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  • 2021-11-06 发布

2020年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似

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‎3.5 相似三角形的应用 知识点 1 利用相似三角形测量宽度 ‎1.如图3-5-1,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为‎10 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是(  )‎ A. cm B. cm C.‎7 cm D.‎‎6 cm 图3-5-1‎ ‎   ‎ 图3-5-2‎ ‎2.如图3-5-2,为估算某条河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE=‎20 m,EC=‎10 m,CD=‎20 m,则河的宽度AB为(  )‎ A.‎60 m B.‎40 m C.‎30 m D.‎‎20 m ‎3.教材习题3.5第3题变式如图3-5-3,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸边每隔‎5米有一棵树,在河的北岸边每隔‎50米有一根电线杆,小丽站在离南岸‎15米的点P处看北岸,发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有四棵树,求河的宽度.‎ 图3-5-3‎ 知识点 2 利用相似三角形测量高度(深度)‎ ‎4.如图3-5-4,某学生用长为‎2.8 m的竹竿AB测量学校旗杆CD的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点O处,此时竹竿与这一点的距离OB=‎8 m,与旗杆的距离BD=‎22 m,则旗杆CD的高为(  )‎ A.‎105 m B.‎77 m C.‎10.5 m D.‎‎7.7 m 7‎ 图3-5-4‎ ‎    ‎ 图3-5-5‎ ‎5.2017·眉山“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何?”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题,它的题意可以由图3-5-5获得,则井深为(  )‎ A.1.25尺 B.57.5尺 C.6.25尺 D.56.5尺 ‎6.如图3-5-6是小孔成像实验,火焰AC通过小孔O照射到屏幕上,形成倒立的实像,像长BD=‎2 cm,OA=‎60 cm,OB=‎10 cm,求火焰AC的长.‎ 图3-5-6‎ ‎7.如图3-5-7(示意图),小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=‎40 cm,EF=‎20 cm,测得边DF离地面的高度AC=‎1.5 m,CD=‎8 m,求树高AB.‎ 图3-5-7‎ 7‎ ‎8.2017·绵阳为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是‎50 cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为‎4 m,如图3-5-8所示.已知小丽同学的身高是‎1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是‎4 cm,则旗杆DE的高度等于(  )‎ A.‎10 m B.‎12 m C.‎12.4 m D.‎‎12.32 m 图3-5-8‎ ‎   ‎ 图3-5-9‎ ‎9.如图3-5-9所示,某一时刻,一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上.此时,小明竖起‎1米高的标杆(PQ),量得其影长(QR)为‎0.5米,此时,他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为‎3米,墙壁上的影子CD高为‎2米.小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为(  )‎ A.‎5米 B.‎6米 C.‎7米 D.‎‎8米 ‎10.如图3-5-10(示意图),M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠民政策,政府决定打一直线涵洞,工程人员为计算工程量,必须计算M,N两点之间的距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=‎1千米,AN=1.8千米,AB=‎54米,BC=‎45米,AC=‎30米,求M,N两点之间的距离.‎ 图3-5-10‎ 7‎ ‎11.教材复习题第17题变式如图3-5-11(示意图),某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是‎2 m的标杆CD和EF,两标杆相隔‎52 m,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退‎2 m到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退‎4 m到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,求建筑物的高.‎ 图3-5-11‎ ‎ ‎ ‎12.某校九年级(1)班的一节数学活动课安排了测量操场上旗杆AB的高度.甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图3-5-12(示意图)所示,甲组测得图中BO=‎20米,OD=‎3.4米,CD=‎1.7米;乙组测得图中CD=‎1.5米,同一时刻影长FD=‎0.9米,EB=‎6米;丙组测得图中EF∥AB,FH∥BD,BD=‎30米,EF=‎0.2米,人的臂长(FH)为‎0.6米.请你任选一种方案,利用试验数据求出该校旗杆的高度.‎ 图3-5-12‎ ‎    ‎ ‎1.A [解析] ∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,∴DE∶AB=CD∶AC,∴DE 7‎ ‎∶10=40∶60,解得DE=(cm),∴小玻璃管口径DE的长是 cm.故选A.‎ ‎2.B [解析] ∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴∠ABE=∠DCE=90°.‎ 又∵∠AEB=∠DEC,‎ ‎∴△BAE∽△CDE,∴=.‎ ‎∵BE=‎20 m,CE=‎10 m,CD=‎20 m,‎ ‎∴=,解得AB=40(m).‎ 故选B.‎ ‎3.解:过点P作PF⊥AB于点F,交CD于点E,如图所示.‎ 设河宽为x米.‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎∴∠PDC=∠PBF,∠PCD=∠PAB,‎ ‎∴△PDC∽△PBA,∴=,‎ ‎∴=.‎ 依题意知CD=25米,AB=50米,‎ ‎∴=,解得x=15.‎ 答:河的宽度为15米.‎ ‎4.C [解析] ∵AB⊥OD,CD⊥OD,∴AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴=.‎ 若设旗杆的高为x m,则=,解得x=10.5.故选C.‎ ‎5.B [解析] 依题意有△ABF∽△ADE,∴AB∶AD=BF∶DE,‎ 即5∶AD=0.4∶5,解得AD=62.5,‎ ‎∴BD=AD-AB=62.5-5=57.5(尺).故选B.‎ ‎6.解:∵AC∥BD,∴△OBD∽△OAC,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴AC=12(cm).‎ 答:火焰AC的长为12 cm.‎ ‎7.解:∵∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,‎ 7‎ ‎∴△DEF∽△DCB,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得BC=4(m).‎ ‎∵AC=‎1.5 m,‎ ‎∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m),‎ 答:树高AB为5.5 m.‎ ‎8.B [解析] 由题意可得AB=‎1.5 m,BC=‎0.5 m,DC=‎4 m,△ABC∽△EDC,则=,即=,解得DE=12(m).故选B.‎ ‎9. D [解析] 延长AC交BD的延长线于点E,易知△CDE∽△PQR,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴DE=1(米),∴BE=3+1=4(米).‎ 又易知△ABE∽△PQR,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴AB=8(米).‎ ‎10.连接MN,‎ ‎∵==,==,‎ ‎∴=.‎ 又∵∠BAC=∠NAM,‎ ‎∴△BAC∽△NAM,‎ ‎∴=,‎ 即=,∴MN=1500(米).‎ 答:M,N两点之间的距离为1500米.‎ ‎11.解:∵AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,‎ ‎∴AB∥CD∥EF,‎ ‎∴△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,‎ ‎∴=,=.‎ ‎∵CD=DG=EF=‎2 m,DF=‎52 m,FH=‎4 m,‎ ‎∴=,‎ =,‎ ‎∴=,‎ 解得BD=52(m),‎ 7‎ ‎∴=,‎ 解得AB=54(m).‎ 答:建筑物的高为54 m.‎ ‎12.解:选择甲组方案计算:‎ 在△ABO和△CDO中,‎ 因为∠ABO=∠CDO=90°,∠AOB=∠COD,‎ 所以△ABO∽△CDO,‎ 所以=,所以AB=.‎ 又BO=20米,OD=3.4米,CD=1.7米,‎ 所以AB=10米,‎ 即该校旗杆的高度为10米.‎ 选择乙组方案计算:‎ 在△ABE和△CDF中,因为∠ABE=∠CDF=90°,∠AEB=∠CFD,‎ 所以△ABE∽△CDF,所以=.‎ 又CD=1.5米,FD=0.9米,EB=6米,‎ 所以AB=10米,‎ 即该校旗杆的高度为10米.‎ 选择丙组方案计算:‎ 由FH∥BD,可得△CFH∽△CBD,‎ 所以=.‎ 由EF∥AB,可得△CFE∽△CBA,‎ 所以=,所以=.‎ 又BD=30米,EF=0.2米,FH=0.6米,‎ 所以AB=10米,‎ 即该校旗杆的高度为10米.‎ 7‎

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