD
的封闭图形的面积为 y .
由题意: 1 4 1 3S x S S y S ,
3 4x y S S ,
1 2 1 42( )S S x y S x S ,
2 1 4 3 42S S x y S S S .
同法可证:图 4 2 中,有结论: 1 2 3 4S S S S .
图 4 3 中和图 4 4 中,有结论: 1 2 3 4| | | |S S S S .
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