北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4相似三角形的周长和面积之比 17页

第四章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的周长和面积之比 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等 于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 学习目标 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应高的比、 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.那么它们 周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形， 它们都相似吗？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶ 2 结论： 相似三角形的周长比 等于______．相似比 （都相似） 1∶ 3 1∶ 2 1∶ 3 有什么规律吗？ 1 相似三角形周长比等于相似比 证明：设△ABC∽△A1B1C1，相似比为k， ,kAC CA CB BC BA AB  111111 1 1 1 1 1 1, , ,AB kA B BC kB C CA kC A    .kACCBBA AkCCkBBkA ACCBBA CABCAB    111111 111111 111111 有 求证：相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想：怎么证明这一结论呢？ 相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC和△EBD中， △ABC 与△EBD的周长之差为10 cm，求△ABC的周长. 5 3 AB BC AC EB BD ED    ， 解：设△ABC与△EBD的周长分别 为p1 cm，p2 cm. ∴△ABC∽△EBD，且 . 又∵△ABC与△EBD的周长之差为 10 cm，∴p1－p2＝10， 解得p1＝25，p2＝15， ∴△ABC的周长为25 cm. 5 3 AB BC AC EB BD ED   ∵ ， 1 2 5 3 p p  1 1 5 10 3 p p  ∴ ， 例1 (1)与(2)的相似比= ______, (1)与(2)的面积比=______， (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______. 1 2 3 1∶ 2 （1） （2） （3） 1∶ 4 1∶ 3 1∶ 9 问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形， 回答以下问题： 结论： 相似三角形的面积比 等于___ _______．相似比的平方 有什么规律吗？ 2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 证明：设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k, 如图，分别作出△ABC和△A′B′C′ 的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形， 并且∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′， . BA AB DA AD A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想：怎么证明这一结论呢？ ∵△ABC∽△A′B′C， AD kA D    ， 2 1 2 .1 2 ABC A B C BC ADS BC AD k k kS B C A DB C A D △ △                  AB BC A B B C      ， 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2：3，则对 应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9， 周长的比为______ . 1:3 2:3 4:9 练一练： 解：根据题意，可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A， ∴△GEC∽△ABC， 2 2 2 GEC ABC S EC EC S BC BC       △ △ ， 2 2 1 2 2 EC  ， 2 2 2EC EC   ， ， 2 2.BE BC EC     2 2. G 例2 3 5 AE AD AC AB   ， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴它们的相似比为5：3， 面积比为25：9. 又∵△ABC的面积为100 cm2 ， ∴△ADE的面积为36 cm2 . ∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） . 解：∵∠BAD=∠DAE，且 3,5 AE AD AC AB   B A E D C 例3 1.连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三 角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于 _______. 2.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若 较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形 的周长____cm，面积为____cm2. 1:2 1:4 14 3 4 3 1 5 1 6 1 8 1 B A E D C F B 4. 若△ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和72 cm， 且AB=15 cm，B′C′=24 cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长. B A C A B C 解：∵ △ABC ∽△ A′B′C′ ，它们的周长分别为60 cm和 72 cm， ∵AB=15 cm，B′C′=24 cm， ∴BC = 20 cm， AC = 25 cm， A′B′=18 cm，A′C′=30 cm. 1 1 1 1 1 1 60.72 AB BC CA A B B C C A     相似三角 形的性质2 相似三角形周长之比等于 相似比 相似三角形面积之比等于 相似比的平方