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  • 2021-11-06 发布

2020年江苏省连云港市中考数学试卷

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2020 年江苏省连云港市中考数学试卷 一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.(3 分)3 的绝对值是 ( ) A. 3 B.3 C. 3 D. 1 3 2.(3 分)如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 3.(3 分)下列计算正确的是 ( ) A. 2 3 5x y xy  B. 2( 1)( 2) 2x x x x     C. 2 3 6a a a D. 2 2( 2) 4a a   4.(3 分)“红色小讲解员”演讲比赛中,7 位评委分别给出某位选手的原始评分.评定该选 手成绩时,从 7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到 5 个有效评分.5 个有效 评分与 7 个原始评分相比,这两组数据一定不变的是 ( ) A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差 5.(3 分)不等式组 2 1 3, 1 2 x x     „ 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 6.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠,使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处.若 24DBC   ,则 A EB 等于 ( ) A. 66 B. 60 C.57 D. 48 7.(3 分)10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内, A 、 B 、C 、 D 、 E 、 O 均是正六边形的顶点.则点 O 是下列哪个三角形的外心 ( ) A. AED B. ABD C. BCD D. ACD 8.(3 分)快车从甲地驶往乙地,慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发并且在同一条公路上 匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程 ( )y km 与它们的行驶时间 ( )x h 之间的函数关 系.小欣同学结合图象得出如下结论: ①快车途中停留了 0.5h ; ②快车速度比慢车速度多 20 /km h ; ③图中 340a  ; ④快车先到达目的地. 其中正确的是 ( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 二、填空题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡相应位置上) 9.(3 分)我市某天的最高气温是 4 C ,最低气温是 1 C ,则这天的日温差是 C . 10.(3 分)“我的连云港” APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来,实名注 册用户超过 1600000 人.数据“1 600 000”用科学记数法表示为 . 11.(3 分)如图,将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中,若顶点 M 、 N 的坐标 分别为 (3,9) 、 (12,9) ,则顶点 A 的坐标为 . 12.(3 分)按照如图所示的计算程序,若 2x  ,则输出的结果是 . 13.(3 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下, 可食用率 y 与加工时间 x(单位: )min 满足函数表达式 20.2 1.5 2y x x    ,则最佳加工时 间为 min . 14.(3 分)用一个圆心角为 90 ,半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,这个圆锥 的底面圆半径为 cm . 15.(3 分)如图,正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 内部有一个正五边形 1 2 3 4 5B B B B B ,且 3 4 3 4/ /A A B B , 直线 l 经过 2B 、 3B ,则直线 l 与 1 2A A 的夹角   . 16.(3 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的 O 与 x 轴的正半轴交于点 A , 点 B 是 O 上一动点,点 C 为弦 AB 的中点,直线 3 34y x  与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ,则 CDE 面积的最小值为 . 三、解答题(本大题共 11 小题,共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答,解答时写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6 分)计算 2020 1 31( 1) ( ) 645    . 18.(6 分)解方程组 2 4 5, 1 x y x y       19.(6 分)化简 2 2 3 3 1 2 1 a a a a a a     . 20.(8 分)在世界环境日 (6 月 5 日),学校组织了保护环境知识测试,现从中随机抽取部分 学生的成绩作为样本,按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计,绘制了如 下尚不完整的统计图表. 测试成绩统计表 等级 频数(人数) 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)表中 a  , b  , c  ; (2)补全条形统计图; (3)若该校有 2400 名学生参加了本次测试,估计测试成绩等级在良好以上(包括良好)的 学生约有多少人? 21.(10 分)从 2021 年起,江苏省高考采用“ 3 1 2  ”模式:“3”是指语文、数学、外语 3 科为必选科目,“1”是指在物理、历史 2 科中任选 1 科,“2”是指在化学、生物、思想政 治、地理 4 科中任选 2 科. (1)若小丽在“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理,则她选择生物的概率是 ; (2)若小明在“1”中选择了物理,用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率. 22.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中, / /AD BC ,对角线 BD 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别相交于点 M 、 N . (1)求证:四边形 BNDM 是菱形; (2)若 24BD  , 10MN  ,求菱形 BNDM 的周长. 23.(10 分)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共 捐款 100000 元,乙公司共捐款 140000 元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话: (1)甲、乙两公司各有多少人? (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A 、B 两种防疫物资,A 种防疫物资每箱 15000 元, B 种防疫物资每箱 12000 元.若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱,并恰好将捐款用完, 有几种购买方案?请设计出来(注: A 、 B 两种防疫物资均需购买,并按整箱配送). 24.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 3(4, )2A , 点 B 在 y 轴的负半轴上, AB 交 x 轴于点 C , C 为线段 AB 的中点. (1) m  ,点 C 的坐标为 ; (2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点,过点 D 作 / /DE y 轴,交反比例函数图象于点 E , 求 ODE 面积的最大值. 25.(12 分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋)中写道: “水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为 3m 的筒车 O 按逆时针方向每分钟转 5 6 圈,筒车 与水面分别交于点 A 、 B ,筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m ,筒车上均匀分布 着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间. (1)经过多长时间,盛水筒 P 首次到达最高点? (2)浮出水面 3.4 秒后,盛水筒 P 距离水面多高? (3)若接水槽 MN 所在直线是 O 的切线,且与直线 AB 交于点 M , 8MO m .求盛水筒 P 从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线 MN 上. (参考数据: 11cos43 sin 47 15     , 11sin16 cos74 40     , 3sin22 cos68 )8     26.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物 线”.如图,抛物线 2 1 1 3: 22 2L y x x   的顶点为 D ,交 x 轴于点 A 、B(点 A 在点 B 左侧), 交 y 轴于点 C .抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”,其顶点为 P . (1)若抛物线 2L 经过点 (2, 12) ,求 2L 对应的函数表达式; (2)当 BP CP 的值最大时,求点 P 的坐标; (3)设点 Q 是抛物线 1L 上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若 DPQ 与 ABC 相似, 求其“共根抛物线” 2L 的顶点 P 的坐标. 27.(12 分)(1)如图 1,点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点,过点 P 作 / /EF BC ,分别 交 AB 、 CD 于点 E 、 F .若 2BE  , 6PF  , AEP 的面积为 1S , CFP 的面积为 2S , 则 1 2S S  ; (2)如图 2,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边 的中点.设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PFCG 的面积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD 的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示); (3)如图 3,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),过点 P 作 / /EF AD , / /HG AB , 与各边分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H .设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PGCF 的面 积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD 的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示); (4)如图 4,点 A 、B 、C 、D 把 O 四等分.请你在圆内选一点 P (点 P 不在 AC 、BD 上),设 PB 、 PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为 1S , PA 、 PD 、 AD 围成的封闭图形的 面积为 2S , PBD 的面积为 3S , PAC 的面积为 4S ,根据你选的点 P 的位置,直接写出一 个含有 1S 、 2S 、 3S 、 4S 的等式(写出一种情况即可). 2020 年江苏省连云港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1.(3 分)3 的绝对值是 ( ) A. 3 B.3 C. 3 D. 1 3 【解答】解:| 3| 3 , 故选: B . 2.(3 分)如图是由 4 个大小相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:从正面看有两层,底层是两个小正方形,上层的左边是一个小正方形. 故选: D . 3.(3 分)下列计算正确的是 ( ) A. 2 3 5x y xy  B. 2( 1)( 2) 2x x x x     C. 2 3 6a a a D. 2 2( 2) 4a a   【解答】解: .2A x 与 3y 不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意; B . 2( 1)( 2) 2x x x x     ,故本选项符合题意; C . 2 3 5a a a ,故本选项不合题意; D . 2 2( 2) 4 4a a a    ,故本选项不合题意. 故选: B . 4.(3 分)“红色小讲解员”演讲比赛中,7 位评委分别给出某位选手的原始评分.评定该选 手成绩时,从 7 个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分,得到 5 个有效评分.5 个有效 评分与 7 个原始评分相比,这两组数据一定不变的是 ( ) A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差 【解答】解:根据题意,从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分和 1 个最低分,得到 5 个有效评 分.5 个有效评分与 7 个原始评分相比,不变的是中位数. 故选: A . 5.(3 分)不等式组 2 1 3, 1 2 x x     „ 的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 【解答】解:解不等式 2 1 3x  „ ,得: 2x„ , 解不等式 1 2x   ,得: 1x  , 不等式组的解集为1 2x „ , 表示在数轴上如下: 故选: C . 6.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠,使点 A 落在对角线 BD 上的 A 处.若 24DBC   ,则 A EB 等于 ( ) A. 66 B. 60 C.57 D. 48 【解答】解:四边形 ABCD 是矩形, 90A ABC     , 由折叠的性质得: 90BA E A     , A BE ABE   , 1 1(90 ) (90 24 ) 332 2A BE ABE DBC             , 90 90 33 57A EB A BE          ; 故选: C . 7.(3 分)10 个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内, A 、 B 、C 、 D 、 E 、 O 均是正六边形的顶点.则点 O 是下列哪个三角形的外心 ( ) A. AED B. ABD C. BCD D. ACD 【解答】解:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等, 从 O 点出发,确定点 O 分别到 A , B , C , D , E 的距离,只有 OA OC OD  , 点 O 是 ACD 的外心, 故选: D . 8.(3 分)快车从甲地驶往乙地,慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发并且在同一条公路上 匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程 ( )y km 与它们的行驶时间 ( )x h 之间的函数关 系.小欣同学结合图象得出如下结论: ①快车途中停留了 0.5h ; ②快车速度比慢车速度多 20 /km h ; ③图中 340a  ; ④快车先到达目的地. 其中正确的是 ( ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 【解答】解:根据题意可知,两车的速度和为: 360 2 180( / )km h  , 相遇后慢车停留了 0.5h ,快车停留了1.6h,此时两车距离为 88km ,故①结论错误; 慢车的速度为:88 (3.6 2.5) 80( / )km h   ,则快车的速度为100 /km h , 所以快车速度比慢车速度多 20 /km h ;故②结论正确; 88 180 (5 3.6) 340( )km    , 所以图中 340a  ,故③结论正确; (360 2 80) 80 2.5( )h    , 5 2.5 2.5( )h  , 所以慢车先到达目的地,故④结论错误. 所以正确的是②③. 故选: B . 二、填空题(本大题共有 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡相应位置上) 9.(3 分)我市某天的最高气温是 4 C ,最低气温是 1 C ,则这天的日温差是 5 C . 【解答】解: 4 ( 1) 4 1 5     . 故答案为:5. 10.(3 分)“我的连云港” APP 是全市统一的城市综合移动应用服务端.一年来,实名注 册用户超过 1600000 人.数据“1 600 000”用科学记数法表示为 61.6 10 . 【解答】解:数据“1600000”用科学记数法表示为 61.6 10 , 故答案为: 61.6 10 . 11.(3 分)如图,将 5 个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中,若顶点 M 、 N 的坐标 分别为 (3,9) 、 (12,9) ,则顶点 A 的坐标为 (15,3) . 【解答】解:如图, 顶点 M 、 N 的坐标分别为 (3,9) 、 (12,9) , / /MN x 轴, 9MN  , / /BN y 轴, 正方形的边长为 3, 6BN  , 点 (12,3)B , / /AB MN , / /AB x 轴, 点 (15,3)A 故答案为 (15,3) . 12.(3 分)按照如图所示的计算程序,若 2x  ,则输出的结果是 26 . 【解答】解:把 2x  代入程序中得: 210 2 10 4 6 0     , 把 6x  代入程序中得: 210 6 10 36 26 0      , 最后输出的结果是 26 . 故答案为: 26 . 13.(3 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下, 可食用率 y 与加工时间 x(单位: )min 满足函数表达式 20.2 1.5 2y x x    ,则最佳加工时 间为 3.75 min . 【解答】解:根据题意: 20.2 1.5 2y x x    , 当 1.5 3.752 ( 0.2)x     时, y 取得最大值, 则最佳加工时间为 3.75min . 故答案为:3.75. 14.(3 分)用一个圆心角为 90 ,半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,这个圆锥 的底面圆半径为 5 cm . 【解答】解:设这个圆锥的底面圆半径为 r , 根据题意得 90 202 180r   , 解得 5( )r cm . 故答案为:5. 15.(3 分)如图,正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 内部有一个正五边形 1 2 3 4 5B B B B B ,且 3 4 3 4/ /A A B B , 直线 l 经过 2B 、 3B ,则直线 l 与 1 2A A 的夹角  48  . 【解答】解:延长 1 2A A 交 4 3A A 的延长线于 C ,设 l 交 1 2A A 于 E 、交 4 3A A 于 D ,如图所示: 六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 是正六边形,六边形的内角和 (6 2) 180 720      , 1 2 3 2 3 4 720 1206A A A A A A       , 2 3 2 3 180 120 60CA A A A C        , 180 60 60 60C         , 五边形 1 2 3 4 5B B B B B 是正五边形,五边形的内角和 (5 2) 180 540      , 2 3 4 540 1085B B B    , 3 4 3 4/ /A A B B , 4 2 3 4 108EDA B B B     , 180 108 72EDC       , 180 180 60 72 48CED C EDC           , 故答案为:48. 16.(3 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的 O 与 x 轴的正半轴交于点 A , 点 B 是 O 上一动点,点 C 为弦 AB 的中点,直线 3 34y x  与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E ,则 CDE 面积的最小值为 2 . 【解答】解:如图,连接 OB ,取 OA 的中点 M ,连接 CM ,过点 M 作 MN DE 于 N . AC CB , AM OM , 1 12MC OB   , 点 C 的运动轨迹是以 M 为圆心,1 为半径的 M ,设 M 交 MN 于 C. 直线 3 34y x  与 x 轴、 y 轴分别交于点 D 、 E , (4,0)D , (0, 3)E  , 4OD  , 3OE  , 2 23 4 5DE    , MDN ODE   , MND DOE   , DNM DOE ∽ ,  MN DM OE DE  ,  3 3 5 MN  , 9 5MN  , 当点 C 与 C重合时,△ C DE 的面积最小,最小值 1 95 ( 1) 22 5      , 故答案为 2. 三、解答题(本大题共 11 小题,共 102 分.请在答题卡上指定区域内作答,解答时写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6 分)计算 2020 1 31( 1) ( ) 645    . 【解答】解:原式 1 5 4 2    . 18.(6 分)解方程组 2 4 5, 1 x y x y       【解答】解: 2 4 5 1 x y x y      ① ② 把②代入①,得 2(1 ) 4 5y y   , 解得 3 2y  . 把 3 2y  代入②,得 1 2x   . 原方程组的解为 1 2 3 2 x y      . 19.(6 分)化简 2 2 3 3 1 2 1 a a a a a a     . 【解答】解:原式 23 ( 1) 1 ( 3) a a a a a     23 (1 ) 1 ( 3) a a a a a     1 a a  . 20.(8 分)在世界环境日 (6 月 5 日),学校组织了保护环境知识测试,现从中随机抽取部分 学生的成绩作为样本,按“优秀”“良好”“合格”“不合格”四个等级进行统计,绘制了如 下尚不完整的统计图表. 测试成绩统计表 等级 频数(人数) 频率 优秀 30 a 良好 b 0.45 合格 24 0.20 不合格 12 0.10 合计 c 1 根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)表中 a  0.25 , b  , c  ; (2)补全条形统计图; (3)若该校有 2400 名学生参加了本次测试,估计测试成绩等级在良好以上(包括良好)的 学生约有多少人? 【解答】解:(1)本次抽取的学生有: 24 0.20 120  (人 ) , 30 120 0.25a    , 120 0.45 54b    , 120c  , 故答案为:0.25,54,120; (2)由(1)知, 54b  , 补全的条形统计图如右图所示; (3) 2400 (0.45 0.25) 1680   (人 ) , 答:测试成绩等级在良好以上(包括良好)的学生约有 1680 人. 21.(10 分)从 2021 年起,江苏省高考采用“ 3 1 2  ”模式:“3”是指语文、数学、外语 3 科为必选科目,“1”是指在物理、历史 2 科中任选 1 科,“2”是指在化学、生物、思想政 治、地理 4 科中任选 2 科. (1)若小丽在“1”中选择了历史,在“2”中已选择了地理,则她选择生物的概率是 1 3 ; (2)若小明在“1”中选择了物理,用画树状图的方法求他在“2”中选化学、生物的概率. 【解答】解:(1)在“2”中已选择了地理,从剩下的化学、生物,思想品德三科中选一科, 因此选择生物的概率为 1 3 ; 故答案为: 1 3 ; (2)用列表法表示所有可能出现的结果如下: 共有 12 种可能出现的结果,其中选中“化学”“生物”的有 2 种,   2 1 12 6P  化学生物 . 22.(10 分)如图,在四边形 ABCD 中, / /AD BC ,对角线 BD 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别相交于点 M 、 N . (1)求证:四边形 BNDM 是菱形; (2)若 24BD  , 10MN  ,求菱形 BNDM 的周长. 【解答】(1)证明: / /AD BC , DMO BNO   , MN 是对角线 BD 的垂直平分线, OB OD  , MN BD , 在 MOD 和 NOB 中, DMO BNO MOD NOB OD OB         , ( )MOD NOB AAS   , OM ON  , OB OD , 四边形 BNDM 是平行四边形, MN BD , 四边形 BNDM 是菱形; (2)解:四边形 BNDM 是菱形, 24BD  , 10MN  , BM BN DM DN    , 1 122OB BD  , 1 52OM MN  , 在 Rt BOM 中,由勾股定理得: 2 2 2 25 12 13BM OM OB     , 菱形 BNDM 的周长 4 4 13 52BM    . 23.(10 分)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫,共渡难关”捐款活动,甲公司共 捐款 100000 元,乙公司共捐款 140000 元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话: (1)甲、乙两公司各有多少人? (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 A 、B 两种防疫物资,A 种防疫物资每箱 15000 元, B 种防疫物资每箱 12000 元.若购买 B 种防疫物资不少于 10 箱,并恰好将捐款用完, 有几种购买方案?请设计出来(注: A 、 B 两种防疫物资均需购买,并按整箱配送). 【解答】解:(1)设甲公司有 x 人,则乙公司有 ( 30)x  人, 依题意,得: 100000 7 140000 6 30x x    , 解得: 150x  , 经检验, 150x  是原方程的解,且符合题意, 30 180x   . 答:甲公司有 150 人,乙公司有 180 人. (2)设购买 A 种防疫物资 m 箱,购买 B 种防疫物资 n 箱, 依题意,得:15000 12000 100000 140000m n   , 416 5m n   . 又 10n … ,且 m , n均为正整数,  8 10 m n    , 4 15 m n    , 有 2 种购买方案,方案 1:购买 8 箱 A 种防疫物资,10 箱 B 种防疫物资;方案 2:购买 4 箱 A 种防疫物资,15 箱 B 种防疫物资. 24.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 3(4, )2A , 点 B 在 y 轴的负半轴上, AB 交 x 轴于点 C , C 为线段 AB 的中点. (1) m  6 ,点 C 的坐标为 ; (2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点,过点 D 作 / /DE y 轴,交反比例函数图象于点 E , 求 ODE 面积的最大值. 【解答】解:(1)反比例函数 ( 0)my xx   的图象经过点 3(4, )2A , 34 62m    , AB 交 x 轴于点 C , C 为线段 AB 的中点. (2,0)C ; 故答案为 6, (2,0) ; (2)设直线 AB 的解析式为 y kx b  , 把 3(4, )2A , (2,0)C 代入得 34 2 2 0 k b k b       ,解得 3 4 3 2 k b      , 直线 AB 的解析式为 3 3 4 2y x  ; 点 D 为线段 AB 上的一个动点, 设 (D x , 3 3)(0 4)4 2x x  „ , / /DE y 轴, 6( , )E x x  , 2 21 6 3 3 3 3 3 27( ) 3 ( 1)2 4 2 8 4 8 8ODES x x x x xx            , 当 1x  时, ODE 的面积的最大值为 27 8 . 25.(12 分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具,唐代陈廷章在《水轮赋)中写道: “水能利物,轮乃曲成”.如图,半径为 3m 的筒车 O 按逆时针方向每分钟转 5 6 圈,筒车 与水面分别交于点 A 、 B ,筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m ,筒车上均匀分布 着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时间. (1)经过多长时间,盛水筒 P 首次到达最高点? (2)浮出水面 3.4 秒后,盛水筒 P 距离水面多高? (3)若接水槽 MN 所在直线是 O 的切线,且与直线 AB 交于点 M , 8MO m .求盛水筒 P 从最高点开始,至少经过多长时间恰好在直线 MN 上. (参考数据: 11cos43 sin 47 15     , 11sin16 cos74 40     , 3sin22 cos68 )8     【解答】解:(1)如图 1 中,连接 OA . 由题意,筒车每秒旋转 5360 60 56     , 在 Rt ACO 中, 2.2 11cos 3 15 OCAOC OA     . 43AOC   ,  180 43 27.45   (秒 ) . 答:经过 27.4 秒时间,盛水筒 P 首次到达最高点. (2)如图 2 中,盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后,此时 3.4 5 17AOP      , 43 17 60POC AOC AOP           , 过点 P 作 PD OC 于 D , 在 Rt POD 中, 1cos60 3 1.5( )2OD OP m     , 2.2 1.5 1.7( )m  , 答:浮出水面 3.4 秒后,盛水筒 P 距离水面1.7m . (3)如图 3 中, 点 P 在 O 上,且 MN 与 O 相切, 当点 P 在 MN 上时,此时点 P 是切点,连接 OP ,则 OP MN , 在 Rt OPM 中, 3cos 8 OPPOM OM    , 68POM   , 在 Rt COM 中, 2.2 11cos 8 40 OCCOM OM     , 74COM  , 180 180 68 74 38POH POM COM            , 需要的时间为 38 7.65  (秒 ) , 答:盛水筒 P 从最高点开始,至少经过 7.6 秒恰好在直线 MN 上. 26.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,把与 x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物 线”.如图,抛物线 2 1 1 3: 22 2L y x x   的顶点为 D ,交 x 轴于点 A 、B(点 A 在点 B 左侧), 交 y 轴于点 C .抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”,其顶点为 P . (1)若抛物线 2L 经过点 (2, 12) ,求 2L 对应的函数表达式; (2)当 BP CP 的值最大时,求点 P 的坐标; (3)设点 Q 是抛物线 1L 上的一个动点,且位于其对称轴的右侧.若 DPQ 与 ABC 相似, 求其“共根抛物线” 2L 的顶点 P 的坐标. 【解答】解:(1)当 0y  时, 21 3 2 02 2x x   ,解得 1x   或 4, ( 1,0)A  , (4,0)B , (0,2)C , 由题意设抛物线 2L 的解析式为 ( 1)( 4)y a x x   , 把 (2, 12) 代入 ( 1)( 4)y a x x   , 12 6a   , 解得 2a  , 抛物线的解析式为 22( 1)( 4) 2 6 8y x x x x      . (2)抛物线 2L 与 1L 是“共根抛物线”, ( 1,0)A  , (4,0)B , 抛物线 1L , 2L 的对称轴是直线 3 2x  , 点 P 在直线 3 2x  上, BP AP  ,如图 1 中,当 A , C , P 共线时, BP PC 的值最大, 此时点 P 为直线 AC 与直线 3 2x  的交点, 直线 AC 的解析式为 2 2y x   , 3(2P , 5) (3)由题意, 5AB  , 2 5CB  , 5CA  , 2 2 2AB BC AC   , 90ACB   , 2CB CA , 2 21 3 1 3 252 ( )2 2 2 2 8y x x x      , 顶点 3(2D , 25)8  , 由题意, PDQ 不可能是直角, 第一种情形:当 90DPQ  时, ①如图 3 1 中,当 QDP ABC ∽ 时, 1 2 QP AC DP BC   , 设 21 3( , 2)2 2Q x x x  ,则 3(2P , 21 3 2)2 2x x  , 2 21 3 25 1 3 92 ( )2 2 8 2 2 8DP x x x x         , 3 2QP x  , 2PD QP , 21 3 92 3 2 2 8x x x     ,解得 11 2x  或 3 2 (舍弃), 3(2P , 39)8 . ②如图 3 2 中,当 DQP ABC ∽ 时,同法可得 2QO PD , 23 932 4x x x    , 解得 5 2x  或 3 2 (舍弃), 3(2P , 21)8  . 第二种情形:当 90DQP  . ①如图 3 3 中,当 PDQ ABC ∽ 时, 1 2 PQ AC DQ BC   , 过点 Q 作 QM PD 于 M .则 QDM PDQ ∽ ,  1 2 QM PQ MD DQ   ,由图 3 1 可知, 3(2M , 39)8 , 11( 2Q , 39)8 , 8MD  , 4MQ  , 4 5DQ  , 由 DQ PD DM DQ  ,可得 10PD  , 3(2D , 25)8  3(2P , 55)8 . ②当 DPQ ABC ∽ 时,过点 Q 作 QM PD 于 M . 同法可得 3(2M , 21)8  , 5(2Q , 21)8  , 1 2DM  , 1QM  , 5 2QD  , 由 QD PD DM DQ  ,可得 5 2PD  , 3(2P , 5)8  . 27.(12 分)(1)如图 1,点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点,过点 P 作 / /EF BC ,分别 交 AB 、 CD 于点 E 、 F .若 2BE  , 6PF  , AEP 的面积为 1S , CFP 的面积为 2S , 则 1 2S S  12 ; (2)如图 2,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),点 E 、 F 、 G 、 H 分别为各边 的中点.设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PFCG 的面积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD 的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示); (3)如图 3,点 P 为 ABCD 内一点(点 P 不在 BD 上),过点 P 作 / /EF AD , / /HG AB , 与各边分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H .设四边形 AEPH 的面积为 1S ,四边形 PGCF 的面 积为 2S (其中 2 1)S S ,求 PBD 的面积(用含 1S 、 2S 的代数式表示); (4)如图 4,点 A 、B 、C 、D 把 O 四等分.请你在圆内选一点 P (点 P 不在 AC 、BD 上),设 PB 、 PC 、 BC 围成的封闭图形的面积为 1S , PA 、 PD 、 AD 围成的封闭图形的 面积为 2S , PBD 的面积为 3S , PAC 的面积为 4S ,根据你选的点 P 的位置,直接写出一 个含有 1S 、 2S 、 3S 、 4S 的等式(写出一种情况即可). 【解答】解:(1)如图 1 中, 过点 P 作 PM AD 于 M ,交 BC 于 N . 四边形 ABCD 是矩形, / /EF BC , 四边形 AEPM ,四边形 MPFD ,四边形 BNPE ,四边形 PNCF 都是矩形, 2BE PN CF    , 1 62PFCS PF CF     , AEP APMS S  , PEB PBNS S  , PDM PFDS S  , PCN PCFS S  , ABD BCDS S  , AEPM PNCFS S 矩形 矩形 , 1 2 6S S   , 1 2 12S S   , 故答案为 12. (2)如图 2 中,连接 PA , PC , 在 APB 中,点 E 是 AB 的中点, 可设 APE PBES S a   ,同理, APH PDHS S b   , PDG PGCS S c   , PFC PBFS S d   , AEPH PFCGS S a b c d     四边形 四边形 , PEBF PHDGS S a b c d    四边形 四边形 , 1 2AEPH PFCG PEBF PHDGS S S S S S     四边形 四边形 四边形 四边形 , 1 2 1 2ABD ABCDS S S S   平行四边形 , 1 1 2 1 1 2 1( ) ( )PBD ABD PBE PHDS S S S S S S S a S a S S                . (3)如图 3 中,由题意四边形 EBGP ,四边形 HPFD 都是平行四边形, 2 EBPEBGPS S 四边形 , 2 HPDHPFDS S四边形 ,    1 2 1 2 1 1 12 22 2 2ABD EBP HPD EBP HPDABCDS S S S S S S S S S             平行四边形 , 1 2 1 1( ) ( )2PBD ABD EBP HPDS S S S S S S          . (4)如图 4 1 中,结论: 2 1 3 4S S S S   . 理由:设线段 PB ,线段 PA ,弧 AB 围成的封闭图形的面积为 x ,线段 PC ,线段 PD ,弧 CD 的封闭图形的面积为 y . 由题意: 1 4 1 3S x S S y S     , 3 4x y S S    , 1 2 1 42( )S S x y S x S      , 2 1 4 3 42S S x y S S S       . 同法可证:图 4 2 中,有结论: 1 2 3 4S S S S   . 图 4 3 中和图 4 4 中,有结论: 1 2 3 4| | | |S S S S   .