北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4利用三边判定三角形相似 16页

第四章 图形的相似 4.4 探究三角形相似的条件 第3课时 利用三边判定三角形相似 1.掌握相似三角形的判定定理3.（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点） 学习目标 ⑴定义法:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似. 问题1：判定两个三角形相似我们学过了哪些方法? ⑵*引理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的 三角形与原三角形相似. 复杂烦琐！ ★具备两个条件： (1) DE∥BC； (2)两个三角形在同一图形中. A B D C E 限制条件啦！ 思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？ (3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. (4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 猜想：△ABC∽△A1B1C1 A1 B1 C1C′B′ A′ 1 1 1 1 1 1A B B C AC AB BC AC  如果： 边 边 边 S S S 相似三角形的判定定理31 证明:在△A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取 A1D=AB, 过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E. ∵ DE∥B1C1 ， ∴△ADE∽△A1B1C1. A B C A1 B1 C1 D E 1 1 1 1 1 1 1 1 .A D A EDE A B B C AC   1 1 1 1 1 1 1 , ,AB BC AC A D ABA B B C AC    1 1 1.ABC A B C ∴ ∽ 1 1, ,DE BC A E AC A DE ABC   ∴ ∴ ≌ （SSS）. ∴ 又 A1 B1 C1 A B C D E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,A EDE BC AC B C B C AC AC  ∴ 1 1 1 1,A DE A B C ∵ ∽ ★判定三角形相似的定理3: 三边成比例的两个三角形相似. △ABC∽△A1B1C1. 1 1 1 1 1 1 ,AB BC AC A B B C AC  ∵ ∴ A1 B1 C1 A B C ★几何语言： 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C D F E 解：在△ABC 中，AB>BC>CA. 2.4 2.1 1.80.6, 0.6, 0.6,4 3.5 3 DE EF FD AB BC CA       ∴ △ABC∽ △DEF. 3 1.83.5 2.1 4 2.4 相似三角性的判定定理3的运用2 在△DEF中，DE>EF>FD. ,DE EF FD AB BC CA    例1 如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=20°, 求∠CAE的度数. ,AB BC AC AD DE AE   解：∵ ∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°. ,AE AC DE BC AD AB  A B C D E 例2 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，且 .求证：△ A′B′C′∽△ABC. 2 1 AC CA AB BA '' 证明：由已知条件得AB=2A′B′,AC=2A′C′ . 从而 BC2 = AB2-AC2 =(2A′B′)2-(2A′C′)2 = 4A′B′ 2 – 4A′C′2 =4(A′B′2-A′C′ 2) = 4B′C′2 =(2B′C′)2. 从而 由此得出，BC=2B′C′， 因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似) 1 .2 B C A B A C BC AB AC    例3 1.如图, △ ABC与△ A′B′C′相似吗?你用什么方法来支持你的 判断? C BA A′ B′ C′ 2 2,1 AB AC BC A B A C B C           8, 2 10, 2 2,AB BC AC   4, 10, 2,A B B C A C        解：这两个三角形相似． 设1个小方格的边长为1，则 ABC A B C   相似△ 与△ . 2.在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC ＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．求证： △ABC与△A′B′C′相似． 6 1 18 3 AB A B   ∵证明： ， 8 1 24 3    BC B C ， 10 1 30 3    AC A C ，        AB BC AC A B B C A C ，∴　 ∴ △ABC ∽△A′B′C′（三边成比 例的两个三角形相似)． A CB C′ A′ B′ 3.如图，某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28千 米， BD=21千米， BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD 平行吗？说出你的理由. 解：公路AB与CD平行. 14 28 21 42 31.5A B C D 28 2 42 3 AD BC   ，  14 2 21 3 AB BD ， 21 2 31.5 3 BD DC   ，   AB AD BD BD BC DC ， ∴ △ABD∽△BDC, ∴ ∠ABD=∠BDC ， ∴ AB∥DC . 5.如图，DE、DF、EF是△ABC的中位线.求证： △ABC∽△FED. D A B C E F 证明：∵ DE、DF、EF是△ABC的 中位线， ∴ DE= BC，DF= AC，EF= AB， ∴ △ABC∽△FED. 1 2 1 ,2   BC D F EF D E AC AB 1 2 1 2 利用三边 判定三角 形相似 定理：三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定定理3的运用