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  • 2021-11-06 发布

2020年绵阳市中考数学考点训练10:相似三角形(含答案)

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相似形 ‎1. 如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是 A. B.‎ C. D.‎ ‎ ‎ ‎2. 如图,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是 A.2 B.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎ ‎ ‎3. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎ ‎ ‎4. 已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9‎ ‎ ‎ ‎5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为 A.3.6 B.4 ‎ C.4.8 D.5‎ ‎ ‎ ‎6. 如图,在等腰三角形△ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是 A.20 B.22 ‎ C.24 D.26‎ ‎ ‎ ‎7. 如图,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′,以下说法中错误的是 A.△ABC∽△A′B′C′ ‎ B.点C、点O、点C′三点在同一直线上 ‎ C.AO∶AA′=1∶2 ‎ D.AB∥A′B′‎ ‎ ‎ ‎8. 若,则__________.‎ ‎ ‎ ‎9. 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,与是以点P为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点P的坐标为__________.‎ ‎ ‎ ‎10. 如图,直线,,,分别为直线,,上的动点,连接,,,线段交直线于点.设直线,之间的距离为,直线,之间的距离为,若,,且,则的最大值为__________.‎ ‎ ‎ ‎11. 如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=__________.‎ ‎ ‎ ‎12. 如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长__________.‎ ‎ ‎ ‎13. 如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使,连接DE,分别交BC,AC交于点F,G.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求FG的长.‎ ‎ ‎ ‎14. 如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.‎ ‎(1)求证:BD2=AD·CD;‎ ‎(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.‎ ‎ ‎ ‎15. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.‎ ‎(1)求证:△PAB∽△PBC;‎ ‎(2)求证:PA=2PC;‎ ‎(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2·h3.‎ ‎ ‎ ‎16. 如图,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点M,N分别在边AB,CD上,点E,F分别在边BC,AD上,MN,EF交于点P,记k=MN:EF.‎ ‎(1)若a:b的值为1,当MN⊥EF时,求k的值.‎ ‎(2)若a:b的值为,求k的最大值和最小值.‎ ‎(3)若k的值为3,当点N是矩形的顶点,∠MPE=60°,MP=EF=3PE时,求a:b的值.‎ ‎ ‎ 答案 ‎1. B ‎2. C ‎3. C ‎4. C ‎5. B ‎ ‎6. D ‎7. C ‎8. ‎ ‎9. ‎ ‎10. ‎ ‎11. ‎ ‎12. ‎ ‎13. (1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵BE=AB,AE=AB+BE,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即,‎ 解得,.‎ ‎14. (1)∵DB平分∠ADC,‎ ‎∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,‎ ‎∴△ABD∽△BCD,‎ ‎∴,‎ ‎∴BD2=AD·CD.‎ ‎(2)∵BM∥CD,∴∠MBD=∠BDC,‎ ‎∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°,‎ ‎∴BM=MD,∠MAB=∠MBA,‎ ‎∴BM=MD=AM=4,‎ ‎∵BD2=AD·CD,且CD=6,AD=8,∴BD2=48,‎ ‎∴BC2=BD2-CD2=12,‎ ‎∴MC2=MB2+BC2=28,‎ ‎∴MC=,‎ ‎∵BM∥CD,∴△MNB∽△CND,‎ ‎∴,且MC=,‎ ‎∴MN=.‎ ‎15. (1)∵∠ACB=90°,AB=BC,‎ ‎∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC,‎ 又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,‎ ‎∴∠PBC=∠PAB,‎ 又∵∠APB=∠BPC=135°,‎ ‎∴△PAB∽△PBC.‎ ‎(2)∵△PAB∽△PBC,∴,‎ 在Rt△ABC中,AB=AC,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴PA=2PC.‎ ‎(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,‎ ‎∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,‎ ‎∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,‎ ‎∴∠APC=90°,‎ ‎∴∠EAP+∠ACP=90°,‎ 又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°,‎ ‎∴∠EAP=∠PCD,‎ ‎∴Rt△AEP∽Rt△CDP,‎ ‎∴,即,∴h3=2h2,‎ ‎∵△PAB∽△PBC,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.即h12=h2·h3.‎ ‎16. (1)k的值为1.(2)若a:b的值为,k的最大值为 ‎,最小值为.‎ ‎(3)a:b的值为或.‎ ‎【解析】(1)如图1中,‎ 作FH⊥BC于H,MQ⊥CD于Q,设EF交MN于点O.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,∴FH=AB,MQ=BC,‎ ‎∵AB=CB,∴FH=MQ,‎ ‎∵EF⊥MN,∴∠EON=90°,‎ ‎∵∠ECN=90°,∴∠MNQ+∠CEO=180°,∠FEH+∠CEO=180°,‎ ‎∴∠FEH=∠MNQ,∵∠EHF=∠MQN=90°,‎ ‎∴△FHE≌△MQN(ASA),‎ ‎∴MN=EF,∴k=MN:EF=1.‎ ‎(2)∵a:b=1:2,∴b=2a,‎ 由题意:2a≤MNa,a≤EFa,‎ ‎∴当MN的长取最大时,EF取最短,此时k的值最大,最大值为,‎ 当MN的长取最短时,EF的值取最大,此时k的值最小,最小值为.‎ ‎(3)连接FN,ME.‎ ‎∵k=3,MP=EF=3PE,∴3,‎ ‎∴2,‎ ‎∴△PNF∽△PME,‎ ‎∴2,ME∥NF,‎ 设PE=2m,则PF=4m,MP=6m,NP=12m,‎ ‎①如图2中,当点N与点D重合时,点M恰好与点B重合.过点F作FH⊥BD于点H.‎ ‎∵∠MPE=∠FPH=60°,‎ ‎∴PH=2m,FH=2m,DH=10m,‎ ‎∴.‎ ‎②如图3中,当点N与点C重合,过点E作EH⊥MN于点H.则PH=m,HEm,‎ ‎∴HC=PH+PC=13m,∴tan∠HCE,‎ ‎∵ME∥FC,∴∠MEB=∠FCB=∠CFD,‎ ‎∵∠B=∠D,∴△MEB∽△CFD,‎ ‎∴2,∴,‎ 综上所述,a:b的值为或. ‎