北师大版数学九年级上册同步课件-1第一章-1 矩形的性质与判定 14页

第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点） 2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题. （难点) 学习目标 问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？ A B CD O 矩形：有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质：①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. 矩形判定的定理及其证明 活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的 顶点时, 注意观察两条对角线的长度. 问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线 长度相等时,平行四边形有什么特征？ α 1 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B CD 定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 活动2: 李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边” 这样四步画出一个四边形. ① ② ③ ④ 问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的 判断正确吗？如果正确,你能证明吗？ 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO 是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. A B C D O 定理的应用2 例1 ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = 3448 2222  ABAC 34 .316 A B C D O 如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. A D C E B 例2 (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. A D C E B 1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、 CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角 平分线,则四边形ABCD是（ ） A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q PA B C C 2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD， BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. D A B C EO 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形（矩形的定义）. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的判定 定义 定理 运用定理进行计算和证明