2020年绵阳市中考数学考点训练10：相似三角形（含答案） 12页

相似形 ‎1． 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎2． 如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是 A．2 B．3 ‎ C．4 D．5‎ ‎ ‎ ‎3． 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎ ‎ ‎4． 已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD=10，A'D'=6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是 A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9‎ ‎ ‎ ‎5． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为 A．3.6 B．4 ‎ C．4.8 D．5‎ ‎ ‎ ‎6． 如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 A．20 B．22 ‎ C．24 D．26‎ ‎ ‎ ‎7． 如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是 A．△ABC∽△A′B′C′ ‎ B．点C、点O、点C′三点在同一直线上 ‎ C．AO∶AA′=1∶2 ‎ D．AB∥A′B′‎ ‎ ‎ ‎8． 若，则__________．‎ ‎ ‎ ‎9． 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，与是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为__________．‎ ‎ ‎ ‎10． 如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．‎ ‎ ‎ ‎11． 如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．‎ ‎ ‎ ‎12． 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．‎ ‎ ‎ ‎13． 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求FG的长．‎ ‎ ‎ ‎14． 如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．‎ ‎（1）求证：BD2=AD·CD；‎ ‎（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．‎ ‎ ‎ ‎15． 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．‎ ‎（1）求证：△PAB∽△PBC；‎ ‎（2）求证：PA=2PC；‎ ‎（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．‎ ‎ ‎ ‎16． 如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN：EF．‎ ‎（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．‎ ‎（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．‎ ‎（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值．‎ ‎ ‎ 答案 ‎1． B ‎2． C ‎3． C ‎4． C ‎5． B ‎ ‎6． D ‎7． C ‎8． ‎ ‎9． ‎ ‎10． ‎ ‎11． ‎ ‎12． ‎ ‎13． （1）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵BE=AB，AE=AB+BE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ 解得，．‎ ‎14． （1）∵DB平分∠ADC，‎ ‎∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，‎ ‎∴△ABD∽△BCD，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD2=AD·CD．‎ ‎（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，‎ ‎∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，‎ ‎∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，‎ ‎∴BM=MD=AM=4，‎ ‎∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，‎ ‎∴BC2=BD2-CD2=12，‎ ‎∴MC2=MB2+BC2=28，‎ ‎∴MC=，‎ ‎∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND，‎ ‎∴，且MC=，‎ ‎∴MN=．‎ ‎15． （1）∵∠ACB=90°，AB=BC，‎ ‎∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，‎ 又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°，‎ ‎∴∠PBC=∠PAB，‎ 又∵∠APB=∠BPC=135°，‎ ‎∴△PAB∽△PBC．‎ ‎（2）∵△PAB∽△PBC，∴，‎ 在Rt△ABC中，AB=AC，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴PA=2PC．‎ ‎（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，‎ ‎∴PF=h1，PD=h2，PE=h3，‎ ‎∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，‎ ‎∴∠APC=90°，‎ ‎∴∠EAP+∠ACP=90°，‎ 又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°，‎ ‎∴∠EAP=∠PCD，‎ ‎∴Rt△AEP∽Rt△CDP，‎ ‎∴，即，∴h3=2h2，‎ ‎∵△PAB∽△PBC，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．即h12=h2·h3．‎ ‎16． （1）k的值为1．（2）若a：b的值为，k的最大值为 ‎，最小值为．‎ ‎（3）a：b的值为或．‎ ‎【解析】（1）如图1中，‎ 作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，‎ ‎∵AB=CB，∴FH=MQ，‎ ‎∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，‎ ‎∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，‎ ‎∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，‎ ‎∴△FHE≌△MQN（ASA），‎ ‎∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．‎ ‎（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，‎ 由题意：2a≤MNa，a≤EFa，‎ ‎∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值为，‎ 当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．‎ ‎（3）连接FN，ME．‎ ‎∵k=3，MP=EF=3PE，∴3，‎ ‎∴2，‎ ‎∴△PNF∽△PME，‎ ‎∴2，ME∥NF，‎ 设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，‎ ‎①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合．过点F作FH⊥BD于点H．‎ ‎∵∠MPE=∠FPH=60°，‎ ‎∴PH=2m，FH=2m，DH=10m，‎ ‎∴．‎ ‎②如图3中，当点N与点C重合，过点E作EH⊥MN于点H．则PH=m，HEm，‎ ‎∴HC=PH+PC=13m，∴tan∠HCE，‎ ‎∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD，‎ ‎∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，‎ ‎∴2，∴，‎ 综上所述，a：b的值为或． ‎