华师版数学九年级下册课件-第27章 圆-27圆的对称性 26页

HS九(下) 教学课件 27.2 圆的对称性 2.圆的对称性 第2课时 垂径定理 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为 E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的 两个半圆重合，点A与点B重合，AE与 BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B D E C 垂径定理及其推论1 u垂径定理 ·O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. u推导格式： 提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语 言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是， 请说明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E Ø垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论吗？ 思考探索 D O A BE C 举例证明其中一种组合方法 已知: 求证： ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） ·O A B C D E ⌒AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？⌒ （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.⌒ ⌒ ⌒⌒ （1）连结AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO =∠BEO =90°， ∴CD⊥AB. ⌒ ⌒ 证明举例 思考：“不是直径”这个条件能去 掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并 且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. u垂径定理的推论 ·O A B C D Ø特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. ·O A BE 解：连结OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 垂径定理及其推论的计算 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     cm. 2 例1 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连结OA，∵ CE⊥AB于D， 设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例2 ＡＤ＝　ＡＢ＝　×８＝４（cm） 1 2 1 2 已知：⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD.⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例3 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件. 归纳总结 试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用3 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为 D，与弧AB交于点C，则D是AB的中 点，C是弧AB的中点，CD就是拱 高.∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. =18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 2 2 2OA AD OD Q ， 练一练：如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在 的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h的计算题 时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 2 2 2 ar d        d+h=r O A BC · 1.已知⊙ O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 　则此圆的半径为 .5cm 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦　 　AC= . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知⊙ O的半径为10cm，弦MN∥EF, 　且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 　为 .14cm或2cm 4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是 正方形． D ·O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？ 为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. 　∴ AE－CE＝BE－DE． 　即 AC＝BD. . A C D B O E 注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂 直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法． 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点 O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且 OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. ● O C D E F ┗ 解:连结OC. ● O C D E F ┗ 1 1 600 300(m). 2 2    CF CD 2 2 2 ,OC CF OF   22 2300 90 .  R R 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. ⊥ ∵ＯＥ⊥ＣＤ 如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 .3cm≤OP≤5cm BA O P 垂径定理 内 容 推 论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件 就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的 两条弧 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定 理计算或建立方程. 基本图 形及变 式图形